J-94110
J-94110
J-94110
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
J-<strong>94110</strong><br />
BUDAPESTI MŰSZAKI ES<br />
GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM<br />
VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR<br />
Tuschák Róbert<br />
SZABÁLYOZÁSTECHNIKA<br />
Műegyetemi Kiadó
TARTALOMJEGYZÉK<br />
oldal<br />
1. ALAPFOGALMAK. . . 1.<br />
1. 1 Az irányítás 2.<br />
1.2 Nyitott és zárt hatásláncú irányítás . 5.<br />
1. 3 Az önműködő szabályozás elvi felépítése 6.<br />
1. 4 Zavarkompenzáció. 8.<br />
2. MATEMATIKAI ALAPOK . 11.<br />
2. 1 Az n-edrendű állandó együtthatós differennciálegyenlet<br />
megoldása az időtartományban 11.<br />
2. 2 Fourier transzformáció 12.<br />
2. 3 Laplace transzformáció. 13.<br />
2. 4 Lineáris állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenlet<br />
megoldása a frekvencia tartományban 17.<br />
3. LINEÁRIS FOLYTONOS IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA 21.<br />
3. 1 Folyamatok matematikai mode 11 je 21.<br />
3.2 Állapotegyenlet . 30.<br />
3.3 Dualitás. 33.<br />
3.4 Az ál lapotegyénietek megoldása a frekvencia tartományban ...35.<br />
3.5 Az ál lapotegyenlet megoldása az időtartományban .39.<br />
3. 6 A 1 ineáris rendszer mozgása 41.<br />
3.7 Renszeranalí'zis tipikus vizsgáló jelekkel 43.<br />
4. LINEÁRIS DISZKRÉT IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA 45.<br />
4. 1 Mintavételezés. -n 45.<br />
4.2 Tartás 47.<br />
4. 3 Mintavételezett jelek matematikai leírása ...49.<br />
4.3.1 Leírás az idő- és a frekvencia tartományban 49.<br />
4. 3. 2 A z transzformáció néhány összefüggése 50.<br />
4. 3.3 Az eltolási operátor ..54.<br />
4.3.4 Az inverz z transzformáció 55.<br />
4. 4 Folytonos idejű rendszer diszkrét model 1 je 59.<br />
4.4.1 Folynonos idejű és diszkrét idejű rendszerek összekapcsolása..59.<br />
4.4.2 Folytonos idejű rendszer diszkrét idejű állapotegyenlete 61.<br />
5. AZ ÁLLAPOTEGYENLETEK ÁTALAKÍTÁSA 71.<br />
5.1 Összakapcsolt rendszerek ál lapotegyenlete 71.<br />
5.2 Állapot-transzformáció. 73.<br />
- I -
5. 3 Kanonikus transzfomáció 75.<br />
5. 4 Jordán alak 80.<br />
5.5 Az ál lapotegyenlet rekonstruálása az átviteli függvényekből 81.<br />
5. 6 Irányithatóság 93.<br />
5. 7 Megfigyelhetőség . 95.<br />
5.8 Rendszerek Kalman féle dekompoziciója .98.<br />
5.9 Az általánositott rendszer 101.<br />
6. LINEÁRIS TAGOK JELÁTVIVŐ TULAJDONSÁGAIT JELLEMZŐ FÜGGVÉNYEK 107.<br />
6. 1 Átviteli függvény 107.<br />
6.2 Az átmeneti függvény 110.<br />
6.3 Impulzusátviteli függvény 113.<br />
6.4 Hatásvázlatok átalakitása 119.<br />
6.5 Folytonos idejű tag frekvencia átviteli függvénye. 122.<br />
6.5.1 Nyquist giagram. . 123.<br />
6.5.2 A frekvencia diagram származtatása konform leképezéssel 129.<br />
6.5.3 Bode diagram 132.<br />
6.5.4 Összefüggés az ampl itudó és a fázisdiagram között .135.<br />
6. 6 Diszkrét idejű tag frekvencia átvitel i függvénye. 138.<br />
6.6.1 A mintavételelzett jel frekvencia spektruma 138.<br />
6.6.2 A visszaállított jel spektruma 141.<br />
6.6.3 Diszkrét frekvencia átvitel i függvény. ,...144.<br />
6.6.4 A diszkrét frekvencia átviteli függvény kisfrekvenciás<br />
helyettesítése • 145.<br />
6.7 Tipikus folytonos idejű lineáris tagok jelátviteli<br />
tulajdonságai 150.<br />
6.7.1 Ideális alaptagok • • 151.<br />
6.7.2 Tárolós tagok • 152.<br />
6.7.3 A visszacsatolt tag 159.<br />
7. LINEÁRIS SZABÁLYOZÁS STABILITÁSA 167.<br />
7.1 A stabilitás fogalma 167.<br />
7.2 A folytonos idejű zárt rendszer aszimptotikus stabilitása 168.<br />
7.3 A zárt kör stabilitásának megítélése a nyitott kör<br />
átviteli függvényéből 168.<br />
7.4 A diszkrét idejű zárt rendszer stabilitása 177.<br />
7.5 Strukturális és feltételes stabilitás 179.<br />
7.6 A visszacsatolás hatása a stabilitásra 179.<br />
- II -<br />
I
8. A SZABÁLYOZÁSI KÖR KÖVETÉSI ÉS ZAVARELHÁRITÁSI JELLEMZŐI 181.<br />
8.1 A szabályozási hiba 181.<br />
8.2 Dinamikus jel lemzők a f rekvencia tartományban. . 183.<br />
8.3 Statikus hiba elhárítása, a szabályozási kör típusszárna 186.<br />
9. A SZABÁLYOZÁSI KÖR SZINTÉZISE 191.<br />
9.1 Méretezési eljárások 191.<br />
9.2 Egykimenetű folytonos idejű szabályozási kör méretezése az<br />
átvitel i függvény alapján 192.<br />
9.3 Kompenzációs szabályozó 194.<br />
9.3.1 P kompenzáció 194.<br />
9.3.2 Pl kompenzáció 199.<br />
9.3.3 PD kompenzáció. . : 202.<br />
9.3.4 PID kompenzáció 206.<br />
9.3.5 Különböző jelformálása szabályozók összehasonlítása 208.<br />
9.3.6 Holt idős szakasz kompenzálása. 209.<br />
9.3.7 Labilis folyamatok szabályozása 211.<br />
9.4 Diszkrét idejű kompenzáció 219.<br />
9.4.1 Összefüggés a diszkrét idejű és a folytonos idejű<br />
kompenzáció között , 221.<br />
9.4.2 Diszkrét idejű kompenzáció tervezése 223.<br />
9.4.3 A mintavételezési idő kiválasztása 234.<br />
10. A SZABÁLYOZÁS ZAVARELHÁRÍTÓ KÉPESSÉGÉNEK NÖVELÉSE 235.<br />
10.1 Zavarkompenzáció • 235.<br />
10.2 Kaszkád szabáyozás 236.<br />
11. STATIKUS NEMLINEARITÁSAOK HATÁSA 243.<br />
11.1 Munkaponti 1 inearizálás • 244.<br />
11. 2 A leíró, függvény • 245.<br />
11.3 Határciklus • - 249.<br />
11.4 A szabályozási kör működése a tel ítési tartományban 253.<br />
11.5 Állásos szabályozás 256.<br />
11.6 Korlátozás • • • -260.<br />
IRODALOMJEGYZÉK 263.<br />
- III -
1. ALAPFOGALMAK<br />
Az irányítás egy folyamatba való beavatkozás adott cél elérése<br />
érdekében. Szűkebb értelemben rendszerint technológiai, tágabb<br />
értelemben bármilyen fizikai, kémiai, biológiai, gazdasági folyamatról<br />
van szó.<br />
A fo1yamat változását a foívárnat mozgásának tekintjük, amely külső és<br />
belső hatások következtében ál 1 elő. Mind a jel lemzőket, amelyekben a<br />
mozgás megnyi1vánul , mind pedig a külső hatásokat jelek testesítik meg.<br />
A jeleknek van fizikai megjelenési formája - áram, feszültség,<br />
hőmérséklet, elmozdulás, stb.- ez a jel hordozó, és van információ<br />
tartalma, ame1y a jel által képviselt hatásról tudósít (pl. mutatja,<br />
hogy egy hálózat valame1y i k ágában hogyan változik az áram, vagy hogy<br />
milyen tápfeszültség változás éri kívülről a hálózatot).<br />
Az irányi tás általános módja az, hogy egy e célra létesített külső<br />
irányító berendezés -nért vagy más úton szerzett adatok alapján<br />
megváltoztatja a foiyanat közvetlenül befolyásolható jellemzőit, és ezen<br />
keresztül eléri más jellemzőknek a kívánt mozgását is.<br />
Az irányi tott foiyanat és az irányító berendezések együttese az<br />
irányítási rendszer. A rendszertechnika a folyamatok anyagi minőségétől<br />
elvonatkoztatva a rendszerek közös je11egzet ősségeive 1 foglalkozik és<br />
azokból von le következtetéseket (pl . az irányító berendezés<br />
struktúrájára vonatkozóan).<br />
Ha például egy villamos, mechanikai vagy hőtechni kai rendszert egy külső<br />
hatás nyugalmi helyzetéből kimozdit, akkor az új egyensúlyi ál lapot<br />
olyan tranziens mozgás útján ál 1 be, amelynek jellege az anyag i<br />
minőségtől független azonos matemat ikai apparátussal<br />
differenc iáiegyéni etekkel - írható le. Ha a tranziens folyamatot kel 1<br />
befolyásolni, akkor a beavatkozás is a tranziens változás jel legétől<br />
függ. A lehetséges irányítási beavatkozások így nem a fizikai közeg,<br />
hanem a tranziensek jellege ( pl . exponenciáiisan esi 1lapodó, lengő<br />
rezonanciát mutató, stb.) szerint különülnek el. A fizikai közeg akkor<br />
jut szerephez, ha a rendszertechni kai elképzeléseket konkrét<br />
eszközökkel realizálni kel 1, vagy a konkrét fo1yamat jeleit kel 1 mérni.<br />
Az anyagi minőségtől elvonatkoztatott jel az információközlés eszköze.<br />
Az irányítási rendszertechnika a jelekkel végzett műveletek tudománya.<br />
Irány í t áse1mé1e t nek is szokás nevezni, ame1y az i rány í t ás t e c hn i kának<br />
egyik fontos, de nem kizárólagos része. Kifogástalánul működő rendszer<br />
létrehozásához ezenkívül nem nélkülözhető a folyamatnak, a felhasznált<br />
eszközök működésének, a méréstechnikának, a szoftver technikának, stb.<br />
az ismerete. Figyelembe kell venni környezeti, biztonsági, technológiai<br />
és gazdasági szempontokat is.<br />
A következőkben a rendszertan kérdéseit tárgyaljuk. Áz egyéb szoftver és<br />
hardver ismereteket illetően a megfelelő szaktárgyakra (elektronika,<br />
digitális technika, méréstechnika, villamos gépek, informatika, stb.)<br />
utalunk.
Az irányítás jelei<br />
1.1 Az irányítás<br />
A befolyásolni kívánt folyamatnak vannak belső jelei - az ál lapotváltozók<br />
(state space variable) - amelyeknek egymás közötti<br />
összefüggései írják le a folyamat mozgását. Ha a folyamatot zárt<br />
doboznak tekintjük, a belső mozgásról a kívülről is érzékelhető<br />
jelekből , a kimenő .leiekből (output signal) lehet információt kapni. A<br />
folyamatot külső hatások érik, amelyeket a bemenő jelek (input signal)<br />
szimbolizálnak.<br />
A bemenő jelek egy része az irányítás céljából szándékosan előidézett<br />
hatásokat közvetíti, ezek az irányi tó jelek (control signal). A bemenő<br />
jelek másik részét az irányítástól független, elkerülhetetlen külső<br />
hatások, a zavaró jelek (disturbance signal) képezik. Szokás az<br />
irányítandó folyamat azon ki- és bemenő jeleit, amelyek az irányítástól<br />
függetlenül ís léteznek, jellemzőknek nevezni (pl. zavaró jellemzők). A<br />
külföldi irodalom ilyen megkülönböztetést nem tesz.<br />
A jeleket időbeii viselkedésük alapján folytonos idejű és diszkrét idejű<br />
jelekre lehet felosztani. Az előbbiek a jelhordozó pi1lanatértékeivel<br />
reprezentált információt az időben folytonosan közvetítik (1.1a ábra),<br />
míg az utóbbiakat szimbolizáló impulzusok az amplitudójuk vagy a<br />
területük által hordozott információt csak a diszkrét t ^, t ,•• •<br />
stb. időpontokban jelenitik meg (1.1b ábra).<br />
Folytonos idejű jel h Diszkrét idejű jel<br />
©<br />
1.1 ábra<br />
ti *2 h *<br />
®<br />
Kódolás szerint megkülönböztethető analóg és digitális jel. Az analóg<br />
jel elvileg információtartalmának tetszőlegesen kis változását is képes<br />
közvet íteni, mert értéktartománya megszámlálhatatlanul végtelen sok<br />
elemből ál 1 (folytonos eloszlású). A digitális jel értéktartómányának<br />
véges számú eleme van, ezért számjegyes - helyérték szerint rendezett -<br />
formában írható le. Az i nformáció változást csak meghatározott<br />
kvantumokban képes visszaadni (diszkrét értékkészlet).<br />
Az irányítás funkciói<br />
Az irányítás funkcióit vázlatosan az 1.2 ábra szemléltet i. Az irányított<br />
folyamatokhoz hasonlóan a különböző funkciókat ellátó részrendszereknek<br />
is vannak bemenő, kimenő és belső jelei. Az irányítási folyamat úgy ál 1<br />
elő, hogy a részrendszerek a kimenő és a bemenő jeleken keresztül hatnak<br />
egymásra. Vegyük például az irányító alrendszert.<br />
2
Információ<br />
az irányítási<br />
célról<br />
Hibás<br />
információ<br />
Irányítási<br />
ai rendszer<br />
Információ t<br />
feldolgozás és<br />
irányító jelképzés<br />
1<br />
Előzetes<br />
információ<br />
Irányító jel<br />
Mért<br />
ínformáció<br />
1.2 ábra<br />
Zavarójelek<br />
Információ<br />
szerzés<br />
Kimenőjel<br />
Bemenő jelek: Az irányítási célt közlő jel;<br />
A folyamat fizikájából vagy kisérlet i vizsgálatából<br />
rendelkezésre ál ló (a priori) t információ;<br />
Az irányítással azonos időben szerzett valós idejű<br />
(real time) információ;<br />
Kimenő jel: Az irányító jel;<br />
Zavaró jel: Az információban lévő hibák;<br />
A belső adatfeldolgozás hibái, amelyek ugyan a<br />
rendszeren beiül képződnek,de hatásukat külső jelekkel<br />
lehet szimbolizálni<br />
A rendszertechnikai összefüggések ábrázolása<br />
Az egyes funkciókat több egymásra ható készülék, eszkőz, stb. valósítja<br />
meg, A rendszer működését a különböző vázlatok szemléltetik.<br />
A szerkezeti, vázlat a rendszert alkotó berendezésekrő1 ad áttekintést.<br />
Az 1.3a ábrán egy előírt hőmérsékletű meleg vizet előállító berendezés<br />
sematikus szerkezeti vázlata látható. A kazán tűztérben elhelyezett<br />
csövekben cirkulál a víz. A tüzeléshez használt szenet vi1iamos motorral<br />
hajtott szállítószalag viszi a széntárolóból 8 fűtőberendezésig. A<br />
villamos motor fordulatszámával szabályozható a szalag sebessége, ili.<br />
ezen keresztül a szállított szén mennyisége. Á szabályozó a ki lépő vízre<br />
előírt és a hőmérséklet mérésből származó tényleges hőmérséklet<br />
különbsége alapján egy előerősítőn és egy teljesítmény erősítőn<br />
keresztül állítja be a villamos motor tápfeszültségét, amely megszabja a<br />
f ordulatszámot.<br />
Rendszertechnikailag nem az egyes készülékek működése, hanem az általuk<br />
kiváltott ínformáció módosító hatások az érdekesek, Az 1.3b ábra<br />
szerinti vázlat a szerkezetek egymásra hatását hangsúlyozza azáltal,<br />
hogy a szerkezeteket fizikai jellegüktől elvonatkoztatja. Ez a vázlat<br />
azonban felosztásában még mindig a konkrét berendezésekhez kötődik,<br />
holott a hatások szempontjából a jelek információ tartalmának a<br />
módosulása a fontos.<br />
3
ttom<br />
hőfok<br />
Előrrt<br />
hőfok<br />
Szabályozó<br />
Szabályozó Erősítő<br />
Erősítő<br />
Mért hőfok<br />
Erősítő<br />
Motor<br />
1.3 ábra<br />
Teljesítmény<br />
erősítő<br />
Hőmérséklet<br />
mérés<br />
Szénszálító<br />
r<br />
Vízmelegltő<br />
Zavaró jelek<br />
Vízhőfok<br />
A feszültség és a teljesítmény szintek i1lesztése pl. a jelek információ<br />
tartalmának szempontjából közömbös, ezért ha két erősí tő csak ezt a<br />
funkciót látja el, nemcsak megkülönböztetésük, de a vázlatban való<br />
feltüntetésük is felesleges.<br />
A hatásvázlat (block diagram) a jelképzés vagy jelátalakítás folyamatát<br />
ábrázolja, elemei nem a szerkezetekhez, hanem a jelformálási<br />
eseményekhez kötődnek. Építőeleme a tag, amely a berendezés kimenő és<br />
bemenő jelei között i függvénykapcsolatot szimbolizálja valami 1 yen<br />
könnyen rajzolható idom (pl. téglalap) vagy más művelet i jelkép<br />
segítségével. A jeleket nyí11a1 el látott - irányított - vonalak<br />
ábrázolják. Az idomba befutó vonalak a tag bemenő, az onnan ki lépők a'<br />
tag kimenő jelei. A nyilak iránya a hat ás irány. Azon tagok összessége,<br />
amelyeken a jel azonos hatás irányban áthalad, a hatás1ánc.<br />
A tagok bemenő és kimenő jelei között ok és okozati összefüggés van. Az<br />
összefüggés matemat ikai formula, táblázat, művelet i utasítás, stb.<br />
alakjában adható meg. A gyakran előforduló műveletek jelzésére az idomba<br />
írt jel (pl. integrálás jel ) vagy külön jelölés szolgál. Ez utóbbiak<br />
közül gyakoriak az összeg- i 11. különbségképző szimbólumok, amelyek<br />
néhány vázlata az 1.4 ábrán látható.<br />
4
1.4 ábra<br />
A továbbiakban a d. ) ábra szerint i legegyszerűbb vázlatot fogjuk<br />
használni.<br />
Hangsúlyozni kel 1, hogy a hatásvázlat bizonyos hasonlóságok el lenére sem<br />
vi1lamos kapcsolási vázlat. Az összegezési pontokba belépő je lek<br />
információ tartalma - a csomópont i áramokhoz hasonlóan - összegződik<br />
ugyan, de az elágazási pontokban az információ nem osztódik, hanem<br />
valamennyi ki lépő jel a beérkező teljes információt (bemenő jelet)<br />
további tja.<br />
1.2 Nyitott és zárt hatásláncú irányítás<br />
Ha az irányi tójel képzésben a fo1yamat irányi tott jellemzőjéről szerzett<br />
valós idejű információ nem vesz részt, akkor nyitott láncú irányitásról<br />
vezérlésrő1 - (open loop control) van szó. A beavatkozás a<br />
folyamatról előzetesen rendé 1 kezesre ál ló ismeretek szerint valósul meg,<br />
arra az irányi tott jellemző nem hat vissza. Pé1da az előre megadott<br />
időprogram szerint i feszültség vagy ellenállás átkapcso1 ásókkal<br />
végrehajtótt ál 1andó áramú motorindítás vagy irányitás.<br />
Ha az összes zavaró jellemzőről megbi zható információk ál 1nak<br />
rendé 1 kezesre, a beavatkozó és az irányított jelek között i kapcsolat<br />
pontosan i smert, a vezérlés kel lő eredményt adhat. Ha azonban a<br />
