Disszertáció - Komputeralgebra Tanszék - Eötvös Loránd ...

Fülöp Ágnes
Nemlineáris jelenségek numerikus számítása
Doktori értekezés
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Informatikai Doktori Iskola
Numerikus és szimbolikus számítások
Doktori iskola vezetője:
Dr Demetrovics János
Programvezető: Témavezető:
Dr Járai Antal Dr Járai Antal
egyetemi tanár egyetemi tanár
Komputeralgebra Tanszék
2005

Ezúton szeretném megköszönni témavezetőmnek, Dr Járai An-
tal tanszékvezető egyetemi tanárnak a szakmai irányítást, Dr Tél
Tamásnak és Kaufmann Zoltánnak a hasznos tanácsokat, és tan-
széki munkatársaimnak a hatékony segítséget.
2

Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 7
2. Káosz dinamikai rendszerekben 9
2.1. Káosz mérőszámai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Káosz Hamiltoni rendszerekben . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Fraktál struktúrák 17
3.1. Dimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Multifraktál valószínűség eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Invariáns valószínűségi mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Metrikus entrópiák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5. Dinamikai fázisátalakulások Hamiltoni rendszerekben . . . . . 30
3.5.1. A Rényi-entrópia viselkedése fázisátalakulások során . . 32
3.5.2. Kétdimenziós leképezések Hamiltoni rendszerekben . . 34
4. Numerikus módszerek 37
4.1. Geometriai multifraktál spektrum önhasonló struktúrákon . . 37
4.2. D(q) meghatározásának numerikus
4.3.
módszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1. Sandbox eljárás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2. Boxcounting módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Összehasonlítás az aszimmetrikus Cantor-halmazon . . . . . . 42
4.3.1. Sandbox dimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3

4.3.2. Boxcounting dimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4. Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.1. Hénon és Lozi-leképezés különös attraktorainak vizsgálata 45
4.4.2. Entrópiák és az általánosított dimenzió
kapcsolata disszipatív leképezésekben . . . . . . . . . . 51
4.4.3. A K(q) entrópia kiszámítása az általánosított
sandbox módszer segítségével . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5. Rényi-entrópiák vizsgálata Hamiltoni
rendszerekben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5.1. A szakaszonként-lineáris leképezés és standard leképezés 52
4.6. DLA, anomális fraktál dimenzió,
kaotikus szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5. NAME 71
5.1. Pályaintegrál és a részecskefizika
kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1. Feynman pályaintegrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1.2. Feynman pályaintegrál a térelméletben . . . . . . . . . 75
5.2. Statisztikus fizika és részecskefizika
kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3. Gauge mezők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.1. Kanonikus tárgyalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4. Csoport integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.1. Lie-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6. Rács térelmélet 91
6.1. Parallel transzporter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.1. Folytonos eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.2. Diszkrét eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2. Wilson hatás, rács Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4

7. NAME kaotikus tulajdonságainak vizsgálata rácson 97
7.1. XY modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2. Rács Yang-Mills elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2.1. Valós Ljapunov spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.2. Teljes komplex Ljapunov spektrum . . . . . . . . . . . 105
8. Összefoglalás 117
9. Melléklet 133
9.1. Yang-Mills egyenlet gömbi közelítése . . . . . . . . . . . . . . 133
10.Summary 137
5

1. fejezet
Bevezetés
A klasszikusan leírható statisztikus fizikai és részecskefizikai kutatások számos
területén intenzív vizsgálat tárgya a nemlineáris jelenségek szerkezete és
időbeli fejlődése. Ilyen modell-számolást végeznek a fraktál struktúrát és
a kaotikus viselkedést mutató jelenségek körében is. Fontos, hogy ezen mo-
dellek jellemzésére bevezetett mennyiségek meghatározására jól használható
módszereket alkalmazzunk (kísérleti, elméleti szempontból egyaránt). A nu-
merikus modellek és módszerek sok esetben megfelelő eszközt nyújtanak ezen
kutatások számára.
A fraktál struktúrák intenzív kutatása a XX. század második felében
B.B. Mandelbrot eredményei nyomán váltak ismerté. A természeti jelenségek
számos területén tapasztaltak önhasonló tulajdonsággal rendelkező objektu-
mokat pl. DLA [25, 26, 27, 28], részecske kaszkádok [73], Brown mozgás [74],
turbulencia [30, 31], Bloch elektronok mágneses térbeli energia spektruma
[29] stb.
A kaotikus dinamikai jelenségeket 1980-as évek óta tanulmányozzák ana-
litikus és numerikus eszközökkel. A maximális Ljapunov-exponens energia
függését és az entrópia produkciót vizsgálták klasszikus Hamiltoni rend-
szerekben, melyek alkalmasak a fázisátalakulás kimutatására a kaotikus és
reguláris tartományok határán. A részecskefizikában kaotikus viselkedést
7

mutatnak a nemabeli gauge terek, melyek dinamikai viselkedése jól model-
lezhető rácstérelméleti eszközökkel. Ennek vizsgálata intenzív kutatás tárgya
jelenleg is.
A dolgozat első fejezetében bevezetjük a káosz és a fraktál dimenzió ill.
a különös attraktor fogalmát.
A 4. fejezetben új eljárást vezetünk be a D(q) ill. K(q) mennyiségek
numerikus meghatározására, melyet összehasonlítunk a már ismert boxcoun-
ting módszerrel az aszimmetrikus Cantor-halmazon. Továbbiakban a sand-
box eljárást alkalmazzuk különös attraktorok általánosított dimenziójának és
entrópiájának meghatározására például a Lozi- és Hénon-leképezések vizsgá-
latára. Fő célunk ezeket módszereket alkalmazni a fizika több területén is.
A sandbox módszerre napjainkig 31 referált folyóiratban megjelent cikkben
történt hivatkozás.
A disszertáció második fele a nemabeli gauge-terekben fellépő kaotikus vi-
selkedést vizsgálja. A 7. fejezetben a mozgásegyenletek stabilitás mátrixának
sajátértékeiből határozzuk meg a teljes komplex Ljapunov spektrumot. Elő-
ször bevezetjük a térelmélet alapvető fogalmait, kifejtjük milyen módon kap-
csolódnak a statisztikus fizikában bevezetett fogalmakhoz. A gauge elmé-
let leírásához a pályaintegrált és a csoportelmélet bizonyos területeit is fel-
használjuk. Az ily módon bevezetett folytonos mennyiségeket rácsra helyezve
diszkretizáljuk a parallel transzporter és a Wilson hatás segítségével. Első
lépésben egy megfelelően választott ansatz segítségével az XY egyszerű mo-
dellt vizsgáljuk, majd az általános esetben a teljes komplex Ljapunov spekt-
rumot határozzuk meg.
Ezen kutatásokat részben az ELTE TTK Szilárdtestfizika Tanszékén,
részben az ELTE TTK Doktori Iskola keretein belül az MTA KFKI RMKI
Elméleti Osztályán végeztem. A disszertációt az ELTE Informatika Kar
Komputeralgebra Tanszékén dolgoztam ki, Dr Járai Antal témavezetésével.
8

2. fejezet
Káosz dinamikai rendszerekben
2.1. Káosz mérőszámai
Sok fizikai rendszer időfejlődését modellezhetjük autonom mozgásegyenlettel:
˙x = F(x), (2.1)
ahol x az E dimenziós fázistér vektora. A megoldás alakja numerikus szi-
mulációknál
x(t) = G t (x(0)). (2.2)
Diszkrét időpillanatokban
xn+1 = G(xn) (2.3)
leképezést írhatjuk fel. Disszipatív dinamikai rendszereket vizsgálva a fázistér
térfogata csökken az időfejlődés során (2.1)(2.3) egyenletek, mely a Liou-
ville törvényben van megfogalmazva. Ez látszik az előző egyenletből (2.1)
is, mivel az áramlás ∇F divergenciája negatív. Diszkrét időpillanatokban
(2.3) vizsgálva a rendszert, a disszipáció úgy jelenik meg, hogy |DG| = J és
|J| < 1, azaz a Jacobi-modulus kisebb mint 1, ahol DG jelöli az G derivált
mátrixát.
9

A valódi kísérleteknél és komputer szimulációknál disszipáció jelenlétében
általában tranziens viselkedés lép fel, melyet aszimptotikus tartomány követ.
A fázistérbeli Λ halmazt attraktornak [1] nevezzük, ha megadható egy
kezdeti nyílt U halmaz úgy hogy, az n-edik jövő képe G n U lesz, ahol U ⊃
G n U és Λ = ∞ n=0 G n U. Az U-t az attraktor vonzási halmazának [1] hívjuk.
Az G leképezés Λ-ra való leszűkítése rendelkezzen azzal a tulajdonsággal,
hogy van olyan x ∈ Λ pont, melyre a G n x, n = ...,−1, 0, 1,... trajektória
sűrű a Λ halmazon.
Legegyszerűbb példák az invariáns halmazokra az attraktorok, fixpon-
tok, periódikus pályák (határciklus folytonos idő skálán) és kváziperiódi-
kus pályák (tórusz). Ha a bizonytalanság exponenciálisan nő az időben
((DG n )δx0 ∼ e nλ , λ > 0) a rendszer érzékenyen függ a kezdeti feltételek-
től.
Különös attraktornak [2] neveztük azon struktúrákat, melyek a korábbi
tulajdonságokon túl speciális lokális szerkezettel rendelkeznek : sima sokaság
és Cantor típusú halmaz Descartes szorzata.
A különös attraktornál exponenciális szeparáció jelenik meg bizonyos irá-
nyok mentén (annak ellenére, hogy a térfogat összehúzódik, a mozgás instabil
az attraktoron). Mivel az attraktorok általában korlátosak, az exponenciális
divergencia csak kis távolságokon valósulhat meg, ennek eredménye a tra-
jektóriák ”egymásba lapozódása”.
Vizsgáljuk meg a Hénon leképezést [3]:
xn+1 = 1 − ax 2 n + byn,
yn+1 = xn.
Fixpontjai x∗ = y∗
= (b−1± (b − 1) 2 + 4a)/2a. A kontroll paraméterek kis
értékeinél különös attraktor keletkezik. Ezen rendszer invariáns sokaságainak
definiálásához vizsgáljuk meg a Jacobi mátrix DG közelítését az x ∗ fixpont
körül, µ1,µ2 sajátértékeit és v1,v2 sajátvektorait. Ha a Hénon leképezés Ja-
cobi determinánsára ahol J = −b, b = |DG| = |µ1µ2| < 1, akkor tetszőleges
pont egy környezete képeinek területe exponenciálisan csökken az idő fejlődés
10

y
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0
x
0.5 1 1.5
2.1. ábra. Hénon-leképezés attraktora az a = 1.4, b = 0.3 paraméterekkel.
Az iteráció kezdőpontja x = 0.6, y = 0.6 az iterációk száma 2.5 × 10 6 .
során, ami a disszipatív rendszerekre jellemző. A stabilitás vizsgálatából [34]
következik, hogy ha a µ1 sajátérték nagyobb mint 1 ennélfogva a megfelelő
sajátvektor iránya instabil (azaz a pontokat taszítja x ∗ -tól), a terület pe-
dig csökken a leképezésben szereplő b faktorral, akkor a második sajátérték
kisebb mint 1.
A W s
loc(x ∗ ),W u
loc(x ∗ ) lokális stabil és instabil sokaságokat az x ∗ fixpontban
a következő módon definiálhatjuk:
W s
loc(x ∗ ) = {x ∈ U|G n (x) → x ∗ , ha n → ∞ és G n (x) ∈ U, ∀n ≥ 0}
W u
loc(x ∗ ) = {x ∈ U|G n (x) → x ∗ , ha n → −∞ és G n (x) ∈ U, ∀n ≤ 0},
ahol U az x ∗ fixpont környezete. A W s
loc és W u
loc invariáns sokaságok a v1 ill.
v2 sajátvektorok által generált E s , E u lineáris alterek általánosításai. Az x ∗
pontnál a W s
loc és W u
loc tangenciálisak az Es , Eu lineáris terekre. A lokális
sokaságok W s
loc, W u
loc globális analógiáját W s , W u-t úgy kapjuk meg, hogy
iteráljuk a W s
loc pontjait időben visszafelé és W u
loc pontjait az időben előre:
W s (x ∗ ) =
n≤0
G n (W s
loc(x ∗ )) (2.4)
11

W u (x ∗ ) =
n≥0
G n (W u
loc(x ∗ )). (2.5)
Hasonló definíció adható meg folytonos idő (2.1) esetén is, mivel az áram-
lások invariáns sokaságai a megoldásgörbék uniójából tevődnek össze. Egy
vonzó Λ halmaz tartalmazza az összes ilyen pontok instabil sokaságait [1]. A
(2.1) egyenlet megoldásainak létezése és egyértelműsége tiltja a különböző fix-
pontok stabil (instabil) sokaságainak a kereszteződését és W s (x ∗ ) ill W u (x ∗ )
önmetszését. Ugyanez fennáll diszkrét idő (2.3) esetén is, ha a leképezés
diffeomorfizmus. Ezért csak a különböző fixpontok stabil és instabil so-
kaságainak metszései (heteroklinikus keresztezések), vagy ugyanazon fixpon-
tok esetén (homoklinikus keresztezések) jelenhetnek meg: ezek a fő forrásai
a dinamikai rendszerek komplex viselkedésének. A különös attraktoron az
instabil sokaságra transzverzális irány mentén gyakran fordul elő a Cantor-
halmaz struktúra, mely önhasonló tulajdonsággal [2] rendelkezik.
A fent említett mennyiségek leírására felhasználjuk a Poincaré-leképezést
és a Ljapunov-exponens fogalmát.
A Poincaré-leképezés [35] egy diszkrét leképezés:
xi+1 = P(xi) i = 0, 1, 2,... (2.6)
az n-dimenziós állapottérben kijelölünk egy (n − 1) dimenziós hiperfelületet,
melyet a trajektóriák átmetszenek. Az egymást követő metszéspontokat adja
meg a P(xi) = xi+1 leképezés.
A Ljapunov-exponenst a következő kifejezéssel definiáljuk:
d
dt xi = Fi(x1,...,xn), i = 1,...,N (2.7)
d
dt (δxi)
N
∂Fi
= δxk(t) , ahol δ ˜xi(t) = xi − ˜xi (2.8)
∂xi
d(t) =
i=1
N
δ(xi(t))
i=1
2
1 2
xi=˜xk(t)
, (2.9)
azaz megmutatja, hogy egy dinamikai rendszert kezdetben közeli pontokból
indítva, hogyan változik a trajektóriák távolsága.
12

A maximális Ljapunov-exponenst definiáljuk a következő kifejezéssel:
1
λ = lim lim
t→∞ d(0)→0 t
d(t)
ln . (2.10)
d(0)
Ha λ > 0, akkor a rendszer kaotikus viselkedést mutathat. Az információnyerés
sebességéről a Kolmogorov-Sinai entrópia fogalma ad leírást:
ahol λ (+)
i
hKS =
i
λ (+)
i ≥ 0, (2.11)
a pozitív Ljapunov-exponenseket jelöli. A statisztikus fizikában
fontos, hogy az objektum mikroszkópikus mennyiségei alapján bevezetett
fogalmak hogyan kapcsolódnak a makroszkópikus tulajdonságokhoz, mint
termodinamikai határértékhez [53, 60].
2.2. Káosz Hamiltoni rendszerekben
A dinamikai rendszerek egy részét generálhatjuk Hamilton függvény segítsé-
gével, mely a tér és impulzus koordináták függvénye.
Például a Hénon-Heiles modellben:
H = 1
2 (p2 x + p 2 y) + x 2 y − 1
3 y3 . (2.12)
A kanonikusan konjugált változókat a Hamilton függvénnyel kifejezve, így
írhatjuk fel:
pi ˙ = − ∂H
∂qi
qi ˙ = ∂H
. (2.13)
∂pi
Adjuk meg a qi + νi, pi + ζi közeli trajektóriákat lineáris közelítésben. Ekkor
a módosított Hamilton függvény:
H ′
∂H ∂H
= H + ζj + νj . (2.14)
∂pj ∂qj
A kanonikus változók:
˙ζi = − ∂
∂H ∂H
ζj + νj , (2.15)
∂qi ∂pj ∂qj
13

˙νi = ∂
∂pi
H
ζj
pj
∂H
+ νj . (2.16)
∂qj
A mozgás egyenletet a következő alakban írhatjuk fel:
⎛
⎝ ˙ ζ
˙ν
⎞
⎠ =
⎛
⎝ −∂2 pqH −∂ 2 qH
∂ 2 pH ∂ 2 pqH
⎞ ⎛
⎠ ⎝ ζ
⎞
⎠ .
ν
(2.17)
Ha az ebben az egyenletben található stabilitás mátrixnak van legalább egy
pozitív sajátértéke, akkor a (ζ,ν) eltérés exponenciálisan nő és a rendszer
kaotikus. Ekkor Ljapunov spektrum sajátértékekkel kifejezve:
T
0
Li = lim
T →∞
Λi(t)dt
, i = 1,...,f, (2.18)
T
ahol f a szabadsági fokok száma, Λi(t) pedig a karakterisztikus egyenlet
megoldásai:
det[Λi(t)1 − M(t)] = 0. (2.19)
A diszkrét idejű Ljapunov spektrum:
L ′ i = 〈Λi〉 = 1
n
n
ln Λi(tj−1),
j=1
i = 1,...,f. (2.20)
Hamilton rendszerben az energia megmaradás miatt minden i-re Li = 0,
azaz Li = −Lf−i+1. Az integrálható Hamiltoni rendszerekben minden Li = 0.
A nemkaotikus konzervatív rendszerek, azaz az integrálható rendszerek
fázis terében a mozgás elliptikus pályákon és tóruszokon történik. Külső ε
nemperturbatív erő hatására kaotikus mozgás válik dominánsá a rendszeren,
mely a tóruszok felbomlásához vezet. Ennek feltételét fogalmazza meg a
KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser) elmélet:
Egy H0 Hamilton-függvénnyel leírt integrálható rendszeren végzünk per-
turbációt:
H( I, Q) = H0( I, Q) + εH1( I, Q). (2.21)
14

Ekkor az S generátorfüggvény alakja:
S( I, Q) = I ′ Q + iε
m=0
H1m( I)
m ω0( I) exp(im Q) + ..., (2.22)
ahol ω0( I) = ∂H0
∂ I és H1m a H1 Fourier együtthatóit jelöli:
H1( I, Q) =
H1m exp(im Q). (2.23)
m
A KAM elmélet szerint az S formális hatványsor minden olyan esetben
konvergál, amikor a frekvenciák aránya csak rosszul közelíthető meg ra-
cionális számmal.
15

3. fejezet
Fraktál struktúrák
3.1. Dimenzió
Az önhasonló objektumokra a legegyszerűbb példa a Cantor-halmaz, azon x
pontok összessége, melyeket felírhatjuk a következő alakban:
C =
x|x = 2 ∞ i=1si3 −i ,si = 0, 1
. (3.1)
Ez azt jelenti, hogy a [0,1] intervallum középső nyílt harmadát töröljük
és megismételve ezt az eljárást minden egyes részhalmazon, generáljuk a
Cantor-halmazt. Az eljárás n-edik lépésében a fennmaradó 2 n számú in-
tervallum hossza ε = 3 −n . Az n-edik lépésben keletkező részintervallumok
mindegyikét megjelölhetjük egy szimbólum sorozattal (s1,...,sn). (A fraktál
struktúrák nem feltétlenül származnak dinamikai rendszerekből.) Az előző
példában a megmaradó részintervallumokat különböző valószínűségi súllyal
választhatjuk ki, vagy az intervallumok hosszával arányos mennyiséggel is
beszorozhatjuk az n-edik felbontási szinten. A különös attraktorok vizsgá-
latának szokásos modellje a nemegyenletes Cantor-halmaz, melyet a követ-
kezőképpen hozunk létre: induljunk ki egységnyi hosszú szakaszból, a középső
részét töröljük és az r1 és r2 hosszú intervallumok fogják alkotni a halmazt.
Az eljárást iteráljuk minden egyes részintervallumon belül. Ráadásul azt is
17

megtehetjük, hogy különböző p1,p2 valószínűségi súlyfaktort (p1 + p2 = 1)
rendelünk a részintervallumokhoz minden egyes lépésben, tulajdonképpen
egy valószínűségi mértéket adunk meg. Így az eljárás n-edik szintjén az
ri 1r n−i
2 hosszú és pi 1p n−i
2 , 0 ≤ i ≤ n súlyú szakaszok száma
n
. Ha az
i
intervallumokat 2 helyett M részre bontjuk fel, az si szimbólumok értékei
[0,...,M −1] között változhatnak. Végül vegyük az így kapott valószínűségi
mértékek gyenge határértékét az Euklideszi terekben.
A szeparábilis metrikus tér dimLA topológiai dimenzióját vezessük be a
következő módon: Bármely Uγ,γ ∈ Γ nyílt lefedése A-nak, és létezik olyan
Vδ,δ ∈ ∆ nyílt lefedése A-nak, mely finomítása az első lefedésnek, (azaz
minden δ ∈ ∆ − hoz létezik γ ∈ Γ, hogy Vδ ⊂ Uγ) és melyre bármely N + 2
halmaz metszete üres: Vγ1
Vγ2 ... VγN+2 = 0, ahol γ1,...,γN+2 ∈ Γ
különbözőek. A dimLA mennyiséget Lebesgue vagy A lefedési dimenziójának
hívjuk. A dimenzió részletesebb tárgyalását lásd Hurewicz és Wallman (1948)
és Billingsley(1965) könyvében [6].
A Cantor-halmaz topológiai dimenziója DT = 0.
A dimenzió klasszikus megfogalmazása a következő: Egy korlátos A hal-
mazt fedjük le ε méretű boxokkal és a nem üres dobozok száma legyen N(ε).
Az A kapacitása:
ln N(ε,A)
dimKA = lim sup
ε→0 ln . (3.2)
1
ε
A gyakorlatban azonban a következő box vagy fraktál dimenziót használjuk
[2]:
D0 = − lim
ε→0
ln N(ε)
, (3.3)
ln ε
ahol a boxokat úgy kell választani, hogy minden egyes box tartalmazza a hal-
maz lehető legnagyobb részét anélkül, hogy átfednék egymást. A számítógé-
pes szimulációnál az infimumot nem mindig lehet megvalósítani, ezért egy fix
reguláris rácsot helyezünk az attraktorra, a rács lineáris mérete a = εn. A
(3.1) Cantor-halmaz esetén ekkor N(εn) = 2 n és εn = 3 −n , ebből következik,
18

hogy D0 = ln 2/ ln 3. Az Vγ(ε) = ε γ inf N(ε) általánosított térfogat beve-
zetésével, ha γ < D0, akkor Vγ(ε) tart ∞-hez, ha ε → 0; illetve, ha γ > D0,
akkor Vγ(ε) → 0.
Ezért a D0 box dimenziót (3.3) definiálhatjuk, mint az olyan γ-k infi-
muma, amelyre Vγ(ε) → ∞, ha ε → 0 esetén. Másik dimenzió fogalmat
Hausdorff [9] javasolta, εj átmérőjű halmazokat használt a lefedésre εj ≤ ε
feltétellel. Ekkor az A halmazról nem kell feltenni, hogy kompakt legyen,
lehet akármilyen metrikus tér.
Ekkor a Vγ(ε) helyett Vγ(ε) = inf
j ε γ
j-t vesszük, ahol az infimumot az
összes lefedésre tekintjük, melyre εj ≤ ε. Bár több példa is létezik, melyben
D0 = DH, a fizikában vizsgált kompakt halmazokra ez a két mennyiség
rendszerint egybeesik.
Az előbb definiált mennyiség több változatát javasolták, ezek azonban
csak kis mértékben térnek el egymástól [2]. A (3.3) box dimenzió a struktúra
gometriai tulajdonságaira utal és nem érzékeny a valószínűségi struktúrára.
A fraktál objektumot létre lehet hozni különböző eljárásokkal, amelyek
nem szükségszerűen kapcsolódnak a kaotikus tulajdonságokhoz. Ilyen struk-
túrákat vizsgálhatunk az invariáns mértékek skála tulajdonságainak formá-
jában, elhagyva az alapvető (2.1), (2.3) evolúciós törvényeket.
19

3.2. Multifraktál valószínűség eloszlás
Ha úgy írjuk le a fraktálokat, hogy egy ̺ mértékkel látjuk el őket, a dimenziót
úgy vezetjük be, mint ami leírja a mértékkel arányosan növekvő tömeget.
Jelöljük P(ε,x) =
B(ε,x) d̺(y)-nal az ε sugarú, x középpontú B(ε,x) gömböt,
mely P(ε,x) tömeget tartalmaz. Az α(x) pontonkénti dimenziót [7] a követ-
kező kifejezéssel definiáljuk:
α(x) = lim
ε→0 α(ε,x), ahol α(ε,x) =
ln P(ε,x)
ln ε
(3.4)
Ha α(x) függ az x helytől, akkor a fraktált nem-egyenletesnek hívjuk. Ezt
általában megkülönböztetjük a ”tömeg indextől” α(x,ε)-tól , melyet ugyan-
így definiálunk az ε → 0 kivételével. Az irodalomban a két mennyiséget
ugyanazzal a szimbólummal (3.4) szokás jelölni az egyszerűség kedvéért.
Megjegyezzük, hogy a P(ε,x) függvény nem sima általában. (A szakadás je-
lenléte problémát okozhat, bár a különös attraktoroknál csak a stabil sokaság
mentén jelenik meg, s az átlagolással a hatása elvész. Az ilyen szakadásokat
leíró mennyiségeket hívjuk ’lacunarity’-nak [2]).
A multifraktál spektrumot bevezethetjük a halmazon értelmezett való-
színűségi mérték felhasználásával. Legyen Gδ := G µ
δ
a δ élhosszúságú bo-
xok halmaza, melyeken µ(B) = 0 és legyen Nδ(α) azon boxok száma a Gδ
halmazban, melyek valószínűségi mértéke µ(B) ≥ δ α . Ekkor
f(α) = lim
ǫ→0 lim
δ→0
ahol ln(0) = −∞.
ln(Nδ(α + ǫ) − Nδ(α − ǫ))
, (3.5)
− ln δ
A dimenzió globális becslését megadva, α(xi) pontszerű dimenziónak ki
kell alakítani egy alkalmas átlagát. A D(q) átalánosított (Rényi) dimenziót
a következő képpen definiáljuk [10, 11, 12]:
D(q) = 1
q − 1 lim
ε→0
ln
i P q
i (ε)
, q ≥ 0, (3.6)
ln ε
ahol szabályos ε méretű boxokat helyezünk az objektumra és Pi(ε) az i-edik
box tömege. Ez a boxcounting eljárás. A (3.6) egyenlet felhasználásával
20

q = 0 esetén az összeg a nemüres boxok N(ε) számára redukálódik és visz-
szakapjuk az eredeti (3.3) kifejezést. Ha q → 1 a D(1) Shanon információt
[13] kapjuk, azaz a −
i Pi(ε) lnPi(ε) és a − ln ε arányát, ezt hívjuk információs
dimenziónak. A D(2) az úgynevezett korrelációs dimenzió [14].
A D(q) függvény monoton nem növekvő, nagy q értékek kiemelik a nagy P
tömegek relatív hozzájárulását, a q → ∞ határeset adja a legkisebb pont-
szerű dimenzióját a halmaznak (mely megfelel a legsűrűbben ”látogatott tar-
tománynak”). DH Hausdorff dimenzió D(1) és D0 között fekszik (D0 ≥
DH ≥ D(1)). Az egyenletes fraktálok D(q) dimenzió függvénye nem függ q-
tól. A nemegyenletes Cantor-halmaz több dimenziós kiterjesztésénél implicit
összefüggés kapható D(q)-ra, mely tartalmazza az összehúzódás mértékét és
a valószínűségi súlyokat [12]. Az egységnyi élű E dimenziós hiperkockát és
az egységnyi mértéket felosztjuk M részre, melyek mérete rj (j = 1,...,M)
és tömege pj ( M j=1 pj = 1). A következő lépésben minden részintervallumot
tovább osztunk M részhalmazra és mindegyik esetben a mértéket csökkent-
jük pj faktorral, a méretet rj tényezővel. Ez a modell szigorúan önha-
sonló izotróp (minden koordináta tengely mentén ugyanazt az öszszehúzódási
mértéket használjuk). Lefedjük a halmazt ε méretű boxokból álló ráccsal,
ε ≪ min{rj,j = 1,...,M}, összeget (3.6)-be helyettesítve:
N(ε)
i=1
P q
j (ε) =
P q
j (ε) +
(1)
(2)
P q
j (ε) + ... +
(M)
P q
j (ε), (3.7)
ahol j jelöli a fraktál j-edik részhalmazát (a Cantor-halmaz konstrukció
első lépésénél). A
(j) Pi = pj jelenti az össz tömeget a j-edik boxban.
Belátható, hogy a j-edik részhalmaz struktúrája ugyanolyan, mint a tel-
jes egységnyi hiperkocka átskálázva egy rj faktorral. (3.7) egyszerűsítve:
ε (q−1)D(q) = M j=1 p q
j(εr −1
j ) (q−1)D(q) , ahol felhasználtuk D(q) (3.6) definícióját.
Az egyszerűsítéssel az önhasonlóság feltétele[12], adódik:
M
j=1
p q
jr (1−q)D(q)
j = 1 (3.8)
21

