Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 261
Így
2
2 + a1 aa
2 2 1
+ an+ 1 ⋅
aa 1 2
2
2 + a2
aa 1 n
aa 2 n
a1
a2
2
0
2
= 2 ⋅∆ n + an+
1 ⋅
0
0
2
0
0
0
2
0
0
=
0
a1 a2 an1
a a a 1
∆ = 2∆ + 2
2 2 n
a = ⋅∆ + + .
n
2
n 1
n−1
2
n n−1
n
n−1 2 n−2 n−2
2
2 an−1
| 2
n−2 2 n−3 n−3
2
2 an−2
2
| 2
∆ = ∆ + ⋅
∆ = ∆ + ⋅
....................................
a
∆ = 2∆ + 2 a
| ⋅2
1 2
1 2 n−2
2 1 2
( a a a )
∆ = 2 ∆ + 2 ⋅ + + + =
n−1 n−1
2 2 2
n 1 2 3
n
n−1 2 n−1 2 2 2 n n−1
= 2 ( 2+ a1) + 2 ⋅ ( a + a + + a
2 3 ) = 2 + 2 ⋅ ∑
+
n
2
n ak
k=
1
9. Bizonyítsuk be, hogy ha egy n× n -es mátrix minden eleme 1 vagy − 1 , akkor a
n−1
determinánsa osztható 2 -el.
Megoldás. Az első sort hozzáadjuk az összes többi sorhoz. Így az első sor
kivételével minden sorban -2, 0 vagy 2 áll. Az előjeles determináns minden sorból és
minden oszlopból pontosan egy tényezőt tartalmazó előjeles szorzatok összege. Így az
1
előbbi determináns kifejtésének minden tagja osztható 2 -el (mert ( ) sorból
illetve oszlopból 2, 0 vagy -2 kerül a szorzatba), tehát a determináns is osztható.
Ugyanerre az eredményre jutunk akkor is, ha kifejtjük az első sor szerint és minden
aldetermináns minden sorából kiemelünk 2-t.
)
n−
n − 1
2
10. Bizonyítsuk be, hogy ha egy n -ed rendű determináns n − n + 2 eleme egyenlő,
akkor a determináns 0.
2
Bizonyítás. A feltétel alapján legfeljebb ( n − 2 elem különbözik az n − n + 2
egyenlő elemtől. Így legalább két sorban ezek közül egy sincs, tehát létezik két azonos
sor. Tehát a determináns 0.
*
Megjegyzés. Belátható, hogy minden n ∈ esetén létezik olyan n -ed rendű 0-tól
2
különböző determináns, amelynek n − n + 1 eleme egyenlő. Ilyen például a
1 1 1 1
∆ n =
1 0 1 1
1 1 0 1 determináns.
1 1 1 0
n