felsorolt i smeretek pontatlanok vagy nem várt események történnek, a<br />
vezérlés nem hozza meg a kívánt eredményt. Ha például rosszul becsüljük<br />
a motor i ndí táskor a várható el lennyomatékot, az időben programozott<br />
feszültség-átkapcso1 ás nem bi ztos í tja az állandó i ndí tó áramot.<br />
A nyi111áncú i rányí tás előnye, hogy nem okoz stabi1i tási problémát.<br />
A zárt hatás láncban megvalósuló irányí tás (closed loop control ) a<br />
szabályozás, amelyben az irányi tot t jellemző tényleges értéke visszahat<br />
a beavatkozásra. A hatásváz latban zárt hurok alakul ki. Az irányi tott<br />
jellemzőnek a kívánt és a tényleges értékét összehasonlí tva az<br />
eltéréstő 1 függően képződik a beavatkozó jel.<br />
Ha ez minden emberi közreműködés nélkül következik be, akkor önműködő<br />
vagy autómat ikus szabályozásról, e11enkező esetben kézi szabályozásról<br />
van szó.<br />
A szabályozás előnye, hogy előre nem kalkulált hatásokat is képes<br />
korrigálni. A hátránya az, hogy önmagukban stabi1 is folyamatokat is<br />
labi1issá, illetőieg lengővé tehet.<br />
5
1.3 Az önműködő szabályozás elvi felépítése<br />
Az önműködő szabályozás ez szerkezet i vázlata az 1.5 ábrán látható.<br />
Ebben az egyes irányítástechnikai funkciókat megvalósító szerkezet i<br />
egységeket az un. szerveket és azok kapcsolatát tüntettük fel. Az<br />
önműködő szabályozás fő jellegzetessége a szabályozott jellemző<br />
visszacsatolása, ami által szabályozási kör (control loop) jön létre.<br />
A szabályozott folyamatot (process, plánt) szabályozott szakasznak<br />
szokás nevezni, amelynek a kimenő jele az y szabályozott jellemző<br />
(controlled signal).<br />
Alapjelképző<br />
szerv<br />
Alapjel Hibajel Beavatkozó Módosított Szabályozott<br />
jel jellemző jellemző<br />
Különbség<br />
képző<br />
szerv<br />
Ellenőrző<br />
jel<br />
Erősítő és |<br />
jelformálój<br />
szerv I<br />
Érzékelő<br />
szerv<br />
1.5 ábra<br />
Beavatkozó<br />
szerv<br />
Szabályozott<br />
szakasz<br />
Hatásirány<br />
A szabályozott jeilemzőt az érzékelő szerv (sensor) méri, amelynek<br />
ki menőjele az y^ e11enőrző jel (observed signal gnal).<br />
A szabályozott jellemző előírt értékét az alapértéket, amely időben<br />
változó is lehet az külső jel , az un. alapjel (reference signal)<br />
reprezentálja. Az alapjelet az alapjelképző szerv állítja elő olyan<br />
jelhordozón, ame1y alkalmas az el lenőrző jel lel való összehasonlításra.<br />
Az összehasonlí tást általában ki vonással a különbségképző szerv végzi,<br />
amelynek bemenő jele az y ellenőrző és az u alapjel, míg kimenő jele<br />
e a<br />
az y^ rendelkező vagy különbségi jel. Ha az ellenőrző jel időben<br />
torzítatlan mása a szabályozott jellemzőnek, a rendélkező jel a<br />
szabályozás pillanatnyi hibájával (az előírt értéktől való e1 térést<br />
mutató hibajel lei) azonos (error signal). Ez az egyezés a mérőeszköz<br />
di namikus torzítása miatt szigorúan csak állandosult állapotban áll<br />
fenn. A következőkben azonban a mérőeszköz ál tálában nem túl jelentős<br />
torzításait elhanyagoljuk, és a rendelkező jelet a hibajel lel<br />
azonosítjuk.<br />
A rendelkező jel hatására a jelformáló és erősítő szerv kialakítja az u<br />
irányító vagy beavatkozó jelet, amely a beavatkozó szervet (actuator)<br />
működtet i. A beavatkozó szerv a folyamathoz i 1 lesztett olyan<br />
szerkezet, amely a folyamat egy alkalmasan kiválasztott bemenő<br />
6
jellemzőjét, a módosított jellemzőt változtatja. Ez utóbbit úgy kel 1<br />
kiválasztani a f o1yamat hozzáférhető bemenő jelei közül, hogy minél<br />
közvetlenebb kapcsolatban ál Íjon a szabályozott jellemzővel.<br />
Amint a szerkezeti vázlatból látszik, a rendszer zárt kört (closed loop)<br />
alkot, így a hatásvázlatban is zárt hurok keletkezik.<br />
A szabályozási kör egyes funkciói még aláoszthatók vagy integrálhatók,<br />
ezért konkrét esetben egyes f elsorolt szervek elmaradhatnak vagy<br />
újabbakkal bővülhetnek.<br />
Az irányító jel képzési funkciókat általában egy univerzálisan<br />
használható szerkezetbe, a szabályozóba (controller) vonják össze, amely<br />
így egyesíti az alapjelképzés, a különbségképzés, jelformálás és<br />
jelerősítés funkcióit és pótol ja a megfelelő szerveket.<br />
Az univerzális szabályozó a legtöbbször vi1lamos, pneumat ikus vagy<br />
hidráulikus segédenergiával működik. Magja egy analóg vagy újabban egyre<br />
inkább digitál is számi tógép. A szabályozó az esetleg szükséges<br />
analóg/digitál is i1letve digitál/analóg jelátalakítókat is magában<br />
foglalja.<br />
A beavatkozó szerv szerkezete a folyamat jel legétől függ. Vi1lamos<br />
hajtásokban pl. csaknem kizárólagosan vezérelhető teljesítmény<br />
elektronikus tápegység. Fo1yamatszabályozások leggyakoribb módosított<br />
jellemzője az anyagáram, amelynek t ipikus beavatkozó szerve a szelep<br />
(valve). Teoret ikus vizsgálatokban a beavatkozó szervet általában a<br />
folyamathoz sorolják.<br />
Az érzékelő szerv a mérés és az adat t ovább í t ás eszközeit, a<br />
mérőátalakítót, a távadót, az adatokat nagyobb távolságra átvivő<br />
átalakí tó és további tó eszközöket foglal ja magában. A vi1lamos jelek<br />
könnyű feldolgozhatósága és továbbíthatósága miatt a mérőátalakító a<br />
mért információt igen gyakran vi1lamos je1 hordozóra ültet i.<br />
Az érzékelő szervvel szembeni pontossági igények igen nagyok, mert a<br />
szabályozó az el lenőrző jelet tekint i a szabályozott jellemző hiteles<br />
képének. Ugyancsak nagyok a pontossági igények az alapjel lel szemben is,<br />
hiszen a szabályozó az alapjel lel együtt jelentkező és a szabályozási<br />
kör átviteli frekvenc iasávjába eső eset leges zavaró jeleket nem tudja<br />
megkülönböztetni a valóságos alapjeltől.<br />
Digi tál is számítógépes szabályozóban az alapjelet a számítógép képezi.<br />
Az említett összevonásokkal a szabályozás i kör hatásvázlata az 1.6<br />
ábrára egyszerűsödik. További vizsgálatainkban legtöbbször ezt fogjuk<br />
használni.<br />
i<br />
V<br />
e<br />
Szabályozó<br />
u<br />
Irányító jel<br />
1.6 ábra<br />
7<br />
Zavaró jel<br />
Szakasz
A hatásvázlat jeleinek különböző jelhordozói vannak, így mérőszámaik<br />
dimenziós mennyiségek. Ez az analízist megnehezít i, és sokszor<br />
kel lemet len - túl kicsi vagy túl nagy - számértékhez vezet. A<br />
hatásvázlat információcentrikus felfogásának sokkal inkább megfelel a<br />
dimenziófüggetlen rendszer, amelyben minden dimenziós mennyiséget az<br />
arra a dimenzióra választott alapegység százalékában (percent rendszer)<br />
vagy többszörösében (perunit rendszer) fejezünk ki. Az alapegységeket<br />
szabadon választjuk. Arra azonban ügyelni kel 1, hogy ezekre is<br />
érvényesül jenek a jel hordozók között fennálló fizikai törvények. Ha<br />
például a feszültség dimenziójú mennyiségek alapegységét lOOV-ban, az<br />
áram dimenziójúakét 5A-ben határozzuk meg, akkor az ellenállás<br />
(impedancia) dimenzióra (az Ohm törvény miatt) már csak 100/5=20 ohmot,<br />
a teljesítményre 500W-ot választhatunk. Ha ezt betartjuk, akkor a<br />
dimenzió nélküli mennyiségekkel ugyanúgy számolhatunk, mint a<br />
dimenziósakkal. Viszont az alapegység kel lő kiválasztásával a jelek<br />
értékét kellemesen kezelhető nagyságrendekbe ál 1íthatjuk. Ha például a<br />
kör összes időál landó ja 100 és 1000 sec közé esik, idő alapegységnek<br />
100 sec-ot választva az összes időállandó dimenzió nélküli mérőszáma 1<br />
és 10 közé, 1000 sec alapértékkel 0.1 és 1 közé esik.<br />
1.4 Zavarkompenzáció<br />
A szabályozási kör a szabályozott jellemzőnek a hatás lánc kezdetére való<br />
visszacsatolásával (feedback) keletkezik. Negat ív visszacsatoláskor a<br />
stat ikus viszonyokat tekintve nyi1vánvaló, hogy kel lő jelerősítéssel a<br />
módosított jellemző az el lenőrző i 11. az alapjelhez viszonyí tva kis<br />
értékű rendelkező jel lel ál 1ítható a kívánt értékre. Ekkor az el lenőrző<br />
és az alapjel közel azonosak, a szabályozott jellemző az alapértéket<br />
közel í t i meg. Az egész zárt szabályozási kör egyet len olyan tagnak<br />
tekinthető, amelynek bemenő jele (az alapjel) és kimenő jele<br />
(szabályozott jellemző) között meghatározott arányosság ál 1 fenn,<br />
függetlenül az egyes tagokra ható zavaroktól. A zavaró jelekről külön<br />
információra nincs szükség, mert azok hatása a szabályozott jellemző<br />
megvá11ozásában tükröződik és ez megfelelő beavatkozást vált ki.<br />
A stat ikus képet lényegesen módosítják a dinamikus hatások. A jelek<br />
bizonyos időkéséssel terjednek a hatás láncban, így a zavaró jelek hatása<br />
is csak időkéséssel mutatkozik a szabályozott jellemzőben, és az<br />
elhárítást célzó beavatkozás kifejlődéséhez ugyancsak időre van szükség.<br />
Kedvezőt len esetben az időkésések a szabályozott jellemzőben<br />
megengedhetetlen eltérésekhez, lengésekhez, sőt esetleg ahhoz vezetnek.<br />
hogy nem képes új egyensúlyi ál lapot beálIni. Ez el len a szabályozási<br />
kör megfelelő méretezésével lehet védekezni.<br />
Megkönnyíthet i a feladatot az, ha a lényegesebb zavaró jelek<br />
érzékelhetők, és a mért értékek alapján még a szabályozott jel 1emzőre<br />
gyakorolt hatás kialakulása előtt beavatkozás kezdeményezhető. Ez az<br />
eljárás az un. zavarkompenzáci ó, megvalósítási eszköze pedi g az<br />
előrecsatolás (feedforward). Ekkor a mért zavaró jellemzőtől függő olyan<br />
jelet vezetünk a hat ás 1ánc valamelyik alkalmas jelösszegzési pontjára,<br />
amely a zavaró jellemző hatását várhatóan kiegyéniíti. Ez a beavatkozás<br />
nyi lt láncú. Előzetes ismeretek alapján kell az alkalmas beavatkozó<br />
jelet a zavaró jelből megállapítani, és a beavatkozás magára a zavaró<br />
jellemzőre nem hat vissza.<br />
8
Az előre- és a visszacsatolást igen gyakran kombinálva alkalmazzák (1.7<br />
ábra). A mérhető legfontosabb zavaró jelek előrecsatolása mellett zárt<br />
(visszacsatolt) szabályozási kört is létesítenek, amelynek feladata<br />
egyrészt a többi zavartól és az előrecsatolás tökéletlenségéből származó<br />
eltérések csökkentése.<br />
-s& -—®í-<br />
ye<br />
Zavarkompenzáció<br />
Szabályozó<br />
1.7 ábra<br />
±<br />
Szakasz<br />
A zavarkompenzációra klasszikus példa a különböző vi1lamos generátorok<br />
kompaund gerjesztése. A kapocsfeszültséget irányított, a gerjesztést<br />
módosított jellemzőnek tekintjük. A feszültségtartás szempontjából a<br />
legfontosabb zavaró jel a terhelő áram. Kompaundáláskor a gerjesztés<br />
egyik részét maga a terhelőáram létesít i, így a zavaró jel azonnal<br />
létrehozza a semlegesítő hatást, és ezzel nagymértékben stabi1izálja a<br />
generátor feszültségét. Ezen túlmenő finomabb feszültségszabályozásra<br />
önműködő szabályozási kör alkalmazható.<br />
9
2. MATEMATIKAI ALAPOK<br />
Lineáris folytonos idejű irányítási rendszer vizsgálatának legfontosabb<br />
matematikai eszköze a lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek<br />
idő és frekvencia tartománybeii kezelése.<br />
2.1 Az n-edrendű állandó együtthatós differenciálegyenlet megoldása<br />
az időtartományban<br />
Egy bemenő jelű (u), egy kimenő jelű (y) 1ineáris rendszer működését az<br />
alábbi n-ed rendű differenciálegyenlet írja le:<br />
(n) (n-1) (m)<br />
y +n .y +. . . + n ny = m u +. . . + m nu = g(t)<br />
n-1 0 m 0 ( 2. n<br />
ahol y^ n<br />
^ az y változó idő szerinti n-edik deriváltja. Itt m^n. A<br />
differenciálegyenleteknek elvileg végtelen sok megoldása közül azt kel 1<br />
kiválasztani, amely eleget tesz az y függvényre vonatkozó<br />
peremfeltételeknek. A peremfe1 tételek rendszerint kezdet i feltételek,<br />
n 1<br />
tehát y(0); y(0);.. .;y^ * formájában adottak.<br />
A (2.1) az un. inhomogén egyenlet, amely g(t)=0 esetén homogén<br />
egyenletté válik.<br />
A differenciálegyenlet általános megoldása a homogén egyenlet általános<br />
megoldásának (y^) és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának<br />
(y i) szuperpozíciójaként ál 1ítható elő.<br />
y<br />
= y + y<br />
h i ' (2.2)<br />
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása<br />
S<br />
y u=k 1e l t<br />
S<br />
+k 0e 2 t<br />
+ . . .+k e V (2.3)<br />
J<br />
h l 2 n<br />
ahol k4 ..... k áliandók, s,,.. . , s pedig az n-edfokú karakterisztikus<br />
r ' n 1 n<br />
r &<br />
egyenlet gyökei. Az egyenlet úgy keletkezik, hogy a homogén<br />
differenciálegyenletbe<br />
helyettesítjük.<br />
y deriváltjai helyébe s megfelelő hatványait<br />
s n<br />
n<br />
+n 1s " l<br />
+ . ..+n = 0 (2.4)<br />
n-1 0<br />
Ha többszörös gyökök is előfordulnak, akkor (2.3)-ban a megfelelő<br />
tagokban az exponenciális függvény t hatványaival van szorozva. Például<br />
feltételezve, hogy az 1, 2 és a 3 sorszámú gyök azonos s<br />
^ 2 3 értékű,<br />
akkor<br />
11
2 S<br />
t S<br />
l 2 3 4^<br />
y^Ck^kgt+^t )e ' ' +k4e + (2.5)<br />
Áz inhomogén egyenlet egyetlen partikuláris megoldását, amely az u<br />
jeltől függ, jelöljük f(u)-val. Egyenlőre feltételezve, hogy valamilyen<br />
módszerrel - pl. próbálgatással - sikerült megtalálni, a (2.1) általános<br />
megoldása:<br />
s t s t<br />
y=y h+f(u)=k 1e +...+ ke ° + f(u) (2.8)<br />
A k konstansokat a kezdeti feltételekből kell meghatározni. Á jobboldali<br />
kifejezésben f(u) kivételével az egyes tagok nem függnek az u bemenő<br />
jel időfüggvényétő1.<br />
2.2 Fourier transzformáció<br />
Bármely y(t) jel felbontható harmonikus függvények összegére.<br />
Periodikus y( t) függvény esettén az összeg megszámol hatóan végtelen sok<br />
tagból áll, amelyek diszkrét frekvenciákhoz rendelhetők. A felbontásnak<br />
ez az esete a Fourier sor, amely komplex formában<br />
y(t) =<br />
Itt<br />
n=-co<br />
0 = » ahol T g az y( t) jel periódusideje,<br />
s<br />
c n= 1 ) S/Z<br />
S<br />
-T /2<br />
s'<br />
y(t) e-J^at<br />
komplex szám, amelyre fennáll a<br />
(2.7)<br />
(2.8)<br />
c = c (2,9)<br />
n -n<br />
összefüggés, ahol c a konjugált értéket jelzi.<br />
Az U=TIQ diszkrét frekvenciákhoz rendelt c^ amplitúdók a periodikus y(t)<br />
jel amplitudó spektrumát alkotják. Mivel a komplex amplitudók az egyes<br />
összetevők fáziseltolását is mutatják, az amplitúdó spektrum teljes<br />
információt ad az összetevőkről, sőt a (2.9) alapján ez az információ<br />
már az n>0 értékekhez tartozó részspektrumban ís megtalálható.<br />
Nem periodikus y(t) jel nem megszámolhatóan végtelen sok összetevőből<br />
ál .1, amelynek frekvenciái folytonos eloszlásúak. Ezért egyetlen<br />
frekvenciához nem tartozik véges értékű amplitúdó, de - ugyanúgy mint<br />
minden folytonos eloszlásban - megadható egy u> frekvencia körüli da><br />
12
sávra számított amp 1 itudósűrúség. Jelöljük ennek 2rr-szeresét y(jw) -val.<br />
OD<br />
y(t)= JL JV(jw)e Jwt<br />
du<br />
-co (2. 10a)<br />
00<br />
y(Jw)= fylt)e~ Jwt<br />
dt<br />
J<br />
— 00<br />
(2.10b)<br />
Az egyenletek kölcsönösen egyértelmű összefüggést 1 r anszf or mác i ó t -<br />
állapítanak meg az y(t) időfüggvény és az y(jw) frekvencia függvény<br />
között. Ez a Fourier transzformáció. Az y(jai) ampl itudósűrűség spektrum<br />
az y (t) időfüggvény Fourier transzformáltja . ,<br />
A (2.10b) integrál csak akkor létezik, ha az y(t) függvény abszolút<br />
integrálható, tehát ha<br />
00<br />
f|y(t)|dt=véges<br />
J<br />
-oo<br />
(2.11)<br />
Ez azt jelent i, hogy ha t => oo, y abszolút értéke legalább l/t<br />
nagyságrendjében kel 1 hogy csökkenjen. Ekkor a (2.10b) még akkor is<br />
véges eredményre vezet, ha az integrandusban a fáziskülönbségbő1 eredő<br />
kompenzációs hatások nem érvényesülnek.<br />
Ha az y(t) függvény csak t^t^ időkre különbözik zérustól, akkor<br />
egyoldalas i dőfüggvényrő1 i11. egyoldalas Fourier t rans zformác i óró1<br />
beszélünk. Az általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy<br />
t Q=0. Ekkor y(t)-t pozitív időfüggvénynek nevezik.<br />
A Fourier transzformációval a differenciálegyenletek algebrai<br />
egyenletekké redukálódnak, mert a frekvencia tartományban az<br />
