Analitikus mértan 3. FELADATLAP S´ıkbeli egyenesek 1. Írjuk fel ...

13. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a C(1, 3) ponton és egyenlő
távolságra van az M1(−1, 0) és M2(1, −1) pontoktól!
E: x + 2y − 7 = 0, −7x + 2y + 1 = 0.
14. Határozzuk meg a D(−1, 2) pont szimmetrikusainak a koordinátáit a d : x + y + 1 = 0
egyenesre, majd az E(−1, −4) pontra vonatkozóan! E: D1(−3, 0), D2(−1, −10).
15. Határozzuk meg a d1 : −x + 2y − 1 = 0 egyenes szimmetrikusát a d2 : x − y = 0
egyenesre majd az A(−2, 5) pontra vonatkozóan! E: 2x + y − 1 = 0, x − 2y + 23 = 0.
16. Adott három, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az
AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok
felezőpontjai kollineárisak!
17. Adott egy háromszög két csúcsa: A(−6, 2) és B(2, −2), valamint a H(1, 2) ortocentrum.
Határozzuk meg a harmadik C csúcs koordinátáit! E: C(2, −34).
18. Határozzuk meg az ABC háromszög köré írt kör középpontjának koordinátáit, ha
16 5
A(1, 2), B(3, −2) és C(5, 6). E: , .
3 3
19. Határozzuk meg az alábbi egyenesek által bezárt szögeket
1) y = 2x + 1 és y = −x + 2;
2) y = 3x − 4 és x = 3 + t, y = −1 − 2t;
3) y = 2x/5 + 1 és 4x + 3y − 12 = 0;
4) 2x + 3y = 0 és x − y + 5 = 0;
5) x − 3y + 2 = 0 és x = 2 − t, y = 3 + 2t.
E: 1)45◦ ; 2) 45◦ ; 3) arctg 14
; 4) arccos
23
√ 26
26
; 5) arctg7
5 .
20. Határozzuk meg azt az A(3, 1) ponton áthaladó egyenest, amely 45 ◦ -os szöget zár be a
2x + 3y − 1 = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x − 5y + 2 = 0, 5x + y − 16 = 0.
21. Határozzuk meg az x + 3y = 0, x = 3, x − 2y + 3 = 0 egyenesek által meghatározott
háromszög csúcsait és szögeit.
22. Adott az A(1, −2), B(5, 4) és C(−2, 0) csúcsú háromszög . Határozzuk meg az A szög
külső és belső szögfelezőjének az egyenletét! E: −x + 5y + 11 = 0, 5x + y − 3 = 0.
23. Határozzuk meg az O(0, 0), A(1, 2) és B(−5, 7) pontok távolságát a 6x + 8y − 15 = 0
egyenestől.
24. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(8, 9) ponton és amelynek
az x − 2y + 5 = 0 valamint az x − 2y = 0 egyenesek közé eső szakaszának hossza
5.
25. Határozzuk meg az alábbi párhuzamos egyenesek közti távolságot
1) x − 2y + 3 = 0 és 2x − 4y + 7 = 0;
2) 3x − 4y + 1 = 0 és x = 1 + 4t, y = 3t ;
3) x = 2 − t, y = −3 + 2t és x = 2s, y = 5 − 4s.
2