Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 257
2 2 2 2
abc a b a c bc a a
1
abc
⋅ =
abc abc
2 2 2
ab abc b c b ac b
2 2 2 2
ac bc abc c c ab
Az (1) és (2) alapján következik a kért egyenlőség.
3. Számítsuk ki a
x x x
2 2 2
1 2 3
2 3 1
3 1 2
2 . (2)
∆ = x x x determinánst, ha , és x az
x x x
x1 x2 3
3 2
x − x + 5x + 2 = 0 egyenlet gyökei (felvételi 1987).
Megoldás. A Sarrus szabály alapján a determináns
2 2 2 4 4 4 4 4
∆= xxx+ xxx+ xxx−x−x− x= xxx ( x+ x+ x) − ( x + x + x
4 ) .
1 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
x1 + x2 + x3
= 1 xxx 1 2 3 = −2
1 2 + 2 3 + 3 1 = 5 . Így
De a Viéte-féle összefüggések alapján , és
xx xx xx
2 2 2
x1 + x2 + x3 2
2
= ( x1 + x2 + x3) − 2( x1x2 + x2x3 + x3x1) = 1 −2⋅ 5 = − 9,
4 4 4
x1 + x2 + x3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= ( x1 + x2 + x3) − 2(
xx 1 2 + xx 2 3 + xx 3 1)=
2
2
= ( −9) −2⋅ ( ( xx 1 2 + xx 2 3 + xx 3 1) − 2xxx
1 2 3( x1 + x2 + x3)
) =
Tehát ∆ = ( −2) ⋅1− 23 = −25.
4. Számítsuk ki a 1 2 3
= 81 −2⋅( 25 −2⋅( −2) ⋅ 1) = 81 − 58 = 23 .
1 1 1
∆ = x x x determinánst! Írjuk fel az eredményt szorzat
x x x
2 2 2
1 2 3
formájában!
Megoldás. A Sarrus szabály alapján könnyű kifejteni a determinánst, de nem biztos,
hogy észrevesszük a felbontást. Előnyösebb ilyenkor eleve arra törekedni, hogy
kiemeljünk valamilyen tényezőt. E célból kivonjuk az első oszlopot a második és
harmadik oszlopból. Így a determináns értéke nem változik, tehát
1 0 0
1 0 0
∆ = x x −x x − x = ( x −x ) x 1 x − x =
1 2 1 3 1 2 1 1 3 1
x x −x x − x x x + x x − x
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 3 1 1 2 1 3 1
= ( x −x )( x − x ) x 1 1 =
2 1 3 1 1
1 0 0
x x + x x +
x
2
1 2 1 3 1