időtartománybeii differenciálást és integrálást algebrai műveletek<br />
helyettesítik.<br />
(2. 11) azt is jelenti, hogy y(t) négyzetes integrálja is létezik. így a<br />
jelnek, véges energiája van, amely a frekvencia tartományban a Parseval<br />
vagy Rayleigh tétellel fejezhető ki.<br />
00 00<br />
y 2<br />
(t)dt = | y(jw)y(-Jti))dc«) (2.12)<br />
A műveleti szabályokat a Laplace transzformáció kapcsán ismertetjük.<br />
2.3 Laplace transzformáció<br />
A Fourier transzformáció használatát a (2.11) feltétel erősen<br />
korlátozza, hiszen annak már az ugrásfüggvény sem felel meg, így nincs<br />
Fourier transzformáltja.<br />
E korlátozás jelentősen csökkenthető, ha a transzformálandó függvényt<br />
exp(-irt )-vel szorozzuk és azután képezzük a Fourier transzformáltját,<br />
mert tr>a feltétel lel még az -exp(at) függvény is abszolút<br />
integrálhatóvá válik a t=0 és t=+oo pontok között.<br />
13
A szorzótényezővel korrigált egyoldalas függvény Fourier transzformáltja<br />
az eredeti függvény Laplace transzformáltja.<br />
Uy(t)}= J y(t)e-°V jwt dt y(t)e<br />
S t<br />
dt= y(s) (2.13)<br />
aho1 az s = cr+joo és 0 (2.14)<br />
transzformációs változó pozitív valós részű komplex szám.<br />
s=> joo határátmenettel az y(s) Laplace transzformált az y(jca) Fourier<br />
transzforrnáltba megy át, amennyiben az létezik.<br />
Az inverz Laplace transzformált a (2.10a)-ból s=jcu helyettesítéssel<br />
kapható meg.<br />
y(t)<br />
1<br />
2Hj<br />
C+ja<br />
cr-joo<br />
y(s)e St<br />
ds<br />
(2.15)<br />
Az integrálási utat úgy kel 1 kiválasztani, hogy y(s) regularitási<br />
tartományában haladjon, a szinguláris helyek tőle balra essenek. Ezt az<br />
általános érvényű Riemann-Mel1 in féle inverziós formulát a gyakorlati<br />
számításokban szűkebb érvényű, de könnyebben kezelhető módszerekkel (pl.<br />
kifejtési tétel) lehet helyettesíteni ,<br />
Néhány egyszerű függvény Laplace transzformáltját az 2.1. táblázat<br />
mutatja. Értelemszerűen valamennyi függvény egyoldalasán értendő.<br />
y(t) y(s) yít) y(s)<br />
ő(t)<br />
Kt)<br />
sinwt<br />
Műveleti szabályok<br />
a.) Differenciálás<br />
1<br />
l/s<br />
ü><br />
2 2<br />
S + U<br />
±at<br />
e<br />
. lat<br />
te<br />
coswt<br />
2.1. táblázat<br />
1<br />
s+a<br />
1<br />
, _ ,2<br />
(s+a)<br />
s<br />
2 2<br />
S +Cü<br />
L {yít)} - s y(s)-y(0) (2.16a)<br />
14
L { y } = s 2<br />
y(s) - sy(0) - y(0) (2.16b)<br />
Ha az összes kezdeti érték zérus, akkor az időszerinti differenciálás s<br />
megfelelő hatványával való szorzássá redukálódik.<br />
L {t y(t)} = - -iL y(s) (2.17)<br />
Azokban az esetekben, amikor egy egyoldalas függvény a t=0 pontban a t^O<br />
tartománybeii y=0 értékéről y=y Q-ra ugrik a (2.16) egyenletben y(0) két<br />
különböző felfogásban értelmezhető.<br />
a. ) A szigorú matematikai szemléletmódban az y függvény a szakadás<br />
helyén nem differenciálható, így a (2.16) a t>0 tartománybeii<br />
d i f ferenc i á1hányadosai nak Laplace transzformáltját adja<br />
értelemszerűen e tartomány határán elhelyezkedő y(0)=y^ kezdet i<br />
értékkel. (Ezek a d i ff erenc i ál hányadosok t-» 0 esetén a szakadási<br />
hely un. jobboldali ^ differenciálhányadosaihoz tartanak, így a<br />
(2.16b)-ben előforduló y(0); stb. értékek is egyértelműek).<br />
(3. ) A matematikai lag nem eléggé precíz, de prakt ikus esetben - legalább<br />
is a (2.16a) egyenletre - jól használható és jól interpretálható<br />
felfogás az y függvény ugrását a t=0 pontban egy At ideig tartó<br />
véges meredekségű szakasz elméleti határesetének tekinti. Ekkor a<br />
(2. 16a) egyenletben szereplő kezdeti érték y(0)=0. A véges<br />
meredekségű szakaszon létezik d i f ferenc iáihányados, ame1ynek pl. az<br />
időfüggvénye, ha a meredekség állandó, At szélességű állandó<br />
amplitudójú négyszögimpulzus. Ennek területe a meredeken emelkedő<br />
szakasz y^ végértéke (At-y^/At). Ha a meredekség nő, At csökken, az<br />
impulzus terület azonban változatlan marad. A végtelen meredekségre<br />
való áttéréskor az impulzus y^ területű Dirac impulzussá válik.<br />
Ekkor a (2.16a) egyenlet y(0)=0 helyettesítéssel nemcsak a t>0<br />
tartomány d i fferenc iáihányadosának, hanem formálisan az "ugrás<br />
differenciálhányadosának" minősíthető Dirac impulzusnak is megadja a<br />
Laplace transzforrnáltját.<br />
A /3. ) felfogás matemat ikai pongyolasága el lenére is helyes eredményt<br />
ad, ameddig olyan jelek képzésére használják, amelyek egy<br />
integrátoron (vagy a későbbiekben tárgyalt tárolós tagon) haladnak<br />
keresztül. Az integrálás ugyanis megszünteti a problémát okozó Dirac<br />
függvényt.<br />
A b.) értelmezés akkor válik egyre nehezebbé, ha a (2.16b) egyenlet<br />
kapcsán a magasabb rendű di fferenc iáihányadosokra is ki akarjuk<br />
terjeszteni. Ekkor már a Dirac függvény differenciálhányadosait is<br />
értelmezni kel lene, ami matemat ikailag egyre abszurdabb eredményre<br />
vezet.<br />
b.) Integrálás<br />
15
t<br />
c.) Eltolási tételek<br />
L | j y (t)dtj = ~ y(s) (2.18)<br />
0<br />
L {y(t±T)> = e<br />
± s T<br />
y(s) (2. 19a)<br />
L { e~ at<br />
y(t)> = y(s+a) (2.19b)<br />
Az egyoldalas y(t) függvény kezdőpont jának T-vel való késleltetése a<br />
transzformált függvényben exp(-sT)-vel való szorzással vehető<br />
figyelembe.<br />
d.) Végérték tételek<br />
y(t=0) = lim syís) . (2.20a)<br />
s-*»<br />
y(t-*») = lim syís) (2.20b)<br />
s-»o<br />
Ez utóbbi kifejezés akkor alkalmazható, ha y(s) pólusai a baloldali<br />
félsíkra esnek (tehát pl. expíat); sínít); stb. függvényekre helytelen<br />
eredményt ad).<br />
e. ) Konvolúció (Faltung) tétel<br />
t<br />
L | J y^x) y 2(t-T)dr | = y^s) y2(s) (2.21)<br />
0<br />
f. ) Racionális törtfüggvény inverz transzformáltja<br />
Lineáris koncentrált paraméterű rendszerek analízisekor és szintézisekor<br />
előforduló jelek Laplace transzformáltja a legtöbbször racionális<br />
törtfüggvény.<br />
e<br />
w, x m s +. . . + m<br />
f v M(s) m o<br />
y ( s )<br />
= -NÍiT =<br />
"ír n-1 ^ ~<br />
s + n , s +. . . + n<br />
n-1 o<br />
; m s n<br />
(2.22)<br />
Az egyenlet jobb oldala részlettörtekre (partial fraction) bontható és<br />
tagonként t rans zformá1hat ó az időtartományba. Ez a kifejtési tétel<br />
(expansion theorem), amely akkor egyszerű, ha a nevező s^ gyökei - y(s)<br />
pólusai - egyszeresek. Ekkor<br />
n k. Mis.)<br />
yís) = Y<br />
X<br />
— ; k. = -— (2.23a-b)<br />
Lá S — S, 1 . T, f \<br />
i«i<br />
1 í s<br />
i 5<br />
hol W az N(s) polinom s szerinti d i f f erenc i ál hányadosa. Az<br />
időfüggvény:<br />
16
n M(s. ) s. t<br />
y(t) = £ — e 1<br />
i-1 N'(s ) (2.23c)<br />
Többszörös gyökhöz a részlettörtekre bontáskor a gyök multiplicitásával<br />
azonos számú részlettört tartozik. Pl. ha az i-edik gyök kétszeres, a<br />
megfelelő részlettört<br />
s-s.<br />
I<br />
+<br />
Ennek inverz transzformáltja a 2.1. táblázat szerint<br />
( k<br />
il<br />
k.<br />
i2<br />
(s-s.r<br />
í<br />
+ t k<br />
) e 1<br />
i2<br />
s. t<br />
(2.24a)<br />
(2.24b)<br />
Gépi számítás: A részlet törtekre bontást (part ial fract ion expansion) a<br />
MATLAB residue utasí tása végzi. Megfelelő paraméterezéssé 1 az utasí tás a<br />
rációnál is törtfüggvények rész lettörtjeinek együtthatói t és pólusai t<br />
adja, vagy ezekből rekonstruálja az eredő tört számlálóját és nevezőjét.<br />
2.4 Lineáris állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenlet<br />
megoldása a frekvencia tartományban<br />
A (2.1) szeri nt i állandó együtthatós differenciálegyenlet frekvencia<br />
tartománybeli megoldásakor az időfüggvények helyett áttérünk azok<br />
Laplace traszforrnáltjára, ezáltal a differenciálegyenlet algebra"<br />
egyenletté vál ik. Kifejezzük a keresett ismeret len jelet és az eredményi,<br />
visszatranszformáljuk az időtartományba.<br />
Vegyük például az<br />
yít) - a yít) = b u(t) (2.25a)<br />
elsőrendű differenciálegyenletet y(0) kezdet i fel tétel lel.<br />
Áttérve a Laplace transzformáltra a (2.16a) figyelembevételével:<br />
s y(s) - y(0) - a y(s) = b u (s) (2.25b)<br />
Y ( S ) = £Í°I + uís)<br />
(2.25c)<br />
A 2. 1 táblázattal és a második tagban -j (2.21) konvolúciós integrál lal<br />
elvégezve az inverz transzformációt<br />
t<br />
a t<br />
a ( t<br />
yít) = e y(0) + | e " T }<br />
b•u(x)dx (2.25d)<br />
0<br />
Az első tag a zérustól különböző kezdeti citék határát mutatja.<br />
Az eljárás lényegesen egyszerűsödik, ha a kezdeti értékek zérusok. Ekkor
az eredmény a konvolűciós integrállal számítható. Ha azonban a bemenő<br />
jel Laplace transzformaitja is rációnál is törtfüggvény, a<br />
visszatranszformálás a konvolűciós integrál mellőzésével a kifejtési<br />
tétel lel közvet lenül is megkapható.<br />
Zérus kezdeti feltételeket feltételezve a (2.1) egyenlet Laplace<br />
transzforrnáltjára áttérve<br />
(s n<br />
n<br />
+n is ..+n ) y(s)=(m s m<br />
+...+m ) u(s) (2.26a)<br />
n-1 o m o<br />
y(s)=<br />
m<br />
m 3 +. . . + m<br />
- — 1 — u(s) = wís)u(s)<br />
n n-1<br />
s +n „ s +... +n^<br />
n-1 0<br />
(2.26b)<br />
A 2. 1 egyenlet által leírt rendszert egyet len jelátvivő tagnak tekintve<br />
a frekvencia tartományban annak u(s) bemenő és y(s) kimenő jele között 1<br />
összefüggését a w(s) átviteli függvény (transfer function) írja le. Ha a<br />
bemenő jel Dirac impulzus, akkor u(s)=1, így a kimenő jel maga az<br />
átviteli függvény y(s)=w(s). Ennek az időtartománybeií értéke a w( t)<br />
súlyfüggvény (weight ing funct ion).<br />
2.1 ábra<br />
Az átviteli függvény nevezője azonos a differenciálegyenlet<br />
karakter i szt i kus polinomjávai (2.4 egyenlet), az s most a Laplace<br />
transzformáció változóját jelenti. A karakteriszt ikus egyenlet<br />
megoldását ekkor sem lehet megkerülni, hiszen a súlyfüggvényt a (2.23)<br />
kifejtési tétel lel kel 1 meghatározni.<br />
A súlyfüggvény ismeretében bármely tetszőleges u( t) bemenő jelre a<br />
megoldás a konvolúciós integrállal határozható meg, mert ez felel meg<br />
az időtartományban a (2.26b) szerinti szorzatnak.<br />
t<br />
yít) = J w(t-x) ulx) dx (2.26c)<br />
0<br />
Az egyenlet jelentését a 2.1 ábra világítja meg.<br />
Az u( t) jel egymást követő u(x)dx impulzusok sorozatának fogható fel.<br />
18
Minden impulzus egy-egy az u(x)dx területtel arányos súlyfüggvényt<br />
generál, amelyeknek hatása a t pontban szuperponá1ódik. A x pontban<br />
induló részfolyamatban a megindulásától kezdve a t pontig (t-x) idő<br />
telik el, így a hozzárendelt súlyfüggvény értéke w(t-x). Az összes<br />
részfolyamatokat összegezve, amelyek a x=0 és x=t pontok között<br />
indulnak, kapjuk a t pontban az y(t) jelet,<br />
2.1. példa<br />
Oldjuk meg Laplace transzformációval a következő differenciálegyenletet<br />
yíO) = y(0) = 0 kezdeti feltételekkel:<br />
yít) + 6y(t) + 8y(t) = ú(t) + u(t) (2.27a)<br />
A bemenő jel<br />
a. ) u(t) - ő(t) ; b. ) u(t) = 1(t)<br />
Áttérve a Laplace transzforrnáltra<br />
y(s) = w(s) u(s) = — u(s) = — u(s) (2.27b)<br />
s +6s+8 (s+2) (s+4)<br />
A nevező gyökei egyszeresek: s* = -2; s - - 4 .<br />
a. ) Ha a bemenőjel a Dirac impulzus, akkor u.(s) = 1.<br />
A súlyfüggvény a kifejtési tétel (2.23c) szerinti alakjával<br />
-2+1 -2t -4+1 -4t 1 -2t 3 -4t<br />
y(t) = w( t J= — e + -—— e = ~ p- e + p e<br />
-4+6 ~8+6<br />
(2.27c)<br />
Az y jel időbeli változása csak a karakterisztikus egyenlet gyökeitől<br />
(w(s) pólusaitól) függ.<br />
b. ) Egységugrás alakú bemenő jelre u(s)=1/s .<br />
A kimenő jel kétféleképpen számítható, a (2.27b)-bői a kifejtési<br />
tétellel, vagy a konvolúciós integrállal.<br />
A (2.27b) és a (2.23b)-bői<br />
Y ( S ) = "T¥+^flsT47i~ =<br />
4(I+~2T ~ "4" ~iT4~" +<br />
A nevező gyökei s^= -2, s^= -4, s^= 0.<br />
"t (2.28a)<br />
A karakterisztikus egyenlet két sajátértékén kívül y(s) pólusai között<br />
megjelenik az u(s) jel pólusa (s 3=0) is. Visszatranszformálva az<br />
időtartományba<br />
2 t<br />
4 t<br />
y(t) = l + | e~ - | e"<br />
(2.28b)<br />
A konvolúciós integrálhoz a (2.27c) súlyfüggvényt használva ugyanerre az<br />
eredményre jutunk.<br />
19
yít)<br />
, 1 -2(t-x) 3 -4(t-xh . 1 1 -2t 3 -4t<br />
(<br />
6<br />
" 2<br />
+<br />
2 6<br />
> d T =<br />
8 +<br />
4 e<br />
' 8 6<br />
(2.28c)<br />
Az eredmény első tagja a bemenő jel pólusától (esetünkben s^=0) függő<br />
időfüggvény, amely független a differenciálegyenlet sajátértékeitől. A<br />
megoldásnak ez a része az inhomogén egyenlet egyik part ikuláris<br />
megoldása. A másik két tag csak a sajátértékektől függ, de független a<br />
bemenő jel pólusaitól. A megoldásnak ez a része kielégít i a homogén<br />
egyenletet, ez a tranziens összetevő. Amint látszik, a megoldásban zérus<br />
kezdet i fel tételek esetén is jelen vannak mind a differenciálegyenlet<br />
paramétereitől, mind a bemenő jeltől függő összetevők, így az irányítási<br />
rendszer vizsgálatakor rendszerint elegendő a zérus kezdet i feltételekre<br />
szorítkozni.<br />
2.2. példa<br />
Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet zérus kezdet i fel tételekkel<br />
u(t)= 1(t) egységugrás bemenetre (u(s)=l/s).<br />
y(t) + 5y(t) + 8y(t) + 4y(t) = u(t) (2.29a)<br />
y(s)<br />
s(s 3<br />
1<br />
+ 5s 2<br />
+ 8s +4) (2.29b)<br />
A nevező gyökei: s^ = 0, s^ = -1, s^ = s^ = -2.<br />
A részlettörteket pl. a MATLAB residue utasításával kiszámítva:<br />
y(s) =<br />
1 1 3 1<br />
4 5 5 + 1 4 ( s + 2 )<br />
y(t) = -i- - e 1<br />
2(s+2) 2<br />
+ (-|- + -i- t) e<br />
2 t<br />
20<br />
(2.29c)<br />
(2.29d)
3. LINEÁRIS FOLYTONOS IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA<br />
3.1 Folyamatok matematikai modellje<br />
Irányítástechnikai vizsgálatokban a folyamatot rendszertechnikai<br />
model1je helyettesiti, amely a vizsgálat szempontjából érdekes külső és<br />
belső jelek között i összefüggéseket írja le. Ha ezek matemat ikai<br />
kifejezésekkel adhatók meg, matemat ikai modellről van szó.<br />
A model1 a fo1yamat működéséről rendelkezésre ál ló ismeretektől függően<br />
elmélet i megfontolásokkal vagy empirikusan, i 11. a két eljárás<br />
kombinációjával állapí tható meg. Az empirikus model1 meghatározás az<br />
identifikáció (identification), amely egy feltételezett<br />
model1struktúrához a paramétereket a folyamaton végzett mérésekből<br />
határozza meg. A model1 mindig csak egyszerűsített mása a valóságnak,<br />
amely a kevésbé fontos tényezőket elhanyagolja. Ezért a kísérlet i<br />
modellépi tés hatékonyságát is növeli, ha a ki indulási struktúrát elvi<br />
megfontolások támasztják alá.<br />
Az e1mé1eti modellépitésben rendelkezésre ál ló előzetes ismeretek<br />
alapján a folyamat működésének minőségi képét kel 1 megalkotni. Ennek<br />
alapján el kel 1 dönteni, hogy melyek azok az elsődleges hatások,<br />
amelyeket fel tét lenül figyelembe kel 1 venni, és melyek azok a modellezés<br />
célját i1letően másodlagos hatások, amelyeket el lehet hanyagolni. Ki<br />
kel 1 jelölni azokat a belső változókat, amelyek az egyszerűsített<br />
model1t egyértelműen jellemzik. Végül annak a rendszernek a<br />
törvényszerűségei szerint, amelyben a folyamat realizálódik (vi1lamos,<br />
mechanikai, kémiai, gazdasági, stb. ) meg kel 1 állapí tani a model1 külső<br />
és belső jelei között i matemat ikai összefüggéseket.<br />
A realizált rendszerekben a folyamatok részfo1yamatokbó1 tevődnek<br />
össze, amelyek a rendszert alkotó elemekhez (részrendszerekhez)<br />
kötődnek.<br />
Az elemek egyik része az őt érő hatásokat tehetetlensége miatt nem<br />
tudja azonnal követni. A tehetetlenség mindig valamilyen tároló hatástól<br />
- teljes általánosságban információ tárolástól - származik.<br />
Fizikai rendszerekben ez pl. az energiatárolás különböző megjelenési<br />
formáiban (vi1lamos töltés, mágneses f1uxus, helyzet i és mozgási<br />
energia, hőtartalom, stb ), míg logikai rendszerekben a regiszterek vagy<br />
egyéb memória jellegű elemek tartalmában mutatkozi k. A t áro1ó elem<br />
tartalmát - "töltését 11<br />
