Eikonál-közelítés
Eikonál-közelítés Eikonál-közelítés
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 6. Geometriai optika – I. (hullámegyenlet alapján, eikonál, nemfény-optika) Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007 (Dávid Gyula jegyzete alapján).
- Page 2 and 3: A hullámoptika és a geometriai op
- Page 4 and 5: ω = konstans mindig és mindenütt
- Page 6 and 7: Pálya Pontmechanikában ha nem ér
- Page 8 and 9: Hullámoptika Geometriai optika ???
- Page 10 and 11: Mire jó az optikai - mechanikai an
- Page 12 and 13: Elég nagy gyorsítófeszültségge
- Page 14 and 15: Pálya számítása a Fermat-elvvel
- Page 16 and 17: SELFOC lemez („önfokuszáló”,
- Page 18 and 19: Akusztooptika A változó törésmu
- Page 20 and 21: Külső állandó mágneses tér be
- Page 22 and 23: Spec. eset: fényterjedés csillag
- Page 24 and 25: Gravitációs fényelhajlás - csil
- Page 26 and 27: Logaritmikus profilú műanyag lenc
- Page 28 and 29: A sötét anyag eloszlása az Unive
- Page 30 and 31: 7) Nap, mint távcső: távoli gala
Optika és Relativitáselmélet<br />
II. BsC fizikus hallgatóknak<br />
6.<br />
Geometriai optika – I.<br />
(hullámegyenlet alapján, eikonál,<br />
nemfény-optika)<br />
Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007 (Dávid Gyula jegyzete alapján).
A hullámoptika és a geometriai optika kapcsolata<br />
Homogén közeg Hullámegyenlet:<br />
Inhomogén közeg Hullámegyenlet:<br />
Lassan változó közeg<br />
Megoldás:<br />
Megoldás:<br />
L a változás karakterisztikus hossza:<br />
Lokális síkhullám-megoldás<br />
Az A amplitudó lassan változik.<br />
A fázis gyorsan változik (λ távolságon 2π).<br />
hordozza az információt. Ez a geometriai optika.<br />
síkhullám<br />
k mindenütt ugyanaz<br />
Gyorsan változó közeg<br />
Nincs értelme<br />
hullámról beszélni
<strong>Eikonál</strong>-<strong>közelítés</strong><br />
fázis gyorsan változik (λ távolságon 2π).<br />
amplitúdó lassan változik.<br />
Beírva a hullámegyenletbe:<br />
ez az eikonál-egyenlet<br />
Fejtsük sorba a fázist:<br />
Young-tétel:<br />
lokális Snellius-törvény<br />
lokális (helyfüggő)<br />
törésmutató<br />
elsőrendű parc. diff. egyenlet<br />
Stokes-tétel
ω = konstans mindig és mindenütt:<br />
Az eikonál-egyenlet egyszerűsítése<br />
Megoldásai:<br />
Ezekre merőlegesek a fénysugarak.<br />
k(r) vektormező<br />
„rövidített eikonál”<br />
fénysugarak
Analógia a pontmechanika és a geometriai optika között<br />
Hatásintegrál:<br />
Hamilton-Jacobi-egyenlet:<br />
E mozgásállandó:<br />
rövidített Hamilton-Jacobi-egyenlet:<br />
mozgásegyenletek:<br />
Hamilton-féle<br />
kanonikus<br />
egyenletek<br />
Sir William Hamilton<br />
(1805-1865)<br />
eikonál:<br />
eikonál-egyenlet:<br />
diszperziós<br />
reláció<br />
ω mozgásállandó:<br />
rövidített eikonálegyenlet:<br />
csoportsebesség<br />
Hamilton-féle<br />
sugáregyenletek<br />
Ezekből paraxiális <strong>közelítés</strong>ben levezethető a lencsetörvény.
Pálya<br />
Pontmechanikában ha nem érdekel az időfüggés, csak a pálya, akkor az azonos energiájú<br />
pályák közül választ a Maupertius-elv:<br />
Ennek optikai analogonja: Emlékeztető:<br />
Rövidített eikonál:<br />
Ez épp a Fermat-elv!<br />
optikai úthossz<br />
Melyik a legrövidebb út? Mindenütt merőleges<br />
a felületekre. A Fermat-elv által meghatározott<br />
fénysugarak a fázis-(eikonál-) felületek ortogonális trajektóriái.<br />
A valódi pályán és a szomszédos<br />
pályákon azonos az optikai<br />
úthossz: erősítő interferencia
Valami hiányzik az analógiából<br />
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:<br />
Keressük meg az optika Lagrange-függvényét!<br />
A „Lagrange-függvény” azonosan zérus!
