Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 251
2 2
∆ = ( b−a) ⋅ b −( a + b) −b
=
1
+
+
2 2
a b ab
ab
0 0
b −a
− ( a + b) −b
2 2 2
= ( b−a) ⋅ (a + b + ab)
⋅ =
b −a
2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 2
= ( b−a) ⋅ ( a + b + ab) ⋅ ⎡
⎣
a + ab + b ⎤ ⎡
⎦
= ⎢⎣ ( b−a) ⋅ ( b + ab + a ) ⎤
⎥⎦
= ( b −a
)
2. megoldás.
Adjuk az utolsó két oszlopot az elsőhöz.
1
1 ab b 1 ab b
2 2
2 2 2 2 2
( a ab b ) 1 a ab ( a ab b ) 0 a( a b) b( a b)
∆ = + + = + + − −
1
b a
2 2
a −b
= + + −
b
=
a + b
bb ( −a) ( a− b)( a+ b)
2 2
2
2
( a ab b ) ( a b) ( a )( ) ( ) (
b) Kivonjuk az első oszlopot az utolsó kettőből.
2
a b−a c−a a
2 2 2 2 2 2 2 2
b + c a −b a − c b + c −( a + b) − ( a + c)
0
+ ab + b a − b a + ab + b = a −b
2 2 2 2 3
1 1
∆ = b + c a −b a − c = ( b−a)( c− a) b + c −1 − 1 =
a + b + c
= ( b−a)( c−a) ⋅ b + c −1
0 0
− 1 =
2 2
b + c − ( a + b) − ( a + c)
1 1
= ( b−a)( c− a)( a + b + c) ⋅ ( b a)( c a)( a + b a + c
= − − c− b)( a + b + c).
3. Oldjuk meg a következő lineáris rendszereket
a) a Cramer szabály segítségével;
b) a kiküszöbölés módszerével;
égével.
I. ;
1
II.
;
6
III.
1 .
c) az inverz mátrix kiszámításának segíts
⎧ ⎪6x
+ 5y = 17
⎪⎪
⎨
⎪ 13x + 7y = 10
⎪⎩
⎧⎪
⎪2x
+ 3y − 4z
= −
⎨
⎪ x + y − z = 0
⎪
⎪−x − 2y + 4z = 4
⎪⎩
⎧ ⎪x
+ y + z + t =−2
⎪
⎪2x
− 3y + 3z + 2t
=−
⎨
⎪3x
+ 2y + 5z + 3t
=−
⎪
⎪5x − 2y + 7z + 2t = 1
⎪⎩
6 5
17 5
a) I. ∆ =
13 7
= 42 − 65 = − 23 , ∆ = 2 10
= 119 − 50 = 69 és
7
.
=
3
)
2
.