Analitikus mértan 3. FELADATLAP S´ıkbeli egyenesek 1. Írjuk fel ...

E: 1) 1
2 √ 5 .
26. Határozzuk meg az x + 2y − 10 = 0 és x − 2y + 2 = 0 egyenesek által meghatározott
szög azon szögfelezőjét, amely áthalad az A(1, 3) ponton.
27. Egy ABC háromszög esetén A(2, 5), B(1, 3), C(7, 0). Határozzuk meg a magasságok
hosszát! E: √ 5, 3√ 2
2 , 3√ 5.
28. Adottak az A(−2, 1), B(3, 1), C(1, 5) pontok. Határozzuk meg a B pont távolságát az
A csúcshoz tartozó oldalfelezőtől! E: √ 5.
29. Igazoljuk, hogy az x − 3y + 1 = 0, x − 3y + 12 = 0, 3x + y − 1 = 0 és 3x + y + 10 = 0
egyenesek által meghatározott négyszög egy négyzet. Határozzuk meg a területét! E: 12.1.
30. Egy négyzet egyik oldalának egyenlete x + 3y − 5 = 0. Határozzuk meg a négyzet többi
oldalának az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a négyzet szimmetriaközéppontja a P (−1, 0)
pontban található.
E: −15x + 5y + 15 = 0, −15x + 5y + 9 = 0, x + 3y + 35
= 0.
3
31. Adottak egy háromszög két oldalának egyenletei: 3x − 2y + 1 = 0 és x − y + 1 = 0
valamint az egyik oldalfelezőjének az egyenlete 2x − y − 1 = 0. Határozzuk meg a harmadik
oldal egyenletét! E: 5x − 3y − 1 = 0 vagy x = 3.
32. Határozzuk meg egy háromszög oldalainak egyenletét, ha ismerjük az egyik csúcsot:
B(2, −1) valamint a különböző csúcsokhoz tartozó magasság 3x − 4y + 27 = 0 és szögfelező
x − 2y − 5 = 0 egyenleteit!
33. Állapítsuk meg, hogy az M(−3, 2) pont az x+y −4 = 0, 3x−7y +8 = 0, 4x−y +31 = 0
egyenesek által meghatározott háromszög belsejében van-e.
34. Adottak az x + 2y − 1 = 0, 5x + 4y − 17 = 0, x − 4y + 11 = 0 egyenesek. Határozzuk
meg a magasságok egyenleteit anélkül, hogy kiszámítanánk a csúcsok koordinátáit.
35. Adott egy M(3, 3) pont és egy ABC háromszög az oldalak egyenleteivel: AB : x + 2y −
4 = 0, BC : 3x + y − 2 = 0, AC : x − 3y − 4 = 0.
1) Számítsuk ki az ABC háromszög területét!
2) Az M pontnak az AO, OB és AB egyeneskre eső vetületét rendre P, Q, R-rel jelölve,
bizonyítsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak.
3) Írjuk fel az AB és P Q egyenesek által meghatározott sugársor egyenletét. Határozzuk
meg a sugársor N(0, 5) ponton átmenő egyenesének az egyenletét.
36. Igazoljuk, hogy bármely ABC háromszögben a H magasságpont, a G súlypont és az
O oldalfelező merőlegesek metszéspontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes).
37. Egy ABCD négyszög csúcsai az A(4, 3), B(5, −4), C(−1, −3), D(−3, −1) pontok.
1) Számítsuk ki az E és F pontok koordinátáit, ha {E} = AB ∩CD és {F } = BC ∩AD.
2) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] és [EF ] átlók felezőpontjai kollineárisak. (Az ABCDEF
alakzatot teljes négyszögnek nevezzük.)
3