Ez az egyenlet impliciten tartalmazza D(q)-t, és expliciten csak a D(1) in-
formációs kifejezést lehet megkapni. A q → 0 határesetben a kifejezés függet-
lenné válik a pj súlytól a box dimenzióval összhangban. Ha a fraktál egyenle-
tes, a tömeg a következőképpen skálázódik: pj = r D j . Ugyanazzal a pontszerű
D dimenzióval mindenhol az (3.8) egyenletet megoldva a D(q) = D-t kapjuk
(azaz a dimenziófüggvény konstans).
Általánosabban a rekurzív eljárás első lépésénél definiáljuk a partíciós függ-
vényt [32]:
Z(q,τ,r) =
M
j=1
p q
j
rτ , (3.9)
j
ahol r maximuma rj-nek és meghatározzuk az r paramétert. A következő
szinten az új partíciós függvény:
Z(q,τ,r 2 ) =
M
i,j=1
(pipj) q
(rirj) τ = Z2 (q,τ). (3.10)
Az exponenciális viselkedésnek köszönhetően Z-re az iterációk során a követ-
kező összefüggést kapjuk:
Z(q,τ,r n ) = Z n (q,τ,r). (3.11)
Ha a fraktál nem szigorúan önhasonló, ez az összefüggés csak aszimptoti-
kusan igaz és nem mint egy egzakt egyenlet az egyes lépésekben. Végül
n → ∞ esetén ez a partíciós függvény egységnyi lesz, amikor τ = (q−1)D(q).
Továbbá, mivel Z(q,τ,r) monoton nem növő q szerint és nem csökkenő τ
szerint, belátható, hogy a τ(q) függvény létezik [32]:
⎧
⎨ ∞, ha τ > τ(q),
lim Z(q,τ,r) =
r→0 ⎩ 0, ha τ < τ(q).
(3.12)
Ez a Hausdorff dimenzió általánosítása. A τ = τ(q) esetén a határérték le-
het 0, véges vagy végtelen is. Általában az rj arány és a pj súly aktuális
választása nem ismert. Válasszuk a felbontást úgy, hogy M gömbökkel
fedjük le az objektumot, melynek mérete εj < ε és a kiszámítjuk a pj
22

gyakoriságot. A τ értékét meghatározzuk ε → 0 esetén (M → ∞). Ha
véges M-t választunk a partíciónak (azaz εj is véges), azt kapjuk, hogy a
Z(q,τ(q),ε) = 1, ami nem más mint a generátor. Az előző definíciókat
átalakítva, úgy, hogy minden egyes nem üres boxra átfogalmazzuk az összeget
a megfelelő átlaggal történő helyettesítésre
i P q
i = 〈P (q−1) 〉. A partíciós
függvény a következő alakra hozható [32, 33]:
(q−1) P
Z(q,τ,ε) =
ετ
, (3.13)
ahol εj ≤ ε méretű gömböket használunk és Pj = P(εj) tömeget választunk
véletlenszerűen a ̺ természetes mérték szerint (nem a Lebesgue-mérték).
Tetszőleges Q mennyiségre definiálhatjuk a nem üres boxokon a 〈Q〉 átlagot,
amit közelíthetünk a 〈Q〉 =
i PiQi kifejezéssel.
3.3. Invariáns valószínűségi mérték
A statisztikus fizikában alapvető fontosságú az a feltevés, miszerint a rendszer
elég hosszú idő alatt felveszi az adott makroállapotnak megfelelő valameny-
nyi mikroállapotot. Ezt a két középérték egyenlőségét jelentő hipotézist, me-
lyet Boltzman vezetett be 1871-ben ergod-hipotézisnek nevezzük. Az állítás
szigorú matematikai bizonyítása azóta sem ismert. Azt a gyengébb állítást,
hogy a rendszer minden mikroállapotnak tetszőleges közelébe jut, sikerült bi-
zonyítani. Ha ismerjük azt a valószínűség eloszlást, mellyel a vizsgált rend-
szer az adott feltételek mellett a lehetséges mikroállapotait felveszi, ennek
ismeretében kiszámíthatjuk a rendszerre vonatkozó különféle fizikai meny-
nyiségek középértékeit.
A dinamikai rendszerek hosszú idejű viselkedésének analízisét az ergod-
elmélet keretein belül alakították ki, azaz alkalmas tér átlag ekvivalens a
megfelelő idő intervallumra történő átlagolásával, ami akkor teljesül, ha a ρ
valószínűségisúly eleget tesz a következő invariancia feltételnek:
ρ[G −n (U)] = ρ(U) (n > 0), (3.14)
23

ahol U a fázistér részhalmaza és G −n (U) az U n-edik előképe [1]. Több in-
variáns mértéket is be lehet vezetni egy dinamikai rendszeren, de nem mind-
nek van fizikai jelentősége. A dolgozatban két különböző mértéket fogunk
használni, az úgynevezett ”természetes” [7] vagy ”fizikai” [1] mértéket és a
”geometriai” [8] mértéket. Ha a fizikai mértékről feltesszük, hogy nem csak
invariáns, hanem ergodikus is, akkor teljesül a következő egyenletet:
1
〈A〉 ≡ lim
T →∞ T
T
0
A[x(t)]dt = A(x)̺(d E x), (3.15)
ahol A[x(t)] folytonos függvény és d E x térfogat elem az x fázistérbeli pont
környezetében. Itt x(t)-vel jelöljük a fázistér egy pontját a t időpillanat-
ban, mely az eredeti (2.1) egyenlet megoldása az x(0) kezdeti feltétellel, amit
véletlenszerűen választunk a ̺ értékétől függően (úgy hogy nulla valószínű-
séget rendelünk a periódikus pályákhoz). A ̺(x) mértéket kifejezhetjük a δ
függvény időre történő átlagával:
1
̺(x) = lim
T →∞ T
T
0
δ(x − x(t))dt. (3.16)
Más pontosabb definíciót is megadhatunk a mértékre a dinamikai rendszerek
esetén. Fontos követelmény az instabil irányok mentén a simaság. Az ilyen
mértékeket SRB (Sinai, Ruelle, Bowen) mértéknek hívjuk, ez rendszerint
megfelel a fizikai mértéknek [1]. Míg a simaság fennáll az instabil irányok
mentén, addig a mérték erősen szinguláris a transzverzális irányokba. Például
a Hénon leképzés esetén a = 2, b = 0 paraméterérték mellett (logisztikus
leképezés) a ̺(x) valószínűségi mérték analitikusan is meghatározható:
̺(x) =
1
π √ 1 − x 2
. (3.17)
Erősen szinguláris eset a nem egyenletes Cantor-halmaz, melyet a követ-
kező részben fogunk használni. Mint ismert, ez a struktúra önhasonló tulaj-
donsággal rendelkezik. Az ilyen eloszlásokat fraktál mértéknek fogjuk hívni.
A dinamikai rendszerekben a multifraktál dimenziókat ezzel a természetes
mértékkel érdemes kiszámítani.
24

3.4. Metrikus entrópiák
Eddig a ̺ fraktál mérték skála viselkedését vizsgáltuk, ami ε felbontás függ-
vénye. A pontonkénti dimenzió α(x) segítségével megfogalmazható az in-
formáció fogalma I(ε) = − ln P(ε,x) ∼ −α(x) ln ε.
Dinamikai rendszerek esetén az időbeli viselkedést a metrikus entrópiával
lehet jellemezni, mely szekvenciális mérésre utal, azaz egy trajektória vizsgá-
latának sorozatára (folytonos és diszkrét dinamikai rendszerekre egyaránt).
Diszkrét dinamikai rendszereket (2.3) vizsgálva, a leképezés szigorúan deter-
minisztikus: ha megadjuk az x0 kezdeti feltételt végtelen pontossággal, az
xi = G i (x0) trajektória egyértelműen meg van határozva. Tegyük fel, hogy a
rendszert véges felbontás mellett vizsgáljuk, azaz a A fázisteret partícionáljuk
M diszjunkt részhalmazra Bj(mérete εj), úgy hogy A =
j Bj minden egyes
(xi|i = 1,...,n) trajektóriához egy Sn = (si,i = 1,...,n) szimbólum sorozat
rendelhető (véges n-re, Sn jelöl egy szót). Az si ∈ [1,M] jelzi a partíciós ele-
mek indexét, melyekben a trajektória tartózkodott az i-edik időpillanatban.
A szimbólumok sorrendje az (si,i = 1,...,n) szóban fontos, nem úgy, mint
a fraktál dimenzió esetén: különböző dinamikai rendszerek rendelkezhetnek
ugyanazon invariáns mértékkel, míg nagyon eltérő az időfejlődésük. Legyen
adva egy x0 kezdeti feltétellel a Bs0 halmaz, melynek képe az n-edik idő pil-
lanatban G n Bs0. Ha a trajektóriák exponenciálisan divergálnak egymástól,
ekkor az G n Bs0 a fázistér kiterjedt részhalmaza lehet. Így Gn Bs0 -nak a Bj
halmazzal való metszete számos j indexre nem üres, amiből következik, hogy
a kezdeti feltétel bizonytalansága nő az időfejlődés során. Annak a feltételes
valószínűsége, hogy az n-edik idő pillanatban a Bk részhalmazban vagyunk,
feltéve, hogy tudjuk, hogy a Bj-ben volt [15]:
P(k,n|j) = ̺(G n Bj
Bk)/̺(Bj), (3.18)
ahol ̺ az invariáns mérték. A ̺(Bj) tömeg ugyanaz, mint ̺(GnBj) kapjuk:
⎧
⎨ 1, ha j = k,
P(k, 0|j) =
(3.19)
⎩ 0, ha j = k.
25

Keverő rendszerre
lim
n→∞ P(k,n|j) = ̺(Bk), (3.20)
azaz a kezdeti Bj halmaz képe lefedi a teljes attraktort és nem marad kor-
reláció a végső és a kezdeti elemek közt. A metrikus entrópiát úgy tekint-
hetjük, mint az információ keletkezés mértékét [1]. Ennek köszönhetően
nagy pontosságot használunk a mérési sorozat lokalizálására. Ha a szim-
bólum sorozat a (j,k,...) akkor, a rendszer az i = 0 időpillanatban a Bj-
ben van, az i = 1 időpillanatban a Bk-ban van, ezért az i = 0 időpont
az G−1Bk tartományon belül kell legyen. Csak azok a kezdeti feltételek
−1 eredményezhetik a (j,k,...) sorozatot, mely a Bj G Bk-hoz tartoznak
(mely Bj részhalmaza). Ha a kezdeti feltétel elfogadható, korlátozódjunk
az i = 0, 1 időpillanatokban végzett vizsgálatokra és információt nyerhetünk
az egyetlen ismert x0 ∈ Bj-ről. Egy Sn szót, mely n szimbólumból áll,
n-et növelve egyre kisebb és kisebb halmazokhoz rendeljük, mivel egyre ke-
vesebb kezdeti feltétel fog olyan pályákat eredményezni, melyek ugyanazt a
Bs1 → Bs2 → ... → Bsn sorozatot alkothat.
G(x0) ∈ Bsi , ∀i = 1,...,n ⇔ x0 ∈
n
i=1
G −i Bsi . (3.21)
Ha egy végtelen sorozatnak (n → ∞) individuális egyedi pontok felelnek meg
(és nem kicsi, de véges halmazok), a partíciót generáló partíciónak hívjuk.
Ekkor igaz az, hogy a generáló partíció esetén minden S∞ szimbólum soro-
zathoz legfeljebb egy kezdeti feltétel tartozik. Egy szó akkor fogadható el,
ha megfeleltethető legalább egy pontnak (amin a természetes mérték nem
nulla). Minél nagyobb a megengedett szavak száma a rendszer annál komp-
lexebb. Ezért a fraktál dimenzió (3.3) analógiájára egy dinamikai rendszer
komplexitásának a fokát megbecsülhetjük az n hosszú lehetséges sorozatok
számának aszimptotikus viselkedésével, ha n → ∞. Partíciók metszetét
A = {Al, 1 ≤ l ≤ L} és B = {Bm, 1 ≤ m ≤ M} definiáljuk a következő
módon: A
B = {Al Bm, 1 ≤ l ≤ L, 1 ≤ m ≤ M}. Ha A a B inverz
26

képeinek a halmaza az A B metszetét hívjuk B finomításának. Legyen
B n =
n−1
i=0
G −i B. (3.22)
A B n minden egyes nemüres eleme azokat a a kezdeti feltételeket tartal-
mazza, melyek ugyanazt az n hosszú szót eredményezik. N(B n )-nel jelöljük
az elfogadható szavak számát (azaz B n nem üres részhalmazainak számát).
Az G-nek B lefedésére vonatkozó topológiai entrópiája:
h(G|B) = lim
n→∞
Az G leképezés topológiai entrópiája:
ln N(Bn )
. (3.23)
n
h(G) = suph(G|B).
(3.24)
B
A szuprémumot az összes lehetséges B felosztásra vesszük. Ha B generáló
partíció akkor h(G) = h(G|B). Egy B generáló partíció bármely finomítása is
generáló. A dinamikai rendszerek megoldása kaotikus, ha h > 0 ( a szabályos
mozgás h = 0 a tisztán sztochasztikus pedig h = ∞). Ha megtaláltuk a
generáló partíciót az Sn szimbólum sorozat az (un. szimbolikus dinamika)
vizsgálata ekvivalens a valódi trajektóriák analízisével, és úgy alkalmas a
mozgás dinamikai összetettségének jellemzésére. Az G leképezés hatását úgy
írhatjuk le a fázistérben, hogy a szimbólumokat léptetjük a hozzá kapcsolódó
”szavak” terében:
xi → xi+1 ⇒ (...,si−1,si,si+1,...) → (...,si,si+1,si+2,...), (3.25)
azaz az aktuális időpontot elmozdította egy hellyel jobbra a szimbólumsoro-
zatban.
Tekintsünk egy példát Lozi-leképezést [4, 5] definiáljuk a következő kife-
jezéssel[3]:
xn+1 = 1 − a|xn| + byn,
yn+1 = xn. (3.26)
27

y
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 100 200 300 400 500
x
600 700 800 900 1000
3.1. ábra. Lozi-leképezés attraktora az a = 1.7, b = 0.5 paraméterekkel. Az
iteráció kezdőpontja x = 0.3, y = 0.3, az iterációk száma 2.5 × 10 6 .
Ebben az esetben (bináris) generáló partíciót kapunk, elmetszve az x
tengelyt az x = 0-nál. A trajektóriát leképezzük a 0-k (x < 0) és 1-ek
(x > 0) sorozatára. Nem mindegyik sorozat érhető el és a különböző szavak
is eltérő valószínűséggel fordulnak elő, kivéve ha a kontroll paraméter értéke
a = 2.
Általában nem létezik ilyen egyszerű módszer, mellyel a generáló
partíciót létrehozhatjuk [45, 46].
A topológiai entrópia a box dimenzió (3.3) dinamikai analogonja és ugyan-
így nem függ az egyes szimbólum sorozatok megjelenésének gyakoriságától.
Ezért a korábbi fejezethez hasonlóan az általánosított entrópia esetére a sza-
vak valószínűség eloszlását kell leírni a pályák terében a következő módon:
P (s0,...,sn−1) = ̺
Bs0,...,sn−1 =
= ̺
Bs0 ∩ G −1 Bs1 ∩ ... ∩ G −n+1
Bsn−1 , (3.27)
ahol ̺ az invariáns mérték. Ebből következik, hogy a P(s0,...,sn−1) valószí-
nűség vizsgálata azt jelenti, hogy megadjuk az (s0,s1,...,sn−1) trajektóriákat
a tömeg segítségével, melyek tartalmazzák a kezdeti feltételek Bs0,s1,...,sn−1
halmazát, amivel generálhatjuk a trajektóriák n hosszú részsorozatát. Azon
28

pályák halmazát, melyek első n szimbólumai egybeesnek, n-cilindernek hívjuk.
Az általánosított metrikus entrópiát h(q)-t a következő módon definiáljuk:
h(q) = sup
B
1 1
ln P
n 1 − q q (Sn), (3.28)
Sn
ahol az összegzést az összes megengedett Sn sorozatra végezzük. A q → 0
határátmenet esetén a topológiai entrópia definícióját nyerjük vissza, míg a
h(1) metrikus entrópia Kolmogorov szerinti értelemben. Ha nem ismerjük
a generáló partíciót, mint a kísérletek ill. a komputer szimulációk esetén
legtöbbször: osszuk fel a teret boxokra vagy gömbökre, melyek mérete εj ≤ ε
(bár rendszerint mindegyik mérete azonos) és közelítjük a metrikus entrópiát
az alábbi mennyiséggel:
1
K(q) = lim lim
ε→0 n→∞
1
ln P
n 1 − q q (Sn). (3.29)
Sn
(A generáló partícióhoz az ε → 0 határérték nem szükséges.) Az előző két
definícióban (3.28),(3.29) a különbség csak a partíció választásában van. A
P(Sn) valószínűséget értelmezzük a következőképpen:
Ágyazzuk be a pályát
(xi) egy E × n dimenziós térbe, a pontokat írjuk fel a következő módon:
Xi(n) = (xi,xi+1,...,xi+n−1), (3.30)
ahol n jelöli a pálya hosszát. Ekkor minden Yj(n), mely az Xi(n) ponttól ε-
nál kisebb távolságon belül fekszik a beágyazási térben megfelel egy ε sugarú
hengernek a trajektóriák terében. Azaz a P(ε,Xi(n)) valószínűség kifejezi
azt, hogy egy Yj(n) pont a beágyazási térben Xi(n)-től ε távolságon belül
helyezkedik el, azaz a trajektória (3.30) megfelelő részét ε-nál nagyobb pon-
tossággal határozza meg. Ekkor kifejezhetjük a (3.29) egyenlet referencia
pontokon vett átlagát [16]:
1
K(q) = lim lim
ε→0 n→∞
1
n 1 − q
ahol a súlyt P(ε,Xi(n))-nel jelöljük.
ln
P (q−1) (ε,Xi(n))
, (3.31)
29

Látni fogjuk, hogy a metrikus entrópia hogyan kapcsolódik a fraktál di-
menzióhoz a trajektóriák terében [15]. Mind a fraktál dimenzió és a metrikus
entrópia invariáns a koordináta transzfomációkkal szemben. A D(q) metri-
kus entrópia egybeesik az előzőleg definiált h(q)-val az alkalmasan választott
”pályák” terében [15].
Mint említettük a statisztikus fizika fogalmaihoz megfelelő makroszkópikus
mennyiségeket rendelhetünk. Az ebben a fejezetben bevezetett D(q) általá-
nosított entrópia, K(q) általánosított entrópia, α(x) pontonkénti dimenziót,
multifraktál spektrum f(α) mennyiségekhez felhasználva a termodinamikai
analógiát, bevezethetjük az alkalmas termodinamikai mennyiségeket [53, 60].
3.5. Dinamikai fázisátalakulások Hamiltoni
rendszerekben
Eddig disszipatív rendszerekkel foglalkoztunk, és vizsgáltuk azok fraktál szer-
kezetét, illetve a mérési sorozatokból származtatható q-ad rendű Rényi-entró-
piát. Ebben a fejezetben a Hamiltoni rendszerek leírásával, illetve a di-
namikai fázisátalakulásokkal foglalkozunk. A Hamiltoni rendszereknek egy
speciális esete a konzervatív rendszerek. Ezek egy része szintén kaotikus vi-
selkedést mutat. Az N = 1 szabadsági fokú konzervatív rendszerek mindig
integrálhatók, mivel 2N −1 = N. Tehát a káosz a kialakulásához konzervatív
rendszereknél egynél több szabadsági fokra van szükség és arra, hogy a rend-
szer ne legyen integrálható. Mivel a Hamiltoni rendszerekben a fázistérfogat
állandó, azaz a J Jacobi determináns abszolút értéke 1, nem alakul ki att-
raktor.
Integrálható rendszerekben a kaotikus mozgás kialakulása legegyszerűbben
perturbációk segítségével érhető el, például a periódikusan gerjesztett harmo-
nikus oszcillátor esetén [34].
Az n-szabadsági fokú integrálható rendszerek Hamiltoni-függvényét ka-
nonikus transzformációval felírhatjuk szög- és hatásváltozókat tartalmazó ki-
30

fejezéssel. Az integrálható rendszerek 2n dimenziós fázisterében, tetszőleges
kezdeti feltételek esetén a mozgás korlátos, n-dimenziós tóruszon történik,
melynek két dimenziós esetben a Poincaré-metszete zárt görbe. Külső per-
turbációk esetén azonban, az invariáns tóruszok egy része eltűnik, de léteznek
olyan tóruszok is, melyek továbbra is fennmaradnak.
Mint, ahogy a káosz bevezetésénél említettük, a KAM tétel [34] egy
feltételt határoz meg az invariáns tóruszok deformációjára, külső perturbáció
esetén: A perturbációszámítás segítségével előállított hatványsor konver-
gens, ha a frekvenciák aránya rosszul közelíthető racionális számokkal. Két
szabadsági fokú rendszereknél ez a következő formában fogalmazható meg :
Létezik olyan K(ε) szám, melyre
σ − r
>
s
K(ε)
s2.5 (bármely r,s egész szám esetén), ahol σ = ω1
ω2
,(3.32)
itt ω1 és ω2 a Hamilton függvény hatásváltozó szerinti parciális deriváltjai. A
K(ε) a perturbáció erősségétől függő érték és ε → 0 határértékben K(ε) → 0.
Két szabadsági fokú diszkrét leképezések segítségével a KAM tételt a
következő alakban fogalmazhatjuk meg:
Vizsgáljunk egy két szabadsági fokú konzervatív rendszert! Ha a rendszer
integrálható, a Poincaré-metszete zárt görbe lesz, ez megadható a sík pont-
jainak egy egyszerű transzformációjával, mely az origó körüli forgatást írja
le az origótól mért távolság függvényében :
In+1 = In,
Φn+1 = Φn + 2πσ(In). (3.33)
Az (3.33) leképezés tóruszt ír le, ahol a σ = ω1
ω2
frekvenciaarány az un.
csavarási szög. Ha σ racionális szám, akkor a (3.33) iteráció tetszőleges
kezdőfeltétel esetén zárt görbét ad meg a fázistérben, mely egy véges ciklust
ír le. Ha azonban σ irracionális, akkor a (3.33) leképezés által meghatározott
a görbe nem tér vissza önmagába és hosszú idő után egy felületdarabot jár
be, ami a fázistérben az invariáns tóruszon történő mozgásnak felel meg.
31

Ekkor a KAM tétel szerint, az integrálható rendszerek Poincaré-leképe-
zésének azon invariáns görbéi (KAM tóruszai) nem tűnnek el a perturbáció
során, amelyekre teljesül a (3.32) feltétel, azaz a σ csavarási szám nehe-
zen közelíthető racionális számokkal. A perturbáció ε csökkenésével K(ε) is
nullához tart, azaz növekvő sűrűséggel helyezkednek el a tóruszok a fázistérben.
Ha azonban ε nő, egyre több KAM tórusz tűnik el és a köztük levő kaotikus
sávok kiszélesednek és mindig maradnak reguláris tartományok, melyeknek
belsejébe soha nem juthat el a fázispont. Minden KAM felületre megadható
egy kontrollparaméter érték, melynél nagyobb perturbáció esetén a felület
eltűnik.
3.5.1. A Rényi-entrópia viselkedése fázisátalakulások
során
A Hamiltoni rendszerek fázisterében tipikus esetben a kaotikus és reguláris
tartományok egyszerre vannak jelen. A kaotikus trajektória egy reguláris szi-
get közelébe érve szabályos mozgást végez egy ideig, ami kritikus lelassulást
eredményez a rendszer dinamikai viselkedésében. Ezt a jelenséget az inter-
mittens mozgás okozza, melynek következtében fázisátalakulás jelenik meg
a K(q) Rényi-entrópia spektrumában. Számos esetben tapasztaltak hasonló
viselkedést a K(q) függvényben [37, 38, 39, 40].
A dinamikai fázisátalakulás létezésére Hamiltoni rendszerekben algebrai
bizonyítást a [41] irodalom nyújt: Belátva a Rényi-entrópiára, hogy q > 1
esetén a K(q) = 0-vá válik, míg a Kolmogorov-Sinai entrópia általában véve
nem nulla, ami szakadást eredményez a K(q) spektrumában, q = 1 + 0-nál.
Ennek numerikus vizsgálatát a 4.5 fejezetben mutatjuk be.
Alapvető szerepet játszanak a fázisátalakulás létrejöttében, hogy a re-
guláris tartományok határai KAM görbék, melyeket instabil periódikus pályák
vesznek körül és a Ljapunov-exponensük a nullához tart, ha periódusuk
közelít a végtelenhez. Ez annak köszönhető, hogy egy KAM görbe akkor
tűnik el, ha a szomszédos pályák elvesztik stabilitásukat [48].
32

A továbbiakban kétdimenziós leképezésekkel foglalkozunk, de megjegyez-
zük, hogy magasabb dimenziós esetekre is kiterjeszthetőek az eredmények.
Legyen r j+1 = G(r j) egy Hamiltoni leképezés, j = 1, 2, 3..., és tanulmányoz-
zuk a mozgás tulajdonságait egy adott kaotikus rendszeren! Válasszunk egy
partíciót a fázistérben, a cella szélessége: ε. Az n hosszúságú pályák szimbó-
lumsorozata I = (i1,i2,...in), ahol ij jelenti azt a cellát, ahol a részecske
tartózkodott a j-edik időpillanatban. S(I)-vel jelöljük a pályák kezdőpontja-
inak halmazát, melyek az I szimbólum sorozattal rendelkeznek. Mindegyik
I szimbólum sorozathoz tartozik egy cilinder halmaz:
S(i1...in) = Bi1 ∩ G −1 (Bi2) ∩ ... ∩ G −(n−1) (Bin), (3.34)
ahol Bi a partíció i-edik cellája, G −t (Bi) a Bi cellának t-edik előképe. A
µ(S(I)) valószínűségi mérték kifejezi annak valószínűségét, hogy n hosszúságú
I szimbólum sorozatot kapunk a mérés során.
A Rényi-entrópiát definiáljuk a következő módon:
1 1
K(q) = lim lim
ε→0 n→∞ 1 − q n ln
⎡
⎣
(µ(S(i1...in))) q
⎤
⎦, q = 1, (3.35)
ahol −∞ < q < ∞ közt változik.
i1..in
Az összegzést a nem nulla valószínűséggel rendelkező szimbólum soroza-
tokra értelmezzük. Az n0 periódusú, instabil periódikus pálya hossza n =
lN0.
I = (In0) l = (i1...in0) l = (i1..in0)(i1..in0)...(i1..in0) , n = ln0. (3.36)
A kaotikus terület általunk vizsgált részét jelöljük A-val. Jelentse mn(˜r)
egy olyan n hosszúságú pálya instabil irány mentén történő kiterjedésének
mértékét, mely ˜r-ből indul és I szimbólumsorozattal rendelkezik. Mivel a
valószínűségeloszlás egy Hamiltoni rendszer fázisterének kaotikus tartományán
egyenletes,
µ(S(I)) = ε2
A m−1
n (r). (3.37)
33