- a bemenő jelek csak véges idő alatt tudják<br />
megváltoztatni, így az adott időpontban ez a tartalom nem a bemenőjelek<br />
ugyanezen időpontbeii értékeitől függ, hanem a korábbi események során<br />
alakult ki. Azokat az információkat hordozza, amelyeket a rendszer a<br />
múltjából megőrzött. A rendszer mozgását egy adott pi1lanatban a bemenő<br />
jelek és a tároló elemek töltése szabja meg, de az közömbös, hogy ez a<br />
töltés milyen korábbi mozgás fo1yamán alakult ki .<br />
Más szóval a t árolók tártalma egyértelműen jellemzi a rendszer<br />
állapotát, amelynek segí tségével a további mozgás a vizsgált időpont<br />
előtt i ál lapotok ismerete nélkül is meghatározható. A rendszer olyan<br />
21
első jelekkel - ál lapotváltozókkal ( state space variable) írható le,<br />
amelyek egyértelmű kapcsolatban ál Inak a tároló elemek tartalmával, ezen<br />
be 1ü1 azonban többféleképpen is kiválaszthatók. A rendszer jellemzésére<br />
annyi egymástól független állapotváltozóra van szükség, ahány tároló<br />
típusú - memória tulajdonságú - eleme van.<br />
Formálisan definiálva az állapotváltozó o1yan jel, amelynek adott<br />
pontbeii értekéből a bemenő jelek és a paraméterek ismeretében a<br />
következő )dőpontbeli értéke meghatározható.<br />
Folytonos idejű rendszer analóg számi tás i model1jében a táró ló t ípusú<br />
tagok integrátorokként jelennek meg, amelyek kimenő jeleire teljesül az<br />
emlí tett kri térium, így azok mindig ál lapotváltozóknak tekinthetők.<br />
Passzív vi1lamos hálózatok energiatárolói kondenzátorok vagy<br />
indukt ivi tások. Az indukt ivitás tartalma - "töltése" - a tárolt mágneses<br />
energia, amely az átfolyó árammal vagy a fluxussal fejezhető ki, így az<br />
ezektől egyértelműen függő bármilyen jel ál lapotváltozó lehet. A<br />
kondenzátorban tárolt vi1lamos energia a töltéssel vagy a kondenzátor<br />
feszültségével van egyértemű összefüggésben, így ezek i11. a ve 1 ük<br />
összefüggő jelek választhatók állapotváltozónak.<br />
Az állapotváltozók, a bemenő jelek és a kimenő jelek között i<br />
összefüggéseket differenciálegyenletek és algebrai egyenletek - az<br />
ál 1apo t e gye n1e t e k (state space equat ion) - írják le, ame1yek különböző<br />
formákban adhatók meg.<br />
Az e1mé1e t i modellépi tést a következő pé1dák szemléltetik.<br />
3.1. példa<br />
Külsó' gerjesztésű egyenáramú motor matematikai modellje<br />
Az e1 rendezés a 3. 1 ábrán látható. Az e feszültségrő1 t ápIáit EM<br />
egyenáramú motor G munkagépet (pl. szerszámgépet) hajt. Ez a motor<br />
tenge lyét f forgatónyomatékkal' terhe 1 i, ame 1 ybe magának a gépnek a saját<br />
lég- és csapágysúr1ódása is beleértendő. A forgó tömegek tehetetlenségi<br />
nyomatéka 8. A tengely fordulatszáma u, szögelfordulása pedig
A működési mód leírása: A mágneses mezőben forgó armatúra tekercselésben<br />
e^ belső feszültség indukálódik, amely az LÚ szögsebességgé 1 és a $<br />
mágneses fluxussal arányos. Az e kapocsfeszültség és az e^ belső<br />
feszültség különbsége hajtja át az i áramot az armatúra tekercselésen,<br />
amelynek R ellenállása és L induktivitása van. Az áram és a gerjesztett<br />
mágneses mező közötti kölcsönhatásként a motorban olyan f^ hajtónyomaték<br />
ébred, amely részint egyensúlyozza a terhelő nyomatékot, részint<br />
gyorsítja a forgó tömegeket. Egyensúlyi helyzet akkor ál 1 be, ha a<br />
gyorsulás megszűnik, a hajtónyomaték egyenlővé válik a terhelő<br />
nyomatékkal. Ez annál a szögsebességné1 következik be, amikor a<br />
kapocsfeszültség és az indukált feszültség különbsége éppen az ehhez<br />
szükséges áramot képes létrehozni.<br />
Kimenő jelek<br />
Bemenő jelek<br />
Irányi tó jel<br />
a szögelfordulás és a szögsebesség,<br />
a kapocsfeszültség és a terhelő nyomaték,<br />
a kapocsfeszültség,<br />
Zavaró je1: a terhelő nyomaték.<br />
Egyszerűsítő fel tételezések: A rendszer 1ineáris. Az armatúra tekercs<br />
ellenállása és induktivitása állandó. Ezeket az armatúra elé kiemelt<br />
koncentrált elemekkel helyettesítve maga az armatúra olyan ideál is<br />
tekercsrendszerré válik, ame1ynek kapcsain (a kefék között) az átfolyó<br />
áramtó1 függetlenül az beIső feszültség jelenik meg. A hőmérséklettől<br />
függő ellenállás változásoktól valamint az armatúra áram változásakor az<br />
ál ló és a f orgórész vastestében indukálódó örvényáramoktól e1 tekintünk.<br />
A terhelő nyomatékot a fordulatszámtól függetlennek vesszük.<br />
Fel tételezzük, hogy az e feszültséget előál1ító tápforrás képes felvenni<br />
a fordított irányú áramot, i1 letve a visszatáplált teljesítményt, amely<br />
akkor keletkezhet, ha az indukált feszültség a szögsebesség átmeneti<br />
növekedése miatt meghaladja a kapocsf észültség értékét. Végül az<br />
armatúra áramnak a mágneses mezőre való visszahatását az un. armatúra<br />
visszahatást is figyelmen kívül hagyjuk.<br />
Mennyiségi összefüggések az időtartományban:<br />
Állandó fluxusnál az indukált fészültség a szögsebességgel, a vi1lamos<br />
úton képződő hajtónyomaték az armatúra árammal arányos.<br />
e u = Ku> ; f = k^i (3. la-b)<br />
b b a f<br />
Itt k, és k„ konstansok,<br />
b f<br />
Az armatúra áramkörre fel írható hurokegyenlet<br />
e = R i + L ~ + k u
Az ál lapotváltozókat fizikai alapon lehet kijelölni.<br />
i az L induktivitás "töltése", így nem tud ugrásszerűen változni,<br />
u) a forgó tömegek mozgási energiája miatt csak fokozatosan<br />
változhat,<br />
f 1<br />
L<br />
jdj<br />
dt<br />
I(O)
Mindegyik bemenő jelhez (a kezdeti értékeket is beleértve) annyi<br />
átviteli függvény rendelhető, amennyi a kimenő jelek száma. Esetünkben<br />
tekintsünk el a kezdeti értékektől és vizsgáljuk meg, hogyan függenek az<br />
y^(s) és y^Cs) kimenő jelek az e(s) és az f(s) bemenő jelektől.<br />
y^s) =
Ezzel<br />
W n(B) - wl2(s) = -<br />
T<br />
e<br />
8<br />
1+sT a<br />
s(s 2<br />
T T + sT + 1)<br />
e a e '<br />
(3.6c-d)<br />
Az átviteli függvényekkel felépített hatásvázlat a 3.3 ábrán látható.<br />
3.2. példa<br />
Két hőforrásból álló rendszer melegedés! folyamata<br />
Az elrendezést a 3.4 ábra mutatja.<br />
Az m 2 tömegű fajhőjű test, amelyben p^ teljesítmény alakul hővé<br />
körülveszi a g fajhőjű m tömegű testet, amelynek saját hoteljesítmenye<br />
Határozzuk meg a két test i 11. hőmérsékletének a változását a<br />
hőfejlesztés bekapcsolása után, ha a kapcsolás előtt a rendszer hőfoka<br />
a #Q környezeti értéken volt.<br />
A fo1yamat leírása: A hoteljesítmenyek bekapcsolása után a két test<br />
hőmérséklete növekedni kezd. A képződő hőenergia egy része a testek<br />
hőkapacitásában raktározódik, míg a másik része a kialakuló hőmérséklet<br />
különbség hatására a határfelületeken keresztül a környezetbe távozik. A<br />
stacionárius ál lapot olyan és hőfoknál ál 1 be, amikor a tfj-tf^<br />
különbség hatására a belső testben képződő hőmennyiség teljes egészében<br />
a külső testbe, onnan pedig az ott képződő hőmennyiséggel együtt a ^""^<br />
hőmérséklet különbség hatására a környezetbe távozik.<br />
Egyszerűsítő feltevések: Feltételezzük, hogy az egyes testeken belül a<br />
jó hővezetési tulajdonságok következtében nem alakul ki érdemleges<br />
hőmérséklet különbség, ezért azok i 11. # 2 hőmérsékletű homogén<br />
testeknek tekinthetők. A felületi hőátadás törvényszerűsége szerint a<br />
felületeken At idő alatt átáramló hőmennyiség az f^ i 11. f felülettel,<br />
a h^ i 11. h 2 felületi hőátadási tényezővel, a felület két oldalán<br />
kialakult hőmérséklet különbséggel és a At idővel arányos. Végül úgy<br />
tekintjük, hogy a környezet hőfoka a jó szellőzés következtében a<br />
beáramló, hő hatására sem növekszik # Q fölé.<br />
A feladat igen erősen egyszerűsített f ormában szemléltet i azokat a<br />
jelenségeket, amelyek pl. vi1lamos gépek hornyaiban elhelyezett vezetők<br />
melegedésekor lejátszódnak.<br />
Mennyiségi összefüggések: A belső testben At idő alatt képződő hő<br />
részben Atf^ hőfokkal megemeli a test hőmérsékletét, részben a külső<br />
testbe távozik. A külső testben a belsőből érkező hőmennyiséghez<br />
27
hozzáadódik a p 2 teljesítményből képződő hő. Az eredő egyik része A# 2<br />
hőmérséklet növekedést okoz, másik része a környezetbe távozik. A két<br />
testre ezt a hőmérleget fel írva:<br />
P 1At=g 1m 1A# 1+h 1f 1(# 1-# 2)At<br />
Bemenő jelek: p^; p 2 és ,<br />
Kimenő jelek: # és # 2 .<br />
P 2At +h 1f 1(* r* 2)At=g 2» 2A Vh 2f 2( V* 0)At<br />
(3.7a-b)<br />
Az állapotváltozók fizikai megfontolásból a #^ és # 2 hőmérsékletek,<br />
amelyek a két testben tárolt hőenergiával arányosak, így ugrásszerűen<br />
nem változhatnak (a hőkapacitások töltéseivel arányosak).<br />
Az egyenleteket g^m^At-vel ill. g 2m2At-vel elosztva és rendezve az<br />
ál lapotegyenletekhez jutunk.<br />
d#.<br />
dt g 1 m1<br />
dt g 2 m 2 1<br />
h<br />
i f<br />
i<br />
g, mj<br />
h<br />
l f<br />
l f<br />
2<br />
Az y és y 2 kimenő jelek<br />
m 1 I 9l<br />
*2<br />
g<br />
2 m<br />
2<br />
g<br />
l m<br />
l<br />
0~ +<br />
2 g<br />
; 2 m<br />
2<br />
h<br />
2 f<br />
2<br />
g<br />
2 m<br />
2 °<br />
(3.8a-b)<br />
^2 = ű<br />
2 (3.8c-d)<br />
1 «PI r<br />
3.4 ábra<br />
23<br />
!»2'P2
^(0)
_^2 _J_ , , *2 %_<br />
dt " G ^ 2 +<br />
G 2<br />
+<br />
G 2R 2<br />
d<br />
y2 - *2<br />
A hatásvázlatot a 3.5 ábra szemlélteti.<br />
Legyen perunit rendszerben G^= 1,<br />
Ekkor<br />
Ű V 2<br />
+ P<br />
l<br />
# 2 = 0.2^- 0.4^2+ 0.2p2+ 0.2 # Q<br />
*1=*V<br />
y<br />
Z=*2<br />
G 2<br />
3.2 Állapotegyenlet<br />
= 5,<br />
R R l « 2 ' 1<br />
(3.10b)<br />
(3.lOc-d)<br />
(3.11a)<br />
(3.11b)<br />
(3. llcr)<br />
A 3. 1 és a 3.2 pé1dák tanulságát a következőkben általánosíthatjuk.<br />
Folytonos idejű folyamatok dinamikus viselkedését az állapotváltozók<br />
számával azonos elsőrendű differenciálegyenlettel és a kimenő jelek<br />
számával azonos algebrai egyenlettel lehet jellemezni. Ezek az<br />
állapotegyenletek.<br />
Ha az állapotváltozókat x, a bemenő jeleket u, a kimenő jeleket y<br />
jelöli, akkor pl. egy két állapotváltozós, három bemenő és egy kimenő<br />
jelű lineáris rendszerre az állapotegyenletek az alábbi uniformizált<br />
alakban írhatók:<br />
X = a b<br />
l llV a12 X2 + llV b 1 2 V b<br />
13°3<br />
X2 = a 2 l V b21<br />
y i = c<br />
a22 X2 +<br />
Ul + b<br />
b22 U2 + 23°3<br />
llV C<br />
12 X + d<br />
2 llV d<br />
12V d<br />
13 U<br />
3<br />
(3.12a-c)<br />
Az a, b, c, d együtthatók a rendszer paraméterei. A bemenő jelek az<br />
irányító és a zavaró jelekből ál Inak.<br />
A skaláris forma a változók számának növekedésével kezeihetet lenné<br />
válik. Az áttekinthetőséget, vektorváltozók bevezetésével lehet növelni.<br />
Legyenek X, U, Y olyan oszlopvektorok, amelyeknek skalár rendezői az<br />
ál lapotváltozók, a bemenő jelek i 11. a kimenő jelek. Ezekkel a (3.12)<br />
egyenletek mátrixos formában:<br />
1 "11<br />
*21<br />
A<br />
"12<br />
"22<br />
11<br />
b21<br />
30<br />
12<br />
b<br />
22<br />
13<br />
b<br />
23<br />
*1<br />
"AT<br />
B (3.13a)
V<br />
c<br />
-/ \-<br />
vagy a mátrixokat nagybetűkkel jelölve<br />
X = AX + BU<br />
Y = CX + DU<br />
d<br />
ll d<br />
12 d<br />
13<br />
"V"<br />
D<br />
(3.13b)<br />
(3.14a-b)<br />
A, B, C, D a rendszer paraméter mátrixai. A (3.13) egyenletek<br />
megoldásához peremfeltételeket kel 1 rögzíteni. Ezeket a következőkben<br />
kezdeti<br />
meg:<br />
feltételek formájában a t=0 időre vonatkozó X(0) értékkel<br />
x^O)<br />
X(0) =<br />
x2(0) adjuk<br />
(3.14c)<br />
A következőkben a jelölésben nem teszünk különbséget a mátrixok^, a sor<br />
és az oszlopvektorok között. Valamennyit nagybetűvel jelöljük. A<br />
jel legük a definíciójukból következik. X, U, Y oszlopmátrixok, az A<br />
mátrix kvadrátikus, B, C, D általában nem kvadrátikusak.<br />
A bemenő jelek többféleképpen is csoportosíthatók, így a B és D<br />
mátrixok is többféleképpen felbonthatók. Ha a pé1dánkban u^-t az<br />
irányító, u 2~t és u^-t a zavaró jel komponenseinek tekintjük, akkor a<br />
bemenő Vektor<br />
U<br />
részekre bontható, a (3.14a) állapotegyenlet pedig<br />
X= AX+B.U.+B U<br />
1 í z z<br />
Y= CX+D.U.+D U<br />
1 í z z<br />
(3.15a-b)<br />
alakú lesz, ahol B. ill. D. oszlopmátrixok, B és D kvadratikus.<br />
1 í z z<br />
B. -<br />
11<br />
b<br />
21<br />
12<br />
b<br />
22<br />
13<br />
b<br />
23<br />
D =<br />
z<br />
d<br />
12 d<br />
13<br />
d<br />
22 d<br />
23<br />
De U-nak mindhárom skaláris komponense is megtartható önálló<br />
bemenőjelnek. Ekkor a hozzájuk rendelhető B és D mátrixok értelemszerűen<br />
módosulnak.<br />
Az egybemenetű - egy kimenetű (SISO, single input-single output)<br />
rendszerekben U=u és Y=y skalárok, B oszlop, C pedig sormátrix, D=d<br />
skalár.<br />
31<br />
11<br />
*21
A frekvencia tartományba az állapotegyenletek a (3.14) Laplace<br />
transzformációjával vihetők át. Jelölje az X, U, Y idővektorok<br />
transzformáltját X(s), U(s), Y(s).<br />
Figyelembe véve a differenciálhányados transzformá1ásának a szabályait:<br />
sX(s) = AX(s) + BU(s) + X(0)<br />
Y(s) CX(s) + DU(s) (3. 16a-b)<br />
Az a egyenletben X(0) olyan bemenő jelnek tekinthető, amely a<br />
B 0<br />
1 0<br />
0 1<br />
egységmátrixon keresztül hat a rendszerre.<br />
X(0)<br />
X(0)
A kezdeti értékeket tehát egy speciális bemenő .jelként lehet figyelembe<br />
venni. Ugyanez az i dő t art ományban is megtehető. A frekvencia<br />
tartományban konstans érték az időtartományban Dirac impulzust jelent. A<br />
(3. 16) időtartománybeii megfelelője:<br />
X = AX + BU + X(0)ő(t)<br />
Y = CX + DU (3.18a-b)<br />
A (3.14) és (3.18) egyenletek azonos eredményt adnak azzal az elvi<br />
különbséggel, hogy az utóbbiakat - mivel a kezdet i értékeket egy bemenő<br />
jel automatikusan előál1ítja - zérus kezdet i feltételekkel kel 1<br />
megoldani.<br />
A (3.16) és a (3.18) egyenleteknek megfelelő hatásvázlat a 3.6a ábrán<br />
látható, míg annak egy két állapotváltozós egy bemenetű - egy kimenetű<br />
változatát a b ábra mutatja.<br />
A következőkben a legtöbbször vagy egy bemenetű - egy kimenetű (SISO<br />
single input - s i ng1e output), v agy több bemenetű - egy kimenetű<br />
rendszert (MISO mult i input - single output) vizsgálunk, amelyben a<br />
kimenőjel skalár.<br />
A bemenő jelnek a kimenő jelre gyakorolt közvetlen hatása (a 3.14<br />
egyenletben DU) sokszor elkülöníthető magától a rendszertől, ezért a D=0<br />
feltételt is gyakran használjuk.<br />
Az ál lapotváltozók mint koordináták egy teret -- az ál lapotteret (state<br />
space) - definiálnak. Ebben a térben helyezkedik el az X( t)<br />
ál lapotvektor. Végpontjának elmozdulása jelent i a rendszer mozgását. Az<br />
ál lapotvektor végpontja által leírt görbe az ál lapottrajektória.<br />
3.3 Dualitás<br />
Duális alakzat úgy keletkezik, hogy egy rendszerben valamennyi külső és<br />
belső jel hatásiránya megfordul. 11yenkor az eredeti kimenő és bemenő<br />
jelek szerepet cserélnek, valamint az állapotváltozók ki- és bemenő<br />
pontjai megcserélődnek.<br />
Tekintsünk például egy két bemenetű egy kimenetű két állapotváltozós<br />
rendszert, amelynek az ál lapotegyenlete rendezőkben:<br />
X<br />
X<br />
y<br />
l<br />
2<br />
i<br />
= a<br />
il X<br />
l<br />
= a<br />
21 X<br />
l<br />
= C<br />
11 X<br />
1<br />
+ a<br />
i2 X + b<br />
2 ll U<br />
l<br />
+ a<br />
21 X<br />
l<br />
+ b<br />
21 U<br />
l<br />
+ C<br />
12 X + d<br />
2 ll U<br />
l<br />
+ b<br />
12 U<br />
2<br />
+ b<br />
22 U<br />
2<br />
+ d<br />
12 U<br />
2<br />
( 3 1 9 a )<br />
(3.19b)<br />
(3.19c)<br />
A hatásvázlat a 3.7 ábrán látható, a hatás irányt a folytonos vonalakra<br />
rajzolt nyi1ak jelzik.<br />
Változatlan paraméterekkel az ábrán szakadozottan rajzolt nyilak szerint<br />
megfordítva a hatás irányt az így keletkezett duális rendszernek két<br />
kimenő és egy bemenő jele lesz. Legyen a kimenő jel vektora Y^, a bemenő<br />
jel vektora U =u és az állapotvektora X . Az ábra szerint<br />
33.
