Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

236
Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Tehát a tárgyalás a következő:
Ha a a −a a ≠ 0 , akkor tetszőleges b , b ∈ esetén a megoldások
11 22 21 12 1 2
b ⋅a −b ⋅a
1 22 2 12
x =
a ⋅a −a ⋅a
11 22 21 12
a ⋅b −a ⋅b
11 2 21 1
és y =
a ⋅a −a ⋅a
11 22 21 12
.
Ha a a − a a = , akkor a b − a b = ba − ba = 0 esetén a megoldások
11 2 21 1 1 22 2 12
11 22 21 12 0
⎧⎪ b −a
α
⎪ 1 12 x
parametrikus alakja ⎪ =
⎨ a , α ∈
⎪ 11
⎪
⎪⎩
y = α
míg a b −a b ≠ 0 esetén a rendszernek nincs megoldása.
11 2 21 1
Látható, hogy az aa −aa kifejezésnek (és a hozzá hasonló a b −a
b illet-
11 22 21 12
11 2 21 1
ve ba −ba
kifejezéseknek) kulcsfontosságú szerepe van a rendszer megoldásai-
1 22 2 12
nak előállításában. A rendszer mátrixok segítségével a következő alakban írható:
⎡a a 11 12 ⎤⎡x⎤⎡b⎤ 1
⎢ ⎥⎢ ⎥
a a y
= ⎢ ⎥
⎢ b
⎣ 21 22 ⎦⎣
⎥⎢
⎦
⎥ ⎢ 2 ⎥
⎣ ⎦
A kifejezésmód egyszerűsítésének céljából a következő értelmezéseket adjuk:
Értelmezés. a) A (*) rendszer mátrixának nevezzük az
⎡a a 11 12 ⎤
A = ⎢ ⎥
a a
mátrixot.
⎢
⎣ 21 22 ⎥
⎦
b) Az A mátrix determinánsának nevezzük az aa −aa
11 22 12 21
a a 11 12
különbséget és detA -val jelöljük. Ezt gyakran a de tA
=
a a
alakban írjuk.
21 22
A 2. feladat eredményei alapján a következő tételt jelenthetjük ki:
Tétel. 1. Ha a (*) rendszer mátrixának determinánsa nem nulla, akkor a rendszernek
létezik egyértelmű megoldása ∀b , b ∈ esetén, és a megoldás
1 2
b a a b
1 12 11 1
b a a b
x =
a a
y =
a a
2 22 21 2
11 12 11 12
a a a a
21 22 21 22
(a számlálóban szereplő determinánsokat úgy kapjuk, hogy az x illetve y
együtthatóinak helyére a szabadtagokat helyettesítjük).
a a 11 12
2. Ha
a a
= 0 , akkor a következő két eset lehetséges:
21 22
b a 1 12
a) ha
b a 2 22
(összeférhetetlen)
a11 ≠ 0 vagy
a21 b1
b2 ≠ 0 akkor a rendszernek nincs megoldása
b1 b) ha
b
a12 a
a11 =
a
b1
b
= 0 , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van.
2 22 21 2