Megadva egy alsó korlátot a µ(S((i1...in0) l )) kifejezésnek és felhasználva a
Rényi entrópia definícióját (3.35), a K(q)-ra egy felső korlátot kaphatunk
q > 1 esetén [41]:
K(q) ≤ q 1
ln(mn0(r
q − 1 n0
∗ 1 + η)), (3.38)
ahol r∗ 1 a leképezés fixpontja. Az η → 0 határértéket képezve,
0 ≤ K(q) ≤ q
q − 1 λp(n0) (3.39)
adódik, ahol λp valamely instabil periódikus pálya Ljapunov-exponense. Mi-
vel λp tetszőlegesen megközelítheti a nullát, ezért kiválaszthatunk egy insta-
bil periódikus pályát, melynek Ljapunov-exponense tetszőlegesen kicsi így
q ≥ 1 esetén K(q) = 0. (3.40)
A numerikusan kétdimenziós leképezések esetén vizsgáltuk a K(q) Rényi-
entrópia fázisátalakulásának létezését, a standard leképezés és a szakaszonként-
lineáris leképezés esetében.
3.5.2. Kétdimenziós leképezések Hamiltoni rendsze-
rekben
A síkbeli területtartó transzformációk jellegzetessége, hogy egyidejűleg létez-
hetnek kaotikus és reguláris tartományok, melyek egymásba fonódó bonyolult
struktúrát alkotnak.
Standard leképezés és szakaszonként-lineáris leképezés
Standard leképezés:
Az egy paraméterrel leírható leképezések családjába tartozó standard
leképezés a Chirikov-Taylor leképezés [43], mely a következő alakú:
xn+1 = xn + k
2π sin(2πyn) mod 1 , (3.41)
yn+1 = yn + xn+1 mod 1 .
34

Ez a leképezés jól alkalmazható a zárt homogén mágneses térben töltött
részecskék valamint felső holtpontból indított periódikusan gerjesztett inga
mozgásának leírására.
A standard leképezést sokféle szempontból vizsgálták numerikus eszközök-
kel [43, 44, 45, 47]. Meghatározták a k perturbációs paraméter függvényében,
hány N lépés után jut el az x0 = 0,y0 = 0 instabil fixpontból k > 0 esetén
a rendszer az x = π koordinátájú pontok közelébe. Azt tapasztalták, hogy k
növelésével a lépések N(k) száma meredeken csökken a k > 1 tartományban,
ha azonban a k < 1, a rendszer soha sem jut el az x = π pont környezetébe
[43].
Szakaszonként-lineáris leképezés:
Vizsgáljuk a szakaszonként-lineáris leképezés esetét:
xn+1 = xn + 2k
π (|yn − 0.5| − 0.25) mod 1, (3.42)
yn+1 = yn + xn+1 mod 1.
A leképezésre jellemző, hogy a reguláris tartományokon belül koncentrikus
ellipszisek alakulnak ki a fixpont körül, melyek a kaotikus tartományba van-
nak beágyazódva. A legkülső ellipszis által határolt területeken belül a
mozgás szabályos, az ellipszis alakú pályák koncentrikusan helyezkednek el
egymáshoz képest. Numerikus szimulációk tapasztalata alapján a fázispont
mozgásának jellegzetes viselkedése Hamiltoni rendszerekben az, hogy időnként
a reguláris tartományt határoló külső ellipszis pálya mentén szabályos mozgást
végez. Megemlítjük, hogy a szakaszonként-lineáris leképezés az abszolut
érték leképezések csoportjába tartozik, melynek egy tipikus példája a kon-
zervatív Lozi-leképezés [42].
35

4. fejezet
Numerikus módszerek
A fizikai objektumok Rényi dimenziójának és Kolmogorov-Sinai entrópiájá-
nak numerikus meghatározására bevezetjük a sandbox módszert. Összeha-
sonlítjuk a már ismert boxcounting eljárással, majd meghatározzuk a különös
attraktorok (Hénon és Lozi) szerkezetét ill. dinamikai tulajdonságait jellemző
D(q) és K(q) mennyiségeket. Végül bemutatjuk a sandbox módszer olyan
alkalmazásait, mely széleskörben használta az általunk bevezetett eljárást.
Először bevezetjük a geometriai multifraktál spektrumot önhasonló ob-
jektumokon ([8]).
4.1. Geometriai multifraktál spektrum
önhasonló struktúrákon
Vizsgáljunk olyan objektumot, melyen a valószínűség eloszlás egyenletes:
⎧
⎨
P(Ba) =
⎩
1
M0 , ha ρ(Ba) = 0,
0, ha ρ(Ba) = 0,
ahol a jelöli az objektum felbontását és M0 a halmaz összes olyan boxainak
számát, amelyekre ρ(Ba) = 0. M0-t a vizsgált halmaz tömegének nevezzük
és egy mérték rendszeren.
37

Fektessünk l oldalú négyzetekből álló rácsot a klaszterre, ahol a ≤ l ≤ L
(L az objektum lineáris mérete). Definiáljuk az α tömegindexet:
M(l) ∼ M0
α l
, ha
L
l
L
→ 0. (4.1)
Jelölje N(α) az α tömegindexű négyzetek számát. Ezen négyzetek közép-
pontjai f(α) dimenziójú fraktált alkotnak:
N(α) ∼
−f(α) l
. (4.2)
L
Ekkor, ha létezik a különböző tömegindexek halmaza, az önhasonló struk-
túrákat geometriai multifraktáloknak nevezzük, ahol f(α) jelöli a halmaz
geometriai multifraktál spektrumát.
Az általánosított dimenzió, melyet korábban már definiáltunk, a követ-
kező skála összefüggésnek tesz eleget:
i
M q
i ∼ M q
(q−1)D(q)
l
0 , (4.3)
L
ahol Pi = Mi/M0 a halmazon bevezetett valószínűségi mérték.
4.2. D(q) meghatározásának numerikus
módszerei
Az általánosított dimenzió meghatározásához bevezetjük a sandbox módszert
[49], melyet összehasonlítunk a boxcounting eljárással.
4.2.1. Sandbox eljárás
Geometriai multifraktál eloszlás
Vizsgáljuk a halmazon elhelyezkedő adott középpontú R sugarú környezetét,
melynek tömege M(R). Helyezzük el az R sugarú sandboxok centrumát az
38

objektum egy tetszőleges pontjába, az ln
M0 / ln M(R)
L mennyiség a cent-
R
rum halmazon elfoglalt helyére jellemző tömegindexet adja R ≪ L. Mind
α, mind ln(M(R)) erősen függ a centrum választásától. Ahhoz, hogy az
objektumra jellemző dimenzió értéket kaphassuk, vizsgáljuk az M(R) tömeg
hatványainak átlagát a rendszeren a P valószínűségeloszlás szerint választott
centrumokra.
Határozzuk meg 〈M q (R)〉 skála viselkedését növekvő R-re. Használjuk
fel a korábban bevezetett összefüggést, melyet átalakítunk:
(q−1)
Mi Mi
∼
i
M0
M0
(q−1)D(q)
l
. (4.4)
L
Mivel Mi/M0 egyenletes valószínűségeloszlású az objektumon ez ekvivalens
a
Mi (q−1)
M0
∼
(q−1)D(q)
l
L
(4.5)
kifejezéssel, ahol az átlagolást a Pi = Mi/M0 eloszlás szerint kell elvégezni.
Ha nem l rácsállandójú rácsot használunk, hanem véletlenszerűen választott
centrumú, R sugarú sandboxokat, átfogalmazhatjuk a kifejezést:
(q−1)
M(R)
∼
M0
(q−1)D(q)
R
. (4.6)
L
Azt várjuk, hogy a skála viselkedés továbbra is fennáll, ha az átlagolást u-
gyanazon eloszlás szerint végezzük, azaz a centrumokat egyenletes eloszlás
szerint választjuk a halmazon.
D sb (q) =
ln
M(R)
(q−1)
M0
ln
R
L
Így a q-ad rendű sandbox dimenzió:
1
, a < R < L. (4.7)
q − 1
A D(q) mennyiség nem függ a centrumok választásától, ha R az a ≤ R ≤ L
intervallumon változik. Konkrét példán vizsgáljuk, milyen kapcsolatban van
D sb (q) a D(q) általánosított dimenzióval.
39

Általánosított multifraktálok
A geometriai multifraktálokra bevezetett általánosított sandbox módszert ki-
terjesztjük tetszőleges multifraktálokra. P jelenti az objektumon bevezetett
stacionárius valószínűségeloszlást.
Általánosítsuk a geometriai multifraktál sandbox dimenzióját és definiáljuk
a halmazon bevezetett valószínűségeloszlás sandbox dimenzióját, azaz a P
valószínűségeloszlás segítségével vezetjük be a D sb (q) dimenziót.
Az általánosított dimenzió kifejezést a skála összefüggésből kapjuk l/L →
0 esetén:
i
P q
(q−1)D(q)
l
i ∼ . (4.8)
L
Ez átalakítható, mint
i
P q−1
(q−1)D(q)
l
i Pi ∼ . (4.9)
L
Mivel Pi valószínűségeloszlás a fraktálon, ezért átírható a következő formára:
P q−1
i
∼
(q−1)D(q)
l
. (4.10)
L
Írjuk fel az R sugarú valószínűségeloszlásnak megfelelően választott centrumú
sandboxokra:
P(R) (q−1)
∼
Ekkor a q-ad rendű sandbox dimenzió:
(q−1)D(q)
R
. (4.11)
L
D sb
ln P(R)
(q) = (q−1)
1
ln(R/L) (q − 1)
D sb (1) = 〈ln(P(R)〉
ln(R/L) ,
ahol az átlagolás a P valószínűnség szerint történik.
40
q = 1, (4.12)

4.2.2. Boxcounting módszer
Geometriai multifraktál
A vizsgált objektumot l rácsállandójú ráccsal fedjük le és meghatározzuk
azon négyzetek számát, ahol ρ(Ba ∩ Tl) jelöljük N(l)-lel, ahol Tl jelöli a
rácson az l oldalú boxot. A fraktál dimenzió kiolvasható abból, hogy N(l)
l-nek milyen hatványa szerint divergál l
L → 0. Azaz N(ε) ∼ ε−D(0) , ha
ε → 0 (ε = l/L). Bevezetjük a boxcounting dimenziót:
D bc
0 (ε) =
ln N(ε)
. (4.13)
ln (1/ε)
A D(q) általánosított dimenziónak megfelelő D bc (q) dimenziót írjuk a követ-
kező alakba:
D bc (q) (ε) = ln ( (Pi) q )
ln ε
1
, ε → 0, (4.14)
q − 1
ahol a Pi valószínűségeloszlás Pi = Mi/M0 (Mi az i-edik nem üres box
tömege). A q = 1 esetben:
D(1) bc
= − . (4.15)
i Pi ln Pi
ln( 1
ε )
Ahhoz, hogy visszakaphassuk az eredeti definíciót, ε → 0 szükséges.
Általánosított multifraktálok
Helyezzünk egy ε rácsállandójú rácsot a rendszerre. Jelölje ρ az objektumon
értelmezett valószínűségi mértéket, Pi jelenti az i-edik doboz stacionárius
valószínűségét, így felírható:
Pi = dρ(x)
Pi = 1, (4.16)
i
ahol az integrálás az i-edik box felett történik. Előző fejezetben bevezetett
D bc (q) boxcounting dimenziót kiterjesztjük az általános multifraktálokra,
D bc (q) = ln( P q
i )
ln(ε)
1
, q = 1 , (4.17)
q − 1
41

ahol a Pi valószínűség a fraktálon bevezetett stacionárius valószínűségelosz-
lást jelenti.
4.3. Összehasonlítás az aszimmetrikus
Cantor-halmazon
Mivel az eddig vizsgált objektumok nagy részében találkoztunk aszimmetri-
kus Cantor-halmazzal (különös attraktorok, repellorok, négyzetrács energiaspekt-
ruma), ezért először ezt a struktúrát vizsgáljuk. Definiáljuk az aszimmetri-
kus Cantor-halmazt úgy, hogy az iteráció első lépésében négy részre osztjuk
az intervallumot és az első, harmadik, negyedik elemet tartjuk meg. Az
n-edik lépés után 4 n a fraktál lineáris hossza, és 3 n elemet tartalmaz. A
geometriai multifraktál D(q) spektrumot egzaktul is meghatározhatjuk [8]
publikált cikkben leírt eljárással. Felhasználjuk a (p q
1)/(lτ 1)+(p q
2)/(lτ 2) = 1 és
p1 = (l1)/(l1 + l2) egyenletet, ahol l2 = l 2 1. A következő eredményt kapjuk:
D(q) = 1
q − 1
Innen
⎛
⎜
⎝q +
−1+
ln
√
q ⎞
1+4(3/4)
2
ln(2)
D(0) = ln √
5 − 1
− 1,
ln(2)
D(∞) = ln
2
3
ln , D(−∞) =
1
2
ln
1
3
ln .
1
4
⎟
⎠ , ha q = 1. (4.18)
A numerikus eredményeket összehasonlítva vizsgáltuk a kapcsolatot D sb (q),
D bc (q) és D(0) illetve az általánosított dimenzió között aszimmetrikus Cantor-
halmaz esetén.
42

D(q)
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
ACH multifraktal spektrum
(x+(log((-1+sqrt(1+4*(0.75**x)))/2)/log(2)))/(x-1)
0.55
-40 -30 -20 -10 0
q
10 20 30 40
4.1. ábra. Az aszimmetrikus Cantor-halmaz általánosított dimenziója
4.3.1. Sandbox dimenzió
Első lépésben azon eseteket tanulmányoztuk, ahol a centrumokat a halmaz
egy véletlenszerűen választott pontjába helyeztük el és ln (M0/M(R)) meny-
nyiséget ábrázoltuk ln (L/R) függvényeként. A halmazon geometriai val-
ószínűség eloszlást használtunk és az aszimmetrikus Cantor-halmaz n-edik
szinten történő felbontását választottuk generálópartíciónak. Az így kapott
görbék a rendszer lokális tulajdonágait tükrözi (4.5 ábra) x = 0 centrum
koordinátája, iterációs lépések száma n = 8, L a klaszter maximális lineáris
mérete.
Vizsgáljuk meg a sandbox módszer több centrumra vett átlagát, úgy
hogy a középpontokat a halmazon bevezetett egyenletes válószínűség eloszlás
szerint választjuk. A ln
M0 1 -t ábrázoltuk ln (L/R) függvényeként
M(R) (1−q)
(ábrák: (4.6) q = −8, (4.7) q = −3, (4.8) q = 3, (4.9) q = 8), az átlagolás
75 a halmazon elhelyezekedő centrumra történt. A görbéken az egyenes il-
lesztésből származó meredekség hibája q = 8-ra is kisebb, mint ±3% az
elméleti értékkel összehasonlítva.
43

4.3.2. Boxcounting dimenzió
Ebben az eljárásban rácsot fektettünk a halmazra, melynek maximális mérete
L és a legkisebb cella mérete a közt változik. A rácsállandó értékét lépésenként
a felére csökkentettük. Minden egyes iterációs lépésben meghatároztuk az
összes olyan boxhoz tartozó Mi tömegértéket, amihez tartozó Pi valószínűség
nem nulla. Ennél a módszernél exakt rekurziós kifejezéssel határoztuk meg
a tömegértéket, ezért n = 50 iterációs lépésig el tudtunk jutni a rácsállandó
csökkentésében. Az ln ( P q
i )/(q − 1)-t ábrázoltuk az ln(1/ε) függvényében
((4.3)ábra: q = −8, q = −3, q = 3, q = 8, q = 0). Öt különböző q
érték esetén vizsgáltuk görbék viselkedését, összehasonlítottuk az analitikus
számolással.
Ha q = 8 , akkor (2 10 , 2 55 ) intervallumban alakul ki D(q)-val párhuzamos
plato. A q = 3 esetében (2 25 , 2 61 ) tartományon válik párhuzamossá D(q)-
val. Legyen q = −3, ekkor (2 50 , 2 70 ) közti értékeken közelíti meg legjobban
D(q) értéket. Ha q = −8 esetet vizsgáljuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy
(2 60 , 2 75 ) intervallumon lesz D(q)-val párhuzamos a kapott görbe. Ha q = 0
akkor (2 40 , 2 64 ) tartományon közelítette meg legjobban az egzakt D(0)-t. Az
összehasonlítás kedvéért megadjuk az n = 8 értéknek megfelelő grafikont is
(4.2 ábra). Az ε → 0 határértékben megkapjuk a rácsmérettől független
elméleti D(q) értéket, q = 10 értékre, melyet a 4.4 ábrán mutattuk meg.
A numerikus szimulációk alapján a következő konklúziót vonhatjuk le:
A boxcounting eljárás csak a a ≪ R és l ≪ L választás esetén ad jó
közelítést a D(q) általánosított dimenzió meghatározásában.
A D sb (q) dimenzió alkalmas hibahatáron belül megegyezik az analitikus
számolásból származó értékekkel és elegendő a vizsgált objektum kisebb fel-
bontását megadni az illesztés jelen esetben már n = 8 esetén is nagy pon-
tossággal (±3%) megadta a D(q) értékét.
44

4.4. Alkalmazások
4.4.1. Hénon és Lozi-leképezés különös attraktorainak
vizsgálata
Vizsgáljuk meg a két dimenziós diszkrét leképezéseken kialakult különös
attraktorok szerkezetére jellemző D(q) általánosított dimenziót, a dinami-
kai tulajdonságot leíró K(q) általánosított entrópiát. A különös attraktor
struktúrája (korább bevezettük) speciális lokális szerkezettel rendelkezik: si-
ma sokaság és Cantor típusú halmaz direkt szorzata.
Általánosított dimenzió
A D(q) meghatározásához az általánosított sandbox módszert alkalmazzuk,
melyet az aszimmetrikus Cantor-halmaz dimenziójának vizsgálatánál vezet-
tünk be. Az iterációk számát válasszuk 2.5 ×10 6 -nek, az átlagolást végezzük
5×10 3 véletlenszerűen választott centrumra. Az attraktor felbontását 1000×
1000 rácson vizsgáltuk. Az adatok ilyen értéke mellett jó közelítéssel meg-
határozható az attraktorok általánosított dimenziója. A fraktálok f(α) mul-
tifraktál spektrumát a Legendre-transzformáció [32] segítségével határoztuk
meg a sandbox módszerrel kiszámított általánosított dimenzió felhasználásá-
val:
D(q) = 1
[qα(q) − f(α(q))],
q − 1
α(q) = d
[(q − 1)D(q)] q = 1. (4.19)
dq
45

Lozi-leképezés
xn+1 = 1 − a|xn| + byn,
yn+1 = xn. (4.20)
A Lozi leképezés együtthatóit válasszuk a = 1.7 és b = 0.5-nek. Ekkor
különös attraktor alakul ki az iterációk során.
Az előző fejezetben ismertetett általánosított sandbox módszerrel hatá-
rozzuk meg a Lozi-leképezés geometriai multifraktál dimenzióját. Vegyünk
ε = 1/1000 -es felbontású rácsot. Ebben az esetben M0 = 28688-nak
adódik az összes elemszám, azaz az iterációk elvégzése után 28688 lesz a
betöltött rácscellák száma. Az R értéke 0 és 1000 közt változik. Ennek
alapján számított ln(〈(M0/M(R)) 1−q 〉)/(1−q) kifejezést vizsgálva az ln(L/R)
függvényeként, a 0 ≪ R ≪ L intervallumon számított egyenes meredeksége
szolgáltatja a D(q) általánosított dimenziót. A q = 10 értéknek megfelelő
grafikont a (4.10) ábrán mutatjuk be, mely tipikus esete különböző q értékekre
számolt ugyanezen függvényeknek. Ha q értékét 0 és 20 közt változtatjuk, a
D(q) spektrumot kapjuk, melyet a (4.11) grafikon reprezentál. A függvény
menete monoton csökkenő viselkedést mutat q növelésével [58]. A pontokra
illesztett hatványfüggvény y = 1.3546x −0.0116872 jól közelíti a 0 < q < 20
intervallumon a görbét. Mivel az egyenes illesztés hibája megnő a q < 0 tar-
tományon, ezért a q ≥ 0 intervallumon határoztuk meg a D(q) spektrumot
[58].
Vizsgáljuk most a természetes mértékkel mért D(q) spektrumot. Használ-
juk az általánosított sandbox módszert a különös attraktor esetére. Ekkor a
geometriai multifraktálnál bevezetett rácsszerkezet celláinak betöltöttségét is
vizsgálni kell, azaz megnézzük, hogy az attraktor létrehozása során hányszor
kerültek ugyanabba a cellába az iteráció pontjai. Jelölje Hi az i-edik boxba
kerülés gyakoriságát. Ekkor a fraktálon bevezetett valószínűségeloszlást a
következő módon definiálhatjuk Pi = Hi/H, ahol Pi = 1.
46

Áttérve az f(α) formalizmusra a Legendre-transzformáció segítségével,
meghatároztuk a Lozi-leképezés f(α) spektrumát a goemetriai multifraktál
és a természetes mértékkel mért adatokra egyaránt. A természetes mérték-
kel meghatározott f(α) spektrumot összehasonlítva az irodalomban kapott
eredményekkel [19, 36] 10 −2 nagyságrendben egyezést mutat ezekkel az érté-
kekkel.
A (4.13) ábra alapján, melyeken a Lozi-leképezés geometriai multifraktál
és természetes mértékkel mért f(α) spektrumát ábrázoltuk, leolvasható, hogy
ha a boxokat azonos súllyal vesszük figyelembe. Az f(α) kisebb értékeket
vesz fel ugyanazon α értékek mellett, kivéve a q = 0-hoz tartozó pontot, ami
arra utal, hogy a természetes mérték eloszlása jóval egyenetlenebb, mint a
Lebesgue mértéké. Az ábrából leolvasható, hogy a geometriai multifraktál
jóval keskenyebb α intervallumra képezi le a 0 ≤ q < 20 intervallumot, mint
a természetes mértékkel mért multifraktál spektrum.
A numerikus hibák elsősorban a különböző q értékekre meghatározott
D(q) egyenes illesztéséből és a Legendre-transzformációnál alkalmazott nu-
merikus differenciálásból erednek, ezért az f(α) spektrum hibája ±6 százalék
lett.
Hénon-leképezés
Az
xn+1 = 1 − ax 2 + byn,
yn+1 = xn (4.21)
Hénon-leképezés esetén a paraméterek legyenek a = 1.4 és b = 0.3. Ekkor
M0 = 28044-nek adódik.
Hasonlóan a Lozi-leképezéshez itt is először a geometriai multifraktál
spektrumot határoztuk meg. A q = 10 értékéhez tartozó
ln(〈M0/M(R)〉 (1−q) )/(1 − q)-t kifejezést ábrázolja a (4.14) grafikon ln(L/R)
függvényeként, mely jellemző példája a különböző q értékekre számított áb-
47

áknak. A (4.14) grafikonon az R ≪ L intervallumra illesztett egyenes mere-
deksége szolgáltatja a D(q) dimenziót. A (4.15) ábra szemlélteti a D(q)
spektrumot, mely az attraktor szerkezetére jellemző mennyiség, ahol a q
értéke a −1 < q < 20 intervallumon változik. A mérési pontokra illesz-
tett A arctan(Bx) + D0 függvény paramétere A = −6.876 10 −2 , B = 0.1003,
D0 = 1.2636 választása mellett jó közelítést adtak a 0 ≤ q < 20 tartományon.
A természetes mértékkel mért D(q) spektrumot hasonló módon határoz-
tuk meg, itt az általános multifraktálokra bevezetett sandbox módszert alkal-
maztuk −1 < q < 20 intervallumon. A D(q) spektrum q = 2-nél fázisátalaku-
lást mutat [57]. Azonban azt tapasztaltuk, hogy a geometriai multifraktál
spektrumban ez a jelenség eltűnik.
Az f(α) formalizmusra való áttérést a (4.17) ábra mutatja, ahol szintén
jól érzékelhető a korábban a Lozi-leképezésnél tapasztalt viselkedés, azaz a
geometriai multifraktálnak megfelelő f(α) spektrum alacsonyabb értékeket
vesz fel az azonos α-hoz tartozó természetes mértékkel mért f(α)-hoz képest,
kivéve a q = 0-t. A geometriai multifraktálhoz tartozó α értékek jóval
keskenyebb intervallumon helyezkednek el a természetes mértékkel mért α
értékekhez viszonyítva.
Tehát a Hénon-leképezés attraktorára is jellemző az a tulajdonság, hogy
a természetes mérték jóval egyenetlenebb, mint a geometriai multifraktál
mérték.
Az irodalomban számos cikk foglalkozott a Hénon-leképezés dimenziójá-
nak meghatározásával természetes mértéket használva [11, 15, 16, 17, 18, 20,
54], mellyel a különös attraktor fraktál szerkezetének tulajdonságait vizsgálták.
Megemlítem, hogy a fázisátalakulás jelenségét egydimenziós esetben is ta-
pasztalták a logisztikus leképezésekben q = 2 értéknél [57].
A különös attraktorok általánosított dimenziójának sandbox módszerrel
történő vizsgálatát a Patrasi Egyetem Matematika Tanszékén Tassos Bountis
professzorral folytattam a zajos rendszerek tanulmányozása során.
48

