Kettős inga vizsgálata A kettős inga az egyik legegyszerűbb ...
Kettős inga vizsgálata A kettős inga az egyik legegyszerűbb ...
Kettős inga vizsgálata A kettős inga az egyik legegyszerűbb ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Kettős</strong> <strong>inga</strong> <strong>vizsgálata</strong><br />
A <strong>kettős</strong> <strong>inga</strong> <strong>az</strong> <strong>egyik</strong> <strong>legegyszerűbb</strong>, klasszikus példája a kaotikus rendszereknek. A rendszert<br />
egyértelműen leírja a két tengelyénél mért szög, és ezek időderiváltja, <strong>az</strong><strong>az</strong> a fázistér négy dimenziós.<br />
Ideális esetben a rendszer nem disszipatív, <strong>az</strong> energiamegmaradás miatt a fenti négy mennyiség között<br />
fennáll egy kapcsolat, praktikusan tehát egy három dimenziós részhalm<strong>az</strong>ban mozgunk. Egy adott<br />
fázistér-pontból elindítva a rendszert, a további (determinisztikus) időfejlődést trajektóriának nevezzük.<br />
Az, hogy a rendszer kaotikus, a következőket jelenti (matematikai következetességet mellőzve):<br />
– Két, egymáshoz közeli trajektória elkezd távolodni egymástól, <strong>az</strong> idő függvényében<br />
exponenciálisan. Az időfüggés időállandóját szokás Ljapunov-exponensnek nevezni.<br />
– A rendszer bejárja a rendelkezésére álló (itt egy adott összenergiát feltételezve most három<br />
dimenziós) véges fázisteret, tehát bármely trajektória elég sok idő után elég közel tud kerülni<br />
bármely fázistérbeli ponthoz. Ez a tulajdonság <strong>az</strong> ergodikussággal analóg.<br />
Ha <strong>az</strong> <strong>inga</strong> kis amplitúdóval leng, akkor szinte periodikus a mozgás: a trajektóriák csak lassan<br />
távolodnak. Ha nagy <strong>az</strong> ampltúdó, a mozgás látványosan kaotikus, ahogy <strong>az</strong> intuitív elképzelésünk is<br />
sugallja. Ekkor valóban ig<strong>az</strong>, hogy a közeli trajektóriák gyorsabban távolodnak, <strong>az</strong><strong>az</strong> a Ljapunovexponens<br />
kisebb.<br />
A mérés célja kísérletileg vizsgálni a kaotikus mozgás jelenségét. Ez esetben figyelembe kell vennünk<br />
<strong>az</strong>okat <strong>az</strong> effektusokat, amik szinte minden fizikai rendszert jellemeznek, és ennek megfelelően a<br />
kaotikusság vizsgálatába is beleszólnak. A rendszer egyrészt valójában disszipatív, tehát a folyamatnak<br />
csak egy részét tudjuk vizsgálni. Adott esetben <strong>az</strong> ad értelmet a mérésnek, hogy a Ljapunov-exponens<br />
mint időállandó sokkal kisebb mint amennyi idő alatt a rendszer eldisszipálja <strong>az</strong> energiáját, <strong>az</strong><strong>az</strong>,<br />
,,eléggé” kifejlődik a kaotikus mozgás, mielőtt <strong>az</strong> <strong>inga</strong> lengése leáll. (Gyakorlati megvalósításokban<br />
épp ennek ellenkezőjét kívánjuk gyakran elérni: ha <strong>az</strong> apró hatások gyorsan megnövekszenek, akkor<br />
nem tudjuk őket kompenzálni, és a rendszer irányíthatatlanná válik. Például egy repülőgép szárnyán<br />
egy kis turbulencia által okozott rezgés megfelelő tervezés esetén rövid tranziens után elhal). Másik<br />
fontos gyakorlati szempont, hogy a mérés valójában nem pontos, a rendszerben zaj (véletlenszerű apró<br />
kitérések <strong>az</strong> elméletileg számított trajektóriától) jelenik meg. Emiatt nem lehet tetszőlegesen közeli<br />
pontokból indítani trajektóriákat.<br />
A mérés <strong>egyik</strong> legfontosabb feladata a Ljapunov exponens meghatározása. A kérdés valójában <strong>az</strong>, hogy<br />
ig<strong>az</strong>-e, hogy a közeli trajektóriák exponenciálisan távolodnak? Ez <strong>az</strong> a tulajdonság, ami a kaotikus<br />
(determinisztikus) folyamatokat, és a zajjal terhelt folyamatokat megkülönbözteti. Az exponenciális<br />
távolodás csak statisztikus jelenség: két trajektória eleinte gyakran lineárisan távolodik, majd egy<br />
tartományon áthaladva a lineáris jelleg gyorsul – <strong>az</strong><strong>az</strong> csak átlagosan látunk exponenciális távolodást.<br />
Az is előfordulhat, hogy a két trajektória rövid időre újra közeledni kezd. Akkor hihető <strong>az</strong><br />
exponenciális tendencia, ha legalább egy nagyságrenden keresztül követhető, <strong>az</strong><strong>az</strong> a kezdeti távolság<br />
10-100-szorosára növekszik. A trajektóriák nem távolodhatnak nagyon el egymástól: a fázistér mérete<br />
behatárolja a legnagyobb távolságot. Praktikusan tehát addig van értelme a távolodás vizsgálatának,<br />
amíg a trajektóriák távolsága jóval kisebb (harmada – tizede) a maximális megengedett távolságnak.<br />
A kaotikusság ,,erőssége”, amit a Ljapunov-exponens valamilyen értelemben mér, függ attól, hogy a<br />
fázistér milyen tartományában vagyunk, adott esetben <strong>az</strong> összenergiától. Kis energiánál (kis amplitúdós<br />
lengéseknél) nagyon sokáig periodikus a rendszer, ahogy fent ez említve volt, <strong>az</strong><strong>az</strong> ,,kevésbé” kaotikus.<br />
A mérés során ezt próbáljuk ellenőrizni.
