Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

244 Lineáris egyenletrendszerek megoldása a a 12 12 13 21 22 22 23 32 32 a A = a a a a a a Ezeket az egyenlőségeket egy egyenlőség formájában is felírhatjuk, ha * megszerkesztjük az A mátrixot a következő módon: • felírjuk A transzponáltját • a transzponált minden elemét helyettesítjük az algebrai komplementumával. * Következmény. Ha A ∈ M ( ) és A 3 = ⎡D ⎤ ⎢ ji ⎥ , akkor ⎣ ⎦ij , = 1,3 * A⋅ A * = A ⋅ A= ( detA) I . ⎡D D D ⎤ ⎢ 11 21 31⎥ * ⎢ ⎥ * Bizonyítás. Ha A = ⎢D D D ⎥, akkor A⋅A = 12 22 32 ⎢ ⎥ ⎢D D D ⎥ ⎢⎣ 13 23 33 ⎥⎦ ⎡a D a D a D 0 0 ⎤ ⎢ + + 11 11 12 12 13 13 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 0 a D + a D + a D 0 ⎥ = 21 21 22 22 23 23 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 a D a D a D ⎥ ⎢ + + ⎣ 31 31 32 32 33 33 ⎥⎦ = ( detA) ⋅ I . 3 * Az A mátrixot az A adjungáltjának nevezzük. Az előbbi tulajdonság alapján 1 * detA ≠ 0 esetén megszerkeszthetjük az A mátrix inverzét, hisz a B = ⋅ A detA mátrixra teljesül az, hogy A⋅ B = B⋅ A = I . 3 3 3 (Ez azt is jelenti, hogy ebben az esetben az A -hoz tartozó fa : → lineáris leképezés bijektív és inverze a B -hez tartozó leképezés). Akárcs ak a 2× 2-es −1 −1 −1 mátrixok esetében az A mátrix itt is értelmezhető az A⋅ A = A ⋅ A= I egyenlőséggel. A fogalmak rögzítésének céljából a következő általános értelmezést fogadjuk el. Értelmezés. A B ∈ M n ( ) mátrixot az A ∈ M n ( ) mátrix inverzének nevezzük, ha teljesülnek az A⋅ B = B⋅ A= I 33 n −1 egyenlőségek. Ebben az esetben a B mátrixot A -el szokás jelölni. Felmerülhet a kérdés, hogy létezhet-e egy mátr ixnak több inverze. A szorzás tulajdonságai alapján beláthatjuk, hogy ez nem lehetséges (A szorzás értelmezéséből az is következik, hogy ha B az A inverze, akkor a B -hez tartozó lineáris leképezés az A -hoz tartozó lineáris leképezés inverze. Mivel az inverz függvény egyértelműen meghatározott és a lineáris leképezés mátrixa is egyértelműen jellemzi azt egy adott −1 bázisban, világos, hogy A is egyértelműen meghatározott, ha létezik). . 3 3
Lineáris egyenletrendszerek megoldása 245 Ha B és C az A inverzei lennének, akkor B = B⋅ I = B⋅( A⋅ C) = ( B⋅A) ⋅ C = I ⋅ C = C , n n 1 tehá A − egyértelműen meghatározott. 1 Az előbbiek alapján ha létezik A − t , akkor az A -hoz rendelt lineáris leképezésnek 3 3 létezik inverze, tehát az f : → f( x) = A⋅x függvény bijektív. Így az 3 A⋅ x = y egyenletnek minden y ∈ esetén van egyértelmű megoldása. Láttuk, hogy ez csak akkor fordul el ő, ha detA ≠ 0 és ebben az esetben meg is tudjuk szerkeszteni az A inverzét. Érvényes tehát a következő tétel. Tétel. Az A ∈ M ( ) mátrixnak pontosan akkor létezik inverze, ha detA ≠ 0 és 3 − 1 1 * * ebben az esetben A = ⋅ A , ahol az A mátrixot úgy kapjuk, hogy az A detA transzponáltjának minden elemét helyettesítjük annak algebrai komplementumával. 2.4. n ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek és n×n-es determinánsok Az eddigi tulajdonságok alapján értelmezni tudjuk n× n -es mátrix esetén is a determinánst és n× n -es lineáris egyenletrendszerekre is adhatunk megoldási módszereket. Értelmezés. Ha A ∈ M ( ) , akkor az A mátrix determinánsának nevezzük a n ∑ j= 1 n a ⋅ D kifejezést, ahol az elem algebrai komplementuma 1j 1j 1j D a1j ( ( ) , aho 1+ j D = −1⋅d l 1j1j1j d az a -hez tartozó aldetermináns). Tehát 1j n ⋅d1j j= 1 Megjegyzés. Mivel D egy ( n − 1) × ( n − 1) -es determináns és 2× 2-es illetve 1j 3× 3-as determinánst értelmeztünk, az értelmezés helyes (a matematikai indukció elve alapján). Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a determináns minden sora vagy oszlopa szerint kifejthető, azaz n n ∑ ∑ det A= a ⋅ D = a ⋅D ∀ i, j = 1, n D 1j ij ij ij ij j= 1 i= 1 Bizonyítás. n = 2 és n = 3 esetén már bebizonyítottuk a tulajdonságot. Így a matematikai indukció elve alapján elégséges igazolni, hogy ha teljesül az állítás minden legfeljebb ( n − 1) × ( n − 1) -es mátrix determinánsára, akkor teljesül minden n× n -es mátrix determ inánsára is. Legyen A ∈ M ( ) egy tetszőleges mátrix. Az n+ 1 értelmezés alapján n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ 1+ j 1+ j i+ k detA = a D = a ( −1) d′ = a ( −1) a ( − 1) d′′ = 1j 1j 1j 1j 1j ik ik j= 1 j= 1 j= 1 k= 1 k≠j
Page 1 and 2: Lineáris egyenletrendszerek megold
Page 9: Lineáris egyenletrendszerek megold

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?