Entrópia
Lozi-leképezés
Eddig az attraktorok geometriai és természetes mértékkel mért D(q) di-
menzióját vizsgáltuk, mely a struktúra statikus tulajdonságát jellemzi. Ele-
mezzük a mérési sorozatokból nyerhető dinamikai viselkedését a különös att-
raktornak. A mérési sorozat hosszát 0 < n < 20 intervallumon változtatjuk.
A pálya hossza 2.5 × 10 6 elemű. A generáló partíciót válasszuk a következő
módon [17]:
⎧
⎨ 1, ha y > 0
ij =
⎩ 0, ha y < 0,
(4.22)
ahol ij az n hosszú szimbólum sorozat j-edik eleme. Az így nyert külön-
böző bináris sorozatok száma 2 n . Az n hosszúságú Sn szekvenciák relatív
gyakorisága Pi = Hi/H, ahol H = 2.5 × 10 6 . Az ebből számított ln(Pi)
reprezentálja i függvényében a különböző n hoszú pályák eloszlását a teljes
trajektória mentén (i = 0,...,2 n −1). Ha összehasonlítjuk az i függvényében
ábrázolt ln(Pi) értékeket az n és n + 1 hosszú szekvenciákra jól láthatók a
pályák felhasadása. n = 10 esetén a két grafikon (4.12) kétszeres nagyítással
hozzávetőlegesen egymással fedésbe hozható, ezért a pálya valószínűségek
stabilnak tekinthetők már ezen a szinten. A pályák terében bevezetett Sn
szimbólum sorozathoz rendelt zn = n k=1 ikm −k érték helyett az i = n k=1 ikm k
kifejezéssel meghatározott i-vel jelölt számot használjuk, s ennek függvényé-
ben vizsgáljuk a Pi pályavalószínűségeket [55].
A generáló partíció segítségével meghatároztuk a K(q) általánosított ent-
rópiát a pályák terében, mellyel elkerülhetjük az ε minden határon túl való
növelését. Jelölje Sn a különböző megengedett n hosszúságú (i1,...,in) szim-
bólum sorozatokat. Az entrópia meghatározásánál feltételeztem, hogy K(q)
eleget tesz a P(Sn) q = Ae (1−q)K(q)n kifejezésnek. Ekkor a két egymást
követő n ill. n + 1 hosszúságú pálya valószínűségeloszlásai q-adik momentu-
49

mainak összegét, azaz a P(Sn) q -t kiszámítva és képezve ezek hányadosát
ln
P(Sn+1) q
P(Sn) q
∼ = (1 − q)K(q) n ≫ 1, q = 1. (4.23)
Így a K(q) entrópia, meghatározásánál elkerülhetővé válik az n → ∞ határér-
ték képzése. A számolás hibája ±4%-nak adódik. Ezzel a módszerrel az
n = 10 és n = 11 hosszú pályákból számított Lozi-leképezés entrópiája a
(4.12) ábrán látható [58].
Hénon-leképezés
A Hénon-leképezés K(q) entrópiájának meghatározásához a fázistéren egyen-
letes felbontású partíciót használtuk. Legyen xt, t = 1,...,n, n hosszúságú
mérési sorozat. Jelöljük 0,...,m − 1 egész számokkal azon cellákat, melye-
ket meglátogat a rendszer az adott pillanatban. m értéke 28044-nek adódott
ε = 1/1000 rácsállandó választás esetén. Az n elemből álló pályát jellemez-
hetjük az Sn = (i1,...,in) szimbólum sorozattal, ahol ij = 0,...,m − 1,
j = 1,...,n, ahol ij jelenti annak a cellának a sorszámát, melyben a pálya
j-edik időpillanatban tartózkodott. P(Sn) pályavalószínűség jelenti az Sn
előfordulásának relatív gyakoriságát. Az n = 10 és 11 hosszú pálya sza-
kaszokat vizsgáltunk. Az entrópia meghatározásánál feltételeztük, hogy K(q)
eleget tesz a P(Sn) q = Ae (1−q)K(q)n kifejezésnek, mint a Lozi-leképezés
esetén. Ekkor a két egymást követő n, ill. n+1 hosszúságú pálya valószínűség
eloszlásai q-adik momentumainak összegét, azaz a P(Sn) q -t kiszámítva és
képezve ezek hányadosát a K(q) entrópia kiszámítható. Mivel ebben az eset-
ben nem alkalmaztuk a generáló partíciót, ezért az eredményeket a fázistér
véges ε felbontása miatt nagyobb hibával kaptuk meg. A (4.16) grafiko-
non ábrázoltuk a K(q) függvényt, melyet ebben az esetben is a két egymást
követő n hosszúságú pályából számított pályavalószínűségek q-adik hatvá-
nyának hányadosából határoztuk meg.
Hamiltoni rendszerekben kimutattuk, hogy a fázisátalakulás jelen van
[41], köszönhetően a szabályos tartományok határán az Arnold diffúzióból
50

származó kritikus lelassulásnak, ahol entrópiaszámításra használt numerikus
módszerek közül a Grasberger-Procaccia-eljárást [14, 51] alkalmaztuk.
4.4.2. Entrópiák és az általánosított dimenzió
kapcsolata disszipatív leképezésekben
Vizsgáljuk meg milyen kapcsolat létezik a q-ad rendű dimenzió és a q-ad
rendű Rényi-entrópia között [38], melyre 9 hivatkozás történt referált folyó-
iratokban ([94]-[103]). Alkalmazzunk ε = m −n felbontást. Vizsgáljunk
n hosszúságú sorozatokat, ahol P(Sn) a szimbólum sorozat valószínűségi
sűrűség függvénye. Ebben az esetben kifejezhetjük a q-ad rendű Rényi-
entrópiát a pályák terében értelmezett q-ad rendű dimenzióval, ugyanis
In(q)
K(q) = lim
n→∞ n ln m ,
ln m, q = 1, ahol (4.24)
1
In(q) = ln P(Sn)
1 − q q
Sn
K(q) = D ∗ (q) lnm q = 1, (4.25)
ahol D ∗ (q) a P(Sn) eloszlás q-ad rendű dimenziója. Tehát a (4.25) ösz-
szefüggés alapján megfogalmazhatjuk, hogy a K(q) Rényi-entrópia dimenzió-
szerű viselkedést mutat a pályák terében. Ennek numerikus vizsgálatát a
Lozi-map különös attraktorán végezzük el.
A pályák terében bevezetett K(q) = D ∗ (q) lnm összefüggés az általá-
nosított entrópia dinamikai multifraktál viselkedését mutatja. Numerikusan
az általánosított sandbox módszerrel meghatároztuk a Pi függvény D ∗ (q)
dimenzióját.
4.4.3. A K(q) entrópia kiszámítása az általánosított
sandbox módszer segítségével
A (4.18) ábrán látható hisztogrammot használjuk fel a D ∗ (q) dimenzió meg-
határozásához. Ezen ábra alapján az Hi értéke jelentse az i-edik boxhoz
51

tartozó Pi valószínűségeket, mely az i-edik szimbólum sorozat előfordulási
valószínűségét reprezentálja a H0 hosszú pályán. A grafikon meredekségéből
meghatározhatjuk a D ∗ (q) értékét, mely ±5%-os hibahatáron belül egyező
mennyiséget adott q = 2-höz tartozó K(q) entrópia értékkel [59].
A D ∗ (q) pályatérbeli dimenzió kiszámításával numerikus eljárást kaptunk
a K(q) entrópia meghatározására.
4.5. Rényi-entrópiák vizsgálata Hamiltoni
rendszerekben
4.5.1. A szakaszonként-lineáris leképezés és standard
leképezés
A dinamikai fázisátalakulás előfordulását a K2 korrelációs entrópiában nu-
merikus eszközökkel is ki lehet mutatni [41]. Két leképezést választottunk
erre a célra:
xn+1 = xn + k
2π sin (2πyn) mod 1,
yn+1 = yn + xn+1 mod 1 (4.26)
a standard leképezést és
xn+1 = xn + 2k
π (|yn − 0.5| − 0.25) mod 1,
yn+1 = yn + xn+1 mod 1 (4.27)
szakaszonként-lineáris leképezést. Mindegyik esetben periódikus határfeltételt
alkalmaztunk. A Grassberger-Procaccia algorimust [52] használtuk a kor-
relációs integrál meghatározására. A
C2(ε,n) =
2 n−1
Θ ε − |xi+l − xj+l| + |yi+l − yj+l| ,
n(n − 1) i,j l=0
K2(n) = 1/2 [lnC2(ε,n + 1) − ln C2 (ε,n)] (4.28)
52

összefüggésből származtatjuk K2-t az egy dimenziós leképezésekhez hasonlóan
[39], ahol Θ a Heaviside függvényt jelöli.
A kezdeti értéket úgy választottuk meg, hogy a kaotikus tartományon
belül legyen. A cellák mérete 2 30 és 2 8 közt változott. A beágyazási dimenzió
n értéke 1 és 30 közt mozgott.
Három különböző illesztést végeztünk :
K2(n) = a + be −ξn
K2(n) = c ln 1 + 1
n
(4.29)
(4.30)
K2(n) = α
(n + 1)
1 − β
1−β − n 1−β
. (4.31)
A k paraméternek három különböző értéket választottunk. Az illesztéseket
elvégezve a következő értékeket kaptuk:
A szakaszonként-lineáris leképezésre kapott értékek:
k α β σ
1.0 1.08 0.905 0.006
2.5 1.45 0.820 0.033
5.0 1.35 0.680 0.081
míg a standard leképezésre kapott értékek:
k α β σ
1.0 1.01 0.74 0.034
2.5 1.39 0.96 1.021
5.0 1.63 0.92 0.065
ahol σ az illesztés pontosságát jelenti. Meghatároztuk a korrelációs in-
tegrált és az ebből számított K2 entrópiát a standard és szakaszonként-
lineáris leképezés esetén.
A legpontosabb illesztést (4.31) a szakaszonként-lineáris leképezésre kap-
tuk. Ez a numerikus számolás alátámasztja a fázisátalakulás létezését a
kaotikus Hamiltoni rendszerekben.
53

4.6. DLA, anomális fraktál dimenzió,
kaotikus szórás
Az eredeti cikkre 33 referált folyóiratban megjelent cikk hivatkozott ([21, 22,
23, 24, 50], [64]-[93]) a következő témakörökből: perkoláció, DLA végesméret
skálázás, Brown mozgás Rényi entrópiája, nehézion fizikában keletkező kaszká-
dok fraktál struktúrája. Ezek közül néhány fontosabb alkalmazást mutatunk
be, két publikációt részletesebben kifejtünk.
1. A kaotikus szórás elméletét Tél Tamás és Christofer Jung a Journal of
Physics A Math. Gen. folyóiratban (1991) írt cikkükben tárgyalták,
ahol a sandbox módszert alkalmazták a kaotikus repellor fraktál dimen-
ziójának meghatározására ([21]).
2. A növekedési modellek
(a) random walk módszer a legegyszerűbb esete a növekedési model-
leknek, ahol a klaszter fejlődése egy lánc mentén történik ([68,
82, 83, 84]). Vizsgáljunk egy részecske mozgását D dimenziós
fraktál hálózaton. A t = 0 időpillanattól a részecske egyenlő
valószínűséggel lép egy szomszédos pontba a fraktálon. Ekkor
az origótól mért négyzetes távolság úgy skálázódik, mint az idő
lépések száma:
R 2 0(t) ∼ t 2/dw , ahol (4.32)
a dw exponens nemtriviális módon függ a fraktál struktúrájától.
A t ∼ R dw
0 kifejezés sugallja, hogy dw egy fraktál dimenzió szerű
mennyiség. Ezért dw nem klasszikus értelemben vett fraktál di-
menzió, mint egy geometriai objektum, de leírja a fraktál tömeg
(lépések száma) skálázását R0 sugarú környezeten belül. A ran-
54

dom walk effektust definiáljuk az yi sorozattal:
i
yi = xj,
j=1
ahol (4.33)
xj = (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Minden
egyes lépésben véletlenszerűen azonos valószínűséggel választunk
egy irányt. A klaszter térbeli kiterjedését jellemezzük átlagos
távolsággal:
P = 1
d
d
(imax − imin), (4.34)
i=1
ahol d a beágyazási dimenzió, imax,imin a legtávolabbi pontok
koordinátája. Ekkor a random walk effektus átlagos-négyzetes
távolsága, n-edik lépés után:
R 2
n = nb 2 n konstans (4.35)
(b) A diffúzió limitált aggregáció a növekedési modellek egy fontos
esete. Több publikáció foglalkozik fraktál dimenziójuk meghatáro-
zásával, számos eseben a sandbox módszert használták [22, 23, 24,
72].
(c) A Physica A-ban került publikálásra (1997) Kovács Tamás és
Bárdos Géza DLA klaszter növekedés vizsgálata áramló folya-
dékban, ahol a folyadék viszkozitása nem nulla. Folyadékáramlás
eredményeképpen önaffin fraktálok alakulnak ki az áramlási térben
([72]):
Ha a sebesség nulla, akkor izotróp növekedései modelleket kapunk.
δx = vx(x,y) + rx,
δy = vy(x,y) + ry, (4.36)
ahol vx(x,y), vy(x,y) a v(x,y) vektor két komponense, a sebesség
az áramlás felületén nulla. Az rx, ry véletlen szám, a [−∆R, ∆R]
55

intervallumon változik, ahol ∆R input paraméter, mely jellemzi a
diffúzió erősségét.
A Navier-Stokes egyenlet
2 ∂v v
+ ∇ + (∇ × v) × v =
∂t 2
1
(−∇p − η∇ × ∇ × v)
̺
és kontinuitási egyenlet: ∇v = 0, ahol η a viszkozitási konstans, ̺
tömeg-sűrűség, p a lokális nyomás, v és p a hely függvénye. Egy
cső esetén ezt az alakot kapjuk:
vx(x,y) = 4v0
y(L − y),
L2 (4.37)
vy(x,y) = 0, (4.38)
ahol v0 a sebesség az áramlási cső közepén, L a cső lineáris mérete.
Az iteráció első lépéseként az előző egyenlet egzakt megoldása és
annak feltétele, hogy egy részecske az áramlási cső falához tapadt.
Az iterációs módszer: A Navier-Stokes egyenlet stacionárius meg-
oldása, ahol
∂v
∂t
= 0. (4.39)
Az eredeti egyenlet egyenlet átalakítva kapjuk:
δv = − ∇(v 2 /2) + (∇ × v) × v + 1
η
∇p + ∇ × ∇ × v δt
̺ ̺
Az új v ′ függvényt úgy kapjuk: v ′ = v + δv feltéve, hogy ∇v = 0.
Az iterációt addig ismételjük, míg a δv elegendően kicsi a rács
minden pontjában. Tegyük fel, hogy az áramlás kvázistacionárius,
minden egyes időpillanatban egy részecske hozzátapad a klaszter-
hez. Az új v ′ függvény határ feltétele:
v(x, 0) = v(x,L) = 0, (4.40)
v(0,y) = v(L,y), (4.41)
56

ahol x,y egész értékű koordináták. Az aggregátum szimmetria
paramétere:
M −
n =
i m − i
i(m − i + m + , (4.42)
i )
ahol i index jelöli a sokság i-edik elemét, m − i , m + i mutatja, hogy
az első részecskéhez képest milyen irányba tapadt hozzá. Az 〈Mn〉
paraméter jellemzi az átlagos növekedési mértéket.
〈ml〉 = 1
N
mi(ri) (4.43)
i
ahol 〈ml〉 skálázódik mint 〈ml〉 ∼ l D .
• A konklúziója a számolásnak, hogy a növekedési modell fraktál
dimenziója érzékeny függést mutat az áramlás sebességére.
(d) Vicsek Tamás, F. Family, P. Meakin foglalkoztak cikkeikben a
DLA multifraktál tulajdonságával és a tömeg multifraktál visel-
kedéssel.
3. Az anomális fraktál dimenzió meghatározása a másik reprezantatív al-
kalmazása a sandbox módszernek a nehézion fizika területén [78]: F.
Kun, H. Sorge, K. Sailer, G. Bárdos, W Greiner által írt Phys. Lett.
B cikkben került publikálásra (1995).
A nagyenergiás nehézion fizika adatainak analízisében a geometriai
multifraktálok egzaktul megoldható modelljére alkalmazták a sandbox
és boxcounting eljárást. A nagyenergiás nehézion reakciókban tanulmá-
nyozták a végállapotban részecskék rapiditás eloszlás skálázott impul-
zus hányadát, bevezetve a dinamikai fluktuációk tulajdonságát és az
intermittencia fogalmát a nagyenergiás magfizikában.
A keletkezett részecskék rapiditás eloszlásásának skálázott impulzus
hányada Fi:
Fi(M) = M i−1
M
m=1
nm(nm − 1)...(nm − i + 1)
, (4.44)
N(N − 1)...(N − i + 1)
57

ahol a pszeudorapiditás ∆η intervallumát felbontottuk M egyenlő mé-
retű cellára (binre) δη = ∆η/M, melyben nm a multiplicitás az m-edik
bin-ben, N az esemény teljes multiplicitása, az átlagolás az esemé-
nyekre történik. Intermittenciának hívjuk a skálázott impulzus hányad
hatvány törvény szerint történő viselkedését:
Fi ∼ (δη) −fi , (4.45)
ahol az fi intermittencia index és az anomális fraktál dimenzió kap-
csolata: di = fi/(i − 1). Az Fi definíciójában az átlagolás két eset-
re történik: horizontális (eseményen belül), vertikális (az eseményen
keresztül). A horizontális átlagolás vizsgálatával foglalkoztak. Meg-
mutatták, hogy a 200 GeV-es mag-mag ütközések adataira számolt
anomális fraktál dimenzió jóval pontosabb értéket szolgáltat a sandbox
módszerrel, mint a boxcounting eljárással. Belátták, hogy az egzaktul
számolható statisztikusan számolható geometriai multifraktál modell
pontosabb eredményt szolgáltat sandbox módszerrel, mint a boxcoun-
ting eljárás.
A eloszlás skála viselkedését a Gq mennyiséggel írhatjuk le, melyet a
következő képpen definiálunk:
M
Gq(M) = p
m=1
q m, (4.46)
ahol pm = nm/N adott felbontás mellett és q tetszőleges valós szám.
Ekkor ezt átalakítva adódik:
G bc
q (δη) =
nm
(q−1)
ahol nm/N egy valószínűség eloszlás.
G sb
q (δη) =
N
∼
(q−1)
n(δη)
N
(q−1)D(q) bc
δη
, (4.47)
∆η
c
58
∼
(q−1)D(q) sb
δη
, (4.48)
∆η

ahol c jelenti a centrumokra történő átlagolást a pm = nm/N eloszlásnak
megfelelően és δη jelöli cellák sugarát (δη < ∆η).
A két módszer a horizontális átlagolásra geometriai multifraktálon eltérő
eredményt ad.
Az n-ed rendű korrelációs integrált definiáljuk:
Cn(r) = N −n ×
részecske n-esek száma, | xiα − xiβ
Az n = 2 esetben:
C2(r) = 1
N 2
N
i,j=1
|≤ r ∀ (iα,iβ)
.
Θ (r− | xi − xj |), (4.49)
Θ a Heaviside függvény. A részecskék száma δη sugarú gömbben, mely-
nek középpontja xi:
ni(δη) = 1
N
N
Θ (δη− | xi − xj |) (4.50)
j=1
Az G2-höz rendelt G sb
2 sandbox átlaga ekvivalens a C2(δη) két részecske
korrelációs függvénnyel C2(δη) ≡ 〈n(δη)〉 c ≡ G sb
2 (δη). A magasabb
rendű korrelációs integrálok:
C i n(r) = 1
Nn, × (részecske n-esek száma az i-edik gömbben,
| xiα − xiβ |≤ r ∀ (iα,iβ) .(4.51)
Ha a részecske eloszlás egyenletes az i-edik boxban, akkor a C i n(δη) ∼
n n i (δη) és G sb
n (δη) ∼ Cn(δη). A nagy multipilicitással rendelkező nehézion
kísérletek is vizsgálhatók multifraktál analízissel. Az Fi mennyiséget
átalakíthatjuk:
F bc
i
= M i−1
M nm(nm − 1)...(nm − i + 1)
m=1 N(N − 1)...(N − i + 1) =
= M i−1
M
nm nm(nm − 1)...(nm − i + 1)
. (4.52)
m=1 N N(N − 1)...(N − i + 1)
59

A sandbox eljárás szerint:
F sb
i =
i−1 ∆η
×
δη
(n(δη) − 1)...(n(δη) − i + 1)
∼
(N − 1)...(N − i + 1)
fsb i ∆η
.
δη
Az impulzus horizontális hányadára vonatkozó számítások szerint az
anomális fraktál dimenzió:
d sb
i = 1 ln F
i − 1
sb
i (δη)
ln , (4.53)
∆η
δη
d bc
i = 1 ln F
i − 1
bc
i (δη)
ln . (4.54)
∆η
δη
A d ex
i egzakt megoldással összehasonlítva, a sandbox anomális fraktál
dimenzió a jobb egyezést mutatott az expliciten meghatározott értékkel
az anomális boxcounting dimenzióhoz képest.
Az alacsony multiplicitásra is végeztek összehasonlítást a módszerek
pontosságának meghatározása érdekében. Végül analizálták a
200 GeV/mag energiájú kvázi centrális S 32 és Ag/Br nyalábok ütközésé-
ből származó adatbázison is.
Konklúzió:
• Nagy multiplicitású eseménynél a sandbox dimenzió elvezet megbíz-
ható anomális fraktál dimenzió értékekhez a felbontás széles tar-
tományán, míg a boxcounting teljesen megbízhatatlan.
• A sandbox átlagolás alacsony multiplicitású eseményeknél sokkal
jobb konvergenciájára vezet az anomális fraktál dimenziók egzakt
értékei esetén az események növekvő számával.
• A kísérleti eredményeken végzett számításoknál a sandbox mód-
szerrel meghatározott anomál fraktál dimenzió szignifikánsan eltér
a boxcounting eljárásból számított ereményekhez képest.
60

• Mivel a két részecske korrelációs számolásnál a horizontális átlago-
lás esetén pontosabb eredményre vezetett a sandbox eljátrás a
boxcountinghoz képest, ezért a korrelációk és az intermittencia
analízis megbízhatóbb a sandbox módszerrel mind elmélet keretein
belül, mind kísérleti adatokon.
4. Entrópia számolás a Brown mozgás Rényi entrópiája végeztek [74] a
sandbox módszer továbbfejlesztését alkalmazva.
61

D(q)
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
’box8.dat’
0.729
0.709
0.677
0.650
0.694
0.6
0 5 10 15 20 25 30 35
ln(1/eps)
4.2. ábra. Az aszimmetrikus Cantor-halmazra számított D bc (q) az ln(1/ε)
függvényében, melyet boxcounting módszerrel határoztunk meg n = 8(L =
2 16 ).
D(q)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
’box50.dat’
0.729
0.709
0.677
0.650
0.694
0.5
0 10 20 30 40 50
ln(1/eps)
60 70 80 90 100
4.3. ábra. Az aszimmetrikus Cantor-halmazra számított D bc (q) az ln(1/ε)
függvényében, melyet boxcounting módszerrel határoztunk meg n = 50(L =
2 100 ).
62

D(q)
0.705
0.7
0.695
0.69
0.685
0.68
0.675
0.67
0.665
0.66
0.655
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
epszilon
4.4. ábra. Az aszimmetrikus Cantor-halmazra számított D bc (q) az ε függvé-
nyében, melyet boxcounting módszerrel határoztunk meg.
F
9
8
7
6
5
4
3
2
1
’sbach1.dat’
0.58*x
0
0 2 4 6
ln(L/R)
8 10 12
4.5. ábra. Az F = ln(M0/M(R)) az ln(L/R) függvényeként, melyet a sand-
box módszer átlagolásától eltekintve határoztunk meg az n = 8 felbontási
szinten az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén. A centrumot az x = 0
pontba helyeztük.
63

9
8
7
6
5
4
3
2
1
’gg1grap.dat’
0.73*x
0
0 2 4 6
ln(L/R)
8 10 12
4.6. ábra. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szinten, q = −8
érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a grafikon meredekségéből
határozzuk meg.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
’gg2grap.dat’
0.7095*x
0
0 2 4 6
ln(L/R)
8 10 12
4.7. ábra. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szinten, q = −3
érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a grafikon meredekségéből
határozzuk meg.
64

9
8
7
6
5
4
3
2
1
’gg3grap.dat’
0.677*x
0
0 2 4 6
ln(L/R)
8 10 12
4.8. ábra. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szinten, q = 3
érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a grafikon meredekségéből
határozzuk meg.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
’gg4grap.dat’
0.65*x
0
0 2 4 6
ln(L/R)
8 10 12
4.9. ábra. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szinten, q = 8
érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a grafikon meredekségéből
határozzuk meg.
65

8
7
6
5
4
3
2
1
’sbhiszl.dat’
0
0 2 4 6
ln(L/R)
8 10 12
4.10. ábra. Lozi-leképezés: F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a ln(L/R)
függvényében, q = 10 esetén, M0 = 28688 elemet tartalmazott, D(q) értékét
R ≪ L tartományra illesztett egyenes meredekségéből határoztuk meg. Az
átlagolást 5 × 10 3 véletlenszerűen választott centrumra végeztük el.
D(q)
1.4
1.39
1.38
1.37
1.36
1.35
1.34
1.33
1.32
1.31
’dqlog40.dat’
1.3546*x**(-0.01168)
1.3
0 5 10 15 20 25
q
4.11. ábra. Lozi-leképezés: D(q) általánosított dimenzió spektruma 0 < q ≤
20 esetén.
66

K’(q)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
’kql1011l.dat’
0
0 5 10 15 20 25
q
4.12. ábra. Lozi-leképezés:K ′ (q) = ln (( P(Hn+1) q ) / ( P(Hn) q )) (q − 1)
általánosított entrópia spektruma, 0 ≤ q ≤ 20, a szimbólumsorozat hossza
n = 10.
f(alfa)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
’falfalt.dat’
-17.96*x*x+51.66*x-35.72
’falfalg.dat’
-66.05*x*x+185.207*x-128.434
0.2
1.26 1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44
alfa
4.13. ábra. Lozi-leképezés: geometriai és természetes mértékkel mért D(q)
spektrumból Legendre-transzformációval származtatott f(α) geometriai és
természetes mértékkel mért multifraktál spektrum.
67

8
7
6
5
4
3
2
1
’sbhiszh.dat’
0
0 2 4 6
ln(L/R)
8 10 12
4.14. ábra. Hénon-leképezés: : F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a
ln(L/R) függvényében, q = 10 esetén, M0 = 28688 elemet tartalmazott, D(q)
értékét R ≪ L tartományra illesztett egyenes meredekségéből határoztuk
meg. Az átlagolást 5 ×10 3 véletlenszerűen választott centrumra végeztük el.
D(q)
1.28
1.26
1.24
1.22
1.2
1.18
’hendq1.dat’
-0.06876*atan(0.1003*x)+1.2636
1.16
0 5 10
q
15 20
4.15. ábra. Hénon-leképezés: A D(q) geometriai multifraktál spektrumot
ábrázoltuk 0 ≤ q ≤ 20 intervallumon.
68

K’(q)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
’kqh1011h.dat’
0
0 5 10 15 20 25
q
4.16. ábra. Hénon-leképezés: A K(q) általánosított entrópia, a K ′ (q) =
ln(( P(Sn+1) q )/( P(Sn) q ))/(1 − q) a q függvényeként, 0 ≤ q ≤ 20 inter-
vallumon. A szimbólumsorozat hossza n = 10.
f(alfa)
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
’alfalht2.dat’
-4.18*x*x+11.33*x-6.36
’alfalh2.dat’
-93.97*x*x+232.59*x-142.67
0.4
0.9 0.95 1 1.05 1.1
alfa
1.15 1.2 1.25 1.3
4.17. ábra. Hénon-leképezés: geometriai és természetes mértékkel mért D(q)
spektrumból Legendre-transzformációval származtatott f(α) geometriai és
természetes mértékkel mért multifraktál spektrum.
69

ln(P(i))
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
’pval10lo.dat’
-16
0 200 400 600 800 1000
i
4.18. ábra. A Lozi-leképezés n = 10 elemű pálya szakaszainak Pi valószínű-
ségeloszlását ábrázolja logaritmikus léptékben. A pálya teljes hossza H0 =
2.5 × 10 6 .
ln(P(i))
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
’pval11lo.dat’
-16
0 500 1000
i
1500 2000
4.19. ábra. A Lozi-leképezés n = 11 elemű pálya szakaszainak Pi valószínű-
ségeloszlását ábrázolja logaritmikus léptékben. A pálya teljes hossza H0 =
2.5 × 10 6 .
70

