Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 256
2. Bizonyítsuk be a következő egyenlőségeket a determinánsok kiszámítása nélkül:
a)
b)
Bizonyítás
a)
a + b b + c c + a a a a
1 1 1 1 1 1 1 2 3
a + b b + c c + a = 2 b b b
2 2 2 2 2 2 1 2 3
a + b b + c c + a
3 3 3 3 3 3
bc ab ca
bc a a
2 2
ab ac bc b ac b
2 2
= .
2 2
ac bc ab c c ab
c c c
1 2 3
(felvételi 1985);
a + b b + c c + a a b + c c + a b b + c c + a
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a + b b + c c + a = a b + c c + a + b b + c c + a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b b + c c + a a b + c c + a b b + c c + a
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c + a a c c + a b b c + a b c c + a
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= a b c + a + a c c + a + b b c + a + b c c + a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c + a a c c + a b b c + a b c c + a
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c b c a a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= a b c + b c a = 2 ⋅ a b c ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c b c a a b c
3 3 3 3 3 3 3 3 3
mert a felbontásban megjelenő további determinánsok értéke nulla és
b c a a b c
1 1 1 1 1 1
b c a = a b c ,
2 2 2 2 2 2
b c a a b c
3 3 3 3 3 3
mert az egyikből a másikat két oszlopcserével kaphatjuk meg.
b) Az első sort a -val, a másodikat b -vel és a harmadikat c -vel szorozzuk (ab c ≠ 0
esetén):
2 2
abc a b a c
bc ab ca
1
= ⋅
abc
. (1)
2 2
ab ac bc ab abc b c
2 2
ac bc ab ac bc abc
Az első oszlopból kiemelünk a -t, a másodikból b -t és a harmadikból c -t!
=
=