Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 247
Tétel. Ha A ∈ Mn
( )
, akkor érvényesek az alábbi állítások:
t
t
a) detA= detA
, ahol A az A transzponáltja.
b) Ha A két oszlopát (vagy sorát) akkor a determináns előjele megváltozik.
c) Ha A egy sorában (vagy oszlopában) α -val szorozzuk az elemeket, akkor a
determináns is szorzódik α -val.
d) Ha A -nak van két azonos vagy arányos oszlopa vagy sora, akkor a determinánsa 0 .
e) Ha A és B egy oszlopban (vagy sorban) különbözik, akkor
detA+ detB = detC
,
aho l a C mátrixot úgy kapjuk A -ból, hogy a B -vel megegyező
oszlopokat leírjuk és
a B -től különböző oszlop elemeihez hozzáadjuk a B megfelelő elemeit.
f) Ha A egy oszlopához (sorához) hozzáadjuk egy másik oszlop (sor) α -szorosát,
akkor a determináns nem változik meg.
g) Ha A egy oszlopa (sora) a többi oszlop (sor) lineáris kombinációja, akkor a
determináns
0.
h)
i)
∑ ∑
det A= a D = a D ∀ i, j = 1,
n
n
i=
1
n n
ij ij ij ij
i= 1 j=
1
∑ aD = 0 , ha k ≠ j
ij ik
* *
*
j) A⋅ A = A ⋅ A= ( detA) In,
ahol A az A adjungáltja, amit úgy kapunk, hogy
A transzponáltjában
minden elemet az algebrai komplementumával
helyettesítünk
Ez alapján az n× n -es rendszerek esetében is megszerkeszthetjük A inverzét és
kijelenthetjük a Cramer szabályt. Egy n× n -es rendszer is A⋅ x = b alakban írható,
n
ahol A∈Mn( ) , xb , ∈ .
Tehát, ha detA ≠ 0 , akkor létezik az
− 1 1 *
A = ⋅ A
detA
−1 −1
(erre teljesülnek az A ⋅ A= A⋅ A = Inegyenlőségek)
mátrix és ezzel beszorozva
−1
(balról) az egyenletet, az x = A ⋅ b egyenlőséghez jutunk. De
⎡D D D ⎤
11 21 n1
⎢ … ⎥
⎢ D D D ⎥⎥
⎢
⎢D D D
12 22 n2
⎥
⎢ … ⎥
−1
A = ⎢ D D D ⎥
⎢⎢⎢⎢⎢ ⎥
⎥
D D D ⎥
1n 2n
n ⎥
⎢
…
⎢⎣ D D D ⎥ ⎥⎦
n
és így
bD
D
x b j
n
∑
n
= j ∑
i=
1
ij
⋅
D
= i
i
i=
1
∆
ij
= 1, n.
∆j j ∆
A számlálóban szereplő összeg éppen a determináns kifejtése, ahol -t úgy