5. fejezet
NAME
A nagyenergiás fizika mikroszkópikus mechanizmusainak megértéséhez a nem-
abeli gauge elmélet ad megfelelő elméleti modellt. Az olyan nemgyensúlyi fo-
lyamatok megértésében, ahol az energia és az impulzus lokális egyensúlyban
van, fontos szerepet játszik. Az egyensúlyi és transzport folyamatokat a per-
turbatív kvantumtérelmélet keretein belül vizsgálják. A nemabeli térelmélet
nempertubatív kutatása a termális egyensúlyi rendszerekre vonatkozik. Eb-
ben a fejezetben röviden összefoglaljuk a nemabeli térelmélet fontosabb fo-
galmait.
5.1. Pályaintegrál és a részecskefizika
kapcsolata
A térelmélet számos reprezentációja ismert, a Schrödinger hullám mechanika
ill. Heisenberg operátor algebra. A Feynman által bevezetett pályaintegrál
az egyik legismertebb eljárás a kvantumtérelmélet tárgyalására. A módszer
előnye, hogy könnyen láthatóvá lehet tenni az analógiát a statisztikus fizika
és a részecskefizika közt. Jól alkalmazható a gauge elmélet megfogalmazására
és szimmetriáit is pontosan visszaadja. A kvantummechanikán keresztül is-
71

mertetjük röviden ezt a módszert.
5.1.1. Feynman pályaintegrál
A kanonikus transzformációk felhasználásával a klasszikus és kvantumme-
chanikában a hatás a kanonikus transzformáció generáló függvénye. Dirac
[127] alkalmazta ezt az eljárást a kvantummechanikában G = H Hamilton
függvényre a t időpillanatban a q ′ állapotú, ill. T időpillanatban q állapotú
rendszerre, ahol az átmeneti amplitudó:
〈q ′
i t
t|qT 〉 ∼ exp dtL . (5.1)
¯h T
A klasszikus mechanikában az egyenlőségjel a korrekt, a kvantum mecha-
nikában nem pontos az egyenlőség (5.1) a T − t véges időintervallumon:
T − t tartományt felbontjuk N infinitezimális idő intervallumra, ta = t + aε,
Nε = T − t. Legyen qa = qta minden ta-ra. A dq|q 〉〈q| = 1 összefüggést
felhasználva felírhatjuk:
〈q ′
t|qT 〉 = dq1dq2 ...dqN−1 〈q ′ t|q1〉 〈q1|q2〉 ...〈qN−1|qT 〉 . (5.2)
Ez egy egzakt kvantummechanikai összefüggés. Ha az (5.1) kifejezésben az
egyen̷lőséget használjuk, akkor az exponensben az integrált feloszthatjuk N
integrációs tartományra. Ez a következő nem pontos összefüggésre vezet:
〈qt|qT 〉 = 〈qt|q1〉 〈q1|q2〉 ...〈qN−1|qT 〉 , (5.3)
mely eltér a korrekt kifejezéstől az integrálás hiánya miatt. Ebben az alakban
q1,q2,... a trajektória mentén felvett klasszikus értékek a t1,t2 ... időpilla-
natban. Feynman cikkében [126] kifejtette, hogy az (5.1) egyenlőség fennáll
az infinitezimális intervallumokon, azaz
〈q ′
t|qt+δt〉 = A exp − i
¯h δtL(q′
t,qt+δt) , (5.4)
ahol L függvénye q ′ t,qt+δt-nek, de nem kerülünk ellentmondásba a kvantum-
mechanikai kifejezéssel (5.2). A Feynman által bevezetett pályaintegrállal
72

felírt átmeneti amplitudó (5.2,5.4 kifejezéseket felhasználva):
N−1 N−1
dqi dpi ×
〈q ′ t|qt+δt〉 = lim
( N→∞
Nε=konst.) AN
i=1
exp − i
t
dtL(q, ˙q) ≡
¯h T
≡ DqDp exp − i
¯h S(t,T,q)
.
A határfeltételek a pálya kezdeti ill. végső időpillanatban felvett értékei.
A fenti kifejezés megadja a részecske valószínűségi amplitudóját, feltéve,
hogy a t időpillanatban q ′ -ben volt, a T időpillanatban pedig q-ban. Az
átmenetiamplitudót, mint a lehetséges pályák mindegyikére vett összeget fe-
jezzük ki, ami a q-ban kezdődik T időpillanatban, ill. a q ′ -ben végződik a
t időpillanatban, súlyozva az (− i )S exponenciális kifejezéssel minden egyes
¯h
pályára. Ez a kifejezés jól tükrözi a klasszikus mechanika és a kvantumme-
chanika közti különbséget. A klasszikus határesetben ¯h → 0 az integrandus
nagyobb frekvenciával oszcillál, mint a q változók maguk, míg S konstans
azaz, ha S stacionárius és q a klasszikus trajektória, akkor visszakapjuk a
(5.3) kifejezést, ahol a ¯h → 0.
i=1
Vizsgáljuk a Feynman hipotézis egy konkrét példját:
Legyen H 1 dimenziós rendszer időfüggetlen Hamilton operátora. A
qt+δt a t + δt időpillanatban vett állapot a Heisenberg képben, melyet a t
időpillanatban vett qt állapotból kapunk meg:
|qt+δt〉 ≃ |qt〉 + i
¯h δt H |qt〉 + O(δt) 2 . (5.5)
Ezért
q ′
t+δt
qt
Legyen H = 1
= 〈q ′ t| qt〉 − i
¯h
2 p2 + V (q). Ekkor
q ′
t H
qt = − ¯h2 ∂
2
2
∞
=
−∞
q ′
t H
qt
+ V (q)
∂q2 dl
2π
− ¯h2
2
δt + O(δt) 2 . (5.6)
〈q ′ t|qt〉 =
∂2
+ V (q) exp(il(q
∂q2 ′ − q)).
73

Alkalmas átalakításokkal, felhasználva
〈q|q ′ 〉 = δ(q − q ′ ) és δ(x − x ′ ) = ∞
−∞ dl
2π exp(il(x − x′ ))
összefüggéseket, kapjuk:
q ′ ∞
dl
t+δt
qt =
−∞ 2π exp
i δt
¯hl ˙q −
¯h
1
2 ¯h2 l 2
− V (q)
+ O(δt) 2 . (5.7)
Ekkor az l-re történő integrálás nem pontos, mert az integrandus oszcillál.
Két megoldás lehetséges: bevezetünk egy −εl 2 konvergencia faktort, vagy
áttérünk euklideszi térbe: t → it. Ekkor δt helyébe iδt-t írva, l helyébe l ′ -t
l → l ′ =
iδt
¯h
q ′
t+δt
qt
(¯hl − ˙q) azt kapjuk, hogy
= 1
2π exp
iδt 1
¯h 2 ˙q2
− V (q)
√ ∞
¯h
−∞
Gauss-integrált használva:
q ′
¯h
t+δt
qt =
2πiδt exp
iδt
¯h
dl ′
√ exp −
idt 1
2 l′2
.
1
2 ˙q2
− V (q)
, (5.8)
ahol a ˙q függ q és q ′ -től, a zárójelben lévő mennyiség Lagrange függvény.
Ezért a Feynman hipotézis pontos. Véges idő intervallumon:
q f
t q i ⎛
1 ⎞
N−1
2 ¯h
T
... ⎝dqj ⎠ exp
2πiδt
= lim
δt→0, ( Nδt=konst.)
j=1
i t
Ldt(5.9)
¯h T
(q i ≡ q0,q f ≡ qN). Ez az eredmény általában igaz a Hamiltoni rendszerekre.
A klasszikus Hamiltoni rendszerekre is belátható, hogy (¯h = 1)
q f
t
q i
T =
N−1 dqi
... √ v
i=1 2πiδt −1
t
2(qi + qi−1) exp i dtL , (5.10)
T
ahol H = 1
2 p2 v(q).
Ezen fejezet konklúziója, a Hamiltoni rendszerekre átmeneti amplitudó
kifejezése pontosabban felírható:
〈q ′
t|qT 〉 =
...
DqDp exp
i
t
T
dτ
p dq
dτ
ahol 〈q〉 a q átlagát jelöli egy adott intervallumon.
74
− H(p, 〈q〉)
, (5.11)

5.1.2. Feynman pályaintegrál a térelméletben
Generáló funkcionál
Vizsgáljuk a legegyszerűbb teret: önkölcsönható skalármezőt. A hatás függvé-
nye:
S =
d 4
1
x
2 ∂µφ∂ µ φ − 1
2 m2φ 2
− V (φ) =
d 4 xL(φ,∂µφ). (5.12)
A Hamilton-sűrűség felírásához használjuk fel a kanonikus impulzust:
π(x) = ∂L
∂0φ = ∂0φ = ˙ φ. (5.13)
Ekkor a Hamilton-sűrűség a Legendre-transzformációval:
H
π,φ, −→ ∇φ
= π ˙ φ − L = 1
π
2
2 + −→ 2
∇ + m
φ 2
+ V (φ) (5.14)
H pozitív definit, ha m 2 > 0 és V > 0. A vákuum-vákuum amplitudót
definiáljuk:
〈Ω|Ω〉 J ≡ W[J] = N
DφDπ exp
i
π ˙ φ − H + Jφ
, (5.15)
ahol N konstans, 〈〉 jelenti az integrálást a téridőre és J(x) pedig tetszőleges
forrást. Integráljunk ki π-re:
W[J] = N ′
1
Dφ exp i
2 ∂µφ∂ µ φ − 1
2 m2φ 2
− V (φ) + Jφ , (5.16)
ahol Dφ jelenti a dφk szorzatot, φk a φ értéke x = xk-ban. Az integrandus
oszcillál ezért a pályaintegrál rosszul definiált, ekkor két utat választhatunk:
- konvergencia faktort használunk exp(− 1
2 ε 〈φ2 〉), ahol ε > 0;
- definiálunk W-t az euklideszi térben (x0 = −ix,d 4 x = −id 4 x
∂µ∂ µ = −∂µφ∂µφ, ahol ∂µ = ∂
∂x µ). Ekkor (5.16) alakja:
1
WE[J] = NE Dφ exp −
2 ∂µφ∂µφ + 1
2 m2φ 2
+ V (φ) − Jφ .(5.17)
Az integrandus negatív definit pozitív m 2 és V mellett.
W[J] =
∞
N=0
(i) N
N!
J1J2 ...JNG (N) (1, 2,...,N)
75
1,...,N
. (5.18)

Generáló funkcionált használunk, melynek együtthatója Green függvény:
G (N) (1, 2,...,N) = 1
(i) N
δ δ δ
... W[J]
δJ1 δJ2 δJN
J=0
, (5.19)
ahol Ji = J(xi)...,〈〉 1...N jelenti az integrálást d 4 x1 ...d 4 xN. G (N) (x1 ...xN)
meghatározásának egyik módja a perturbáció számítás, mely Wick forgatással
G (N)
E (x1 ...xN)-be alakítható a szingularitások figyelembevételével.
Feynman propagátor
Fejtsük ki W[J]-t, ha V = 0. Válasszunk Minkowski térben ε eljárás
W0[J] ≡ N
1
Dφ exp i
2 ∂µφ∂ µ φ − 1
2 (m − iε)φ2
+ Jφ . (5.20)
Használjunk Fourier transzformációt a 4 dimenziós térben:
F(x) =
∞
d4p (2π) 2 exp(ipx) ˜ F(p),
−∞
∞
˜F(p)
d
=
−∞
4x exp(ipx)F(x),
(2π) 2
δ (4) (x − x ′ ) = δ(x 0 − x ′0 )δ( −→ x − −→ x ′ ∞
) =
−∞
d4p (2π) 4 exp(i(x − x′ )p)
xp = x 0 p 0 − −→ x −→ p . (5.21)
A φ és J Fourier transzformáltjait behelyettesítjük az integrandus expo-
nensébe kapjuk:
i
2
d 4
p ˜φ ′ (p)
p 2 − m 2 + iε
φ ˜′ (−p) − J(p) ˜ p 2 − m 2 + iε
−1
˜J(−p) ,
ahol ˜ φ ′ (p) = ˜ φ(p) + [p 2 − m 2 + iε] −1 ˜ J(p). (5.22)
Az új változó φ ′ egy konstans erejéig tér csak el a φ-től, így
Dφ = Dφ ′ . (5.23)
76

Visszahelyettesítve
⎛
⎜
W0[J] = N exp ⎝− i
d
2
4
p
˜ J(p) 2
p2 − m2 ⎞
⎟
⎠ ×
+ iε
Dφ ′
1
exp i
2 ∂µφ ′ ∂ µ φ ′ − 1
2 (m2 − iε)φ ′2
,
ahol a φ ′ -től függő tag ugyanolyan alakkal rendelkezik, mint a φ-t tartalmazó
kifejezés, ha J = 0. Azaz
W0[J] = W0[0] exp − i
2
Mivel
ahol
d 4 p ˜ J(p) ˜ J(−p)
p2 − m2
. (5.24)
+ iε
W0[J] = W0[0] exp − i
2 〈J1∆F(x1
− x2)J2〉 , (5.25)
∆F(x1 − x2) =
d 4 p
(2π 4 )
exp(−ip(x1 − x2))
p2 − m2 , (5.26)
+ iε
ami nem más mint a Feynman propagátor. Használjuk sokkal megfelelőbb
alakját a W[J] mennyiségeknek:
W[J] = exp(iZ[J]) (5.27)
és vezessük be a Green függvényt a Z[J] segítségével:
iZ[J] =
N
(i) N
N!
G (N)
c (1,...,N)J1 ...JN . (5.28)
1...N
Közvetlen fizikai jelentése a Green függvénynek:
∂µ∂ µ + m 2
∆F(x) = −δ 4 (x), (5.29)
ahol ∆F a ∂µ∂ µ + m 2 operátor Green függvénye.
Értelmezhető, mint egy
részecske és egy antirészecske propagátor, mely nem más mint a Klein-Gordon
egyenlet megoldásai:
(∂µ∂ µ + m 2 )φ = 0. (5.30)
Hasonló megoldással vezethetünk be más kvantumszámokat is például töltést.
77

Effektív hatás
Túl a generáló funkcionálon létrehozhatunk olyan lokális mennyiségeket, me-
lyek hasonló eredményre vezetnek. Például V = 0 esetén:
φ (0) ln W0
cl (x) ≡ iδ
δJ(x)
ami kielégíti a klasszikus mozgásegyenletet:
δZ
= , (5.31)
δJ(x)
(∂ µ ∂µ + m 2 )φ (0)
cl (x) = J(x). (5.32)
Formálisan felírható a Legendre-transzforáció:
Γ0[φ (0)
cl ] = Z0[J] −
Jφ (0)
cl
, (5.33)
ahol Γ0 független J-től. Ekkor Γ0 explicit alakját megkaphatjuk, ha behe-
jettesítjük J-t a φ 0 cl kifejezésébe és parciálisan kiintegrálunk, az így kapott
végső alak:
Γ0[φ (0)
1
cl ] =
2
ami szabad hatás.
δ ln W
φcl(x) ≡ −i
δJ
d 4 x
∂µφ (0)
cl ∂µ φ (0)
cl − m2φ (0)2
cl , (5.34)
Általában, ha V = 0
Megpróbáljuk kiszámítani az effektív hatást.
δZ
= . (5.35)
δJ(x)]
Γ[φcl] = Z[J] − 〈Jφcl〉 , ahol (5.36)
J(x) = − δΓ[φcl]
,
δφcl(x)
(5.37)
W[J] ≡ N Dφ exp (−i 〈V (φ)〉) × (5.38)
exp
1
i
2 ∂µφ∂ µ φ − 1
2 (m2 − iε)φ 2
+ Jφ .
Vizsgáljuk meg a következő kifejezést:
1
i
δ
exp (i 〈Jφ〉) = φ(x) exp(i 〈Jφ〉). (5.39)
δJ(x)
78

Mivel J és φ független változók
exp (−i 〈V (φ)〉) exp (i 〈Jφ〉) = exp
−i
V
1 δ
i δJ
exp(i 〈Jφ〉). (5.40)
Ez lehetővé teszi, hogy leválasszuk a V -től függő tagot az integráltól
1 δ
W[J] = exp −i V W0[J], ahol (5.41)
i δJ
1
W0[j] = N Dφ exp i
2 ∂µφ∂ µ φ − 1
m
2
2 − iε
φ 2
+ Jφ .
vagy
exp (iZ[J]) = W[J] = N exp
−i
V
1 δ
i δJ
exp − i
2 〈J1△FJ2〉
.
W[J] perturbáció számítással való kifejtésének V = 0 esetben explicit meg-
oldása nem ismert. Kifejthetjük Γ[φcl]-t φcl szerint:
Γ[φcl] = d 4
x
+ magasabb rendű deriváltak.
V e (φcl) + 1
2 F(φcl)∂µφcl∂ µ φcl
Az effektívhatás nemlokális módon történő kifejezése φcl szerint:
Γ[φcl] =
N
1
Γ
N!
(N) (1...N)φcl(1)...φcl(N)
. (5.42)
1...N
Fourier transzformációt használva:
˜Γ (N) (p1,...,pN)(2π) 4 δ(p1 + ... + pN) =
= d 4 x1 ...d 4 xN exp (−i(p1x1 + ... + pNxN)) Γ (N) (x1 ...xN).
5.2. Statisztikus fizika és részecskefizika
kapcsolata
A statisztikus mechanika szoros kapcsolatban van a kvantummechanika Feyn-
man pályaintegráljával. Creutz 1977-ben megmutatta [112], hogy a transz-
fer mátrix módszer leegyszerüsíti a problémát a négyzetesen ingtegrálható
függvények operátora diagonalizálására a Hilbert térben.
79

Az m tömegű szabad nemrelativisztikus részecske Lagrange-függvénye
V (x) potenciálban mozogva (imaginárius idő rácson):
L(x, ˙x) = K( ˙x) + V (x), K( ˙x) = 1
2 m ˙x2 . (5.43)
A hatás tetszőleges trajektóriára
S = dtL ( ˙x(t),x(t)), (5.44)
mellyel megadható a pályaintegrál:
Z = [dx(t)]e −S . (5.45)
Az integrál az összes x(t) trajektóriára értendő. Diszkretizáljuk a rács idő
szerinti komponensét. Vizsgáljuk a teljes τ idő intervallumon a trajektóriákat,
melyet bontsuk fel a = τ/N hosszúságú diszkrét idő szeletekre. Az i-edik idő
szelethez tartozó koordináta xi. Az x időderiváltját közelítsük a szomszédok
különbségével:
S = a
i
1
2 m(xi+1 − xi) 2
+ V (xi) . (5.46)
a
A (5.45) kifejezést felhasználva a Z integrál közelítését az xi koordinátákkal
felírva:
Z =
dxi exp(−S). (5.47)
i
A (5.47) egyenlet nem más, mint egy statisztikus fizikai rendszer partíciós
függvényének alakja.
Vizsgáljunk egy 1 dimenziós rendszert (azaz xi 1 dimenziós). Megmutat-
ható, hogy ezen partíciós függvények kifejtése ekvivalens egy kvantumme-
chanikai Hamiltoni rendszer diagonalizálásával, melyet megkaphatunk ebből
a hatásból kanonikus módszerekkel. Ezt mutatja meg a transzfer mátrix
80

módszer. Fontos szempont, hogy a hatás (5.46) lokális természete miatt le-
hetővé válik a partíciós függvény felírása mátrix szorzat alakjában:
Z = dxiTxi+1,xi , ahol
i
Tx ′
,x = exp − m
2a (x′ − x) 2 − a
2 (V (x′
) + V (x)) . (5.48)
Ezen operátor hatása a négyzetesen integrálható függvények Hilbert terén,
ahol a belső szorzat: 〈ψ ′ | ψ〉 = dxψ ∗ (x)ψ(x), bázis állapotok:{| x〉} úgy,
hogy :| ψ〉 = dxψ | x〉 és 〈x ′ | x〉 = δ(x ′ − x) és 1 = dx | x〉 〈x |. Ebben
a Hilbert térben a T operátort 〈x ′ | T | x〉 = Tx ′ ,x összefüggéssel definiáljuk,
ahol Tx ′ ,x a már korábban bevezetett kifejezés. N elemű rácson periódikus
határfeltételt használva a pályaintegrál kifejezhető kompakt formában: Z =
tr(T N ).
Összességében az az eljárás, mely elvezet a pályaintegrálból a kvantum-
mechanikai Hilbert tér kifejezéséhez három lépésből áll: Először definiáljuk a
pályaintegrált egy idő-szerű rácson. Megkonstruáljuk a transzfer mátrixot a
Hilbert téren. Végül vesszük a transzfer mátrix logaritmusát, ahol a lineáris
tag a rendszer időbeli fejlődését fejezi ki. Ha a transzfer mátrix i-edik saját-
értéke λi, akkor Z = λ N i . Mivel az idő szeletek száma a végtelenhez tart,
ezért a kifejezést a λ0 maximális sajátértékkel jellemezhetjük:
Z = λ N 0
1 + O
exp
−N ln
λ0
λ1
. (5.49)
A statisztikus fizikában gyakran használják a statisztikai változók korrelációs
függvényét, mely megfelel a térelméleti változók Green függvényének, ekkor
a partíciós függvény alakja:
〈xi,xj〉 = 1
dxkxixj exp (−S) . (5.50)
Z k
Transzfermátrix pedig:
〈xi,xj〉 = 1
tr T
Z N−i+j xT i−j x
, ahol i − j > 0. (5.51)
81

5.3. Gauge mezők
A gauge mezők több bevezetése ismert. A legegyszerűbb a nemabeli gauge
mezőt az elektromágneses elméletet leíró abeli gauge elmélet kiterjesztését
bevezetni.
Az antiszimmetrikus tenzor komponenseit elektromágneses mezők alkotják,
melyek négydimenziós vektorok:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ µ,ν = 0, 1, 2, 3. (5.52)
A tér-idő indexeket µ,ν-vel, a csoport generátorokat α,β,γ-val fogjuk jelölni.
Yang, és Mills [104] tettek javaslatot (1954) arra, hogy izospin indexet ren-
deljenek hozzá az Aµ-höz és Fµν-höz:
Aµ → A α µ Fµν → F α µν α = 1,...,N, (5.53)
és egy további antiszimmetrikus tag hozzádásával az Fµν alakja:
F α µν = ∂µA α ν − ∂νA α µ + g0C αβγ A β µA γ ν, (5.54)
ahol g0 a csupasz csatolási konstans, C αβγ egy G Lie csoport Lie-algebrájának
struktúra konstansa. Itt csak unitér csoportokat használunk, a G csoport
fundamentális reprezentációját. Parametrizáljuk G elemeit a generátorok
halmazával:
g = exp(iω α λ α ), (5.55)
ahol ω α a paraméterek és λ α Hermitikus mátrixok halmaza, melyek ge-
nerálják a csoportot. A struktúra konstansokat definiáljuk a következő ösz-
szefüggéssel:
λ α ,λ β
= iC αβγ λ γ . (5.56)
A generátorok ortonormáltak: tr(λ α ,λ β ) = 1
2 δαβ . A legegyszerűbb nemabeli
elmélet az SU(2) csoportot használja, melyet a Pauli-mátrixok generálnak:
λ α = 1
2 τ α , C αβγ = ε αβγ . (5.57)
82

A Maxwell-egyenletek származtathatók a Lagrange-sűrűségből:
L = 1
4 FµνFµν + jµAµ, (5.58)
ahol jµ jelenti elektrodinamikai mezőnek a külső forrását. A nemabeli Lag-
range-sűrűség ugyanígy kezdődik, kivéve az izospinre vonatkozó összeget és
Fµν tartalmaz egy további tagot. Az elektrodinamikának klasszikus mozgás-
egyenlete a ∂µFµν = jν egyenlet. A nemabeli elméletben (DµFµν) α = j α ν . Itt
a kovariáns derivált:
(DµFµν) α = ∂µF α µν + g0C αβγ A β µF γ µν. (5.59)
Az áram megmaradás nemabeli analógiája:
Dµjµ = 0. (5.60)
Mátrix jelölést használva: Aµ = A α µλ α , Fµν = F α µνλ α , jµ = j α µλ α . Így
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − ig0[AµAν]. Ezzel a jelöléssel a Lagrange-sűrűség L =
1
2tr(FµνFµν) + 2tr(jµAµ).
A gauge mezők másik definíciója a hatás függvény lokális szimmetriáját
használja fel. Az elektrodinamika gauge szimmetriája: Aµ+∂µΛ, ahol a Λ(x)
gauge függvény a téridő koordináták tetszőleges függvénye. A nemabeli eset-
ben az Aµ következőképpen transzformálódik: Aµ → g −1 Aµg+ i
g0 g−1 ∂µg, ahol
g az alkalmasan választott gauge csoport eleme. Az elektrodinamikában ezt
a transzformációt egy egyszerű fázissal írjuk fel: g(x) = exp(−ig0Λ(x)). Ez
az elektrodinamikának az úgynevezett U(1) gauge elmélete. Ekkor a fent
megadott transzformációs formula felhasználásával az Fµν trnaszformációja
egyszerűen felírható: Fµν → g −1 Fµνg. A kovariáns derivált gauge transz-
formációja hasonló alakban adható meg.
A gauge elmélet harmadik lehetséges bevezetése a fázis elmélet (Mandel-
stam(1962) [110], Yang(1975)).
Ezen dolgozatban megemlítjük a gauge elméletek kanonikus Hamiltoni
formalizmussal történő bevezetését Steven Weinberg (1965) nyomán [113].
Az alábbiakban ezt a leírást részletezem.
83

5.3.1. Kanonikus tárgyalás
Tegyük fel, hogy a gauge elmélet Lagrange-sűrűsége invariáns az infinite-
zimális transzfomációk halmazára, ahol φl(x)-szel jelöljük az anyagmezőt,
ekkor a
δφl(x) = iε α (x)(Tα) m l φm(x), (5.61)
ahol ε α valós infinitezimális paraméter, Tα eleget tesz a Lie csoport kom-
mutációs relációjának:
ahol C γ
αβ
[Tα,Tβ] = iC γ
αβ Tγ, (5.62)
a csoport struktúra konstanssa, mely antszimmetrikus azaz Cγ
αβ =
−C γ
βα . Mivel az εα (x) kifejezés hely függő mennyiség és a Lagrange-sűrűség
tartalmazza az anyag mező deriváltját, ezért ezen keresztül az ε α (x) kifejezés
deriváltja is szerepelni fog az anyagmező transzformáltjában:
δ(∂µφl(x)) = iε α (x)(Tα) m l (∂µφm(x)) + i(∂µε α (x))(Tα) m l φm(x). (5.63)
Ahhoz, hogy a Lagrange-sűrűség invariáns maradjon, be kell vezetnünk az
A α µ vektorteret, melynek segítségével eltüntethető a második tag. Ezért az
új gauge mező transzformáltját a következőképpen vezetjük be:
δA β µ = ∂µε β + iε α (T A α ) β γA γ µ
(5.64)
alkalmas reprezentációt használva. Ennek segítségével megkonstruálhatjuk a
kovariáns derivált kifejezést:
(Dµφ(x))l = ∂µφl(x) − iA β µ(x)(tβ) m l φm(x), (5.65)
ahol φ(x) skalár mező, melynek felhasználásával:
δ(Dµφ)l = iε α (tα) m l (Dµφ)m, (5.66)
mely ugyanúgy transzformálódik, mint φ. Mivel ∂νA β µ − ∂µA β ν, mely µ-ben
és ν-ben antiszimmetrikus, arányos az ε(x) első deriváltjával, ezért az F γ µν
térerősség tenzor transzformáltjában az összes ilyen ε(x) derivált eltűnik:
F γ µν = ∂νA γ µ − ∂µA γ ν + C γ
αβ Aα µA β ν, (5.67)
84

melynek transzformáltja:
δF β µν = iε α C β γαF γ µν. (5.68)
A legegyszerűbb Lorentz invariáns paritás őrző Lagrange-sűrűség:
LA = gαβF α µνF β ̺σ, (5.69)
ahol gαβ konstans mátrix.
A teljes Lagrange-sűrűség tartalmaz egy ,,anyag” Lagrange-sűrűséget is.
L = − 1 µν
FαµνF α + LM(φ,Dµφ). (5.70)
4
Ezen kifejezések segítségével itt is levezethető az áram megmaradás és moz-
gásegyenlet megfelelő alakjai.
A kanonikusan konjugált változók a φl anyag mező és a kanonikusan
konjugált impulzus:
πl = ∂L
∂(∂0φl)
∂LM
= . (5.71)
∂(D0πl)
A gauge mező kanonikusan konjugált impulzusa:
Π µ
αi =
A Hamilton-sűrűség:
L
. (5.72)
∂(∂0Aαµ)
HM = πl∂0φl + Παi∂0Aαi − LM. (5.73)
A j ν α megmaradó áram (∂νj ν α = 0)
∂µF µν
α = −j ν α. (5.74)
A kovariáns áram DλF µµ
α = −J ν α, mely teljesíti a gauge kovariáns árammegmaradást,
azaz DνJ ν α = 0.
A kvantumtérelmélet keretén belül megadható egy olyan Lagrange sűrűség,
mely renormálható kölcsönhatásnak felel meg és a következő szimmetria tu-
lajdonságokkal rendelkezik: Lorentz invariancia, globális gauge invariancia,
85

BRST szimmetria, antighost transzlációs invariancia, ghost szám megma-
radás. A megfelelő Lagrange-sűrűség alakja:
LN = −ZA ˜ F µν
α ˜ Fαµν − Zφ ¯ φγ µ [∂µ − i˜tαAαµ]φ + 1
2 ξ′ hαhα +
(Zω/N£)hα∂µA µ α − Zω(∂µω ∗ α)(∂µωα) + Zω ˜ Cαβγ(∂µω ∗ α)ωβA µ γ, (5.75)
ahol az ˜ F µν
α mezőerősség tenzort felhasználva ˜ Cαβγ = Cαβγ/N a renormált
struktúra konstans és ˜tα = tα/N. A ξ ′ ,Zω,ZA konstansok, hα segédtér, ωα
ghost mező, ω ∗ α antighost mező.
Mivel a Lagrange-sűrűség csak az első ZA ˜ F µν
α ˜ Fαµν tag tartalmaz A α µ-ban
nemlineáris kifejezést, ezért csak ezzel fogunk foglalkozni a későbbiekben.
Megjegyzzük, hogy ha nem követeltük volna meg a fenti invarianciákat,
további A α µ vektortérrel kölcsönható tagokat, ill. A α µ-ben magasabb fokú
kifejezéseket is tartalmazhatna a Lagrange-sűrűség.
5.4. Csoport integrálás
Invariáns integrál létezik és a létezés ekvivalens az invariáns Radon mérték
létezésével. Ebben a fejezetben Haar[111], Wilson által bevezetett invariáns
integrál néhány alapvető tulajdonságát vizsgáljuk meg kompakt Lie csopor-
tokon. Minden integrálra fennáll:
dg(af(g) + bh(g)) = a
dgf(g) + b
dgh(g)
dgf(g) > 0, ha f(g) > 0 minden g-re, (5.76)
ahol f és h folytonos függvények a csoporton és a, b komplex számok. Ahhoz,
hogy mérték invariáns legyen:
dgf(g) = dgf(gg ′ ), (5.77)
ahol g ′ a csoport egy tetszőleges fix eleme. (A közönséges integrálnál ez meg-
felel az integrációs változó eltolásának.) Mivel kompakt csoportokat fogunk
86

vizsgálni, ezért normáljuk a mértéket úgy, hogy
dg1 = 1. (5.78)
Belátható, hogy ez a mérték létezik és egyértelmű.
Tetszőleges kompakt csoportra a Haar-mérték az egyetlen, ami eleget tesz
a következő feltételnek:
1. Invariáns
f(U)dU =
G
G
f(V U)dU =
G
f(UV )dU ∀ V ∈ G. (5.79)
2. Normálás:
dU = 1. (5.80)
G
Kompakt csoporton a Haar-mérték kielégíti a következő feltételt:
f(U)dU = f(U −1 )dU. (5.81)
G
G
A G = SU(2) esetben a csoportelemeket parametrizálhatjuk a következő
módon:
U = x 0 1 + ixτ =
⎛
⎝ x0 + ix 3 , x 2 + ix 1
−x 2 + ix 1 , x 0 − ix 3
Az x i paraméterek ki kell, hogy elégítsék a
detU = x 2 = (x 0 ) 2 + x 2 = 1 (5.82)
feltételt, mely S 3 gömböt határoz meg. A numerikus számítások során,
x0,x1,x2,x3 kvaternió reprezentációt alkalmaztuk , mivel a futás idő is gyor-
sabb és a memória igény is kisebb a mátrix reprezentációhoz képest. Másik
általánosan ismert parametrizálása az SU(2)-nek a ϕ szöggel és n egység-
vektorral történik.
iϕnτ
U = exp = cos
2
ϕ
1 + i sin
2
ϕ
nτ, (5.83)
2
ahol 0 ≤ ϕ < 2π, | n |= 1. A Haar-mérték alakja:
dU = 1
4π2dϕdΩ(n)
sin ϕ
2 .
2
(5.84)
Ezzel a jelöléssel a Haar-mérték, ahol dΩ(n) az egységsugarú gömbön definiált
3 dimenziós Hausdorff-mérték.
87
⎞
⎠ .

