Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

254
Lineáris egyenletrendszerek megoldása
III. Az első egyenletből kifejezzük x -et és visszahelyettesítjük a többi egyenletbe,
majd a másodikból kifejezzük y -t és visszahelyettesítjük a harmadik és negyedik
egyenletbe és így tovább. A következő rendszerekhez jutunk:
⎧ ⎪x
+ y + z + t =−2⎧
⎪
⎪x
+ y + z + t =−2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪−
5y + z =−2
⎪
⎪
⎪−
5y + z =−2
⎨
⎪
⎨
⎪
y + 2z = 5 ⎪−
⎪
⎪
9z= −27
⎪
⎪
⎪− 7y + 2z − 3t = 11
⎪
⎪3z − 15t = 69
⎪⎩
⎪⎩
A harmadik egyenletből z = 3 . Így az utolsó egyenletből t = −4
és a második
−3−2 egyenletből y = = 1 . Az első
egyenlet alapján
−5
x = −2−y −z − t = −2−1− 3+
4 =− 2
c) I. A rendszer mátrixos alakja
⎡ 6
⎢
13
5⎤ ⎡x⎤ ⎡17
⎥⋅ ⎢ ⎥
7 y
= ⎢
10
⎢y ⎣
⎥
⎦ ⎢
10
⎥ 23 ⎢
−1 ⎣ ⎦ ⎣
II. A rendszer
6
⎥ ⎢
10
⎥ 23 ⎢
−161
⎥ ⎢
7
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎥⎦
⎡ 2 3 −4⎤ ⎡ ⎡
x ⎤ −1⎤
4
alakban írható. Az A = ⎢ 1
⎢
2
−1⎥
mátrix transzponáltja és az adjungáltja,
⎥
4
⎤
⎥
⎥
⎢
⎢⎣ ⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .
⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
Az
⎡6 A = ⎢
13
⎣
5⎤
⎥
7 ⎥
⎥⎦
mátrix transzponáltja
⎡6 t
A = ⎢
5
⎣
13⎤
⎥
7 ⎥
⎥⎦
és az adjungáltja
⎡ 7
*
A = ⎢
−13
⎣
−5⎤
⎥
1
, tehát
6 ⎥.
detA = 6 ⋅7− 5 3 = −23
A
⎥⎦
−1 1 −
− 1 ⎡ 7
= − ⋅⎢
23 ⎢
−13
⎣
−⎤ 5
⎥
6 ⎥
⎥⎦
x ⎡17⎤ ⎡ 7
1
oldás
⎥ 1
A ⎢
⎥ = − ⋅⎢
3
−5⎤ ⎡17⎤ ⎥ 1 ⎡ 69 ⎤ ⎡−3
⎥.
⎢ ⎥ = ⋅⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢
−
⋅1
. Így a
⎡ ⎤
meg ⎢ ⎥ = ⋅ ⎢
⎤
−
⎥⎥ .
⎢ 1
⎢
−1 ⎣
1
−2
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥
− 1
⎢
y
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢z⎥ ⎢ 4 ⎥
⎥⎦
⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
⎡
⎢ 2
⎢
⎢
⎢⎣
−1
3
1
−
−4⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎡
⎢ 2
t ⎢
A = ⎢ 3
⎢
−4 ⎣
1
1
−1
−1⎤
⎡
⎥ ⎢ 2
⎥ * ⎢
−2⎥
és A = ⎢−3 ⎥ ⎢
4 ⎥ ⎢
⎥⎦
⎢⎣ −4
4
1
⎥
−2⎥.
⎥
1 ⎥
⎥⎦