Hullámoptika<br />
Geometriai optika<br />
???????????????<br />
Pontmechanika
hullámegyenlet<br />
Hullámoptika<br />
eikonál<br />
<strong>közelítés</strong><br />
eikonálegyenlet<br />
(diszperziós<br />
reláció: )<br />
Geometriai optika<br />
Hullámmechanika<br />
Pontmechanika<br />
Schrödinger-egyenlet<br />
WKB <strong>közelítés</strong><br />
E(p,r)
Mire jó az optikai – mechanikai analógia?<br />
Mechanika Optika<br />
egyetlen részecske<br />
lehetséges pályai<br />
sok részecske<br />
(részecskenyaláb)<br />
szimultán pályái<br />
elektron<br />
forrás elektromos mező<br />
detektor<br />
fényforrás<br />
sok fénysugár (fénynyaláb)<br />
szimultán pályái<br />
detektor<br />
(ernyő)
Optika: Fermat-elv:<br />
Téves analógia:<br />
Részecske-optika<br />
Ok: a fázissebesség, de a részecskesebesség a csoportsebesség analogonja.<br />
Helyes analógia:<br />
Optika: Fermat-elv:<br />
Maupertius:<br />
effektív törésmutató:<br />
? a mechanikai analogonja<br />
TÉVES!!!<br />
alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék, tükrök, stb. készíthetők.<br />
részecske Különbségek<br />
optika<br />
n(E, r) függ a részecske energiájától,<br />
diszperzív közeg<br />
éles képhez monoenergetikus elektronok<br />
kellenek. n(r) nincs korlát<br />
n(ω, r) diszperzió<br />
éles képhez monokromatikus<br />
fény kell.<br />
n > 1, mert c
Elég nagy gyorsítófeszültséggel tetszőleges kis hullámhossz érhető el.<br />
• vírusok<br />
• molekulák<br />
• atomok<br />
• kvarkok a proton belsejében<br />
Elektronmikroszkóp<br />
Felbontóképesség fénynél: baktérium<br />
Elektronmikroszkóp:<br />
Vigyázat: a képalkotás itt is hullámjelenség, de QM szerint az<br />
elektron is hullám!<br />
Vigyázat: kis méreteknél a szóróobjektumok is kvantumosak<br />
kvantummechanikai szóráselmélet
pásztázó tű<br />
Elektronok hullámfüggvényének „mérése”<br />
pásztázó elektronmikroszkóppal<br />
R. M. Westervelt, M. A. Topinka, B. J. LeRoy, A. C.<br />
Bleszynski, K. Aidala, S.E.J. Shaw, E. J. Heller, K.D.<br />
Maranowski, A. C. Gossard:<br />
Imaging electron waves,<br />
Physica E 24, 63-69 (2004)
Pálya számítása a Fermat-elvvel<br />
Fényterjedés változó törésmutatójú közegben<br />
A pálya egyenlete a variációs probléma Euler-Lagrange-egyenlete.<br />
Az idő irreleváns paraméter (nem tudjuk követni a fénysugár gyors terjedését időben)<br />
A pályát egy tetszőleges w paraméterrel adjuk meg:<br />
Ekkor:<br />
Lagrange-függvény:<br />
Speciális paraméterezés: ívhosszparaméter:<br />
Euler-Lagrange-egyenlet:<br />
ez a pályaegyenlet: másodrendű közönséges diff. egyenlet<br />
kezdőfeltételek: kezdeti hely és kezdeti irány.<br />
síkprobléma:<br />
egyetlen egyenlet
Speciális (egyszerű) törésmutató: pl.<br />
Pálya:<br />
Euler-Lagrange-egyenlet:<br />
Trükk a mechanikából: L nem függ explicite x-től, ezért H mozgásállandó:<br />
Közvetlenül is kijön:<br />
Lapos sugármenet:<br />
Hasonló egyenlet hengerszimmetrikus esetben is levezethető.<br />
ismert függvény<br />
Olyan, mint a Newton-egyenlet
SELFOC lemez („önfokuszáló”, GRIN=GRadient in the INdex):<br />
pályaegyenlet:<br />
Fókuszálás vékony SELFOC lemezzel:<br />
SELFOC-szál vagy rúd (hengerszimmetrikus):<br />