X<br />
D1= a<br />
ll X<br />
+ a<br />
lD 21 X<br />
+ C<br />
2D 11 U<br />
D<br />
X<br />
D2= a<br />
!2 X<br />
+ a<br />
lD 22 X<br />
+ C<br />
2D 12 U<br />
D<br />
y<br />
Dl= b<br />
ll x<br />
+ b<br />
lD 21 X<br />
+ d<br />
2D ll u<br />
D<br />
y<br />
D2= b<br />
12 X<br />
+ b<br />
lD 22 X<br />
+ d<br />
2D 12 U<br />
D<br />
( 3 2 0 a )<br />
( 3 2 0 b )<br />
( 3 2 0 c )<br />
( 3 2 0 d )<br />
A (3.19) és (3.20) egyenletek összevetéséből a duális és az eredet i<br />
rendszer paraméter mátrixai közötti összefüggés:<br />
A<br />
D<br />
= A<br />
'<br />
: B<br />
D<br />
= C<br />
'<br />
; C<br />
D<br />
= B<br />
'<br />
; D<br />
Ahol A' , B', C, és D' transzponált mátrixok.<br />
J 22<br />
U b 12<br />
r- b<br />
J 21<br />
J 11<br />
D<br />
= D<br />
'<br />
*1D 1D<br />
3 12<br />
3 12<br />
2 21<br />
3.7 ábra<br />
*2D<br />
3 22<br />
X 2D<br />
•H c1<br />
A duális rendszerben az eredeti rendszer valamennyi páramétermátrixának<br />
a transzponált.iát kel 1 venni, ezenkívül a B és a C mátrixok még szerepet<br />
is cserélnek.<br />
34<br />
c 12
A dualitás elvének a fe1haszná1ásáva1 a duális rendszerre vonatkozó<br />
fe1adat a megfelelő mátrix cserékkel az eredeti rendszerben oldható meg.<br />
3.4 Az állapotegyenletek megoldása a frekvencia tartományban<br />
A (3.16a) egyenletből<br />
(sI-A)X(s)= X(0) + BU(s)<br />
X(s)= (sI-A) 1<br />
£ X(0) + BU(s)j<br />
I az egységmátrix.<br />
A mátrix invertálás szabálya szerint<br />
(sI-A)<br />
-1 adj(sI-A)<br />
det(sI-A)<br />
(3.22)<br />
(3.23)<br />
Itt adj(sI-A) olyan mátrix transzponáltja, amelynek skalár rendezői az<br />
(sI-A) mátrix megfelelő rendezőjéhez tartozó előjeles aldeterminánsok,<br />
det(sI-A) pedig az (sí-A) mátrix determinánsa, amely s-nek n-edfokú<br />
polinomja (n az ál lapotváltozók száma).<br />
N(s) = det(sI-A)= s n<br />
+n . s n<br />
n-1<br />
N(s) az A mátrix karakteriszt ikus polinomja,<br />
r<br />
• » s<br />
n gyökei pedig az A mátrix sajátértékei,<br />
pólusainak is neveznek.<br />
li<br />
0<br />
(3.24)<br />
az N(s)=0 egyenlet<br />
amelyeket a rendszer<br />
A (3.23) egyenlet számlálójában ál ló mátrix mindegyik rendezője is s-nek<br />
egy-egy polinomja, amelyik azonban - minthogy egy (n-1)-edrendű<br />
aldeterminánsból származik - legfeljebb (n-1) -edfokú.<br />
A (3.22) szerint az ál lapotvektor mozgását az X(0) kezdet i ál lapot és az<br />
U(s) bemenő jel határozza meg. Az X(0)-tól függő rész valamennyi<br />
rendezőjének nevezőjében a karakteriszt ikus polinom ál 1, ezért a<br />
kifejtési tételből következően időfüggvényeiket kizárólag a rendszer<br />
pólusai határozzák meg.<br />
A megoldásnak ez a része a nyugalmi helyzetéből kitérített és magára<br />
hagyott rendszer mozgását írja le és mind a frekvencia, mind az<br />
időtartományban kizárólag a rendszer paraméterek egyikétől, az A<br />
ál lapotmátrixtól függ.<br />
A megoldásnak az U(s)-től függő összetevőjében a rendezők nevezője a<br />
karakterisztikus polinomon kívül U(s) egyes komponense i nek nevező<br />
polinomjait is tartalmazza, így időfüggvényei nemcsak a rendszer, hanem<br />
a bemenőjel pólusaitól is függenek.<br />
A megoldásnak ez a része a gerjesztett rendszer mozgását írja le.<br />
35
A kimenő jel a (3.16b) és a (3.22) egyenletekből:<br />
Y(s) = C(sl-A) •1<br />
X(0) + BU(s) + DU(s) (3.25a)<br />
A gerjesztett mozgás kimenő jele (X(0) = 0):<br />
Y(s) =[C(sI-A) l<br />
B + D] U(s) = W(s)U(s) (3.25b)<br />
W(s) a rendszer átviteli mátrixa (transfer mátrix), ame1ynek rendezői -<br />
az átviteli függvények - az egyes ki és bemenő jel komponensek Laplace<br />
transzformaitjainak a hányadosai. Egy két kimenetű, három bemenetű<br />
rendszerben például:<br />
y^s)<br />
y 2(s)<br />
w n(s) w 1 2(s) w 1 3(s)<br />
w 2 1(s) w 2 2(s) w 2 3(s)<br />
u 2(s)<br />
u 2(s)<br />
u 3(s)<br />
(3.26)<br />
A (3.25b) egyenlet szerint valamennyi w komponens s-nek rációnál is<br />
törtfüggvénye, amelynek nevezőjében az A mátrix karakterisztikus<br />
polinomja ál 1. A számláló D=0 esetén minimálisan eggyel alacsonyabb<br />
fokú, mint a nevező, D*0 esetén pedig legfeljebb azzal azonos fokszámú<br />
lehet.<br />
SISO rendszerben az átviteli mátrix a skalár átviteli függvény.<br />
w(s)<br />
y(s) = M(s) =<br />
u(s) N(s)<br />
m<br />
m s + . . . + m.<br />
m<br />
0<br />
n n-1<br />
s + n , s +. . . + n^<br />
n-1 0<br />
M(s) a számláló, N(s) a nevező polinomját jelenti.<br />
(3.27a)<br />
A számláló és a nevező polinomját gyöktényezős alakra bontva az átviteli<br />
függvény faktorizált formája:<br />
w(s)<br />
(s-s , )...(s-s )<br />
zl zm<br />
(s-s,)...(s-s )<br />
1 n<br />
Itt k az átviteli tényező (gain), s<br />
zV<br />
w(s) függvény zérusai (zeros),<br />
(poles).<br />
V<br />
(3.27b)<br />
, s az M(s) po1inom gyökei, a<br />
zm ^<br />
; pedig a függvény pólusai<br />
Mivel az M(s) és N(s) po1inomok együtthatói valósak, komplex s^. i11. s^<br />
értékek mindig konjugált párjukkal együtt fordulnak elő.<br />
A (3.27a) egyenlet parciális törtek összegeként is előál1ítható.<br />
Egyszeres gyökök esetén:<br />
wCs) (3.27c)<br />
,...,k valós vagy páronként konjugált komplex konstansok. Többszörös<br />
36
gyökök vonatkozásában a 2.3 pontra (2.24a egyenlet) utalunk.<br />
Annak ellenére, hogy w(s) nevezőjében a rendszer karakterisztikus<br />
polinomja ál 1, az átviteli függvény pólusai nem mindig azonosak a<br />
rendszer pólusaival, mert a számlálónak és a nevezőnek azonos gyökei is<br />
lehetnek, amelyekkel egyszerűsíteni lehet a függvényt. Ekkor azonban a<br />
rendszer egyes pólusai és az azoknak megfelelő időfüggvények is<br />
hiányoznak a kimenő jelből, azaz az u bemenő jel nem képes olyan kimenő<br />
jelet generálni, amelyben a rendszer teljes dinamikája tükröződik.<br />
Átviteli mátrix a magára hagyott rendszer kimenő jelére is definiálható,<br />
ha bemenő jelnek az X(0) vektort tekintjük. Ekkor a (3.25b)-ben B=I,<br />
D=0.<br />
3.3. példa<br />
Gépi számítások: A MATLAB az előzőekben ismertetett számításokat a<br />
következő utasításokkal segíti.<br />
Az A mátrix karakterisztikus polinomja:<br />
N = poly (A)<br />
A rendszer pólusai:<br />
S = roots (N)<br />
Az átvitel i függvény M számláló és N nevező poliriomjai:<br />
[M, N]= ss2tf (A,B,C,D, iu)<br />
Az ss2tf (state space to transfer function) utasítás a C és D<br />
mátrixokkal definiált kimenő jel (3.14b) komponensei és a B mátrixon<br />
keresztül ható bemenő jel egy kiválasztott komponense közötti átviteli<br />
függvényeket számítja. Ezeknek nevezője azonos, számlálóik különbözőek,<br />
így az utasítás hatására a gép a közös N nevező polinomot és a kimenő<br />
jelek számával azonos számú sort tartalmazó M mátrixot írja ki. Az M<br />
mátrix sorai az egyes átviteli függvények számláló polinomjai. A bemenő<br />
jel komponens kiválasztására szolgál az iu paraméter, amely az U vektor<br />
kiválasztott rendezőjének a sorszáma.<br />
Az utasítással az állapotmodel1 minden olyan két jele közötti átviteli<br />
függvény is kiszámítható, amely alkalmas B és C mátrixokkal be- i11.<br />
kimenő jelként definiálható.<br />
Ügyelni kel 1 a D mátrix alakjára, amelyet D=0 esetében is olyan<br />
mátrixként kel 1 megadni, amely C-vel azonos számú sort és B-vel azonos<br />
számú oszlopot tartalmaz!<br />
Az átviteli függvényt faktorizált formában az ss2zp (state space to<br />
zero-pole-gaín), míg részlettörtes formában a residue utasítás számítja.<br />
3.4 példa<br />
A 3.2 példában tárgyalt melegedési probléma állapotegyenleteiben<br />
jelöljük az ál lapotváltozó hőmérsékleteket x-szel, a bemenő jeleket<br />
u-val és legyen ű = const = 0 .<br />
37
Ezzel a paraméter mátrixok<br />
sI-A<br />
-1<br />
0,2<br />
s+1<br />
-0,2<br />
1<br />
-0,4<br />
-1<br />
B =<br />
s+0,4<br />
A karakterisztikus polinom<br />
1 0<br />
0 0,2<br />
1 0<br />
0 1<br />
N(s) = det(sI-A) = (s+l)(s+0,4)-0,2 = s 2<br />
+l,4s+0,2<br />
A rendszer pólusai az N(s)=0 egyenletből<br />
; D<br />
0 0<br />
0 0<br />
(3.28a)<br />
(3.28b)<br />
s^-0, 1615; s 2=-1,2385 (3.28c)<br />
Az adjungált mátrix<br />
adj(sI-A)=<br />
Az ál lapotvektor<br />
s+0,4 0,2<br />
1 s+1<br />
v, , adj(sI-A)[X(0) + BU(s)]<br />
X(s)~<br />
Rendezőkben<br />
X<br />
l<br />
( s )<br />
s+0,4<br />
0,2<br />
1<br />
s+1<br />
(s+0,4) x 1(0)+x2(0)+(s+0,4) Uj(s) + 0,2 u2(s)<br />
s 2<br />
+ l,4s+0,2<br />
(3.29)<br />
0,2 x1(0)+(s+l)x2(0)+0,2u1(s)+0,2(s+l)u2(s) x ( s) = = = y1 (s)<br />
s +l,4s+0,2<br />
1<br />
Az Y(s) és U(s) jelek közötti átviteli mátrix<br />
W(s) =C(sI-A) !<br />
B+D =<br />
W<br />
21<br />
"12<br />
y xla)<br />
W<br />
22 (3.30)<br />
A W(s) rendezőit alkotó négy átviteli függvény az y^(s) és y<br />
kifejezéséből mint az u^(s) és u 2(s) szorzói közvetlenül kiolvasható<br />
W<br />
ll<br />
( S )<br />
s+0,4<br />
s + l,4s+0,2<br />
w 1 2(s) = -2 0,2<br />
s + l,4s+0,2<br />
38
w 2 1<br />
(s)<br />
0,2<br />
W<br />
( S )<br />
22<br />
0,2(s+l)<br />
s + l,4s+0,2 s"+ l,4s+0,2<br />
Valamennyi átviteli függvény nevezője azonos.<br />
3.5 Az állapotegyenlet megoldása az időtartományban<br />
Az elsőrendű vektor differenciálegyenlet az elsőrendű skaiár egyenlet<br />
(2.25d) megoldásának értelemszerű általánosítása, amely zárt formában is<br />
előállítható. t=t Q kezdeti időpontra X(tQ) kezdeti feltétellel:<br />
X = AX+BU<br />
X(t) = e<br />
A U t<br />
0 )<br />
X(t ) +<br />
konvergens Taylor sora definiál.<br />
eA(t-t Q) = j + A(t-t0)-f -A_ (t-tQ) 2<br />
A(t-x) _ , . ,<br />
e B u(x) dx<br />
0 (3.31)<br />
a rendszer alapmátrixa, amelyet minden t értékre<br />
2<br />
(3.32)<br />
A függvény analitikusan is egyszerűen számítható, ha A diagonális, mert<br />
akkor annak bármi 1yen f(A) függvénye diagonális mátrix, amelynek<br />
főátlójában az A főátló elemeinek f függvényei ál Inak. Nem diagonális A<br />
mátrixot a később ismertetendő hasonlósági transzformációval előzetesen<br />
diagonálizálni kel 1, vagy a frekvencia tartományban kel 1 a számításokat<br />
elvégezni.<br />
A (3.22) és (3.31) egyenleteket összehasonlítva t Q=0 és u(s)=0<br />
értékekkel<br />
A t<br />
L{ e } = (sI-A) 1<br />
$ (s) (3.33)<br />
A (3.31) megoldás első tagja az X(t Q) kezdeti értékből induló magára<br />
hagyott rendszer mozgása; a második tag - a konvolúciós integrál - az<br />
X(t Q)=0 kezdeti értékből induló gerjesztett mozgás.<br />
3.5 példa<br />
Határozzuk meg egy U=u=exp(-0, 11) skaláris bemenő jel lel gerjesztett, a<br />
t Q=0 pontban X(0) kezdeti állapotból induló rendszer mozgását.<br />
A=<br />
-1<br />
0,2<br />
1<br />
-0,4<br />
B= X(0) =<br />
39
Mivel az A mátrix a 3.4 példabelivel azonos, a (3.28b) és (3.29)<br />
egyenletek fe1haszná1ásáva1 a (3.33)-ból<br />
At<br />
s+0. 4<br />
(3.34)<br />
A karakterisztikus egyenlet (3.28c) szerinti gyökeit használva a<br />
kifejezés rendezői a kifejtési tétellel transzforrnálhatók az<br />
időtartományba.<br />
At<br />
0,22 e S<br />
l l<br />
0,19 (e 53<br />
! 1<br />
+ 0,78 e S<br />
2 t<br />
- e s<br />
2 t<br />
)<br />
A magára hagyott rendszer mozgása<br />
X Q<br />
A t<br />
= e X(0) =<br />
1,15 e S<br />
0,96 e S<br />
l t<br />
l t<br />
- 0,15 e S<br />
+ 0,04 e S<br />
0,93(e S<br />
l t<br />
0,78e S<br />
l t<br />
2 l<br />
- e s<br />
2 t<br />
)<br />
+ 0,22 e S<br />
A gerjesztett rendszer mozgását a konvolúciós integrál adja.<br />
X =<br />
g<br />
t<br />
A(t-x) _ -0,1T . -1<br />
e Be dx = L<br />
2 l<br />
(sI-A) 1<br />
B 1<br />
s+0, 1<br />
2 t<br />
(3.35)<br />
(3.36)<br />
(3.37)<br />
A műveleteket akár a (3.35) f igye1embevéte1éve1 az időtartományban, akár<br />
a (3.34) segítségével a frekvencia tartományban elvégezve:<br />
, 0 0 -0,lt _ c -0,1615t n -l,2385t<br />
x i = 4,28e - 3,6e -Q,68e<br />
gl<br />
o o c -0,lt 0 n o -0,1615t n 1 C -l,2385t<br />
x _ = 2,86e - 3,02e +0,16e<br />
g2<br />
Az egyenletek jobboldalán két rész különíthető el:<br />
X = X + X.<br />
g u tu<br />
(3.38a-b)<br />
(3.39)<br />
X u komponensei az első tagok, amelyek a bemenőjel szerint változnak, de<br />
40
exponenciális függvényük kitevője független a rendszer pólusaitól. az<br />
inhomogén egyenlet partikuláris megoldása, ame1ynek t=0 pontbe1i értéke<br />
X (0)=|4,28 2,86 I '<br />
1 1<br />
u<br />
Az X^^ tranziens összetevő rendezői az i 11. x^ kifejezésének<br />
két-két utolsó tagja, amelyek a kezdeti X (0)=-|4,28 2,861' értékről<br />
zérusra csökkennek a rendszer pólusai által meghatározott exponenciális<br />
kitevők szerint.<br />
A (3.38) egyenletek szerint a t=0 pontban az X^ értéke X^(0)=0, azaz a<br />
konvolúciós integrál olyan gerjesztett mozgás megoldását írja le, ame 1 y<br />
a zérus kezdő állapotból indul. A tranziens összetevő a kezdeti<br />
pi1lanatban kiegyenlíti az X (0)=0 és az X (0) közötti eltérést, a<br />
— -g~ —• — — ~u • -<br />
későbbiekben pedig a bemenőjel tői függetlenül a rendszer pólusai szerint<br />
esi 1lapodik.<br />
A teljes megoldás a (3.36) és (3.39) összege:<br />
A oo -t o „cr -0, 1615t _ n o -l,2385t<br />
x = x + x = 4,28e -2,45e -0,83e<br />
1 ol gl<br />
x = x + x == 2,86e- t<br />
1 6 1 5 t<br />
-2,06e~°' ~0,2e" 1 2 3 8 5 t<br />
'<br />
2 o2 g2<br />
vagy vektoros formában<br />
(3.40a-b)<br />
X = X + (X. +X ) = X + X. í o , n<br />
u tu o u t (3.41J<br />
A (3.39)-hez képest annyi a különbség, hogy az X^ tranziens összetevő -<br />
az azonos időál landó jú tagokból ál ló X^ és X^ összege - most a t=Q<br />
pontban az X(0).= j 1 1 | kezdőál lapot és az ^ÍPi közötti különbséget<br />
egyénií t i ki .<br />
3.6 A lineáris rendszer mozgása<br />
Az előző pontok és a 3.5 példa eredményei alapján a 1 ineáris rendszer<br />
mozgási sajátosságait a következőkben foglalhatjuk össze.<br />
A mozgásnak két formája van:<br />
1.) A nyugalmi helyzetéből kimozdított, majd (pl. a t=0 pontban)<br />
magára hagyott rendszer mozgása.<br />
2. ) A gerjesztett rendszer mozgása, ameiyet. a nyugalmi helyzetben levő<br />
rendszerre adott bemenő jel - gerjesztő jel - vált ki. Az általános<br />
mozgásban a két forma szuperponálódik.<br />
A nyugalmi állapotábóí kitérített. majd magára hagyott rendszer<br />
kétféleképpen viselkedhet:<br />
41
la) Stabi1 is rendszer visszatér a nyugalmi helyzetébe, vagy annak a<br />
kimozdítás mértékétől függő környezetébe.<br />
lb) Labi1 is rendszer nem tér vissza a nyugalmi helyzetébe i 11. annak a<br />
környezetébe.<br />
A magára hagyott rendszer állapotvektora (3.5 példa X ) kielégíti a<br />
homogén vektor differenciálegyenletet (3.14a egyenlet, U=0), időbeii<br />
változását a rendszer pólusai (sajátértékei) szabják meg. Stabi1 is<br />
rendszerben a mozgás egy stacionárius vagy kvazistacionárius egyensúlyi<br />
ál lapothoz tart.<br />
A stacionárius egyensúlyi állapotban valamennyi ál lapotváltozó mozgása<br />
megszűnik (X=0; X=konst).<br />
A magára hagyott rendszer kvazistacionárius egyensúlyi állapotában egyes<br />
ál lapotváltozók mozgása nem szűnik meg, hanem állandósult periodikus<br />
mozgássá alakul.<br />
A gerjesztett rendszer mozgásában két mozgástípus szuperponálódik.<br />
2a) A gerjesztett egyensúlyi mozgás a bemenő jel által kiváltott<br />
mozgásnak az a komponense, amelyik kielégíti az inhomogén egyenletet<br />
(az inhomogén egyenlet part ikuláris megoldása, a 3.5 pé1dában X^).<br />
Ha a rendszer pólusai különböznek a bemenő jelétől, ez az összetevő<br />
a bemenő jel pólusai szerint változik. Ha közös pólusok is vannak,<br />
ez a megkü1önböztetés értelmét veszti.<br />
2b) Ha a ki indulási (t=0) állapotban a rendszer állapota eltér a<br />
gerjesztett egyensúlyi mozgás ugyanezen időpontbeii állapotától, a<br />
közöttük levő eltérés kiegyenlítő (tranziens) összetevőt gerjeszt,<br />
amely a két ál lapot különbségéből, mint kezdő állapotbói ki indulva a<br />
magára hagyott rendszer mozgási törvényszerűsége szerint változik.<br />
A gerjesztett rendszer egyensúlyi állapota így a gerjesztett<br />
egyensúlyi mozgásból és a magára hagyott rendszer egyensúlyi<br />
állapotából tevődik össze. A stabi1 is gerjesztett rendszer mozgása<br />
ugyanúgy tart e felé, mint ahogyan a magára hagyott rendszer<br />
megközel ít i saját egyensúlyi ál lapot-át.<br />
Szokásos az is, hogy a tranziens össze.tevők közé a kiegyenl í tő<br />
mozgásnak csak a esi 1lapodó komponenseit sorolják. Ekkor úgy kel 1<br />
fogalmazni, hogy a tranziens összetevőt a ki indulási állapotban a<br />
gerjesztett rendszernek a tényleges és az egyensúlyi állapota<br />