5.4.1. Lie-algebra
Tetszőleges Lie csoport egységelemének egy elegendően kicsiny környezetében
a csoport elemeit felírhatjuk (A gauge elméletben a jelölés némileg eltér
a matematikában szokásos jelölésektől, ahol a képletekben néhány helyen
imaginárius egység szerepel (például a struktúra konstansok elött is, ahol a
matematikában nem.))
g(α) = 1 + α a iT a + O(α 2 ), (5.85)
ahol a T a mennyiségek a Lie-algebra generátorai. A Lie csoport infinite-
zimális generátorai algebrát alkotnak a [T a ,T b ] = T a T b − T b T a műveletre.
Az Abel csoportnál [T a ,T b ] kommutátorok azonosan nullák. A különböző Lie
csoportok, melyek az egységelemhez infinitezimálisan közeli elemekkel való
szorzás tekintetében ekvivalensek, azaz a Lie-algebrájuk ugyanaz, globálisan
eltérően viselkedhetnek. Ez tükröződik a nemabeli Lagrange-sűrűség tulaj-
donságaiban is.
A T a generátorok kommutációs relációja:
T a ,T b
= C abc T c , ahol a C abc -
k a struktúra konstansok. A kommutációs relációkra tejesül az alábbi Jacobi
azonosság:
T a ,
T b ,T c
+
T b , [T c ,T a ]
+
T c ,
T a ,T b
= 0,
C ade C bcd + C bde C cad + C cde C abd = 0. (5.86)
Mivel a gauge elméletben a lokális szimmetriák a mezők unitér transz-
formációi, ezért a Lie-algebrák véges dimenziós Hermitikus reprezentációjával
foglalkozunk, ami elvezet a megfelelő Lie csoportok véges dimenziós unitér
reprezentációjához.
Ha a T a generátorok kommutálnak, akkor a megfelelő Lie csoport Abel
csoport. Például ilyen csoport a fázis forgatások csoportja U(1), melynek
elemei a ψ → exp(iα)ψ. Ha az algebra nem tartalmaz kommutáló eleme-
ket, akkor féligegyszerűnek hívjuk. Ha a Lie-algebra nem osztható a ge-
nerátorok két kölcsönösen kommutáló halmazára a Lie-algebra egyszerű. A
88

Lie-algebra általában nemabeli egyszerű komponensek és további abeli ge-
nerátorok direkt összege. Killing és Cartan osztályozása [125] szerint az
összes lehetséges kompakt egyszerű Lie-algebrának három család felel meg
az úgynevezett klasszikus csoportoknak. Számomra a következő 2 mátrix
csoport és Lie-algebrájuk lesz fontos:
1. Az N dimenziós vektorok unitér transzformációi ξ, η, legyenek komplex
N dimenziós vektorok. A lineáris transzformáció alakja: ξa → Uabξb ηa →
Uabηb. Ez a transzformáció unitér, ha skalár szorzat tartó: (η,ξ) = (Uη,Uξ).
Az U(1) ezen családhoz tartozik, továbbá fontos szerepet kapnak az SU(N)
részcsoportok is, melyek elemeire det(U) = 1. Az SU(N) infinitezimális
generátorai N × N-es Hermitikus mátrixok, melyekre tr(T a ) = 0. Ezek
N 2 − 1 dimenziós teret alkotnak.
2. Az N dimenziós vektorok ortogonális transzformációi az O(N) csopor-
ton. Ezen csoportok egy részcsoportja a forgás csoportok N dimenziós térben
az SO(N) csoport, infinitezimális generátorai N(N−1)
2 . A jövőben SU(N) és
U(1) csoportokkal fogunk foglalkozni.
Reprezentáció: Ha egy G csoport minden g eleméhez hozzárendelünk a
V lineáris téren ható U[g] : V → V leképezést úgy, hogy a hozzárendelés
művelettartó, azaz U(g1g2) = U(g1)U(g2), akkor a g → U[g] leképezést a G
csoport V téren való ábrázolásának hívjuk. Egy ábrázolás V lineáris terének
alterét invariánsnak nevezzük, ha az ábrázolás operátorai önmagára képezik
le. Az ábrázolás teljes tere és az üres altér triviális invariáns alterek.
Az U ábrázolás reducibilis az V téren, ha V felbontható két nem-triviális
invariáns altér direkt összegére: V = V1 ⊕ V2.
Egy ábrázolás irreducibilis, ha nem reducibilis. Irreducibilis unitér repre-
zentációkkal fogunk foglalkozni. Felhasználjuk a Lie csoport Lie-algebrájának
reprezentációi és a Lie csoport reprezentációi közti kacsolatot [124]. Irredu-
cibillis unitér reprezentáció esetén vizsgáljuk a félegyszerű Lie-algebra két
generátor mátrixa szorzatának nyomát: tr[T a r ,T b r] = D ab . Mivel a generátor
mátrixok Hermitikusak a D ab mátrix pozitív definit.
89
Általában igaz az összes

irreducibilis reprezentációra, hogy
C abc = − i
tr [T
c(r) a r ,T b r],T c
r , (5.87)
ebből következik, hogy a C abc struktúra konstans teljesen antiszimmetri-
kus. G minden egyes irreducibilis reprezentációjához hozzárendelhető a r
konjugált reprezentáció. Az r reprezentáció segítségével felírhatjuk a φ tér
infinitezimális transzformációját: φ → (1 + iα a T a r )φ. Ezen transzformáció
komplex konjugáltja: φ ∗ → (1 − iα a (T a r ) ∗ )φ ∗ . A r konjugált reprezentációja:
T a r = −(T a r ) ∗ = −(T a r ) T .
Másik fontos irreducibilis reprezentáció bármely egyszerű Lie-algebrára
az adjungált reprezentáció, ahol a mátrix:
T b
G = iCabc
ac
T b G,T c
G = iCabc T
ae d
G
ae
(5.88)
(5.89)
Nem más mint a Jacobi azonosság. Mivel struktúra konstansok valósak és
antiszimmetrikusak: T a G = − (T a G) ∗ , ezért az adjungált reprezentáció mindig
valós.
Bianchi azonosság:
ε µνλσ (DνFλσ) µ = 0, (5.90)
mely ugyanazt a szerepet játsza a Yang-Mills elméletben, mint a Maxwell
egyenletek az elektrodinamikában.
90

6. fejezet
Rács térelmélet
6.1. Parallel transzporter
6.1.1. Folytonos eset
Jelöljön Cyx olyan pályát, amelyben x a kezdeti y a végpontja a tér-időben.
A Cyx és az SU(N) mátrix kapcsolata:
A párhuzamos eltolás egy olyan s U(Cyx) : Vx → Vy leképezés, ahol a Vx ill.
Vy az x ill. y pontbeli vektorterek, ekkor U(Cyx)φ(x) ∈ Vy, φ i (x) a komplex
skalár mező i = 1,...,N a folytonos euklideszi térben, a φ(x) vektor mező
komponensei, melyre U(Cyx)φ(x) = φ(y), ahol U(Cyx) SU(N)-beli mátrix.
Azaz általánosan azt mondhatjuk, hogy a fenti kifejezéssel a φ(x) mezőt a
(Cyx) pálya mentén leképezzük a φ(y)-ba folytonos és differenciálható módon.
A parallel transzpoter kielégíti a következő feltételeket:
1. U(C) = 1, ha (C) zéró hosszúságú görbe azaz (Vx → Vx) a konstans
leképezés.
2. U(C2 ◦ C1) = U(C2)U(C1), ahol C2 ◦ C1 jelöli a C1 és C2 egymás utáni
felosztását.
3. U(−C) = U(C) −1 , ahol −C a C-vel ellentétes irányítású pályát jelöli.
91

A parallel transzformáció lokális gauge transzformáltja:
U(Cyx) → U ′ (Cyx) = Λ −1 (y)U(Cyx)Λ(x). (6.1)
A kovariáns derivált bevezetéséhez vizsgáljunk az x és y = x + dx infi-
nitezimálisan közeli pontokat összekötő parallel transzportert egy egyenes
mentén
U(Cx+dx,x) = 1 − Aµ(x)dx µ , (6.2)
ahol Aµ(x) ∈ SU(N) Lie-algebra eleme. A φ(x) mező kovariáns differenciálja:
kapjuk
Dφ(x) = U −1 (Cx+dx,x)φ(x + dx) − φ(x), (6.3)
Dφ(x) = Dµφ(x)dx µ , ahol (6.4)
a kovariáns derivált:
Dµφ(x) = (∂µ − Aµ(x))φ(x). (6.5)
A lokális gauge mező transzformációja:
Aµ → A ′ µ = Λ −1 (x)Aµ(x)Λ(x) − (∂µΛ −1 (x))Λ(x) =
Λ −1 (x)(∂µ + Aµ(x))Λ(x), (6.6)
ahol Λ SU(N)-beli N × N mátrix. Ekkor a kovariáns derivált kovariánsan
transzformálódik:
D ′ µφ ′ (x) = Λ −1 (x)Dµφ(x). (6.7)
A kovariáns derivált geometriai jelentése az általános relativitás elméletben
bevezetett mezőerősség tenzorral analóg módon történik. A parallel transz-
portert felírjuk dx, dy infinitezimális oldalú paralelogramma mentén:
U(Cxx) = 1 − Fµνdx µ dy ν . (6.8)
A térerősség lokális gauge transzformációja :
F ′ µν(x) = Λ −1 (x)Fµν(x)Λ(x). (6.9)
92

6.1.2. Diszkrét eset
Vizsgáljunk egy a rácstávolságú hiperköbös rácsot, az előző fejezetben tárgyalt
folytonos euklideszi-tér rács regularizációját. A φ(x) skalár mezőt csak a
rácspontokon értelmezzük. A lokális gauge transzformációja:
φ(x) → φ ′ (x) = Λ −1 (x)φ(x). (6.10)
A folytonos esettel ellentétben, ahol a gauge mezőt megadtuk a parallel
transzporterek segítségével infinitezimális távolság esetén, ezen esetben be
kell vezetni a legközelebbi nemzérus rácstávolságot a-t a hiperköbös rácson.
Ezért az elemi parallel transzporterek rácson összekapcsolódnak a b linkek-
kel, mely a szomszédos pontokat köti össze. Legyen x egy tetszőleges pont
a rácson. A szomszédos pontokat felírhatjuk az x + aˆµ alakban, ahol µ =
1, 2, 3, 4 és ˆµ jelöli az µ-edik egységvektort. Az x-ből x + aˆµ-be mutató lin-
keket, jelölhetjük a következő rendezett párral: b = (x + aˆµ,x) ≡ (x,µ). A
parallel transzportert megfogalmazhatjuk a b linkkel:
U(b) ≡ U(x + aˆµ,x) ≡ Uxµ ∈ G, (6.11)
ahol G a gauge csoport. Az így bevezetett link változó eleget tesz a parallel
transzporter megfelelő tulajdonságainak. Tetszőleges C = bn ◦ bn−1 ◦ ... ◦ b1
pályára a rácson a parallel transzporter U(b) = U(bn)...U(b1) ≡
b∈C U(b),
ami leírja a link változókat. Ezek összességét {U(b)}-vel jelöljük [119]. A
link változók transzfomációja:
U ′ (y,x) = Λ −1 (y)U(y,x)Λ(x). (6.12)
Definiáljuk a kovariáns deriváltat:
Dµφ(x) = 1
a (U −1 (x,µ)φ(x + aˆµ) − φ(x)). (6.13)
A közönséges deriváltak helyettesítése kovariáns deriváltakkal a kinetikus
tagban:
1
2
x
a 4
2
DµφDµφ = −a
〈xy〉
φ(x)U(x,y)φ(y) + 4a
93
2
x
φ(x) 2 . (6.14)

A legkisebb zárt loopot a rácson plakettnek hívjuk. Egy plakettet 4 link
határol, a plakett a következő pontokat tartalmazza:x,x+aˆµ,x+aˆµ+aˆν,x+
aˆν, ezt p = (x;µν): jelöljük. A megfelelő parallel transzportert a következő
alakban írhatjuk:
Up ≡ Ux;µν ≡ U(x,x + aˆν)U(x + aˆν,x + aˆµ + aˆν) ×
U † (x + aˆµ + aˆν,x + aˆµ)U † (x + aˆµ,x), (6.15)
melyet plakett változónak hívunk. Wilson javaslatára [114, 115] a hatás egy-
szerű rács gauge elméleti definícióját a plakett változókkal felírva: S[U] =
p Sp(Up) alakban adhatjuk meg, azaz a hatás az összes p plakettre lett
összegezve, ahol
p =
x
felírt hatás (egyetlen irányt kitüntetve):
Sp(Up) = β
1≤µ,ν≤4 kifejezést jelenti. Az elemi plakettre
1 − 1
N RetrUp
. (6.16)
6.2. Wilson hatás, rács Hamilton
A Wilson hatás gauge invariáns, mivel trU ′ p = trUp alkalmasan választott
SU(N) csoportra, továbbá valós és pozitív. Vizsgáljuk meg hogyan lehet
felírni a Yang-Mills hatást a Wilson hatás segítségével. Korábban bevezettük
a vektorpotenciált: Aµ(x) = −igA b µ(x)Tb. Lie-algebra értékű vektormezőt
definiálták rácson és
U(x,µ) ≡ exp(−aAµ(x)) = 1 − aAµ(x) + a2
2 Aµ(x) 2 + ... (6.17)
felhasználjuk:Aν(x+aˆµ) = Aν(x)+a∆ f µAν(x), ahol ∆ f µf(x) = 1
a (f(x+aˆµ)−
f(x)). A Campbell-Baker-Hausdorff kifejezés: exp(x) exp(y) = exp(x + y +
1[x,y]
+ ...), ezért kapjuk:
2
Ux;µν = exp
−a 2 Gµν(x)
, ahol Gµν(x) = Fµν(x) + O(a) (6.18)
Fµν(x) = ∆ f µAν(x) − ∆ f νAµ(x) + [Aµ(x),Aν(x)]. (6.19)
94

Ezért
1 − 1
N RetrUp = 2tr1 + a 4 tr(Fµν(x)) 2 + O(a 5 ), (6.20)
mivel trGµν(x) = 0 és
p tr(Fµν(x)) 2 = 1
2 x;µν tr(Fµν(x)) 2 .
hatásra a következő kifejezést kapjuk:
A Wilson
S = − β
4N
a
x
4 trFµν(x)F µν (x) + O(a 5 ). (6.21)
Ezért a vezető tag kis a-ra egybeesik a Yang-Mills hatással, ha β = 2N
g 2 és g
megfelel a rács elmélet csupasz csatolási konstansának. Felbontjuk a hatást
tér- és időszerű komponensekre
S = 2
g 2
pt
(N − trUpt) − 2
g 2
(N − trUps),
ps
ahol g a csatolási állandó folytonos határértéke, a (-) előjel a Minkovski tér-
idő szerkezetéből származik. Az Upt Taylor sor kifejtése az idő függő tagban.
Upt = U(t)U † (t + at) = UU † + atU ˙ U † + a2 t
2 U܆ + ...,
U † jelenti U adjungáltját. A Wilson hatásban megjelenő kifejezések:
N − trUpt = − a2 t
2 tr(U܆ ) O(a 3 t) korrekcióval.
Mivel UU † = 1, a trace eltűnteti N-et. A U ˙ U + U ˙ U † = 0 kifejezésből
tr(U ˙ U † ) is nullává válik. A UU † = 1 második deriváltja: ÜU† + 2 ˙ U ˙ U † +
UÜ † = 0. Ezért a Hamiltoni rácshatás:
∆SH = 2
g2 ⎛
⎝ a2
t
tr
2
Ui
˙ ˙ U †
i −
⎞
(N − tr (Uij)) ⎠ .
Az általános diszkretizált ansatz:
S = at a
t
3
s L.
s
i
ij
95

A skálázott Hamilton sűrűség.
atH = 2
g2 ⎛
⎝ a2
t
tr
2
Ux,i, ˙ ˙ U †
x,i +
⎞
(N − tr (Ux,ij)) ⎠ , (6.22)
azaz
x,i
H = a 3
s tr
s
x,ij
˙U, ∂L
∂ ˙
− L . (6.23)
U
A várhatóérték:
〈Θ〉 = Z −1
(dU)Θ(U) exp(−S(U)), ahol (6.24)
Z = (dU) exp(−S(U)).
A gauge mező leírásához funkcionál integrált használunk. Folytonos esetben
az előző mennyiség várhatóértéke:
〈Θ〉 = 1
D[Aµ]Θ exp(−S[Aµ]). (6.25)
Z
Az integrált a gauge mező összes konfigurációjára vett funkcionál integráljára
írjuk fel. Rácson a gauge mezőt megadhatjuk a link változók konfigurációjával.
A {U(b)} ≡ U és Θ({U(b)}) link változókkal felírt mennyiség várhatóértéke:
〈Θ〉 = 1
dU(b)Θ exp(−S(U)), (6.26)
Z b
ahol Z = b dU(b) exp(−S(U)) és S(U) a Wilson hatás. Ha bevezetjük
φ(x) az ”anyag” mezőt az ennek megfelelő integrált kapjuk:
〈Θ〉 = 1
dU(b)
Z
dφ(x)Θ exp(−S(U,φ)). (6.27)
b
x
Ezekben a kifejezésekben az integrációs mértéket, dU(b)-t, úgy kell választa-
ni, hogy gauge invariáns legyen.
A gauge transzformáció során
U ′ (x,y) = Λ −1 (x)U(x,y)Λ(y) (6.28)
mérték és hatás invariáns: dU = dU ′ , S(U) = S(U ′ ).
96

7. fejezet
NAME kaotikus
tulajdonságainak vizsgálata
rácson
A klasszikusan leírható mértékterek kaotikus dinamikája nagy energia sűrűsé-
gen és hőmérsékleten lezajló, a nehézionreakciók során fellépő entrópia pro-
dukció (mely a keletkezett hadronok nagy számában tükröződik), illetve a ko-
rai univerzum magas hőmérsékletű (T ≈ 200GeV) tartományában entrópia
keltő fizikai mechanizmusok megértéshez nyújt egy lehetséges modellt.
A mértékterek kaotikus tulajdonságait az 1980-as évek óta vizsgálják
analitikus és numerikus eszközökkel. Az előző fejezetben láttuk, hogy a
Wu-Yang monopólus egy instabil analitikus megoldását adja a Yang-Mills
egyenletnek. A 90-es évek második felében a relativisztikus nehézion re-
akciók és a forró univerzum korai időszakának kutatása során a mértékterek
kaotikus dinamikáját vizsgálták a Hamiltoni rácstérelmélet keretében klasz-
szikus közelítésben. Az energia függést tanulmányozták U(1),SU(2), SU(3)
mértéktereken illetve Higgs doubletekből álló összetett rendszereken, a ma-
ximális Ljapunov-exponens meghatározása érdekében. Kisebb rendszerekre
a teljes valós Ljapunov spektrumot is tanulmányozták, melyből az entrópia
97

produkció is kiszámítható.
Mint statisztikus fizikai rendszer kanonikus és mikrokanonikus sokaságo-
kat feltételezünk, azaz az energia állandó marad az időfejlődés során a teljes
rendszeren ill. minden egyes elemi cellára.
7.1. XY modell
A Yang-Mills elmélet legegyszerűbb modellje az XY modell, mely az ere-
deti rendszer több fontos tulajdonságával rendelkezik. Vizsgáljuk csak két
homogén módusát a nemabeli SU(2) vektorpotenciálnak: x = A 2 1(t) és
y = A 1 2(t)-t, melyek nem egyenlőek nullával. Ekkor a következő egyszerű
effektív Hamilton-sűrűséget kapjuk, mely a nemzéró vektorpotenciál kompo-
nensnek köszönhetően egy nemlineáris csatolt két szabadság fokú mechanikai
rendszernek felel meg:
H(p,q) = 1
2 (p2 x + p 2 y) + g2
2 x2 y 2 , ahol V (x,y) = g2
2 x2 y 2 , (7.1)
px = ˙x, py = ˙y, px ˙ = −g 2 xy 2 , py ˙ = −g 2 x 2 y.
Szorozzunk g 2 -tel és skálázzunk g-vel:
gx → x, gy → y, g 2 H → H ′ . Ekkor a skálázott Hamilton függvény:
H ′
= g 2 H = 1
2 (p2 x + p 2 y + x 2 y 2 ), ahol g a csatolási konstans. (7.2)
A mozgásegyenletet a Hamilton függvényből származtatva:
¨x + xy 2 = 0, (7.3)
¨y + x 2 y = 0.
Ilyen x 2 y 2 típusú potenciált a fizika több területén is alkalmaztak mágneses
erőtérbeli hidrogén atom diszkrét spektrumának meghatározásánál.
Számos tanulmányban vizsgálták a mozgásegyenletet, mely nemintegrál-
ható és kaotikus mozgást ír le [129, 130, 131, 132]. A Yang-Mills modell
98

y
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
’lpc2.dat’
’lpcn.dat’
0.00075/x
-0.00075/x
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
x
7.1. ábra. Klasszikus trajektóriák az XY modellben.
numerikus vizsgálatát az XY modell tanulmányozásával kezdtem, a Ljapu-
nov spektrum meghatározása volt az első közelítése a NAME kaotikus vi-
selkedésének, mely során kapott eredmények egy része a [61] cikkben lett
publikálva.
Mivel bármely energián a mozgás hasonló egy másik alkalmasan skálázott
energián történő mozgáshoz, ezért elég egy energia értéket vizsgálni. Ezért
H = E = 1
2 állandó energián a mozgás hiperbolikus x2 y 2 = 1 potenciálon
belül történik, ahol a pályák a potenciálfalakat érintve kitöltik a fázisteret.
A valós idejű rácsszámolással ki lehet számolni a periódikus, azaz reguláris
pályákat. A rendszer kaotikus viselkedése könnyen látható a potenciálfal ne-
gatív görbületéből, az ilyen konkáv alakú potenciálfal defókuszálja a beérkező
közeli trajektóriákat. Ez megfelel a M stabilitásmátrix negatív sajátértékei-
nek.
A (7.2) egyenletnek eleget tevő egy paraméteres Hamilton függvény
H = 1
p
2
2 x + p 2 y +
x 2 1
y
2 a
, (7.4)
ahol a kvadratikus potenciált a = 1 esetén kapjuk vissza és hiperbolikus
billiárdra vezet, ha a → 0.
99

Az XY modell stabilitás mátrixa, ahol q ≡ (x,y), p ≡ (px,py) :
M =
M =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
∂ ˙q
∂q
,
∂ ˙q
∂p
∂ ˙p
∂q
,
∂ ˙p
∂p
⎞
∂ 2 H
∂p∂q , ∂ 2 H
∂ 2 p
− ∂2 H
∂ 2 q , − ∂2 H
∂p∂q
⎟
⎠ , ahol ˙q = ∂H
∂p
⎞
⎟
⎠ .
A karakterisztikus egyenlet:
⎛
0 − ω, 1
det(M − ω1) = det ⎝
−∂2 ⎞
⎠ ,
qV, 0 − ω
ahol
∂ 2 qV =
⎛
⎝ y2
2xy
2xy x 2
⎞
⎠, azaz V = 1
2 x2 y 2 ,
⎛ ⎞ ⎛
δ ˙x 0
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ δ˙y ⎟ ⎜ 0
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = ⎜
⎜ δpx ˙ ⎟ ⎜ −y
⎝ ⎠ ⎝
δpy ˙
0 1 0
0 0 1
2 −2xy
−2xy 0 0
−x2 ⎞ ⎛ ⎞
δx
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ δy ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟ .
⎟ ⎜ δpx ⎟
⎠ ⎝ ⎠
0 0 δpy
, ˙p = −∂H , azaz
∂q
Az analitikus Hamilton függvény x 2 y 2 potenciállal komplex fázis tér struk-
túrával rendelkezik: KAM tórusszal, keverő stabil tartománnyal, stabilitás
elliptikus szigeteivel. Numerikusan tanulmányozták a Poincaré-leképezését
és Ljapunov-exponensét, mely a kaotikus ill. reguláris tartományokra jel-
lemző tulajdonságokat mutat.
T. Bountis egy általánosabban definiált Hamilton függvényt vizsgált:
H(α) = ( ˙x 2 + ˙y 2 + x 2 y 2 )/2 + α(x 2 + y 2 )/2, (7.5)
mely α → 0 esetén destabilizálja az összes pályát, azaz α = 0 esetén nincs
stabil pálya. A H(0) Hamilton függvény teljesen kaotikus a periódus kettőző
bifurkáció következtében [128].
100

Vizsgálták az M stabilitásmátrix sajátértékeit, mely szerint, ha a saját-
értékek valósak, a trajektóriák exponenciálisan távolodnak, azaz a mozgás
instabil, az imaginárius sajátértékek pedig a stabil mozgásnak felelnek meg.
Mivel a sajátértékek idő függőek, ezért a mozgás stabilitása is időben változó.
Az M sajátértékei ω± = ±[−b ± (b2 − 4c) 1
2] 1
2, ahol b = ∂2V/∂x 2 1 + ∂2V/∂x 2 2
és c = (∂2V/∂x 2 1)(∂2V/∂x 2 2) − (∂2V/∂x1∂x2) 2 .
A trajektóriák hiperbolikus potenciálfalak közti mozgását, azaz a centrális
és az egyes csatornákban kialakuló időfejlődést szögfüggő lineáris oszcillátorral
modellezték, ahol az x-et paraméternek tekintjük ωy = x. Ha a sebesség
párhuzamos az x vagy y tengelyekkel a mozgás nem korlátos, a részecske
végtelen ideig tartózkodik a csatornában. Numerikus számolások alapján, ha
a részecske sebessége rendelkezik a tengelyre merőleges irányú komponenssel,
véges időtartam után visszatér a centrális tartományba. A periódikus pályák
a centrális tartományban alakulhatnak ki átmenetileg. Bár a fázistérbeli
mozgás majdnem minden esetben korlátos, a csatornákban logaritmikusan
divergens. A korábban bevezetett egyenlet kvantum mechanikai analógiájára
Berry Simon adott formális bizonyítást , miszerint a klasszikusan végtelen
fázis térfogat a kvantummechanikában diszkrét spektrummal rendelkezik.
A klasszikus Hamilton függvény kvantálása fontos kérdés az eredeti Yang-
Mills térelmélet problémáinak minél pontosabb megválaszolására. Bohr és
Sommerfeld kvantálást, Gutzwiller trace formulát, további modell számo̷lá-
sokat vezettek be. Ez a kérdés máig is nyitott kérdése a rácstérelméletnek.
Az XY modell numerikus számolását [61] cikkben vizsgáltam. A stabi-
litásmátrix sajátértékeinek meghatározása fontos szerepet játszik a Ljapunov-
exponens teljes spektrumának kiszámításában, melyet a következő fejezetben
mutatunk meg.
101

7.2. Rács Yang-Mills elmélet
A következőkben a klasszikus rács SU(2) gauge elmélet Hamiltoni megfogal-
mazását használjuk [106]. A Hamilton függvény:
H ′ = g2 aH
4
=
x,i
a2 4 tr U ˙ †
x,i, ˙
Ux,i
+
x,ij
1 − 1
2 trUx,ij
,
ahol Ux,i jelenti az SU(2) csoport elemet, mely a rácson az x = (x1,x2,x3)
pontban kezdődő i irányba mutató x + aei linket jelenti, Ux,ij azt az Ux,ij =
Ux,iUx+i,jU †
x+j,iU †
x,j elemi plakettet jelöli , mely az x pontban kezdődő i és j
elemi vektorok által kifeszített síkban fekszik. Áttérünk csak linkek szerinti
összegzésre:
H =
x,i
1
2 〈 ˙ Ux,i, ˙
Ux,i〉 + 1 − 1
4 〈Ux,i,Vx,i〉
,
ahol a komplement link változó Vx,l(U):
Vx,l = 1
4
( (l,s):{(i,j),(k,j),
(−i,j),(−k,j)} )
Ux+l,sU †
†
x+l+s,−lU x+l,−l , ahol
az i,j,k a három dimenziós rács egységvektorai.
A már korábban bevezett kvaternió reprezentációt alkalmaztuk:
U = u01 + iτu U =
⎛
⎝ u0 + iu3,iu1 + u2
iu1 − u2,u0 − iu3
A Hamilton függvényből származtatott mozgásegyenlet:
˙U = P,
P ˙ = V − 〈U,V 〉 U − 〈P,P 〉 U,
ahol 〈P,P 〉 = 1
2 j PjP j .
102
⎞
⎠ .

