Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

244
Lineáris egyenletrendszerek megoldása
a a
12 12
13
21 22 22 23
32 32
a
A = a a a
a a a
Ezeket az egyenlőségeket egy egyenlőség formájában is felírhatjuk, ha
*
megszerkesztjük az A mátrixot a következő módon:
• felírjuk A transzponáltját
• a transzponált minden elemét helyettesítjük az algebrai komplementumával.
*
Következmény. Ha A ∈ M ( )
és A 3 = ⎡D ⎤
⎢ ji ⎥ , akkor
⎣ ⎦ij
, = 1,3
*
A⋅ A
*
= A ⋅ A= ( detA)
I .
⎡D D D ⎤
⎢ 11 21 31⎥
* ⎢ ⎥
*
Bizonyítás. Ha A = ⎢D D D ⎥,
akkor A⋅A =
12 22 32
⎢ ⎥
⎢D D D ⎥
⎢⎣ 13 23 33 ⎥⎦
⎡a D a D a D
0 0 ⎤
⎢ + +
11 11 12 12 13 13
⎥
⎢ ⎥
= ⎢ 0 a D + a D + a D
0 ⎥ =
21 21 22 22 23 23
⎢ ⎥
⎢ 0 0
a D a D a D ⎥
⎢
+ +
⎣ 31 31 32 32 33 33 ⎥⎦
= ( detA) ⋅ I . 3
*
Az A mátrixot az A adjungáltjának nevezzük. Az előbbi tulajdonság alapján
1 *
detA ≠ 0 esetén megszerkeszthetjük az A mátrix inverzét, hisz a B = ⋅ A
detA
mátrixra teljesül az, hogy
A⋅ B = B⋅ A = I . 3
3 3
(Ez azt is jelenti, hogy ebben az esetben az A -hoz tartozó fa : → lineáris
leképezés bijektív és inverze a B -hez tartozó leképezés). Akárcs ak a 2× 2-es
−1
−1 −1
mátrixok esetében az A mátrix itt is értelmezhető az A⋅ A = A ⋅ A= I
egyenlőséggel. A fogalmak rögzítésének céljából a következő
általános értelmezést
fogadjuk el.
Értelmezés. A B ∈ M n ( )
mátrixot
az A ∈ M n ( )
mátrix inverzének
nevezzük, ha teljesülnek az
A⋅ B = B⋅ A= I
33
n
−1
egyenlőségek.
Ebben az esetben a B mátrixot A -el szokás jelölni.
Felmerülhet a kérdés, hogy létezhet-e egy mátr ixnak több inverze. A szorzás
tulajdonságai alapján beláthatjuk,
hogy ez nem lehetséges (A szorzás értelmezéséből
az is következik, hogy ha B az A inverze, akkor a B -hez tartozó lineáris leképezés
az A -hoz tartozó lineáris leképezés inverze. Mivel az inverz függvény
egyértelműen
meghatározott
és a lineáris leképezés mátrixa
is egyértelműen jellemzi azt egy adott
−1
bázisban, világos, hogy A is egyértelműen meghatározott, ha létezik).
.
3
3