közötti különbség generálja.<br />
Az ál lapotvektor különböző felbontásban számítható.<br />
1.) A tranziens összetevői a homogén egyenlet megoldásai, az egyensúlyi<br />
állapota az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása.<br />
2. ) A (3.22) ill. (3.31) ezzel szemben az X(t Q) kezdeti értékek és az U<br />
bemenő jel hatása szerint különíti el az egyes komponenseket. t^=0<br />
feltételezésével az eredő mozgás úgy jön létre, hogy az X(0) kezdeti<br />
állapotbói induló magára hagyott rendszer mozgására szuperponálódik<br />
az X=0 nyugalmi állapotbói U gerjesztőjel lel kimozdított rendszer<br />
42
mozgása. Az első összetevőt az egyenletek X(0)-tól függő tagjai, a<br />
másodikat a konvolúciós szorzat i 11. a konvolúciós integrál<br />
szolgáltatja.<br />
3.7 Rendszeranalízis tipikus vizsgáló jelekkel<br />
Az irányítási rendszer analízisének a célja a statikus és a dinamikus<br />
tulajdonságok feltárása. Ezek részben a bemenő jeltől, részben a<br />
rendszer paramétereitől függnek. A rendszerfüggő dinamika a tranziens<br />
mozgáskomponensekben tükröződik.<br />
Minthogy az X(0)=0 kezdeti állapotbói induló gerjesztett mozgásban mind<br />
a gerjesztő jelnek megfelelő egyensúlyi ál lapot, mind a tranziensek<br />
megjelennek, általában elegendő ennek vizsgálata. Bemenő jeleknek<br />
célszerű olyan jeleket használni, amelyek képesek a vizsgálni kívánt<br />
hatást kellő mértékben előidézni, eléggé egyszerűek és az eredményben<br />
könnyen e1különíthetőkké teszik a rendszer és a bemenő jel hatását.<br />
A Dirac impulzus csak tranzienseket gerjeszt, a hozzárendelhető<br />
egyensúlyi állapot megegyezik a magára hagyott rendszer nyugalmi<br />
állapotával. Mivel azonban kísérletileg nem reálizálhat6, sokszor az<br />
ugrásfüggvényt használják helyette.<br />
Az ugrásfüggvény tranzienseket és olyan egyensúlyi állapotot hoz létre,<br />
amely csak egy additív konstansban különbözik a magára hagyott rendszer<br />
nyugalmi állapotától.<br />
További tipikus vizsgáló jelek az egyoldalas hatványfüggvények és az<br />
exponenciális függvények.<br />
3.6 példa<br />
Gépi számitások folytonos idejű rendszerekre az időtartományban<br />
A MATLAB az X állapotvektort és a kimenő Y vektort az<br />
ál lapotegyenletekből vagy az átviteli függvényekből számítja, az Isim<br />
(1inear simulation), impulse, step és az initial utasításokkal.<br />
Az Isim tetszőleges bemenő jelre és kezdeti értékekre használható.<br />
Paraméterként vagy az ál lapotegyenlet paraméter mátrixait, vagy az<br />
átviteli függvény számláló és nevező polinomjait kel1 megadni az azonos<br />
lépésközű számítási időpontokkal és az ezen időpontokbeii bemenő jel<br />
értékekkel együtt.<br />
Az initial utasítás a magára hagyott rendszer állapotvektorát és kimenő<br />
jelét számítja az X(0) kezdeti állapotvektorból ki indulva. Az idővektort<br />
automatikusan is képes generálni.<br />
Az impulse i 11. a step utasítások Dirac függvény i 11. ugrásfüggvény<br />
bemenetre számítják az állapotvektort és a kimenő jeleket. Az időpontok<br />
vektorait autómatikusan is meg tudják állapítani.<br />
Amikor a megadott paraméterek az áviteli függvényre vonatkoznak, a<br />
MATLAB a tf2ss (transfer function to state space) utasítással<br />
automatikusan előállítja az állapotegyenletet (az 5.5<br />
szerinti irányíthatósági formában) és annak az ál lapotvektorát számítja<br />
ki.<br />
43
4. LINEÁRIS DISZKRÉT IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA<br />
4.1 Mintavételezés<br />
A jelfeldolgozás fő eszközei a digitális számítógépek. Szabályozási<br />
körökben is igen gyakran ezek oldják meg a szabályozók jelformáló és<br />
információ feldolgozó feladatait.<br />
A digitális számítógépek irányítástechnikai fe1használásának a két fő<br />
területe:<br />
a. ) Digitális szimuláció, amikor analízis vagy szintézis céljából az<br />
irányítási rendszert - folytonos idejű részeivel együtt - digitális<br />
számítógépen modellezik.<br />
b. ) Digitális irányítás, amikor a számítógép az irányítási rendszer<br />
szerves része, amely vagy átveszi egy vagy több szabályozási körben<br />
az irányítójel képzéséhez szükséges döntési és jelformáló funkciókat<br />
(ddc = direct digitál control),vagy valami 1yen hierarchikusan<br />
szervezett rendszer magasabb fokaként a stratégiai céloknak<br />
megfelelően beál1ítja az alárendelt szabályozó körök alapjeleit<br />
(supervisory control).<br />
A digitális számítógép szakaszos működésű, egy adat feldolgozásához<br />
bizonyos időre van szüksége, ezért csak megszámlálhatóan sok adatbó1<br />
ál ló információt képes fogadni. Az y(t) folytonos idejű jelet ezért a<br />
feldolgozás előtt megszámlálható sokaságú t^, t^,...,t^ időpontokhoz<br />
tartozó y(tj), y(t 2) y(t^) értékekből ál ló számsorozattá kel 1<br />
átalakítani (4.la ábra).<br />
7d<br />
y(Ts)
átalakítása a mintavételezés.<br />
A 4.2 ábrán az átalakítást az y(t) folytonos jel útjába tett M<br />
mintavételező szerv (sampler) végzi. Működésének lényegét tekintve egy<br />
kapcsoló, amely a kiválasztott 0, 2T g,... időpontokban t ideig<br />
záródik. így a kimenő vezetéken egymást T g időközökben követő t ^<br />
szélességű impulzusokból ál ló y^(t) impulzussorozat alakul ki (4.1b<br />
ábra), amelyben az impulzusok átlagos amplitudója közelíti az y(0),<br />
y(T s), y(2Ts),..., i11. amennyiben a mintavételező erősít is, az azokkal<br />
"arányos értékeket. A közelítés pontossága t^ csökkentéséve1 javítható,<br />
de ekkor az impulzus területének megőrzése céljából az amplitudót is<br />
növelni kell. (A terület megőrzését az indokolja, hogy az impulzusoknak<br />
a lineáris jelátvivő tagokra gyakorolt hatása elsősorban ettől függ.)<br />
így azonban a terület alkalmasabb a mintavételezett jel értékének a<br />
jellemzésére, mint a t^-től függően változó amplitudó. Ezért a<br />
továbbiakban feltételezzük, hogy a mintavételező szerv a t. szélességtől<br />
függetleaüL mindig olyan impulzusokat ál 1ít elő, amelyeknek területi<br />
mérőszámai megegyeznek a y(t) jelnek a megfelelő diszkrét időpontban<br />
felvett értékeivel.<br />
A folytonos jelből így keletkezett y^(t) impulzussorozat diszkrét idejű<br />
(mintavételezett) analóg jel, amelyben az információ időben<br />
szaggatottan, az impulzusok területi mérőszámában jelenik meg. Mivel a<br />
mintavételező szervet követő digitál is berendezés az információt<br />
impulzusterülettől eltérő kódban képes fel ismerni, a mintavételezést<br />
átkódolás követ i, amely a területi mérőszámot pl. a helyértékes<br />
(digitális) számábrázolás módszereivel számjegyes formára alakítja.<br />
4.2 ábra 4. 3 ábra<br />
Valójában a mintavételezés és a digitális kódolás fizikailag nem különül<br />
el egymástól, hanem egyet len szerkezetben, az A/D (analog-digital<br />
converter) átalakítóban realizálódik, amely a folytonos idejű analóg<br />
jelből mindjárt digitális kódban képezi a diszkrét idejű jelet. Az<br />
elmélet i különválasztás mégis indokolt, mert a rendszertechnikai<br />
tulajdonságok módosulása elsősorban nem a jelek kódjával, hanem<br />
46
diszkrét idejével függ össze. Ezért a digitális kódolást és<br />
dekódolást a jelfeldolgozó eszköz belső működési módjához sorolva úgy<br />
tekintjük, hogy az diszkrét idejű analóg jeleken - impulzus sorozatokon<br />
- végez műveleteket.<br />
A t. impulzusszélességet technikai és zavarszűrési szempontok határozzák<br />
meg. Általában a mintavételi lépésközhöz képest kicsi. Ezért az elméleti<br />
tárgyalás jelentősebb hiba nélkül egyszerűsíthető, ha a tényleges<br />
fizikai impulzust azonos területű Dirac impulzussal helyettesítjük.<br />
Ekkor az ideálizált matemat ikai mintavételezéshez jutunk (4.1c ábra).<br />
A mintavételezés inf ormáció veszteséggel jár. Az y^(t) jel az y(t)<br />
jelről csak a mintavételi időpontban ad információt, közbenső<br />
viselkedéséről semmit sem mond. A két jel között i kapcsolat nem<br />
kölcsönösen egyértelmű. y(t)-bői egyértelműen képezhető y^(t), ez<br />
utóbbihoz azonban tetszőlegesen sok különböző, de a mintavételi<br />
pontokban megegyező y(t) is található (4. 3 ábra 1,2 görbék).<br />
4.2 Tartás<br />
A digitális szabályozó kimenő jele digitál is kódolású diszkrét idejű<br />
jel, amelyet folytonos idejűvé kel 1 átalakítani, mert a szabályozási kör<br />
többi eleme ilyen jelekkel működik. Az átalakítás, amelyet általában<br />
egyet len Szerkezet, a D/A (digital-analog converter) átalakító végez,<br />
funkcionálisan két műveletre, a dekódolásra és a tartásra (ho1d)<br />
bontható.<br />
A dekódolás a digitál is diszkrét idejű jelből analóg kódolású impulzus<br />
sorozatot ál 1 ít elő. Ha a dekódolást a digitál is szerv funkcióihoz<br />
soroljuk, akkor az impulzus sorozatot a digitál is szerv analóg kimenő<br />
jelének tekinthetjük.<br />
A tartás során a tartószerv (holder) az y^(t) i mpulzussorozatbó1<br />
folytonos idejű y (t) jelet ál 1ít elő. Ez a művelet nem egyértelmű,<br />
H<br />
hiszen y(t)-nek. két mintavételi pont között i alakja szabadon<br />
választható. A " tartószervek a megelőző n db mintavételi értékre<br />
támaszkodó n-edrendű extrapolációs polinommal képezik a mintavételi<br />
intervallumon belüli jelalakot.<br />
A legegyszerűbb a zérusrendű tartás (zero order hold), amely az nT^ és<br />
az (n+1)T időpontok között az y(nT g) állandó jelértéket tartja. így az<br />
y (t) jelet az y(0), y(T ), y(2T ), stb. értékekre támaszkodó lépcsős<br />
H s s<br />
görbeként ál 1ítja elő (4.4a ábra).<br />
A zérusrendű tartószerv az impulzusokat T g ideig integrálja, ezáltal az<br />
y^( t) impulzussorozat y(nT g) területű Dirac impulzusait T g szélességű<br />
y(nT ) amplitudójú (T y(nT ) területű) impulzusokká alakítja.<br />
s s s<br />
Az nT g és (n+1)Ts határok közötti jelátvitel két egymástól T g idővel<br />
eltolt kezdőpontú integrál különbségeként írható le, ezért a zérusrendű<br />
tartószerv átviteli függvénye:<br />
47
w H(s)<br />
=<br />
-sT<br />
l-e<br />
(n-1)Ts nTs (n*1)Ts (n+2)Ts<br />
©<br />
4.4 ábra<br />
(4. 1)<br />
(n-1)Ts nTs (n+1)Ts (nt2)Ts<br />
©<br />
Elsőrendű tartáskor (first order hold) a tartószerv az nT és az (n+1)T<br />
,—. _ s s<br />
időpontok közé az y(nT g) és y(n-l)Tg értékekből egyenest (4.4b ábra),<br />
míg másodrendű tartáskor (second order hold) az y(nT^), y[(n-l)T g],<br />
y[(n-2)T g] értékekből parabolát extrapolál.<br />
A magasabbrendű tartásnak a cél.ja az y(t) görbealak minél tökéletesebb<br />
rekonstrukció.ja. Az extrapoláció azonban mindig a múl tbel i viselkedés<br />
előrevetítése, amely akkor hatásos, ha a rekonstruálandó görbe a<br />
továbbiakban is az extrapolációhoz használt pontokban megnyilvánuló<br />
tendenciát követ i. Minden ezekből a pontokból előre nem jelezhető<br />
váratlan esemény - bemenő jelek ki- és bekapcsolása, rendszertelen<br />
ingadozása - elrontja a rekonstrukció alakhűségét, ami akkor ál 1 ismét a<br />
korábbi szintre, amikor az extrapolációhoz használt valamennyi pontban<br />
már megmutatkozik a zavaró esemény hatása. Ez annál hosszabb időbe<br />
telik, minél magasabbrendű a tartószerv.<br />
A kvaz i s t ac i onár i us viszonyok között hatásosabb magasabbrendű<br />
tartószervek dinamikája nagyobb tehetetlenségük miatt rosszabb, mint az<br />
alacsonyabb rendűeké, a gyakori változásokhoz nehezebben aikaimazkodnak.<br />
Az elmondottakat illusztrálja a 4.5 ábra, amelyből egyrészt az látszik,<br />
hogy az egyes tartószervek még kvaz i s t ac i o nár i us állapotban is csak<br />
meghatározott típusú görbéket képesek alakhűen rekonstruálni, másrészt<br />
az is, hogy ha ezeknek a görbéknek a menetében változás ál 1 be, a tartás<br />
rendszámától függő adaptációs időn belül jelentős rekonstrukciós hiba<br />
keletkezik.<br />
Az a ábrán látható, hogy a zérusrendű tartószerv az ugrásfüggvényt,<br />
állandósult állapotban a1akhűen ál 1ítja vissza, az amplitúdó változásait<br />
- ha azok a mintavételi pontban történnek - azonnal, ha a mintavételi<br />
intervallumon belül következnek be, a következő mintavételi pontban -<br />
tehát legrosszabb esetben T idő múlva - követ i, így az átlagos<br />
48
adaptációs idő T g/2. Más típusú jelet (b ábra) kvaz i s t ac i onár i us<br />
állapotban sem alakhűen, hanem lépcsős görbével rekonstruál.<br />
Az elsőrendű tartószerv a 1ineáris vagy az annál alacsonyabb rendszámú<br />
időfüggvényt tudja alakhűen helyreál 1ítani kvaristacionárius állapotban.<br />
A változásokhoz azok bekövetkezésének pi1lanatától függően T és 2T ,<br />
s s<br />
átlagosan 1,5T s idő alatt adaptálódik (4.5c ábra), más típusú jelet nem<br />
rekonstruál alakhűen (d ábra).<br />
ii Ái<br />
21 s<br />
T s^T d maximálisan 3T g adaptációs késleltetéssel.<br />
4.3 Mintavételezett jelek matematikai leírása<br />
4.3.1 Leírás az IDŐ- és a frekvencia tartományban<br />
Az időtartományban a mintavételezett jelet Dirac impulzusokból ál ló<br />
49
sorozat írja le, amelyet a továbbiakban vagy a d index (diszkrét idő)<br />
vagy az nT s időponti impulzus területre utaló {(y(nTs)> jelölés<br />
különböztet meg a folytonos idejű jel megadásától.<br />
y d(t)={y(nTs)}=y(0)ő(t)+y(Ts) - y(z) (4,6)<br />
4.3.2 A z transzformáció néhány összefüggése<br />
A z transzformáció a (4.4) helyettesítéssel a Laplace transzformációból<br />
származik, művelet i szabályai is abból erednek.<br />
A definíciós egyenlet:<br />
t / T<br />
yd(z) = y d (t) e ~ dt | yd(t)z s dt - [ y(nTs)z" js -T<br />
s<br />
l n z o n-0<br />
Minthogy a (2.14) egyenlet figye1embevéte1éve 1<br />
(4.7a)<br />
z= exp(sT ) = exp[(cr + jw)T ], ahol cr > 0 , (4.7b)<br />
50
z abszolút értéke az egységnél nagyobb, míg a reciprokáé egynél kisebb.<br />
_ 1<br />
| z | > 1 ; |z | < 1 . (4.7c)<br />
Néhány jellegzetes Impulzussorozat z transzformáltja:<br />
a. ) Egyetlen impulzusból ál 16 sorozat. Ilyen jel keletkezik pl. a t=0<br />
pontban fellépő egyetlen t ;
y(t) yís) {y(nT g)} y(z)<br />
l(t)<br />
t<br />
t 2<br />
t 2<br />
2<br />
t 3<br />
t 3<br />
6<br />
-at<br />
e<br />
, -at<br />
t e<br />
i<br />
s<br />
1<br />
2<br />
s<br />
1<br />
3<br />
s<br />
1<br />
4<br />
s<br />
1<br />
s+a<br />
1<br />
(s+a) 2<br />
1<br />
nT<br />
s<br />
z<br />
z - 1<br />
zT<br />
s<br />
(z - l) 2<br />
(nT ) 2<br />
T<br />
s<br />
2<br />
2<br />
s<br />
2<br />
z(z+l)<br />
, , ,3<br />
(z-1)<br />
T 3 2<br />
(nT ) 3<br />
s<br />
s z(z +4z+l)<br />
6 6 , , ,4<br />
(z-1)<br />
-anT s<br />
e<br />
-anT<br />
i-p s<br />
nT e<br />
s<br />
z<br />
-aT s<br />
z-e<br />
-aT<br />
z T e<br />
s<br />
-aT .<br />
. s.2<br />
(z-e )<br />
-at -bt<br />
e -e<br />
b-a<br />
1<br />
(s+a)(s+b)<br />
-anT -bnT<br />
s s<br />
e -e<br />
b - a<br />
1<br />
b-a<br />
-aT<br />
s<br />
z(e<br />
-aT<br />
-bT<br />
s<br />
-e<br />
-bT<br />
(z-e<br />
S<br />
)(z-e<br />
S<br />
)<br />
. at<br />
a<br />
l-e sGs+a)<br />
sin ü)t<br />
COS tűt<br />
-at . ,<br />
e sin o>t<br />
u<br />
2 2<br />
S +U)<br />
S<br />
2 2<br />
S +0)<br />
2 2<br />
(s+a) +w<br />
-at . s+a<br />
e cos u>t<br />
, ,2 2<br />
(s+a) +o)<br />
l-e<br />
-anT<br />
S<br />
sin wnT<br />
s<br />
cos a>nT<br />
s<br />
-aT<br />
z(l-e<br />
S<br />
)<br />
-aT<br />
(z-l)(z-e<br />
S<br />
)<br />
z sin ü)T<br />
s<br />
2<br />
z -2z cos ü)T +1<br />
s<br />
z(z-cos uT )<br />
s<br />
2<br />
z -2z cos wT + 1<br />
s<br />
-anT<br />
-aT<br />
z e sin üT<br />
e sin wnT<br />
s<br />
s<br />
-aT -2aT<br />
2 _ s ^ , s<br />
z -2z e cos ü)i +e<br />
s<br />
-anT<br />
s<br />
e cos wnT<br />
s<br />
-aT<br />
s<br />
z(z-e cos ú)T )<br />
s<br />
-aT -2aT<br />
2 _ s _ ^ s<br />
z -2z e cos un +e<br />
s<br />
4.1 táblázat<br />
52
Ennek abszolút értéke a esetén az egységnél kisebb, így az y (z)<br />
geometriai sora pozitív a esetében is konvergenssé tehető, tehát<br />
y ( z )<br />
d<br />
= — f i r " = —rgr<br />
l-e" s<br />
z" 1<br />
z-e-<br />
s ( 4 1 0 d )<br />
a valós vagy komplex szám lehet. Ez utóbbi esetben a (4. 10c)-ben a<br />
helyett annak valós értéke értendő.<br />
A 4. 1 táblázat egyéb impulzussorozatok z transzformaitjait is<br />
tartalmazza. y(t) olyan függvény, amelynek mintavételezéséből<br />
származtatható a sorozat, y(s) pedig annak a Laplace transzformáltja.<br />
y(nT) az n-edik impulzus területe.<br />
Végérték tételek<br />
y d(t=0) = lim yd(z) (4.11a)<br />
Z =» oo<br />
1<br />
yd(t=* oo) = lim (1-z" ) yd(z) z =» 1<br />
Eltolási tételek<br />
z|y d(t+kTs)j=z{^<br />