A rács mozgásegyenlet [107]:
Ut+1 − Ut−1 = 2h(P ⋆
t − εU ⋆ t ),
Pt+1 − Pt−1 = 2h(V (U ⋆ t ) − µU ⋆ t + εP ⋆
t ), ahol
ε = 〈U⋆ t ,P ⋆
t 〉
〈U⋆ t ,U ⋆ t 〉 , µ = 〈V (U⋆ t ),U ⋆ t 〉 + 〈P ⋆
〈U⋆ t ,U ⋆ t 〉
t ,P ⋆
t 〉
, és (7.6)
U ⋆ t = aUt+1 + bUt + cUt−1. (7.7)
Az ε,µ a Lagrange multiplikátorokat jelöli.
A Hamiltoni rendszer energiája, a mozgás során állandó volt. Az egyenle-
trendszer megoldásánál periodikus határfeltételt alkalmaztuk. A színtöltést
definiáltuk
Γi =
l+
PlU †
l
−
összefüggéssel. A megváltozás mértéke:
l−
U †
l Pl, i = 1,...N (7.8)
˙Γi =
(V U † − 〈V,U〉1), (7.9)
l+
ahol P1 = QU1 és Pn = U †
n−1Pn−1Un, 1 < n < N. A semlegesség feltételét
úgy fogalmazták meg, hogy
Q − F † QF = 0, (7.10)
amiből következik
trQ = 0, (7.11)
Q = q
2 (F † N−1
− F), ahol F = Ui rendezett szorzat (7.12)
i=1
a kezdeti színtöltés értéke Q, a végállapoté −F † QF.
103

7.2.1. Valós Ljapunov spektrum
A Yang-Mills mezők valós Ljapunov spektrumának meghatározásával az 1990-
es évek elején kezdtek el foglalkozni. Numerikus módszerekkel megmutatták,
hogy az SU(2) gauge elmélet valós idejű Hamiltoni dinamikája térbeli rácson
determinisztikus káoszt mutat a szemiklasszikus határesetben. Meghatároz-
ták a maximális Ljapunov-exponenst háromdimenziós rácson a kezdetben infi-
nitezimálisan közeli trajektóriák exponenciális divergenciájának segítségével,
feltéve az energia és a Gauss törvény megmaradását és a link változók uni-
taritását a mozgásegyenlet megoldása során [116, 117].
ahol
D(Ul,U ′ l) = 1
| trUp − trU
2Np p
′ p |, (7.13)
Ul = exp −i 1
2 τ a A a
l , (7.14)
mely eleme az SU(2)-nek. Kezdeti random konfigurációból indítva, hosszú
idő elteltével a D szaturálódik.
A teljes valós Ljapunov spektrumot a rescaling módszerrel vizsgálták
[118]. Tegyük fel, hogy ki akarjuk számolni a két legnagyobb Ljapunov-
exponenst. Válasszunk három, a térben infinitezimálisan közeli z0(0),z1(0),
z2(0) pontot véletlenszerűen. Ha a rendszer kaotikus, a trajektóriák expo-
nenciálisan távolodnak egymástól. Jelölje a trajektóriák közti szeparációs
vektort
di(t) = zi(t) − z0(t), i = 1, 2. (7.15)
A két vektor távolsága Di =| di |. Rögzítsük a fix referencia távolságot: D0 =
Di(0) a t = 0 időpillanatban. A teljes eljárás két lépésből áll. Először kifejt-
jük a zi(t) trajektóriát a mozgásegyenletnek megfelelően adott t0 időinterval-
lumon. A második lépésben átskálázzuk d1 és d2 a szeparációs vektort. A
z0(t0) pont fix marad, de a D1 távolságot átskálázzuk D0 szerint:
z ′ 1(t0) = z0(t0) + D0
D1(t0) d1(t0). (7.16)
104

A skálafaktor legyen:
s k 1 = D1(t0)
D0
, (7.17)
ahol k a k-adik újra skálázást jelöli. A z2(t0) esetén először ortogonalizáljuk
d2(t0)-t d1(t0)-ra, ezután skálázzuk az ortogonalizált d ′ 2 vektort D0 referencia
hosszra, az új skála faktor s k 2. Ezt az eljárást iterálva n-szer:
n ln s
λi = lim
n→∞
k=1
k i
. (7.18)
t0
Itt λ1 a legnagyobb, a λ2 a második legnagyobb Ljapunov-exponens. Hozzá-
adva további trajektóriákat megkaphatjuk a teljes valós Ljapunov spektru-
mot.
Maximális Ljapunov-exponens energia függése aλ0 ∝ g 2 aE (7.7) ábrán
látható.
7.2.2. Teljes komplex Ljapunov spektrum
Az SU(2) Yang-Mills mező teljes komplex Ljapunov spektrumát határoztuk
meg numerikusan három dimenziós rácson a klasszikus kaotikus dinamika
felhasználásával a monodromia mátrix sajátértékeivel. Meghatároztuk a
mikrokanonikus sokaság állapotegyenletét, mint az entrópia-energia relációt,
felhasználva a Kolmogorov-Sinai entrópiát nagy rácsméretre extrapolálva.
Korábbi numerikus kutatások során a Yang-Mills rendszer klasszikus Hamil-
toni dinamikájának vizsgálata során ellenőrizték ekvipartíció teljesülését a
három dimeziós rácson.
Az átlagos energia és a Kolmogorov-Sinai entrópia közti megfeleltetést
először [116] cikkben tárgyalták az egyszerű SU(2) Yang-Mills rendszerre.
A rescaling módszerrel csak a pozitív valós Ljapunov-exponenseket tudták
kiszámítani viszonylag kis rácson (N = 2, 3). A termodinamikai határértékre
(N → ∞) nem lehetett következtetni és a kezdeti értéktől való függésre sem
adtak választ [118]. A [63] cikkben az SU(2) rács gauge elmélet klasszikus
105

kaotikus dinamikának köszönhető ergodizációját vizsgáltuk. Kiszámoltuk
nagyobb rácsokra (N = 2, 3, 4, 5, 6) az entrópiát és extrapoláltuk nagy N
értékekre. A monodromia mátrix felhasználásával a teljes komplex Ljapunov
spektrum jó közelítését állítottuk elő az időben kifejlődő mező konfigurációk
terében rácson. A hosszú időre vett határérték a Ljapunov-exponensek kiszá-
mításában játszik fontos szerepet, a nagy rácsokra vett közelítés a termodi-
namikai határértéket adja meg. A kezdeti konfigurációkat véletlenszerűen
választottuk a Haar-mértéknek és a teljes energiának megfelelően.
A (2.20) összefüggéssel összhangban Li Ljapunov-exponenst kifejezzük a
monodromia mátrix Λi sajátértékeivel:
nt=1 ln Λi(t)dt
Li = lim
n→∞ n
i = 1,...,f, (7.19)
ahol Λi(t) a karakterisztikus egyenlet megoldása:
det[Λi(t)1 − M(t)] = 0, (7.20)
mely összefüggésben M a lineáris stabilitási mátrix, f a szabadsági fokok
száma. A konzervatív dinamikai rendszerek kielégítik a Liouville tételt:
f
Li = 0. (7.21)
i=0
A numerikus számolásokban a diszkrét Ljapunov spektrum definícióját hasz-
náljuk:
L ′ i = 〈Λi〉 (n) = 1
n
n
Λi(tj−1), i = 1,...,f, (7.22)
j=1
ahol a tj idősorozat a gauge mező konfiguráció pálya menti fejlődése során.
A L ′ i mennyiségeket extrapoláljuk hosszú idejű (n → ∞) határértékre, fix
időlépésekkel. Feltesszük, hogy konvergál az Li Ljapunov-exponenshez.
A rescaling módszerben két egymáshoz közeli trajektóriát alkalmaznak,
a monodromia mátrix eljárás csak egy gauge mező idő fejlődését használja,
és lehetőséget ad arra, hogy rövid és hosszú idejű viselkedést is meg tudjuk
különböztetni.
106

A Kolmogorov-Sinai entrópia definiálásához a Pesin kifejezést használjuk:
h KS =
i
L ′ iΘ(L ′ i), (7.23)
ahol a Θ(x) függvény értéke 1, ha az argumentum pozitív és 0 egyébként. A
h KS mennyiség dimenziója 1/idő. Ezért az entrópia sűrűség változását meg-
adhatjuk egy N ×N ×N-es rácson a Kolmogorov-Sinai entrópia normálásával:
〈S〉 =
h KS
Re(L0)N 3,
mely intenzív mennyiség.
(7.24)
Az előző fejezetben bevezetett mozgásegyenlet felhasználásával a stabi-
litás mátrix alakja:
⎛
∂
⎜
M = ⎝
˙ U
∂U ∂ ˙ U
∂P
∂ ˙ P ∂P˙ ∂U ∂P
⎞
⎟
⎠ .
Az egyes parciális deriváltakat felírjuk a mozgásegyenlet segítségével:
∂ ˙ U a
b = 0, ∂
∂U
˙ U a
∂P b = δab ,
∂ ˙ P a
a
b = ∂V Nc=1 c
b − ∂V Uc
∂U ∂U ∂U b
Ua − V bU a − N c=1 (UcV c + PcP c )δ ab ,
∂ ˙ P a
∂P b = −2P bU a , ahol
∂V αq N
k ∂V
= βq
∂U αq
l=1
k (U1,...,UN)
∂U βq
l
A karakterisztikus egyenlet alakja ekkor:
⎡⎛
0 1
det ⎣⎝
∂ ˙
⎞ ⎤
⎠
P ∂P˙ − Λi1⎦
= 0.
∂U ∂P
, ahol N = 12, αq,βq = 0, 1, 2, 3.
Ezen kifejezések segítségével mutattuk meg a trajektóriák stabilitását a pálya
tetszőleges pontjának környezetében az (U,P) fázistérben. Kis (δU,δP) per-
turbáció időbeni fejlődését a monodromia mátrix határozza meg. A stabilitás
107

mátrix sajátértékei közül a valós és pozitív mennyiségek a szomszédos tra-
jektóriák exponenciális távolodására utalnak, azaz a mozgás instabil. Hosz-
szú idejű határértékben a Ljapunov-exponenseket megkapjuk a sajátértékek-
ből. A komplex sajátérték imaginárius része a perturbáció oszcillátor frek-
venciáit írja le. A numerikus szimulációkban a szabadsági fokok teljes száma
f = 4×3×N 3 = 12×N 3 , ahol SU(2) csoportelemet 4 valós kvaternió repre-
zentálja (így a fázis tér 2f = 24N 3 dimenziójú). A megmaradási feltételek mi-
att (unitaritás, ortogonalitás) csökken a fizikailag releváns független szabad-
sági fokok száma.
A 2f ×2f méretű stabilitás mátrix spektruma tartalmaz valós és képzetes
részt a komplex számsíkon (7.8,7.9 ábra). A monodromia mátrix bár ritka,
de nagy méretű a sajátérték megfelelő pontossággal történő meghatározására
nem lehet akármilyen módszert alkalmazni. Az eredményeket különböző
eljárásokkal teszteltük: Fagyejev módszer, Jacobi eljárás, Hessenberg módszer,
Lánczos módszer, QR transzformáció. Mivel a komplex sajátértékek meg-
határozására O(f 2 ) memóriát igényel, ezért N = 6 volt a rendszer ma-
ximális mérete, aminek vizsgálatát a számítógép kapacitása lehetővé tette
(ez 2f = 5184 dimenziójú fázistérnek felel meg). A (7.8,7.9) ábrák mutatják
a komplex spektrumot különböző konfigurációkra a trajektória időfejlődése
során. Ha az egy szabadsági fokra jutó energia g 2 aE = 0.1 zártabb struktúrát
alkot alacsony energián, mintha g 2 aE = 0.8 (közel a szaturáció értékhez, 1-
hez). Mindkét esetben a spektrum szimmetrikus a valós és imaginárius tenge-
lyekre, ami annak köszönhető, hogy a Hamiltoni rendszer konzervatív (ener-
gia időfüggetlen). Fontos kvalitatív vonása ezen sajátérték eloszlásoknak a
gap a pozitív és negatív imaginárius rész között: a rendszer úgy viselkedik,
mint egy időben kifejlődött infravörös cutoff (”gluon tömeg”)[108]. A zéró
frekvenciájú módusok száma a szimmetria transzformációkkal áll kapcsolat-
ban, például az időfüggetlen gauge transzformációkkal.
A dinamikai szimulációkból származtathatjuk az állapot egyenletet. Elő-
ször meghatározzuk a végesméret skálázást és extrapoláljuk a végtelenre
1
N
= 0 a rácsot. Megvizsgáljuk a maximális Ljapunov-exponens és a Kol-
108

mogorov-Sinai entrópia energia függését. Ez elvezet az állapotegyenlethez,
ami az S(E) entrópia-energia összefüggés a termodinamikai határértékben.
A (7.10) ábra Ljapunov spektrum valós részzét mutatja meg nagy energián
(g 2 Ea = 0.8) és extrapolálva 1
N
→ 0 az N = 2, 3, 4, 5, 6 rácsméretekből. Ezen
valós spektrumok egymáshoz hasonlóak különböző rácsméretekre. A tisztán
imaginárius rész nagyobb a változók száma növekedésének (több megma-
radási feltétel) köszönhetően. A Ljapunov spektrum rendezett valós részének
struktúrája hasonló minden energián, de az aL0 valós maximális pont a g 2 Ea
energiával skálázódik.
A (7.3) ábra mutatja a Ljapunov-exponens maximális valós részének fluk-
tuációját az eredetileg eltérő kezdeti feltételekre. Az eltérés néhány százalék.
A maximális Ljapunov-exponens energia skálázását vizsgálták korábban is
[116] és a hosszú idejű határesetben lineáris viselkedést tapasztaltak. Alacsony
energián tapasztaltak L0 ∼ E 1
4. További vizsgálatok tendenciája
a L0 ∼ E-re relációra vezet (7.5 ábra). A mi eredményeink lineáris ösz-
szefüggést mutatnak 0.5 együtthatóval (7.6) az energia tartomány középső
részén. A hosszú idejű vizsgálatát a monodromia mátrix sajátértékeiből ka-
pott maximális Ljapunov-exponens valós részének viselkedése még nem teljesen
érthető (7.7 ábra). A legjobb fit E 1
4, de a logaritmus is jól illeszt-
hető. Feltételezhető, hogy túl hosszú trajektória és a konfigurációs tér kom-
paktsága okozza a vizsgált sajátértékeket, ami a Hamiltoni rács mezőelmélet
műterméke. A következőkben a lineáris skálázásra fogunk utalni.
(7.4) ábra mutatja a maximális Ljapunov-exponens extrapolációját a ter-
modinamikai határértékre, különböző energián. Az illesztések majdnem line-
árisnak bizonyultak, feltéve, hogy végesméret szerint skálázódik:
L0 ∼ 1
√ f ∼ N −3
2. (7.25)
Nagy energián az extrapolált L0 nagyobb értéket vesz fel, mint a szimulációk-
ból kapott véges N-re adódott érték.
Végül megkaptuk a normált Kolmogorov-Sinai entrópiát a végesméret
109

szerint extrapolált Li adatokból, melyek a kezdeti értékektől csak kis mér-
tékben függnek és az energia szerint lineárisan skálázódnak.
〈S〉 = (0.5084 ± 0.023) lg(g 2 Ea) + (2.3334 ± 0.0452), (7.26)
ahol a hiba a statisztikából származik. Ez a legjobb fit az inverz hőmérsékletre:
1
T
= ∂ 〈S〉
∂E
0.5
∼ . (7.27)
E
Így az ekvipartíció, azaz az egy szabadsági fokra jutó energia:
E = 1
kT. (7.28)
2
A normált entrópia-energia függése látható a (7.2) ábrán. Az energia
intervallumon belül az entrópia nem mutatott anomális viselkedést véges
rácsméretre. A normált Kolmogorov-Sinai entrópia dinamikáját mutatja a
(7.11 ábra). A kezdeti oszcillációtól eltekintve normált entrópia konstanssá
vált az idő fejlődés során a vizsgált energia intervallumon belül.
H. Markum az előző modell kezdetiértékeit rács kvantum Monte Carlo
módszerrel határozta meg és a klasszikus rescaling eljárással adta meg a
Ljapunov spektrumot SU(2) gauge csoportokra, mellyel a kaotikus tulaj-
donságok és a bezárás fázisátalakulására utaló viselkedést tanulmányozta
[62]. A kezdeti értéket a csatolási állandó függvényében adta meg β = 4/g 2
négy dimenziós euklideszi rácson, melyet áttranszformált Minkowski impul-
zus és mező konfigurációra a három dimenziós Hamiltoni szimulációra, ahol
az időfejlődés és a Ljapunov exponensek már az ismert eljárásokkal meg-
határozhatók. Ezen tanulmány fő eredménye, hogy a maximális Ljapunov
exponens függ a csatolási állandótól és ahol a sztatikus kvark bezárás jelen
van a mozgás kaotikus. Az átmenet a bezárás fázisára visszadja a kritikus
hőmérsékletet. A Ljapunov exponens csökkenése jelzi a káosz csökkenését a
kvark gluon plazmában. Ez kvantitatívan egyezik a QCD vákuum random
mátrix szimulációjával.
110

Ebben a fejezetben numerikusan meghatároztuk a teljes komplex Ljapu-
nov spektrumát az SU(2) Yang-Mills mezőnek háromdimenziós rácson. Fel-
használtuk a monodromi mátrix saját értékeit a klasszikus kaotikus dinami-
kai számításokból. Felírtuk az állapot egyenletet az energia-entrópia reláció
segítségével, felhasználva a Kolmogorov-Sinai entrópia végesméret skálázását
1
N
123] :
→ 0.
Erre a módszerre a következő cikkekben történt hivatkozás [120, 121, 122,
A [121] cikkben az U(1) gauge mezőt monopolus és foton tartományra
bontották fel a bezáró és Coulomb fázis közti átmenettel. Meghatározták
a teljes komplex Ljapunov spektrumot a monodromia mátrix segíségével,
kvantum Monte-Carlo kezdeti értékekre. A monopolus mező Ljapunov sepkt-
ruma ugyanolyan, mint az U(1) mezőé, folytonos esetben a monopolus mező
kaotikus maradt, míg a foton mező regulárissá vált.
A [123] cikkben meghatározták SU(2) és U(1) gauge szimmetria csoporto-
kon a teljes Ljapunov spektrumot a korábban bevezetett eljárással, random
kezdeti értékkel. Tanulmányozták a különös attraktor viselkedését a reguláris
viselkedés uralkodóvá válik a folytonos határérték esetén.
A [122] publikációban a kaotikus kvantálás tanulmányozása során a klasz-
szikus rácson a nemabeli plazmafizika infravörös határértéke mellett számolt
teljes Ljapunov spektrumra történt hivatkozás.
111

L 0
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
SU(2) Yang-Mills EOS
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
g2 a E
1
0.8
0.6
0.4
0.2
7.2. ábra. Normált Kolmogorov-Sinai entrópia.
N=6, E=0.964, 10 different seeds
0
10 20 30 40 50 60
seed
70 80 90 100
7.3. ábra. Ljapunov-exponens maximális valós részének különböző random
kezdeti feltételek függvényében, N = 6 rács méret esetén, a skálázott energia
g 2 aE = 0.964.
112

L_0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.1 0.2
(1/N)^3/2
0.3 0.4
7.4. ábra. Ljapunov-exponensnek maximális valós részének végesméret
skálázása. A különböző egyenesek az eltérő skálázott energia értéknek felel-
nek meg.
aL_0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ag^2E
7.5. ábra. Lineárisan skálázott Ljapunov-exponens maximális valós része az
energia függvényében.
113

a Lmax
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
fit: 0.52929 * x
fit: 1.129 * log( 1 + x/1.826)
Lyapunov scaling, N=6
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
g2 a E
7.6. ábra. Ljapunov-exponens maximális valós része az energia függvényében,
rövid idejű tartományon. (N=6)
Lmax
1
0.8
0.6
0.4
0.2
fit: f(x) = 0.199 * log(1 + x/0.051)
Lmax time average N=6
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
g2 aE
0.6 0.7 0.8 0.9 1
7.7. ábra. Ljapunov-exponens maximális valós része az energia függvényében,
hosszú idejű tartományon, N=6 rácsméret esetén.
114

Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
RND N=6 DIM=3 E=0.8
-1
-0.6 -0.3 0 0.3 0.6
Re
7.8. ábra. A monodromia mátrix komplex sajátérték spektruma nagy e-
nergián.
Re
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
RND N=6 DIM=3 E=0.06
-1
-0.6 -0.3 0 0.3 0.6
Im
7.9. ábra. A monodromia mátrix komplex sajátérték spektruma alacsony
energián.
115

Re(lambda_i)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
Dim=3, RND
-0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
i/(Dim*quat*N^3)
7.10. ábra. A Ljapunov-exponens valós részének spektruma skálázva
(N → ∞) és véges (N=6) rács méret esetén.
1.1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
1
0
0.001
t/a
0.002
0.003
0.004
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25 g^2Ea
0.2
0.15
0.1
7.11. ábra. A normált Kolmogorov-Sinai entópia idő fejlődése konstans e-
nergia érték esetén (N=6)
116

8. fejezet
Összefoglalás
A dolgozat a nemlineáris jelenségek két ma is kutatott területével foglalko-
zik: fraktál geometriával és a nemabeli térelmélet kaotikus tulajdonságainak
numerikus leírásával.
Bevezettünk egy numerikus módszert, a sandbox eljárást a (4.2) fejezet-
ben, az önhasonló struktúrák általánosított dimenziójának meghatározására
először geometriai, majd természetes mértéket használva. A sandbox eljárás
gyorsabb konvergenciát mutatott a boxcounting módszerhez képest az aszim-
metrikus Cantor-halmazon összehasonlítva ((4.3) fejezet). Stacionárius való-
színűség eloszlást alkalmazva meghatároztuk a Hénon és Lozi-map különös
attraktorának ((4.4) fejezet) általánosított dimenzióját és általánosított ent-
rópiáját, a generáló partíciót felhasználva. Mindkét struktúra multifraktál
viselkedést mutatott.
A (4.5) fejezetben foglalkoztunk a klaszikus Hamiltoni rendszrekkel, me-
lyek kaotikus dinamikája fázisátalakulást mutatott a reguláris és kaotikus
tartományok határán.
Tanulmányoztuk az nemabeli gauge elmélet klasszikus kaotikus tulaj-
donságát rácson. Először az XY modell numerikus megoldásával foglal-
koztunk hiperbolikus potenciál völgyben ((7.1) fejezet). A (7.2) fejezet-
ben felhasználtuk a SU(2) Yang-Mills egyenlet valós idejű megoldását és
117

numerikusan meghatároztuk a teljes komplex Ljapunov spektrumát a mo-
nodromia mátrix sajátértékeinek felhasználásával. A véges méret skálázás
eredményeképpen kapott normált Kolmogorov-Sinai entrópia energia függése
az ideális gáz állapot egyenletéhez hasonló eredményt mutatott.
A nemabeli gauge elmélet egy lehetséges numerikus analízise elvezetett
a kvázi-kvantummechanikai rendszerek vizsgálatához a Ljapunov-exponens
csatolási állandótól való függés tanulmányozásának köszönhetően.
118

Irodalomjegyzék
[1] J. P. Eckmann, D. Ruelle, Rev. Mod. Phys. 57(1985)617.
[2] B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (Freeman, San
Francisco, CA) 1982.
[3] M. Hénon, Commun. Math. Phys. 50(1976)69.
[4] R. Lozi, Journal de Physique, 39(1978)C5.
[5] M. Misiurewicz, in: Nonlinear dynamics (Ann. NY Acad. Sci. 357), ed.
R. H. G. Helleman (The NY Acad. Sci. New York, 1980)348.
[6] Witold Hurewicz, Henry Wallman, Dimension Theory, (Princeton Uni-
versity Press, 1948).
[7] J. D. Farmer, E. Ott, J. A. Yorke, Physica D 7(1983)153.
[8] T. Tél, T. Vicsek, J.Phys. A:Math. Gen. 20(1987)L835.
[9] F. Hausdorff, Math. Ann. 79(1919)157.
[10] A. Rényi, Probability Theory, (North Holland, Amsterdam, 1970).
[11] P. Grassberger, Phys. Lett. A 97(1983)227.
[12] H. G. E. Hentschel, I. Procaccia, Physica D 8(1983)435.
[13] Balatoni J., Rényi A., MTA Mat. Kut. Int. 1(1956)9.
119

