Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

20.07.2013 Views
254 Lineáris egyenletrendszerek megoldása III. Az első egyenletből kifejezzük x -et és visszahelyettesítjük a többi egyenletbe, majd a másodikból kifejezzük y -t és visszahelyettesítjük a harmadik és negyedik egyenletbe és így tovább. A következő rendszerekhez jutunk: ⎧ ⎪x + y + z + t =−2⎧ ⎪ ⎪x + y + z + t =−2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− 5y + z =−2 ⎪ ⎪ ⎪− 5y + z =−2 ⎨ ⎪ ⎨ ⎪ y + 2z = 5 ⎪− ⎪ ⎪ 9z= −27 ⎪ ⎪ ⎪− 7y + 2z − 3t = 11 ⎪ ⎪3z − 15t = 69 ⎪⎩ ⎪⎩ A harmadik egyenletből z = 3 . Így az utolsó egyenletből t = −4 és a második −3−2 egyenletből y = = 1 . Az első egyenlet alapján −5 x = −2−y −z − t = −2−1− 3+ 4 =− 2 c) I. A rendszer mátrixos alakja ⎡ 6 ⎢ 13 5⎤ ⎡x⎤ ⎡17 ⎥⋅ ⎢ ⎥ 7 y = ⎢ 10 ⎢y ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ 10 ⎥ 23 ⎢ −1 ⎣ ⎦ ⎣ II. A rendszer 6 ⎥ ⎢ 10 ⎥ 23 ⎢ −161 ⎥ ⎢ 7 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎥⎦ ⎡ 2 3 −4⎤ ⎡ ⎡ x ⎤ −1⎤ 4 alakban írható. Az A = ⎢ 1 ⎢ 2 −1⎥ mátrix transzponáltja és az adjungáltja, ⎥ 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Az ⎡6 A = ⎢ 13 ⎣ 5⎤ ⎥ 7 ⎥ ⎥⎦ mátrix transzponáltja ⎡6 t A = ⎢ 5 ⎣ 13⎤ ⎥ 7 ⎥ ⎥⎦ és az adjungáltja ⎡ 7 * A = ⎢ −13 ⎣ −5⎤ ⎥ 1 , tehát 6 ⎥. detA = 6 ⋅7− 5 3 = −23 A ⎥⎦ −1 1 − − 1 ⎡ 7 = − ⋅⎢ 23 ⎢ −13 ⎣ −⎤ 5 ⎥ 6 ⎥ ⎥⎦ x ⎡17⎤ ⎡ 7 1 oldás ⎥ 1 A ⎢ ⎥ = − ⋅⎢ 3 −5⎤ ⎡17⎤ ⎥ 1 ⎡ 69 ⎤ ⎡−3 ⎥. ⎢ ⎥ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ − ⋅1 . Így a ⎡ ⎤ meg ⎢ ⎥ = ⋅ ⎢ ⎤ − ⎥⎥ . ⎢ 1 ⎢ −1 ⎣ 1 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ − 1 ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢z⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢⎣ −1 3 1 − −4⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎢ 2 t ⎢ A = ⎢ 3 ⎢ −4 ⎣ 1 1 −1 −1⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 2 ⎥ * ⎢ −2⎥ és A = ⎢−3 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ −4 4 1 ⎥ −2⎥. ⎥ 1 ⎥ ⎥⎦

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 255 ⎡ ⎢−2 −1 1 * ⎢ Mivel detA = − 1 írhatjuk, hogy A = ⋅ A = ⎢ 3 detA ⎢ ⎢⎣ 1 Tehát a rendszer megoldása 4 −4 −1 −1⎤ ⎥⎥ 2 ⎥ . ⎥ 1 ⎥ ⎥⎦ ⎡x⎤ ⎡−1⎤ ⎡−2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 y ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ = A ⋅ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢z ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ 1 ⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ III. A rendszer mátrixa 4 − 4 −1 −1⎤⎡−1⎤ ⎡ ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢−2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥⎢ 0 ⎥ = ⎢ 5 . ⎥⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 3 ⎦⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎡1 ⎢ 2 A = ⎢ ⎢3 ⎢ ⎢⎣ 5 1 −2 2 −2 1 3 5 7 1⎤ ⎥ 2 ⎥ . 3 ⎥ 2⎥ ⎥⎦ Így ⎡1 ⎢ ⎢1 t ⎢ A = ⎢ ⎢1 ⎢ 1 ⎣ 2 −3 3 2 3 2 5 3 5 ⎤ ⎡ 51 ⎥ ⎢ −2⎥ ⎢ ⎥ * ⎢ 3 ⎥ és A = ⎢ 7 ⎥ ⎢−39 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢ 12 ⎣ −3 −6 −3 12 −21 3 15 3 9 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ 9 ⎥ ⎥⎦ ⎢ 1 ⎢ 3 −6 1 ⎥ − . De detA = 27 és így a megoldások ⎡x⎤ ⎡ 51 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢y⎥ ⎢ ⎥ ⎢z⎥ = ⋅ ⎢ 27 −39 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢t⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 12 −3 −3 12 −21 3 15 3 9 ⎤⎡−2⎤ ⎡−54 ⎤ ⎡−2⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎢−6⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎢ 27 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. 0 ⎥⎢−1⎥ 27 ⎢ 81 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −9⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −108⎥ ⎢−4⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 2.6. Megoldott feladatok I. Determinánsok és tulajdonságaik 1. Számítsuk ki a következő mátrixok determinánsát: ⎡ a a) A = ⎢ 1 ⎢ ⎢−b ⎣ Megoldás b⎤ ⎥ a⎥; ⎥⎦ ⎡ ⎢a ⎢ b) A = ⎢b 2 ⎢ c ⎣ b c a c⎤ ⎥ a⎥. ⎥ b ⎥ ⎥⎦ a) detA 2 2 = a + b . 1 3 3 3 3 3 3 b) detA = acb + bac + cba −c−a− b = 3abc −a−b−c. 2

Page 1 and 2: Lineáris egyenletrendszerek megold









Page 19: Lineáris egyenletrendszerek megold

















deta

egyenletrendszerek

rendszer

oszlop

alakban

elemi

esetben

szorozzuk

egyenlet

oldd

ismeretlent

math.ubbcluj.ro

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ... ... View more Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Delete template?

Save as template ?

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ... Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...