z[y d(t-kT s)]=z{y d[(n-k)T s]p k<br />
y d(z)<br />
Az eltolási tételek jelentését a 4.7 ábra szemlélteti.<br />
(4. 11b)<br />
. .-zy((k-l )Tg)<br />
(4.12a)<br />
(4.12b)<br />
A folytonos idejű y(t) jelet T g idővel negat ív i rányban eltolva és<br />
mintavételezve, az y d(t+Tg) impulzussorozat ugyanazokbó1 az<br />
impulzusokból áll, mint az eredeti y d(t) mintavételezett jel. A<br />
különbség az, hogy azonos (pl. nT g) időpontban az eredeti jelben y(nTg),<br />
az eltolt jelben viszont az eredetinek T g idővei későbbi y[(n+l)Tg]<br />
impulzusa jelenik meg. Mivel a z transzforrnáltban az egyes impulzusok<br />
he 1yé t z negat ív hatványai jelzik, az eltolt jelben az eredet ivei azonos<br />
impulzusok z hatványai az eredetihez képest abszolút értékben eggyé1<br />
-1 -2<br />
csökkennek (z-z ; z-z ; stb.). Mivel az egyoldalas jel mindig t=0-tól<br />
(z°-tól) kezdődően értendő, az eredeti görbe y(0) impulzusa az<br />
eltoláskor elvész, azt a transzformált függvényből le kell vonni.<br />
Pozitív i rányú eltoláskor valamely időpontban az eltolt görbében az<br />
eredet i görbe korábbi impulzusa jelenik meg. Az eltolt függvény<br />
transzformáltjában az azonos impulzusok z hatványai abszolút értékben az<br />
eltolás mértékében növekednek.<br />
53
s y<br />
( 5<br />
y!t.T s)<br />
k<br />
VTs> 4.3.3 Az eltolási operátor<br />
c )<br />
y ( T s)<br />
11<br />
1 r—<br />
'—i i—^<br />
y(t-T s)<br />
Ali<br />
y(t)<br />
y[(n-1)Tsl<br />
y(nT s)<br />
i<br />
r<br />
ylnl s) y[ln.1JTs]<br />
yBn+1)Ts]<br />
y[ln-1)Ts]<br />
i<br />
y(nT s)<br />
0 T s (n-1)Ts nTs (n+1)T s t<br />
4.7 ábra<br />
Az eltolási tételek alapján a z változó eltolási operátorként<br />
értelmezhető.<br />
Egy impulzus sorozatot z-vel megszorozva az az időben negatív irányban<br />
tolódik, és bármely pontban az eredet i görbe jövőjét - a következő<br />
időpontban felvett értékét - mutatja.<br />
z *-gyel való szorzás ellenkező irányú eltolást - késleltetést -<br />
jelent. Az eltolt görbe minden időpontban az eredetinek a múltját - az<br />
előző időpontban felvett értékét - mutatja.<br />
A z változót eltolási operátorként értelmezve a z transzformációs<br />
összefüggések rekurzív aigoritmusnak foghatók fel, ame11ye1 az<br />
időfüggvény a kezdeti értékekből ki indulva pontról pontra határozható<br />
meg.<br />
Ha például az ismert u és az ismeret len y jel között a z tartományban az<br />
alábbi összefüggés ál 1 fenn:<br />
54<br />
t<br />
t
z + l<br />
akkor az egyenletet átrendezve:<br />
z y d(z) = -zyd(z) -3yd(z) + zud(z) + ud(z)<br />
z -tel osztva<br />
(4.13a)<br />
(4.13b)<br />
Az egyes tagok az időtartományban impulzus sorozatot jelentenek, amelyek<br />
azonos időpontbeii impulzus területeire is fennál1 a 4.13b összefüggés.<br />
-1 -2<br />
Figyelembe véve, hogy z y d(z) i 11. z yd(z) az yd(z) sorozatnak egy<br />
i 11. két időosztással késleltetett alakja (egy i11. két osztásos<br />
múltja), egy adott nT időpontban az impulzus területek között az alábbi<br />
s<br />
összefüggés ál 1 fenn:<br />
y(nT s) = -y[(n-l)Ts]- 3y[(n-~2)IJ+ u[(n-l)Ts] + u[(n-2)T ]<br />
vagy az egyszerűség kedvéért az időpontok jelöléséből csak a sorszámot<br />
megtartva, T -t e1hagyva az<br />
s<br />
y(n) = -y(n-l) 3y(n-2) + u(n-l) + u(n-2) (4.13c)<br />
összefüggés ál 1 fenn, ame 1 ybő .1 y bármelyik mintavételezési értéke<br />
meghatározható az y és u függvények előző két mintavételi időpontbeli<br />
értékeinek ismeretében.<br />
Ha az u d impulzussorozatot generáló u jel olyan folytonos idejű<br />
dif ferenciáiegyenlet gerjesztő jele, amelynek y a kimenő jele, a (4.13c)<br />
kifejezés a differenciálegyenlet zérus kezdetí feltételekre vonatkozó<br />
numerikus megoldó algoritmusa (digitális szimulációs algoritmusa).<br />
Az eljárás rokon azzal, amikor a Laplace transzformáció s i11.<br />
-1<br />
s változóját a differenciálás i11. az integrálás operátorának<br />
tekintjük. A lényeg mindkét esetben az, hogy a frekvencia tartománybeii<br />
összefüggéseket az érintett függvények közötti időtartornánybe 1 i műveleti<br />
utasításoknak fogjuk fel.<br />
4.3,4 Az inverz z transzformáció<br />
A z transzf ormáció inverz művelete az y d(z) transzf ormait függvénybő1<br />
határozza meg az y d<br />
impulzussorozatot.<br />
Az irányítástechnikai gyakorlatban y d(z) általában z-nek rációnál is<br />
törtfüggvénye. Ekkor az inverz transzformált 1egegyszerűbben az alábbi<br />
eljárásokkal határozható meg.<br />
1. ) A törtnek z negat ív hatványai. ^ szerinti sorbafejtése, amely a _ ^<br />
számlálónak a nevezővel való osztásával oldható meg. z<br />
hatványainak együtthatói közvet lenül megadják a mintavételezett jel<br />
értékeit a mintavételí pontokban.<br />
55
2.) Részlettörtekre bontás<br />
A törtet<br />
kz k z k z (z-a)<br />
z - , ,2 ,2<br />
(z -a) + b<br />
(4.14)<br />
alakú részlettörtekre bontjuk és azokat táblázatok segítségével<br />
lehet az idő tartományba transzformálni. így olyan y függvényt<br />
kapunk, amelynek mintavételezéséből származtatható az y^ diszkrét<br />
idejű jel.<br />
3.) y^(z) kifejezését rekurziós formulának tekintve a (4.13c)-hez<br />
hasonló módon határozzuk meg az időtartományban a mintavételezett<br />
jelet. Ha a kifejezésben nem szerepel explicite az u^(z) bemenő jel,<br />
feltételezzük az u_,(z) = l, u =
a.) A rekurziós eljárással számolva<br />
u d(z) = l, u(t)= ő( t) bemenő jel feltételezésével a (4.16)<br />
egyenletek a (4.13)-hoz hasonlóan átalakítva:<br />
y(n)= y(n-l) - 0,24y(n-2) + 2u(n) - u(n-l) (4.16a)<br />
Itt u=l, ha n=0, és u=0, ha n>0.<br />
n=0 értékből indulva successive meghatározhatók y(n) értékei, melyek<br />
az y^ függvény impulzusainak együtthatói.<br />
A feladat úgy is megoldható, hogy a (4.16) egyenletben a számlálót<br />
algebrai szabályok szerint^ elosztjuk a nevezővel, így az eredmény<br />
közvet lenül mutatja z hatványainak együtthatói t, amelyek<br />
megegyeznek az y(n) értékekkel.<br />
Mindkét megoldás kiszámítható a (4.15) utasítással. 5 számítási<br />
pontot előírva a (4.16) alapján:<br />
m, = [2 -1 0] ; n = [ 1 -1 0,24 ]; n=5 (4. 17)<br />
d a<br />
az eredmény:<br />
y(0)=2; y(0,5)=l; y(l) = 0,52; y(l,5) = 0,28; y(2)=0,155<br />
y d(t)=y(0)ő(t)+y(0,5)ő(t-0,5)+y(l)ő(t-l)+y(l,5)ő(t-l,5)+y(2)ő(t-2)+..<br />
1<br />
yd(z)=y(0)-fy(0,5)z" +y(l)z" 2<br />
+y(l,5)z" 3<br />
+y(2)z" 4<br />
+. . . (4. 18a-b)<br />
b. ) A 4. 16 egyenlet részlettörtekre bontható. Célszerű a számlálóból a<br />
z-t kiemelni, és a részlettörtek számlálóját utólag szorozni azzal,<br />
mert a táblázatokban általában ilyen formában adják meg a z<br />
transzforrnáltakat.<br />
y d(z)=<br />
z<br />
"Pi<br />
z- P o<br />
Az ismeret len paramétereket a<br />
[k,p,k Q] = residue (mid,nd)<br />
utasítással határozhatjuk meg. Ebben mld=[0<br />
számlálója z kiemelése után; k a k^ és<br />
vektor, p a nevező pólusainak vektora. Az eredmény<br />
Ezekkei<br />
y<br />
d<br />
( z )<br />
0,6;<br />
1;<br />
0,4;<br />
1;<br />
z-0, 6 z-0, 4<br />
0.<br />
(4.19a)<br />
2 -1] a (4.16) egyenlet<br />
együtthatókat tartalmazó<br />
(4.19b)<br />
Az egyenlet jobb oldalán a (4.lOd) egyenlet értelmében két<br />
exponenciálisan csökkenő együtthatójú impulzussorozat z transzformáltja<br />
57
áll:<br />
ahol<br />
y d(t)<br />
aT<br />
bT<br />
{ •> f anT bnT ><br />
0,6;<br />
0,4; b<br />
0,5<br />
In 0, 4<br />
0,5<br />
Á<br />
'<br />
= - 1,83 (4.19c)<br />
így többek között az y = expí-1,02t)+exp(-l,83t) az egyik olyah<br />
folytonos idejű függvény, amelynek mintavételezéséből a (4.19c)<br />
származtatható.<br />
4.3 példa<br />
Határozzuk meg T =1 mintavételezési időre az<br />
ö<br />
s<br />
y d<br />
U)<br />
z 3<br />
3z 3<br />
- 3z 2<br />
- 6z 2<br />
+ 3,04z<br />
- 3,04z+ 1,04<br />
függvény inverz z transzforrnáltját zárt kifejezéssel.<br />
(4.20a)<br />
A függvényt pl. a 4.2 példa b pontjában leírt módon részlet törtekre<br />
bontva<br />
V 2 ) = -s=r z-(l+j 0,2) z- (l~j 0,2)<br />
(4.20b)<br />
A jobb oldalon a (4.9c) és a (4.lOd) egyenletek alapján egy állandó<br />
ampli tudójú és két exponenciálisan csökkenő ampl i tudójú impu1zussorozat<br />
áll.<br />
r naT nbT<br />
y, = iy(nT l 1+ e + e<br />
ahol T = 1<br />
s<br />
a = ln(1+j 0,2) = 0,0196 + j 0,1974<br />
b = ln(l-j 0,2) = 0,0196 - j 0 t1974<br />
T 0,0196n, j 0 1974n -j<br />
= j 1+ e (e J<br />
+ e ^<br />
, 0 1 9 6 n<br />
^l+2e°<br />
cos(0,1974n)<br />
0, 1974n 1<br />
'1'<br />
(4.2i:<br />
amely pl. az y - 1+ 2exp(0,0196t)cos(0,1974t) folytonos idejű jel<br />
mintavételezéséből származtatható.<br />
58
4.4 Folytonos idejű rendszer diszkrét modellje<br />
4.4.1 Folytonos idejű és diszkrét idejű rendszerek összekapcsolása<br />
Digitális szabályozási körökben különböző jeltípusokkal működő<br />
rendszerek vannak összekapcsolva, A szabályozó diszkrét idejű, a<br />
folyamat folytonos idejű jelekkel működik. A kétféle jeltípus nem<br />
keveredhet, mert egy adott szerv csak az egyiket képes<br />
rendeltetésszerűen feldolgozni. A két jeltípus találkozási pontjaiban<br />
áta1; ki tókat (converter) kel 1 elhelyezni, amelyek elvégzik a jelek<br />
átalakítását.<br />
A 4.8a ábrán például az egyik konverter az M mintavételi kapcsoló, amely<br />
a folytonos idejű hibajelet alakítja a digitális szabályozó által<br />
feldolgozható diszkrét idejű jellé (C/D continuous-to discrete-time<br />
converter). A másik a H tartószerv, amely a szabályozó diszkrét idejű<br />
jelét alakítja át, a folyamatot befolyásolni képes U folytonos idejű<br />
H<br />
jellé í D/C discrete- to cont inuous-t ime converter). A kör előrevezető<br />
ágában az M és H konverterek között (az ábrán szakadozottan jelölve)<br />
diszkrét idejű, a kör egyéb helyein folytonos idejű jelek vannak<br />
(hibrid model1).<br />
Az irányítás vizsgálatakor a kört azonos típusú jellel működő<br />
rendszernek kell tekinteni, ezért valamelyik részét a vizsgálati<br />
jeltípusra vonatkozó egyenértékű modelljével kell helyettesíteni.<br />
A b ábrán a diszkrét idejű részek folytonos jelű modellel való<br />
helyettesítése látható. Az M mintavételező és a H tartőszervet a<br />
szabályozóhoz sorolva, az így keletkező alakzat Y bemenő és ü t> kimenő<br />
n h<br />
jelei folytonos idejűek. Ezért az egy olyan folytonos idejű jel át. vivő<br />
taggal helyettesíthető, amely a két jel között az eredetivel azonos<br />
összefüggést fejez ki (folytonos modell).<br />
Á c ábra a rendszer folytonos idejű részeit helyettesíti diszkrét idejű<br />
modellel. Az a ábra M mintavételezőjenek hatása két másikkal pótolható.<br />
M az alapjelet, az Y kimenő jelet mintavételezi. A H tartó és az<br />
mintavételező szerveknek a szabályozott szakaszhoz való csatolásával<br />
létrejött egység U bemenő és Y kimenő jelei diszkrét idejűek, ezért a<br />
két jel közötti kapcsolat diszkrét idejű modellel jellemezhető.<br />
Ha a folytonos és a diszkrét idejű jelek közötti konverziók mindkét<br />
irányban kölcsönösen egyértelműek lennének, az eredmény nem függne<br />
attól, hogy melyik helyettesítésből született. Mivel azonban a két<br />
jelt ípus között nincs egyértelmű transzformációs kapcsolat, az<br />
ekvivalens modellek közelítőek, hibáik különböző módon befolyásolják a<br />
vizsgálatok eredményét. A b ábra szerinti eljárásban a tökéletes<br />
ekvivalenciát az gátolja, hogy a folytonos jelű tagok nem képesek az U<br />
H<br />
kimenő jelet létrehozó diszkrét algoritmusokat tökéletesen utánozni.<br />
A, c ábra szerinti megoldásban viszont az ekvivalencia a mintavételi<br />
pontokra korlátozódik, a kimenő jel mintavételi pontok közötti értékeire<br />
nem nyújt információt.<br />
A szabályozó rendszertechnikai tervezésekor a diszkrét jelű<br />
helyettesi t és az előnyösebb, mert valósá.ghűen adja a ténylegesen is<br />
59
diszkrét idejű jelekkel realizálódó szabályozási algoritmusokat.<br />
A kimenő jeleknek a mintavételi időpontok közötti viselkedését i1yenkor<br />
járulékos módszerekkel kel 1 tisztázni.<br />
M<br />
JjwijDigitális ] _ u _d_<br />
!szabályozó ir j i<br />
^ {Digitális ]<br />
{szabályozó j<br />
©<br />
Folytonos idejű modell<br />
©<br />
u h<br />
H Folyamat<br />
H Folyamat<br />
^<br />
!<br />
i<br />
Yhdi rmg'táüs"Lud i - H Folyam at<br />
Ujj t — szabályozol s<br />
1 L. J i<br />
I ( j I<br />
! Diszkrét idejű modell j i<br />
4.8 ábra<br />
á szabályozási kör analízisekor a folytonos idejű mode11 lehet az<br />
előnyosebb, ha a folytonos idejű jeleknek a mintavételí pontok közötti<br />
ismerete, i 11. a folyamatra nem az irányító bemeneteken keresztül ható<br />
jelek egyszerű f i gye1embevé t e1e fontosabb, mint a szabályozó diszkrét<br />
idejű algoritmusának közelítésével elkövetett hiba.<br />
A következőkben főleg a c ábra szerinti diszkrét idejű mode11t<br />
60
tárgyaljuk.<br />
4.4.2 Folytonos idejű rendszer diszkrét idejű állapotegyenlete<br />
A folytonos idejű folyamatot irányító jelének és ál lapotvektorának (vagy<br />
kimenő jelének) a mintavételezésével lehet diszkrét idejűvé<br />
átalaki tani. A hatásvázlat a 4.9 a ábrán látható.<br />
Az U folytonos idejű irányi tó jelet az M. kapcsoló mintavételezi. Az U ,<br />
1 d<br />
diszkrét idejű irányító jelből a H tartószerv ál 1ítja elő a fo1yamat U<br />
H<br />
bemenő jelét. Az ál lapotvektort az kapcsoló mintavételezi. A diszkrét<br />
idejű kimenő jelet (Y^) az mintavételezett ál lapotvektorból, míg a<br />
folytonos idejű kimenő jelet (Y) az X ál lapotvektorbó1 és a folyamat<br />
tényleges bemenő jeléből (U ) 1 ehet meghatározni.<br />
n<br />
A Bq bemenő mátrix azoknak a jeleknek az útját jelzi, amelyek nem az<br />
i rányí tó bemeneten keresztül hatnak a rendszerre. Esetünkben csak a<br />
kezdet i állapotot előidéző Dirac függvényt soroltuk ide (Bq=I). Ez<br />
azonban egyaránt tekinthető folytonos idejű jelnek vagy egyet len<br />
impulzusból álló diszkrét idejű jelnek, így bármelyik típusú model1ben<br />
változatlanul megtartható. Ha azonban a B Q ágon keresztül egyéb<br />
folytonos idejű - pl. zavaró - jel hat, annak a diszkrét modellben való<br />
igye lembe vétele további megfontolásokat igényel.<br />
Ha valamilyen t=t^= nT^ időpontban ismert az<br />
XJt) = X ,(nT ) = X{nT } (4.22a)<br />
d d s s<br />
U, (t) = U,(nT ) = U,.{nT > (4.22b)<br />
d d s H s^<br />
diszkrét idejű ál lapotvektor i 11. bemenő jel, akkor a következő<br />
mintavételi pontra vonatkozó értékeket a folytonos idejű ál lapotegyenlet<br />
(3.31) általános megoldásából lehet kiszámítani.<br />
t=(n+l)T ; t =nT helyettesítéssel<br />
s o s<br />
x[(n+l )T J=e S<br />
X (nT<br />
(n+l)T<br />
s<br />
nT s<br />
A[(n+1)T -x]<br />
e<br />
S<br />
BU (x)dx<br />
(4.23)<br />
Zérusrendű tartószervvel egy mintavételi intervallumon belül állandó<br />
és megegyezik a diszkrét idejű bemenő jelnek az intervallum kezdetén<br />
felvett U TT(nT )=U ínT ) értékével, ezért az integrál jel alól<br />
H s d s<br />
kiemelhető. Figyelembe véve a (4.22) egyenleteket is, (4.23) az alábbi<br />
alakba írható:<br />
X,[(n+1 )T ] = A,X,(nT ) + B U (nT<br />
d L<br />
s d d s d d s<br />
i1letőleg az időpontokat csak a mintavételi pontok sorszámával jelölve,<br />
valamint a 4.9a ábra szerint a kimenő jelet is kiszámítva<br />
61
X .(n+1 ) = AXAn) + B .iMn)<br />
d d d d d<br />
Y (n) = C ,X,(n) + D,U,(n)<br />
d d d d d<br />
(4.24a)<br />
(4.24b)<br />
Ezek a folytonos idejű rendszert helyettesi tő diszkrét idejű rendszer<br />
ál lapotegyenletei, amelyek a diszkrét ál lapotváltozók, valamint a<br />
diszkrét ki- és bemenő jelek (impulzussorozatok) között i összefüggést<br />
írják 1e (4.9b ábra).<br />
A diszkrét idejű modell * A^, B^, C^, paraméter mátrixai a folytonos<br />
idejű mode11 paraméter mátrixaival a (4.23) egyenlet és a 4.9a ábra<br />
alapján az alábbi összefüggésben állnak:<br />
AT<br />
A = e (4.25a)<br />
(n+1)T<br />
nT<br />
c = cu<br />
d<br />
L í<br />
eA[(n +l)TS-T] B d T = A-l [ e<br />
D d=D<br />
s<br />
AT<br />
- I] B (4.25b)<br />
(4.25c-d)<br />
A (4.24a) rekurziós formulaként is értelmezhető, amellyel az X<br />
ál lapotvektor pontról pontra kiszámítható a t=nT^ diszkrét időpontokban.<br />
A (4.24) egyenletek z transzforrnáltját képezve és figye lembe véve, hogy<br />
az X(n+1) impulzussorozat az X( n) sorozat egy osztással i et tető<br />
(negat ív idővel való) el tolásával képződi k, a (4. 12a) e 11 o 1 ás í tel lel<br />
z X.(z) = A.X.(z) + zX(O) + B .U.(z)<br />
d d d ad<br />
Y íz) = C,X,(z) + D.U.(z)<br />
d d d d d<br />
(4.26a)<br />