Két független, merőleges komponens:<br />
meridionális sugármenet helikális sugármenet<br />
SELFOC lencse: a rúd szelete vékony, mégis nagy<br />
dioptriájú szemüveg<br />
hullámvezető
a) Légköroptika: délibáb<br />
b) Hangterjedés az óceánban<br />
mikrofon<br />
Alkalmazások<br />
meleg, ritka levegő<br />
Az eget látjuk! „Tócsák” az országúton.<br />
Távoli tájak az égen, fejjel lefelé.<br />
sókoncentráció<br />
mélység<br />
hullámvezető réteg:<br />
a bálnák füttyögése 1000 km-re is eljut
Akusztooptika<br />
A változó törésmutatót nagy amplitúdójú álló sűrűséghullám hozza létre, álló ultrahanghullám.<br />
rf generátor<br />
lézer<br />
erősítő<br />
piezoelektromos<br />
ultrahangkeltő (transducer)<br />
Kis hangintenzitás: szinuszos sűrűségrács: csak m = 1<br />
Nagy hangintenzitás: a szinusz torzul m = 2 és 3 is észlelhető<br />
A Bragg-feltétel adott szögre csak éles<br />
frekvencián teljesül: akusztooptikai szűrő,<br />
TV-ben használják<br />
álló hanghullám hullámhossza<br />
Bragg-reflexió:<br />
Ha a bejövő hangfrekvenciát változtatjuk, a szög lassan változik:<br />
mechanikai mozgó alkatrész nélküli SCANNER<br />
A fény egy haladó hanghullámon Doppler-eltolódást szenved: Raman-Nath-effektus
Fényterjedés plazmában<br />
szabadon mozgó töltött részecskék (pl. elektronok)<br />
a töltések<br />
mozgásba jönnek<br />
sugároznak<br />
Ugyenez az atomi mechanizmusa a közönséges „átlátszó” anyagok törésmutatójának is!<br />
plazmafrekvencia<br />
dielektromos állandó m: elektrontömeg<br />
e: elektrontöltés<br />
N: elektronsűrűség ( )<br />
n képzetes: elnyelődés, teljes visszaverődés<br />
Változó elektronsűrűség: ahol , ott tükröződés<br />
középhullámú rádióadás<br />
visszaverődik az ionoszféráról<br />
nagyfrekvenciás TV-adás: áthatol<br />
ez interferál<br />
az eredeti hullámmal<br />
lüktető<br />
ionoszféra<br />
távoli vétel, interferencia-füttyök: fading
Külső állandó mágneses tér befolyásolja az elektronok mozgását.<br />
Cirkulárisan polarizált hullám<br />
lineárisan polarizált hullám<br />
Hol van ilyen plazma?<br />
• ionoszféra<br />
• csillagközi tér<br />
• fémek belsejében elektronplazma<br />
ciklotron frekvencia<br />
fázisok szétcsúszása<br />
A polarizációs sík elfordulása:<br />
optikai aktivitás
Befolyásolja-e a GRAVITÁCIÓ a fény terjedését?<br />
a) Newtoni fény-golyó elmélet: igen<br />
b) Klasszikus elektrodinamika: nem<br />
c) Általános relativitáselmélet: igen<br />
a téridő „görbült”, a fény a legegyenesebb vonalon<br />
terjed, de ez görbe effektív törésmutató<br />
Ez csak <strong>közelítés</strong>, gyenge sztatikus gravitációs térben jól működik.<br />
Mechanikai analógia: Newtoni gravitációs potenciális energia:<br />
Newtoni modell:<br />
Einstein (általános relativitáselmélet):<br />
2-es szorzó
Spec. eset: fényterjedés csillag mellett:<br />
Nap esetén:<br />
Shapiro-effektus: a gravitációs téren áthaladó fény késik<br />
Schwarzschield-sugár<br />
szabad terjedés
Szimuláljuk az időkésleltetést egy lencsével!<br />
Hengerszimmetrikus logaritmikus lencse:<br />
Fermat-elv:<br />
a görbe minimumhelye:<br />
irreleváns állandó<br />
Einstein, 1915<br />
kimérte Eddington, 1919<br />
(Newtoni-modell: fele ekkora érték jött ki!)