[14] P. Grassberger, I. Procaccia, Phys. Rev. Lett. 50(1983)346.
[15] J. D. Farmer, Z. Naturforsch. 37a(1983)1304.
[16] P. Grassberger, I. Procaccia, Physica D 9(1983)189.
[17] P. Cvitanovic, G. H. Gunurate, I. Procaccia, Phys. Rev. A 38 (1988)
1503.
[18] H. Hata, Progr. Theor. Phys. 78(1987)721.
[19] P. Grassberger, J. Phys. A 22(1989)585.
[20] P. Grassberger. Phys. Lett. A 97(1983)224.
[21] C. Jung, T. Tél, J. Phys. A 24(1991)2793.
[22] T. Vicsek, F. Family, P. Meakin, Europphys. Lett. 12(1990)217.
[23] T. Vicsek, Phys. A 168(1990)490.
[24] P. Meakin, Progr. Solid. 20(1990)135.
[25] P. Meakin, S. Havlin, Phys. Rev. A 36(1987)4428.
[26] P. Meakin, A. Coniglo, H. E. Stanley, T. A. Witten, Phys. Rev. A
34(1986)3325.
[27] Y. Hayakawa, S. Sato, M. Matsushita, Phys. Rev. A 36(1987)1963.
[28] T. Halsey, P. Meakin, I. Procaccia, Phys. Rev. Lett. 8(1986)854.
[29] D. R. Hofstadter, Phys. Rev. B 14(1976)2239.
[30] G. Paladin, A Vulpiani, Phys. Rep. 156(1987)147.
[31] M. J. Feigenbaum, Comm. Math. Phys. 77(1980)65.
[32] T. C. Halsey et al. Phys. Rev. A 33(1986)1141.
120

[33] P. Grassberger, Phys. Lett. A 107 (1985)101.
[34] Káosz, szerk. Szépfalusy Péter, Tél Tamás (Akadémia Kiadó, Buda-
pest)1982.
[35] H. G. Schuster, Deterministic chaos (Physic-Verlag, Weinheim, 1984).
[36] D. Auerbach, B. Oshughnessy, I. Procaccia, Phys. Rev. A 37(1988)
2234.
[37] Z. Kaufmann, P. Szépfalusy, Phys. Rev. A 40(1989)2615.
[38] A. Csordás, P. Szépfalusy, Phys. Rev. A 39(1989)4767.
[39] A. Csordás, P. Szépfalusy, Phys. Rev. A 38(1988)2582.
[40] P. Szépfalusy, T. Tél, A. Csordás, Z. Kovács, Phys. Rev. A 36(1987)
3525.
[41] J. Bene, P. Szépfalusy, Á. Fülöp, Generic dynamical phase transition
in chaotic Hamiltonian systems, Phys. Rev. A 40(1989)6719.
[42] T. Tél, J. Stat. Phys. 33(1983)195.
[43] B. V. Chirikov, 52(1979)265.
[44] B. V. Chirikov, D. L. Shepelyansky, Physica D 13(1984)395.
[45] P. Grassberger, K. Kantz, Phys. Lett. A 113(1985)235.
[46] A. Cohen, I. Procaccia, Phys. Rev. A 31(1985)1872.
[47] R. Mackay, J. Meiss, I. Percival, Physica D 13(1984)55.
[48] G. Schmidt, J. Bialek, Physica D 5(1982)397.
[49] T. Tél, Á. Fülöp, T. Vicsek, Determination of fractal dimensions for
geometrical multifractals, Physica A 159(1989)155.
121

[50] J. F. Fernandez. J.M. Albarrán, Phys. Rev. Lett. 64(1990)2133.
[51] G. Paladin, A. Vulpiani, J. Phys. A 19(1986)L997.
[52] P. Grassberger, I. Procaccia, Phys. Rev. A 28(1983)2591.
[53] T. Tél, Z. Naturforsch a 43(1988)1154.
[54] D. Russel, J.D. Hanson, E. Ott, Phys. Rev. Lett. 45(1980)1175.
[55] J. D. Farmer, Physica D 4(1982)366.
[56] J. P. Eckmann, I. Procaccia, Phys Rev. A 34(1986)659.
[57] P. Grassberger, R. Badii, A. Politi, J. Stat. Phys. 51(1988)135.
[58]
[59]
[60]
Á. Fülöp, Determination of fractal dimensions and generalized entro-
pies for strange attractors, Proceedings of the NATO Conference ’Chao-
tic Dynamics: Theory and Practice’, Plenum Publ. Corp. , New York,
(1992) 49-52.
Á. Fülöp, The generalized dimensions and generalized entropies of
strange attractors, the Vth Rencontres de Blois ’Chaos and Comp-
lexity’(1993) Conference Proceedings, Editions Frontiéres, France,
(1996)251-252.
Á. Fülöp, Thermodynamical formalism in chaotic systems ”Thermo-
dynamical Lectures”, Proceedings, Esztergom, (1992) Loránd Eötvös
Physical Society, Budapest(1994)111-114.
[61] T. S. Biró,
Á. Fülöp, C. Gong, S. Matinyan, B. Müller and A. Tra-
yanov, Chaotic Dynamics in Classical Lattice Field Theories ”Bad
Honnef 1996,Theory of spin lattices and lattice gauge models” Lecture
Notes in Physics, Springer Verlag 494(1997)164-176.
122

[62] T. S. Biró, Á. Fülöp, M. Feurstein, H. Markum, Investigation of Chao-
[63]
tic Dynamics of Lattice Gauge Configurations Created by Monte Carlo
Techniques Conference Proceedings, ”Strong and Electroweak Matter
’97” Eger,(1997), in World Scientific Publishing Co., (1997)304-308.
Á. Fülöp, T.S. Biró, Towards the Equation of State of Classical
SU(2) Lattice Gauge Theory Phys. Rev. C 64(2001) 064902(5), hep-
ph/0107008.
[64] T. Vicsek, Fractal Growth Phenomena, World Scientific, Singapore,
(1992).
[65] N. N. Oiwa, J. A. Glazier, Cell Biochemistry and Biophysics 41(1)
(2004) 41.
[66] S. G. de Bartolo, R. Gaudio, S. Gabriele, Water Resour Res.
40(2)(2004) 02201.
[67] Z. G. Yu, V. Anh, K. S. Lau, J. Theor. Biol. 226(3)(2004)341-348.
[68] N. N. Oiwa, J.A. Glazier, Physica A 311(1-2)(2002)221-230.
[69] A. Bershadskii, Phys. Lett. A 284(2-3)(2001)136-140.
[70] A. P. S. de Moura, C. Grebogi, Phys. Rev. Lett. 86(13) (2001)2778-
2781.
[71] V. Latora, A. Rapisarda, S. Vinciguerra, Phys. Earth Planet In 109
(3-4)(1998)115-127
[72] T. Kovács, G. Bárdos, Physica A 247(1-4)(1997)59-66.
[73] F. Kun, G. Bárdos, Phys. Rev. E 55(2)(1997)1508-1513.
[74] C. T. Suarez, M. A. L. Quintela, M. C. B. Nunez, An. Quim. 92(4)
(1996)228-232.
123

[75] F. Jestczemski, M. Sernetz, Fractals 4(2)(1996)133-138.
[76] C. K. Lee, L. S. Lee, Heterogen Chem. Rev. 3(3)(1996)269-302.
[77] F. Jestczemski, M. Sernetz, Physica A 223(3-4)(1996)275-282.
[78] F. Kun, H. Sorge, K. Sailer et al., Phys. Lett. B 355(1-2)(1995)349-
355.
[79] J. A. Glazier, S. Raghavachari, C. L. Berthelsen, et al. Phys. Rev. E
51(3)(1995)2665-2668.
[80] F. Caserta, W. D. Eldred, E. Fernandez et al. J. Neurosci Meth.
56(2)(1995)133-144.
[81] M. D. Rintoul, H. Nakanishi, J. Phys. A-Math. Gen. 27(16) (1994)
5445-5454.
[82] C. L. Berthelsen, J. A. Glazier, S. Raghavachari, Phys. Rev. E 49(3)
(1994)1860-1864.
[83] G. A. Niklasson Phys. Scripta T49B (1993)659-662.
[84] T. R. M. Sales, Phys. Rev. E 48(4) (1993)2418-2421.
[85] P. P. Trigueros, F. Mas , J. Claret , et al., J. Electroanal Chem. 348(1-
2) (1993)221-246.
[86] M. A. Lopez-Quintela, M. C. Bujan-Nunez, Mol. Phys. 77(5) (1992)
857-867.
[87] C. L. Berthelsen, J. A. Glazier, M. H. Skolnick, Phys. Rev. A 45(12)
(1992)8902-8913.
[88] M. A. Lopez-Quintela, M. C. Bujan-Nunez, Europhys Lett. 18 (1992)
115-118.
124

[89] C. Allain, M. Cloitre, Phys. Rev. A 44(6)(1991)3552-3558.
[90] P. P. Trigueros, J. Claret, F. Mas, et al., J. Electroanal Chem. 312(1-
2) (1991)219-235.
[91] S. S. Manna, T. Vicsek, I. J. Stat. Phys. 64(3-4)(1991)525-539.
[92] J. Hakansson, G. A. Niklasson, Z. Phys. D Atom Mol. Cl. 20(1-
4)(1990)135-233.
[93] A. Beghdadi, C. Andraud, J. Lafait, J. Peiro, M. Perreau, Fractals,
1(3)(1993)671-679.
[94] P. Pollner, G. Vattay, Phys. Rev. Lett. 76(22)(1996)4155-4158.
[95] Z. Kaufmann, H. Lustfeld, J. Bene, Phys. Rev. E 53(2)(1996)1416-
1421.
[96] A. Németh, P. Szépfalusy, Phys. Rev. E 52(2)(1995)1544-1549.
[97] W. Breymann, Z. Kovács, T. Tél, Phys. Rev. E 52 (2)(1994)1994-2006.
[98] X. J. Wang, C. K. Hu, Phys. Rev. E 48(2)(1993)728-733.
[99] J. Bene, P. Szépfalusy, Phys. Rev. A 46(2)(1992)801-808.
[100] Z. Kovács, T. Tél, Phys. Rev. A 45(4)(1991)2270-2284.
[101] T. Tél Phys. Rev. A 44(2)(1991)1034-1043.
[102] P. Szépfalusy, T. Tél, G. Vattay, Phys. Rev. A 43(2)(1991)681-692.
[103] Z. Kovács, T. Tél, Phys. Rev. Lett. 64(14)(1990)1617-1620.
[104] C. N. Yang, R. L. Mills, Phys. Rev. 96(1)(1954)191.
[105] T. S. Birò, S. Martinyan, B. Müller Chaos in Gauge Field Theory 1995.
125

[106] T. S. Birò, C. Gong, B. Müller, A. Trayanov, Int. Journ. of Modern
Phys. C 5(1994)113-149.
[107] T. S. Birò, Int. Journ. of Modern Phys. C 6(1995)327-344.
[108] T. S. Biró, C. Gong, B. Müller, Phys. Rev. D 52 (1995)1260.
[109] I. M. Jánosi, L. Flepp, T. Tél, Phys. Rev. Lett. 73(1994)529-532.
[110] S. Mandelstam, Ann. Phys. 19(1962)1.
[111] A. Haar, Ann. Math. 34 (1933)147.
[112] M. Creutz, Phys. Rev. D 15(1977)1128.
[113] S. Weinberg, The quantum theory of fields (1996).
[114] J. Kogut, L. Susskind, Phys. Rev. D 11(1975)395-408.
[115] K. G. Wilson, Phys. Rev. D 10 (1974)2445.
[116] B. Müller, A. Trayanov, Phys. Rev. Lett 68(1992)3387.
[117] C. Gong, Phys. Lett. B 298(1993)257.
[118] C. Gong, Phys. Rev. D 49(1994)2642.
[119] G. Mack, Physical principles, geometrical aspects, and locality proper-
ties of gauge field theories, Fortsch. Phys. 29(1981)135.
[120] L. J. Ab-Raddad, J. Piekarewicz, nucl-th/0206003, Proceedings of In-
ternational Symposium on Electromagnetic Interactions in Nuclear and
Hadron Physics (EMI 2001) Osaka, Ibaraki, Japan (4-7 Dec. 2001)
[121] T. S. Biró, H. Markum,R. Pullrisch,W. Sakuler, Nucl. Phys Proc.
Suppl., 121. (2003)307-311. (hep-lat/0210020), Montpellier 2002,
Quantumchromodinamics: High-Energy PhysicsInternational Confe-
rence in QCD.
126

[122] T. S. Biró, B. Müller, S. G. Matinyan, hep-lat/0305023, Idea-Finding
Symposium for the Frankfurt Institute for Advanced Studies, Frankfurt
Germany 15-17 Apr. 2003.
[123] T. S. Biró, H. Markum, R. Pullrisch, hep-lat/0402014, 4th Advan-
ced Studies Conference on Chaos and Complex Systems, Novacella,
Southern Tryol, Italy, 29 May-1 Jun. 2003.
[124] Robert D. Richtmyer, Principles of Advanced Mathematical Physics
vol. II. Springer-Verlag (1981).
[125] S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces
(Academic Press, 1978).
[126] R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20 (1948)367.
[127] P. A. M. Dirac, Rev. Mod. Phys. 17 (1945)195.
[128] G. Sohos, T. Bountis, H. Polymilis, Il Nuovo Cimento 104 B (1989)339.
[129] G. K. Savidy, Phys Lett. 159B (1985)325.
[130] B. Eckhardt, D. Wintgen, J. Phys. B 23 (1990)355.
[131] W. H. Steeb, C. M. Villet, A. Kunick, J. Phys. A Math. Gen. 18 (1985)
3259.
[132] L. Salasnich, Modern Physics Lett. A 12 (1997)1473.
[133] E. Witten, Phys. Rev. Lett. 38 (1977)121.
127

128

Ábrák jegyzéke
2.1. Hénon-leképezés attraktora az a = 1.4, b = 0.3 paraméterekkel.
Az iteráció kezdőpontja x = 0.6, y = 0.6 az iterációk száma
2.5 × 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1. Lozi-leképezés attraktora az a = 1.7, b = 0.5 paraméterekkel.
Az iteráció kezdőpontja x = 0.3, y = 0.3, az iterációk száma
2.5 × 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1. Az aszimmetrikus Cantor-halmaz általánosított dimenziója . . 43
4.2. Az aszimmetrikus Cantor-halmazra számított D bc (q) az ln(1/ε)
függvényében, melyet boxcounting módszerrel határoztunk meg
n = 8(L = 2 16 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3. Az aszimmetrikus Cantor-halmazra számított D bc (q) az ln(1/ε)
függvényében, melyet boxcounting módszerrel határoztunk meg
n = 50(L = 2 100 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4. Az aszimmetrikus Cantor-halmazra számított D bc (q) az ε függ-
vényében, melyet boxcounting módszerrel határoztunk meg. . 63
4.5. Az F = ln(M0/M(R)) az ln(L/R) függvényeként, melyet a
sandbox módszer átlagolásától eltekintve határoztunk meg az
n = 8 felbontási szinten az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén.
A centrumot az x = 0 pontba helyeztük. . . . . . . . . . . . . 63
129

4.6. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szin-
ten, q = −8 érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a
grafikon meredekségéből határozzuk meg. . . . . . . . . . . . . 64
4.7. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q) /(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szin-
ten, q = −3 érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a
grafikon meredekségéből határozzuk meg. . . . . . . . . . . . . 64
4.8. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q) /(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szin-
ten, q = 3 érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a
grafikon meredekségéből határozzuk meg. . . . . . . . . . . . . 65
4.9. F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q) /(1 − q) a ln(L/R) függvényében
az aszimmetrikus Cantor-halmaz esetén n = 8 felbontási szin-
ten, q = 8 érték mellett. A D(q) általánosított dimenziót a
grafikon meredekségéből határozzuk meg. . . . . . . . . . . . . 65
4.10. Lozi-leképezés: F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q) /(1−q) a ln(L/R)
függvényében, q = 10 esetén, M0 = 28688 elemet tartal-
mazott, D(q) értékét R ≪ L tartományra illesztett egye-
nes meredekségéből határoztuk meg. Az átlagolást 5 × 10 3
véletlenszerűen választott centrumra végeztük el. . . . . . . . 66
4.11. Lozi-leképezés: D(q) általánosított dimenzió spektruma 0 <
q ≤ 20 esetén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.12. Lozi-leképezés:K ′ (q) = ln (( P(Hn+1) q )/( P(Hn) q )) (q−1)
általánosított entrópia spektruma, 0 ≤ q ≤ 20, a szimbólum-
sorozat hossza n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.13. Lozi-leképezés: geometriai és természetes mértékkel mért D(q)
spektrumból Legendre-transzformációval származtatott f(α)
geometriai és természetes mértékkel mért multifraktál spekt-
rum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
130

4.14. Hénon-leképezés: : F(q) = ln
[M0/M(R)] (1−q)
/(1 − q) a
ln(L/R) függvényében, q = 10 esetén, M0 = 28688 elemet tar-
talmazott, D(q) értékét R ≪ L tartományra illesztett egye-
nes meredekségéből határoztuk meg. Az átlagolást 5 × 10 3
véletlenszerűen választott centrumra végeztük el. . . . . . . . 68
4.15. Hénon-leképezés: A D(q) geometriai multifraktál spektrumot
ábrázoltuk 0 ≤ q ≤ 20 intervallumon. . . . . . . . . . . . . . . 68
4.16. Hénon-leképezés: A K(q) általánosított entrópia, a K ′ (q) =
ln(( P(Sn+1) q )/( P(Sn) q ))/(1 − q) a q függvényeként, 0 ≤
q ≤ 20 intervallumon. A szimbólumsorozat hossza n = 10. . . 69
4.17. Hénon-leképezés: geometriai és természetes mértékkel mért
D(q) spektrumból Legendre-transzformációval származtatott
f(α) geometriai és természetes mértékkel mért multifraktál
spektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.18. A Lozi-leképezés n = 10 elemű pálya szakaszainak Pi valószínű-
ségeloszlását ábrázolja logaritmikus léptékben. A pálya teljes
hossza H0 = 2.5 × 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.19. A Lozi-leképezés n = 11 elemű pálya szakaszainak Pi való-
színűségeloszlását ábrázolja logaritmikus léptékben. A pálya
teljes hossza H0 = 2.5 × 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.1. Klasszikus trajektóriák az XY modellben. . . . . . . . . . . . 99
7.2. Normált Kolmogorov-Sinai entrópia. . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3. Ljapunov-exponens maximális valós részének különböző ran-
dom kezdeti feltételek függvényében, N = 6 rács méret esetén,
a skálázott energia g 2 aE = 0.964. . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4. Ljapunov-exponensnek maximális valós részének végesméret
skálázása. A különböző egyenesek az eltérő skálázott energia
értéknek felelnek meg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5. Lineárisan skálázott Ljapunov-exponens maximális valós része
az energia függvényében. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
131

7.6. Ljapunov-exponens maximális valós része az energia függvé-
nyében, rövid idejű tartományon. (N=6) . . . . . . . . . . . . 114
7.7. Ljapunov-exponens maximális valós része az energia függvé-
nyében, hosszú idejű tartományon, N=6 rácsméret esetén. . . 114
7.8. A monodromia mátrix komplex sajátérték spektruma nagy e-
nergián. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.9. A monodromia mátrix komplex sajátérték spektruma alacsony
energián. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.10. A Ljapunov-exponens valós részének spektruma skálázva
(N → ∞) és véges (N=6) rács méret esetén. . . . . . . . . . . 116
7.11. A normált Kolmogorov-Sinai entópia idő fejlődése konstans
energia érték esetén (N=6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
132

9. fejezet
Melléklet
9.1. Yang-Mills egyenlet gömbi közelítése
A NAME vektor potenciál csak az r és t függvénye. A legáltalánosabb 3 + 1
dimenziós vektor potenciált egy gömbszimmetrikus energia sűrűséggel felírva
A a j(r,t) = Φ1
r (δja − njna) +
A a 0(r,t) = A0na,
1 + Φ2
εjaknk + A1njna,
r
ahol nj = xj sugárirányú egység vektor és a = 1, 2 az SU(2) csoport ge-
r
nerátorok, míg a térbeli irányok indexei i,j,k = 1, 2, 3. Az A0,A1, Φ0, Φ1
sugár és idő függő függvények. Ez az ansatz invariáns a
g = exp(if(r,t)xaT a )
gauge transzformációra, ahol T a az SU(2) csoport generátor és f(r,t) tetsző-
leges függvény.
Megjegyezzük, hogy az a index megjelenik a belső indexek és a térbeli
indexek jelölésénél is, azaz ez az ansatz keveri a külső és belső szabadsági
fokokat.
133

A mezőerősség tenzor
F a µν = ∂µA a ν − ∂νA a µ − εabcA b µA c ν,
a klasszikus hatás:
S = − 1
16πg2
d 4 xF a µνF aµν .
Kiintegrálva a szögváltozókra:
S = 2
g2 +∞ ∞
1
dt dr
−∞ 0 2 (DµΦi) 2 + 1
8 r2 (Fµν) 2 + 1
4r2(1 − Φ21 + Φ 2 2) 2
,
ahol a két dimenziós kovariáns jelölés:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ,
DµΦi = ∂µΦi + εijAµΦj,
µ,ν = 0, 1 idő és sugár, i,j = 1, 2. A Witten ansatz [133] olyan hatáshoz
vezet, mely formálisan egy 1 + 1 dimenziós abeli Higgs modellel ekvivalens,
melyben a Φ = Φ1 − iΦ2 töltött skalár mező az Aµ abeli gauge mezőhöz
csatolódik.
A klasszikus mozgás egyenlet:
DµD µ Φi − 1
r 2(1 − Φ 2 1 − Φ 2 2)Φi = 0,
1
2 ∂ν(r 2 Fµν)εij(DµΦi)Φj = 0.
Ansatz: Φ1 = A0 = A1 = 0, Φ2 = Φ. Ez nemlineáris sztring egyenletre vezet:
(∂ 2 t − ∂ 2 s)Φ = 1
r 2(1 − Φ2 )Φ,
ahol a triviális Φ = 0 megoldás, a Wu-Yang monopólus:
Aj = 1
r εjaknk.
Más statikus megoldás pl. a vákuum: Φ = −1,Aj = 0 ill. az egyszerű gauge
konfiguráció: Φ = +1,A a j = 2εajknk/r.
134

Érdekes statikus megoldást kapunk ha, bevezetünk egy változó transz-
formációt: r = r0 exp(s),
(∂ 2 s − ∂s)Φ = (Φ 2 − 1)Φ,
mely a Duffin egyenlet speciális esete (lökdösött anharmonikus oszcillátor)
y ′′ +ay ′ +y+by 3 = 0, ahol a vessző jelenti az s szerinti deriváltat. Az a,b > 0
erős húr, az a > 0,b < 0 a gyenge húr esetének felel meg.
Összegezve látható, hogy a Yang-Mills egyenletnek statikus gömbszimme-
trikus megoldása instabil. A kezdeti konfiguráció kis perturbációjára Φ(0) és
Φr(0) drasztikusan változik az idő fejlődés során, sőt szingularitások jelen-
nek meg a véges tartományon. Csak 5 megoldás marad korlátos minden r-ra:
Φ = ±1, Φ = 0, és a két szeparátrix. Megjegyezzük, hogy a szeparátrix meg-
oldások interpolálnak a Wu-Yang monopólus (r → 0) és a vákuum (r → ∞)
közt.
A gömb szimmetrikus Yang-Mills rendszer dinamikai tulajdonságának
tanulmányozására megvizsgálták az időtől függő megoldásokat. Ezek a tra-
jektóriái a ∂tΦ = 0 síkot közelítik a fázistérben. A statikus megoldás körüli
kis perturbáció tanulmányozható a δΦ(r,t) kis amlitudónál. A perturbációs
egyenlet
(∂ 2 t − ∂ 2 r)δΦ = 1
r 2(1 − 3Φ2 (r))δΦ,
ahol Φ(r) a statikus megoldás. Irjuk fel δΦ(r,t)-t ilyen alakban u(r) exp(iωt).
Ekkor
− d2 1
dr2u +
r2(3Φ2 (r) − 1)u = ω 2 u,
mely formálisan ekvivalens a stacionárius Schrödinger problémával, ahol a
sajátérték E = ω 2 és a radiális potenciál V (r) = (3Φ 2 (r)−1)/r 2 . Az instabi-
litás akkor jelenik meg, amikor ω 2 < 0, azaz a formális Schrödinger probléma
kötött állapotai megjelennek. A vákuum megoldás (Φ = ±1) egy V (r) = 2
r 2
repulziv potenciálhoz és ezért egy pozitiv ω 2 sajátértékhez vezet: ezek stabi-
lak. A Φ = 0 Wu-Yang megoldás és a szeparátrixok, egy vonzó potenciálhoz
135

V (r) = − 1
r 2 vezetnek, mely végtelen sok kötött állapottal rendelkeznek. Így
ω 2 < 0, és a kis perturbáció exponenciálisan növekszik.
136

10. fejezet
Summary
The dissertation consists of two large parts of the nonlinear systems: fractal
geometry and classical chaos in nonabelian field theory. We studied these
important problems by numerical models.
We introduced the sandbox method to determine the generalized dimensi-
ons of a growing fractal. Two independent approaches, the boxcounting and
sandbox methods are used for the determination of the generalized dimensi-
ons associated with the selfsimilar deterministic fractals. The two methods
are equivalent only if the sandbox method is applied with an averaging over
randomly selected centers. We found that the multifractal nature of the
structures on the geometrical and natural probabilistic distribution, nume-
rically calculat to show slower convergence to their true values in the case
of boxcounting than the sandbox method. In this case these approaches
provides better estimates of the generalized dimensions. Two independent
quantities of chaotic behavior, the generalized fractal dimensions and the
generalized entropies are determined for strange attractors. We have found
that both of the Lozi- and Henon-map exhibit multifractal structures.
It was shown that a dynamical phase transition is typical in chaotic Ha-
miltonian systems due to the intermittent motion near regular islands. Nu-
merical measurements have been carried out for the correlation entropy.
137

We studied the classical equations of the field theory (compact SU(2)
Yang-Mills); it shows a chaotic dynamical behavior of homogeneous time-
dependent configurations.
The numerical simulation of the gauge field dynamics is usually calculated
on a lattice, because this method ensures an adequate treatment of gauge
symmetries and is non-perturbative. We have applied the results of statistical
and particle physics.
The Hamiltonian lattice regularization of such theories were studied by
us and the full complex Lyapunov exponent -real time property- has been
extracted. As a first step the classical trajectory was determined by nume-
rical method in the XY model. Any classical motion with a fixed energy
e.g. H=0.5 has turning points, on the hyperbolas satisfying x 2 y 2 = 1. It is
simple to understand the chaoticity of this systems, because such a concave
shape defocuses the nearly incoming trajectories and this wall corresponds
to negative eigenvalues of the stability matrix. The full complex Lyapunov
spectrum of the SU(2) Yang-Mills fields was determined numerically based
on the monodromy matrix. The microcanonical equation of state was deter-
mined as the entropy-energy relation utilizing the Kolmogorov-Sinai entropy
extrapolated to the large size limit. This method has been generalized to pre-
pare the initial configurations by lattice Monte-Carlo simulations. The full
Lyapunov spectrum has been calculated on the initial configurations also.
This is important to understand chaos in the quantum Hamiltonian systems.
138