A mérőeszköz leírása<br />
A rendszer egy klasszikus <strong>kettős</strong><strong>inga</strong>, ami mechanikailag úgy van összeállítva, hogy minél kisebb<br />
legyen a disszipáció. Az ideális eset természetesen nem érhető el, viszont a mozgás kaotikus jellege így<br />
is jól vizsgálható.<br />
Az <strong>inga</strong> helyzetét egyértelműen meghatározza a két tengely szögelfordulásának mértéke. Ennek<br />
mérésére két optikai dekóder van rajtuk elhelyezve, 72 rés/360 fok felbontással (egy lépés tehát 5 fok).<br />
Az iránytól függően széles ill. keskeny impulzusok jelennek meg a hangkártya csatornáiban. A szög<br />
aktuális értéke tehát nem ismert, hanem abból lehet visszaállítani, hogy hány lépést tett meg a tengely<br />
egy adott irányban. A felbontás nem nagyon jó: a pontos információ abban van, hogy milyen<br />
időpillanatban lépte át a tengely <strong>az</strong> 5 fokos elfordulási pontot. Úgy is tekinthető <strong>az</strong> adatsor, hogy a<br />
pontos mért szög-értékek időben nem ekvidisztáns lépésekben jelennek meg. A szögsebesség is nagy<br />
pontossággal megadható, figyelembe véve <strong>az</strong> időkülönbségeket.<br />
Az ilyen jellegű, fizikai mérésekben nagyon gyakran előforduló nem különösebben egyszerű adatsor<br />
feldolgozása a mérési feladat része!<br />
A mérőeszköz rendelkezik egy egyszerű mechanikai indító retesszel, amivel jó közelítéssel ugyanabból<br />
a helyzetből indíthatóvá válik. Kaotikus rendszerek vizsgálatánál jellegzetes kérdés, hogy a közel<br />
ugyanolyan pontból indult trajektóriák hogyan távolodnak. A reteszt át lehet szerelni, ennek<br />
megfelelően néhány pontból jól reprodukálhatóan elindítható a rendszer (pontonként kb 10 mérést<br />
legalább érdemes végezni).<br />
A mérésre két alkalom áll rendelkezésre. A feladatokat úgy érdemes elvégezni, hogy <strong>az</strong> első mérési<br />
alkalommal a legtöbb feladathoz szükséges adatokat elsődlegesen felvenni, majd a két alkalom között<br />
<strong>az</strong> adatfeldolgozást legalábbis részben elvégezni. Ekkor a második alkalommal a felvett adatok<br />
minőségét javítani, illetve a hiányzó adatsorokat pótolni lehet.<br />
Mérési feladatok<br />
A mérés során <strong>az</strong> alábbi főbb feladatokat kell elvégezni. A feladatok nem mindig adnak egyértelmű<br />
mérési utasítást; a pontos kivitelezés megtervezése, a felvett adatok alapján a feladat megoldási<br />
módszerének kidolgozása is a feladatok része. A megoldásra jellemzően nincsenek jól adaptálható<br />
konkrét ,,receptek” <strong>az</strong> adatsor speciális struktúrája miatt, ezeket a megfelelő programok (Octave, C,<br />
etc) elvi kidolgozásával és megírásával kell elvégezni.<br />
• a berendezés megértése, beállítva (szemmel megnézve) a különböző dinamikai tartományokat (közel<br />
periodikus lengés, erősen kaotikus tartomány)<br />
• a rendszer trajektóriája során a dinamikai paraméterek (szögek, szögsebességek) meghatározása<br />
(adatfelvétellel, otthoni adatfeldolgozásos vizsgálat), <strong>az</strong> impulzusok <strong>az</strong>onosításával (bicubic spline<br />
interpoláció, szögérték <strong>az</strong> idő függvényében)
• mennyire reprodukálható a pálya ugyanabból a pozícióból indítva? Mennyire lehetnek közeliek a<br />
közeli trajektóriák? Több indítási pozíció <strong>vizsgálata</strong>.<br />
• mérjük meg a Ljapunov exponenst (a fázistér egy szeletében) a különböző indítási pozíciók esetén!<br />
Hogyan változik <strong>az</strong> exponens kicsi és nagy amplitúdók esetén? Demonstráljuk hogy statisztikusan<br />
valóban exponenciálisan távolodnak a pályák!<br />
Irodalom:<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum<br />
http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html<br />
http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/<br />
AJP001038.pdf<br />
VadaiGergely.pdf
Change language