Gravitációs fényelhajlás – csillagászati tapasztalatok<br />
1) Fényelhajlás a Nap mellett:<br />
2) Távoli, kicsi objektumok az optikai tengelyen:<br />
3) Távoli, kicsi objektumok az optikai tengely mellett:<br />
minimum<br />
nyeregpont<br />
hengerszimmetrikus helyzet<br />
Napfogyatkozáskor fényképezhető<br />
Eddington, 1919<br />
Einstein-gyűrű<br />
fényes gyűrű<br />
Két kép keletkezik!
saját számolás<br />
Homogén sűrűségű gömb<br />
gravitációs lencsehatása<br />
Négyzetrács torzulása
Logaritmikus profilú műanyag lencse,<br />
R. J. Adler et al. AJP.63, 536 (1995)<br />
Gravitációs lencseleképezés számítógépes szimulációja,<br />
F. F. Alfaro AJP.69, 218 (2001)
4) Kiterjedt objektum (galaxis) gravitációs lencsehatása:<br />
nem hengerszimmetrikus<br />
Honnan tudjuk? pl. egyforma a színképük<br />
is lehet!<br />
Mikrolencse-statisztika a Galaxis anyagának 10%-a barna törpe! (1997)<br />
ugyanannak a távoli<br />
objektumnak a képei!<br />
Gyorsan változó objektumok (kvazárok, szupernovák): TV-film, pár hónap múlva ismételhető,<br />
más szögből nézve! Visszaszámolás: a képek optikai vizsgálatából következtetni lehet<br />
a lencsehatást létrehozó tömegeloszlásra, össztömegére. És ha nincs ott semmilyen galaxis?<br />
Akkor az a sötét anyag! Felfedezve 2006-ban<br />
5) Mikrolencse: kicsiny, csillagszerű objektum halad el egy távoli csillag előtt;<br />
a felbontás kicsi, nincs többszörös kép, de a fókuszálás miatt megnő az intenzitás.<br />
Magellán-felhő<br />
Föld<br />
tejút<br />
Többszörös, torz képalkotás<br />
Mi okozta: barna törpe, elvetélt csillag (túl könnyű a fúzióhoz)
A sötét anyag eloszlása az Univerzumban<br />
2007 januári eredmény
6) Kisebb objektumok: bolygó<br />
Jupiter, 2003 - elfedett egy távoli kvazárt (nagyon távoli, nagyon pontszerű forrás)<br />
Mikrohullámú tartomány: detektálás: VLBI (Very Large Based Interferometer):<br />
nagyon nagy alapvonalú interferométer<br />
rádiótávcső-farm<br />
szinkronizált jelfeldolgozás<br />
VLBI<br />
D eff ~ 12 000 km<br />
csúcstechnológiás feldolgozás
7) Nap, mint távcső:<br />
távoli galaxis, csillag, barna törpe: véletlenszerű lencsehatás<br />
Ehelyett tervszerű lencsézés: küldjünk detektort a kívánt képpontba!<br />
Ionhajtóműves szonda ~ 25 év alatt ér oda<br />
Ez csak az első képalkotás! Utána folyamatosan ~ 1000 évig.<br />
1 CsE = 150 millió km<br />
(Plutó: 30 CsE, Voyager 86 CsE)<br />
Merre induljon a szonda? Ellenkező irányban, mint ahol valami érdekes van!<br />
Várható felbontás: 10 fényévre lévő bolygó kontinensei
8) Fényelhajlás erős gravitációs térben:<br />
az előző <strong>közelítés</strong>ek b/r –től függtek, ez ~<br />
fekete lyuk:<br />
Mérési javaslat:<br />
kísérő csillag<br />
fekete<br />
lyuk<br />
interferenciakép<br />
a keringés miatt időben változik<br />
Vigyázat: nagyon gyenge jel, csak néhány fénysugár – nincs igazi képalkotás.<br />
9) Fotongömb:<br />
közvetlen fény<br />
eltérített fény<br />
Ha zuhansz egy nagy feketeség felé, és oldalról hirtelen fényt látsz,<br />
sürgősen menekülj el! (Van még rá 1 μs – od…)<br />
többszörös<br />
körbetekeredés<br />
is lehetséges!<br />
-nél a fény körpályára áll<br />
a fekete lyuk körül.