(4.26b)<br />
Az egyenletek formailag pontos másai a folytonos idejű állapotegyenletek<br />
(3.16) szerint i alakjának azzal a különbséggel, hogy az s változó helyét<br />
a z változó vet te át. Ebből következik, hogy a diszkrét i de jü<br />
hatásvázlatban az s * integrátor helyét a z ^késleltető tag foglalja el.<br />
A diszkrét idejű modelIben az állapotváltozók mindig a késiéi tető tagok<br />
kimenő' jelei. A bonyolult jelölések elkerülése céljából a z * jelölést<br />
az időtartományban is megtartva a hatásvázlat az időtartományban a 4.9b<br />
ábra szerint alakul.<br />
Ebben azonban folytonos idejű jelek (X, U ) már nem szerepelnek, így a<br />
n<br />
folytonos idejű kimenő jelet is csak a diszkrét idejű Y^ jelből<br />
valamilyen H tartószervvel lehet rekonstruálni (Y^). Az eredmény azonban<br />
csak a mintavételi pontokban egyezik a tényleges folytonos idejű kimenő<br />
62
Y kimenő jel lel. Ugyanilyen eljárás használható az X vektor<br />
rekonstruálásrára is. (MATLAB-ban a zérusrendű rekonstrukciót a stairs<br />
utasítás végzi.)<br />
Ha a folytonos jeleket pontosan akarjuk meghatározni, vissza kel 1 térni<br />
az a ábra hat ás vázlat áho z és U-ból ki indulva kel 1 azokat kiszámítani.<br />
H<br />
A diszkrét és a folytonos idejű hatásvázlatot a frekvencia tartományban<br />
a 4. 10 ábra szemlélteti. Az ábrából következik, hogy a pólusokra és<br />
átviteli függvényekre vonatkozó valamennyi összefüggés az s tartományban<br />
az s=»z változó cserével és az értelemszerű paraméterekké 1 a z<br />
tartományban is érvényben marad.<br />
x(o)
A 4.11a ábra hatásvázlatában - amely X(0)=0 és D=ű feltételezésével<br />
készült - a bemenő jelek két csoportra oszthatók. Az vektor<br />
komponensei az irányító bemeneten keresztül (B^ mátrix) hatnak a<br />
rendszerre, míg az vektor komponensei - amelyek pl. a zavaró jeleket<br />
jelenítik meg - annak megkerülésével (B^ mátrix). Ez utóbbiak a rendszer<br />
diszkrét izálásakor elkerülik az irányító bemeneten végrehajtott<br />
mintavételezés - tartás konverziót, így a megismert módon közvetlenül<br />
nem vonhatók be a diszkrét idejű mode11 be.<br />
X(0)<br />
z X (0)<br />
U(s)<br />
U d(z)<br />
Mi<br />
J<br />
2á<br />
'ld<br />
sX(s)<br />
zX d(z)<br />
H B 2<br />
H<br />
U 2H<br />
B 2<br />
0^<br />
4.10 ábra<br />
Xls!<br />
X d(z)<br />
J<br />
2d<br />
© ©<br />
4.11 ábra<br />
64<br />
Y(s)<br />
Y d(z)<br />
B d = B 2dÍ B 1d<br />
X d(n+1]
Hatásuk figyelembevételére két út kínálkozik:<br />
MI<br />
H B<br />
I 1<br />
H B1 z- 1 I<br />
Md<br />
v 2d<br />
©<br />
X d U 1d<br />
A —J<br />
z" 1<br />
I<br />
@ ©<br />
4.12 ábra<br />
*2d<br />
Xld<br />
A . K 1<br />
2d<br />
X d = X 1d* X 2d<br />
1.) Ha közelítésként feltételezzük, hogy az jel útjába is be van<br />
iktatva egy mintavételező kapcsoló és az azt követő tartószerv (b<br />
ábra) , akkor az U,, és vektorok 111. és mátrixok egyetlen<br />
U, bemenő jellé ill. B , bemeneti mátrixszá vonhatók össze (c ábra) a<br />
d d<br />
diszkrét idejű modellben:<br />
U d -<br />
U<br />
Id<br />
U. 2d<br />
3<br />
d=i B<br />
ldl B<br />
2dí<br />
65<br />
r 2d
Az ezekkel a bemeneti adatokkal kiszámított állapotvektor ill.<br />
kimenő vektor többé-kevésbé különbözik a tényleges értéktől, mert az<br />
hat ás i ranyában feltételezett- valójában ott nem levő - tartószerv<br />
U 2<br />
az U 2 jelet lépcsős görbévé alakítja. Az eltérés akkor hanyagolható<br />
el, ha a folytonos és a lépcsős IL, görbe között nincs számottevő<br />
különbség, tehát amikor a mintavételezési lépésköz alatt keveset<br />
változik.<br />
2. ) A pontos diszkrét idejű modellhez úgy jutunk, hogy a diszkrét idejű<br />
ál lapotvektorban ill. kimenő jelben a kétféle bemenet hatását<br />
szuperponáljuk. Ebből a célból az hatására képződő ill.<br />
komponenseket a folytonos idejű modellel határozzuk meg. Azoknak X_ ,<br />
ill. ^2á m<br />
i n<br />
t av<br />
ételezett alakját már külön tartószerv nélkül<br />
hozzáadhatjuk<br />
°<br />
a mintavélezett U, J bemenő<br />
Id<br />
jel által előidézett X« ,<br />
u<br />
Id<br />
ál lapotvektorhoz (4.12 a-b ábrák) ill. Y^ kimenő jelhez (c ábra).<br />
A diszkrét idejű ki és bemenő jelek között i összefüggés a W^(z)<br />
impulzusátviteli mátrix-szal írható le. A (4.26)-ból X(0)=0 feltétellel<br />
_ 1<br />
Y Jz)=C J(zl-A,)<br />
B.+D.]U.(z) = W,(z)U.(z) (4.27)<br />
d d d d d d a d<br />
W^(z) rendezői z-nek rációnál is törtfüggvényei, nevezőjükben a diszkrét<br />
karakterisztikus polinom ál1.<br />
N (z) = det (zI-A) = z n<br />
+ n,, z 11<br />
" 1<br />
+. . .+ n. n (4.28)<br />
d d(n-1) du<br />
Az egyes kimenő és bemenő jelkomponensek között i skaláris<br />
impulzusátviteli függvények vagy más néven diszkrét átviteli függvények<br />
polinomális alakban D^=0 feltétel lel:<br />
M Az) m , z +. . . + m<br />
, s d dm dO<br />
w,(z)<br />
& N.(z) n J^' l<br />
K ^ n<br />
d(n-1) dO (4.29a)<br />
zérusokkal és pólusokkal<br />
(z-z )...(z-z )<br />
w.(z) = k. ^ — (4.29b)<br />
(z-z.)...(z-z )<br />
1 n<br />
Részlettörtes formában egyszeres pólusokkal<br />
w. (z) = k + — — +. . .+ — — (4.29c)<br />
d do z-z, z-z<br />
1 n<br />
Az impulzusátviteli függvények gépi úton vagy analitikus úton<br />
számíthatók az átviteli függvényekbő1. Néhány egyszerűbb átszámítás a<br />
4.2 táblázatban található.<br />
66
w (s) w d (z)<br />
1<br />
s<br />
1<br />
2<br />
s<br />
1<br />
3<br />
s<br />
1<br />
1 + sT 1<br />
2<br />
2 2<br />
s +2s £w 0+«>0<br />
c < i<br />
T 3<br />
T<br />
s<br />
z- 1<br />
T 2<br />
s z * 1<br />
2 , , x2<br />
2<br />
s z + 4z + 1<br />
íz-l)<br />
z-e 1<br />
z + cr<br />
d _ -aT 2<br />
o s<br />
z -2 ze<br />
-aT<br />
-2aT<br />
s<br />
cos bT +e<br />
s<br />
K = l-e<br />
S<br />
d<br />
(cos bT +a/b sin bT )<br />
s s<br />
-2aT -aT<br />
s s<br />
e -e (cosbT -a/bsin bT )<br />
°*l -aT<br />
s s<br />
l-e s(cos bT + a/b sin bT )<br />
s s<br />
2 2<br />
e K / c<br />
4.2 táblázat<br />
Diszkrét idejű állapotvektor kiszámítása az időtartományban az adott<br />
U,(n) sorozat esetén az X J(0)~ból ki indulva az X ,(n) értékeknek a<br />
d d a<br />
(4.24a) formulával való rekurzív meghatározásábó1 ál 1.<br />
4.4 példa<br />
Gépi számítások a diszkrét idejű rendszerre.<br />
A folytonos és a diszkrét idejű állapotegyenlet formai hasonlóságából<br />
következik, hogy a diszkrét idejű ál lapotegyenletek és az<br />
impulzusátviteli függvények közötti kölcsönös átalakítások, a<br />
karakt er i sz t i kus polinom kiszámítása, stb., ugyanazokkal a MATLAB<br />
utasításokkal végezhetők, mint a folytonos idejű esetben (3.3 példa),<br />
értelemszerűen a megfelelő paraméterekkél.<br />
A diszkrét idejű állapotegyenletek i11. impulzusátviteli függvények<br />
páramétereinek a folytonos idejű rendszer megfelelő adataiból való<br />
67<br />
2.2
meghatározására szolgálnak a c2d típusú (continuous-to discrete-time)<br />
utasítások, amelyeknek változói i11. paraméterezése dönti el, hogy miből<br />
mit kel 1 kiszámítani (pl. átviteli függvényből impulzusátviteli<br />
függvényt stb.).<br />
c2d utasítás zérusrendű tartásra,<br />
c2dm utasítás néhány zérusrendűtől eltérő tartási módra is,<br />
c2dt utasítás zérusrendű tartásra és a bemeneten holtidős késleltetésre<br />
vonatkozik.<br />
A diszkrét idejű ál lapotegyenletek paraméter mátrixaiból a d2c<br />
(discrete-to cont inuous-time) utasítás számítja a folytonos idejű<br />
paramétereket (4.25 egyenletek). A d2cm utasítás ezt az átvi teli<br />
függvények paramétereire is lehetővé teszi.<br />
A diszkrét idejű állapotegyenlet időtartománybeli megoldására szolgáló<br />
dlsim; dimpulse; dstep; dinital a 3.6 példában ismertetett utasítások<br />
diszkrét idejű változatai, amelyeket értelemszerűen a diszkrét idejű<br />
paraméterekkel kel1 használni. A dlsim utasításban nem kel 1 külön<br />
idővektort megadni, mert az bemenő jel mátrixa sorainak a számával<br />
rögzít i a kiszámítandó pontok számát. A többi utasításban a kiszámí tandó<br />
pontok számát lehet az idővektor helyett megadni, de azt az utasítások<br />
autómat ikusan is képesek megállapítani .<br />
A MATLAB a folytonos idejű rendszer jeleit digitális szimulációval<br />
számítja. A megadott időpontok lépésközét mintavételi időnek értelmezi,<br />
áttér a diszkrét idejű ál lapotegyenletekre és azokkal határozza meg az<br />
ál lapotvektort i 11. a kimenő jelet. A számítás pontosságának növelése<br />
érdekében i1yenkor a zérusrendűtől eltérő tartással számol, amely azonban<br />
nem valós idejű. A kiszámított diszkrét idejű értékekből 1ineáris<br />
interpolációval - tehát nem valós idejű eljárással - rajzolja fel a<br />
görbéket.<br />
4.5 példa<br />
Határozzuk meg a 3.4 pé1dában tárgyalt folytonos idejű rendszer diszkrét<br />
idejű moldel1jét T s=0,1 mintavételi idővel.<br />
A diszkrét idejű állapotegyenletekhez a paraméter mátrixok a<br />
[A BJ = c2d(A,B,T )<br />
d d s<br />
0,9058 0,0983<br />
0,0187 0,9617<br />
C; D 5 = D<br />
utasításból<br />
0,0952 0,001<br />
0,001 0,0196<br />
C és D a (3.28a) egyenletből vehető.<br />
A diszkrét karakterisztikus egyenlet a poly (A^) utasítással<br />
(4.30a-b)<br />
N.(z) = z 2<br />
-l,8675z .+ 0,8694 = (z-0, 9840) (z-0, 8835) (4.31)<br />
d<br />
A ki és a bemenő jelek közötti impulzusátviteli függvények az ss2zp<br />
utasítással a (4.30) paraméter mátrixokból a két bemenő jelre<br />
elkülönítve számíthatók. Az eredmény a 3.4 pé1dában kiszámított négy<br />
átviteli függvény diszkrét idejű megfelelője.<br />
68
W<br />
f ) = 0,095(z-0,9608)<br />
U i<br />
dll<br />
=<br />
(z-0, 9840) (z-0, 8835)<br />
0,001(z+0,9544)<br />
w J ( 1 1 (z)<br />
d2l v<br />
' (z-0,9840)(z-0,8835)<br />
W<br />
í z ) = W<br />
( 2 )<br />
dl2 d2l<br />
W<br />
, . 0,0l96(z-0,9049) f A »„<br />
(Z^Ö79MÖTU^ (4.32a-d)<br />
( z ) =<br />
d22<br />
69
5. AZ ÁLLAPOTEGYENLETEK ÁTALAKÍTÁSA<br />
5.1 Összekapcsolt rendszerek állapotegyenlete<br />
Két rendszer összekapcsolásakor az eredő rendszer ál lapotegyenlete<br />
továbbra is a (3.14) ill. (4.24) alakú, a paraméter mátrixok azonban az<br />
összetevők paraméter mátrixaiból felépülő hipermátrixok.<br />
Az eredő ál lapotvektor a kapcsolástól függetlenül mindig az összetevők<br />
ál lapotvektorainak az egyesitéséből ál 1, rendezőinek száma a<br />
részrendszerek összes ál lapotváltozóinak a számával azonos.<br />
Az egyéb jelek és a paraméter mátrixok a kapcsolástól függő<br />
struktúrájúak.<br />
Példaképpen tekintsük az egy bemenetű - egy kimenetű folytonos idejű 1<br />
és 2 jelű rendszerek soros kapcsolását (5.1 ábra).<br />
y 1 =u 2<br />
©<br />
©<br />
-* c<br />
5.1 ábra<br />
71<br />
*2<br />
A 2kJ<br />
D 2 H<br />
y 2=y
A részrendszerek áliapotegyenletei:<br />
V A<br />
2 X<br />
2<br />
+ B<br />
2 U<br />
2<br />
A soros kapcsolás összefüggései:<br />
u<br />
2 = y r u = u r<br />
y = y<br />
2<br />
y 1=c 1x i +D 1u 1<br />
y = C<br />
2 2 X + D<br />
2 2 U<br />
2<br />
u és y az eredő rendszer bemenő és kimenő jele. Ezekkel<br />
X<br />
l = A<br />
1 X<br />
1 +<br />
k<br />
2 = B<br />
2 C<br />
1 X<br />
1<br />
°' X<br />
2<br />
+ B<br />
1 U<br />
+ A<br />
2 X<br />
2 +<br />
y = D 2C l X l + C 2X 2 + D 2D l U<br />
W<br />
(5.la-b)<br />
(5.2a-b)<br />
(5.3a-c)<br />
(5.4a)<br />
(5.4b)<br />
(5.4c)<br />
Az összevont X ál lapotvektor az X^ és X 2 vektorokból ál 1, így az eredő<br />
ál lapotegyenlet<br />
D<br />
2 C<br />
l| C<br />
2<br />
B 2 Cl A 2 B<br />
2°l<br />
x 2,<br />
C D<br />
+<br />
(5.5a)<br />
°2 D<br />
1 U (5.5b)<br />
A szaggatott vonalak a hipermátrixok particionálását mutatják.<br />
Diszkrét idejű rendszerek soros kapcsolása azonos struktúrájú paraméter<br />
hipermátrixokat eredményez.<br />
5.1 példa<br />
Összekapcsolt rendszerek paraméter mátrixainak gépi számítása<br />
A MATLAB-ban különböző kapcsolások paraméter mátr ixainak<br />
meghatározására vannak utasítások. Ezekhez meg kell adni az öss zetevők<br />
paramétereit és a kapcsolás struktúráját (melyik jel hová kapcsol ódik).<br />
append<br />
series<br />
parallel<br />
feedback<br />
cloop<br />
két rendszer olyan egyesítése, amelyben az összes<br />
kimenő jel az eredőben is megmarad,<br />
két rendszer soros kapcsolása.<br />
két rendszer párhuzamos kapcsolása.<br />
be és<br />
az egyik rendszernek a másikon keresztül való<br />
visszacsatolása.<br />
a nyitott rendszer közvet len visszacsatolásával előál ló zárt<br />
72
endszer.<br />
augstate a rendszer kimenő vektorát az állapotvektorral bővíti.<br />
connect, blkbuiId tetszőleges kapcsolású rendszerek eredője.<br />
5.2 Állapot-transzformáció<br />
A folyamatot egyértelműen jellemző független állapotváltozók<br />
többféleképpen is kiválaszthatók, hiszen ugyanaz a modell azonos ki és<br />
bemenő jelekkel többféle struktúrában is felépíthető.<br />
A kiválasztott állapotváltozók minden lineáris kombinációja új<br />
állapotváltozó, amely felhasználható valamelyik réginek a kiváltására.<br />
Az állapotváltozók az állapotvektornak a koordináta rendszer<br />
i rányvekt orai ra vett vetületei (állapot koordináta). Kicserélésük új<br />
koordináta irányok kijelölését - koordináta transzformációt - jelent.<br />
Példaképpen vizsgáljunk egy kétdimenziós állapotegyenletet.<br />
koordináta egységvektorokat E E 2-vel, a kiválasztott új<br />
ferdeszögű - koordináta rendszer egységvektorai t<br />
jelölve<br />
V<br />
1 P<br />
11 E<br />
1<br />
P<br />
12 E<br />
1<br />
+ P<br />
21 E<br />
2<br />
+ P<br />
22 E<br />
2<br />
Jelölje az állapotvektort X az eredet i,<br />
rendszerben.<br />
X = X<br />
1 E<br />
1<br />
+ X<br />
2 E<br />
2<br />
Ip 1 2p 2<br />
pedig P r<br />
(5.6a)<br />
(5.6b)<br />
Az eredeti<br />
- általában<br />
P 2~vel<br />
az új koordináta-<br />
(5.7a)<br />
(5.7b)<br />
Ha (5.7 b)-be helyettesítjük az (5.6)-ból P 1 ill. P2~t, akkor Xp-nek<br />
régi koordinátákban kifejezett alakját, az X vektort kapjuk.<br />
X = ( p<br />
ll X<br />
+ P<br />
íp 12 X<br />
} E + ( p<br />
2p l 21 X<br />
+ P<br />
lp 22 X<br />
) E<br />
2p 2<br />
Az (5.7a) és az (5.8) egyenlőségéből az<br />
x<br />
r<br />
X<br />
2<br />
p<br />
ii x<br />
+ p<br />
i P i2 x<br />
2 P<br />
= P<br />
21 X<br />
+ P<br />
ip 22 X<br />
2p<br />
(5.8)<br />
(5.9a)<br />
(5.9b)<br />
lineáris összefüggésekhez jutunk, amelyek a régi és az új koordináták<br />
közötti kapcsolatot mutatják. Az összefüggések vektoros formában is<br />
kifejezhetők.<br />
X = P X ill. X = P !<br />
P<br />
X<br />
73<br />
(5.lOa-b)
ahol<br />
'11 "12<br />
P= (5.11)<br />
K<br />
21 ^22<br />
a koordináta transzformációs mátrix, amely mindig invertálható (nem<br />
szinguláris). A P mátrix oszlopaiban álló vektorok - a mátrix<br />
vektorrendezői - az új koordináta irányvektorokkal azonosak.<br />
Az eredmény a következőképpen interpretálható:<br />
Egy vektornak egy kvadratikus A mátrix-szal való szorzása a vektort<br />
nyújtja vagy zsugorítja és eredeti helyzetéből elforgatja. A mátrix<br />
oszlopaiban azok a vektorok álInak, amelyekbe ez a művelet a koordináta<br />
egységvektorokat átviszi. Például az<br />
A =<br />
*11<br />
"21<br />
12<br />
"22<br />
A<br />
l | A<br />
2 (5.12a)<br />
mátrix az E^=|1 0| egységvektort (A ' jel a transzponáltat jelzi) az<br />
Á<br />
l<br />
= A E<br />
l =<br />
*11<br />
"21<br />
vektorrá alakítja, amely a A mátrix első vektorrendezője.<br />
(5.12b)<br />
A P transzformációs mátrix az új koordinátákban fel írt vektorokat a régi<br />
koord i nát ákban kifejezett alakjukba viszi át. Az új koord i nát ákban<br />
az 11 0|' ill. |0 1 |' alakú egységvektorok a régi alakjukban a P,<br />
i11. a P 2<br />
vektorok. Ezért ezek lesznek a P mátrix vektorrendezői.<br />
Az új koord i nát ákban az állapotegyenletek paraméter mátrixai<br />
megváltoznak.<br />
A folytonos idejű rendszer (3.14) egyenletében X-t (5.10a)-ból<br />
helyettesítve<br />
PX = APX + BU<br />
P P<br />
Mindkét "oldalt P inverzével szorozva<br />
X =(P _1<br />
AP)X + P^BU = A X + B U<br />
P P P P P<br />
Y =(CP)X + DU = C X + D U<br />
P P P P P<br />
(5.13)<br />
(5.14a)<br />
(5.14b)<br />
Az egyenlet szerint a paraméter mátrixok régi és új formája közötti<br />
összefüggések:<br />
74
A = P l<br />
AP A= PA P" 1<br />
P P<br />
(5. 15a-b)<br />
B = P" !<br />
B = P B B= PB<br />
P P<br />
l<br />
B B= PB (5.15c-d)<br />
C = CP C= C P"' 1<br />
P P<br />
(5. 15e-f)<br />
D = D D= D (5.15g-h).<br />
P P<br />
Az (5.15) egyenlet szerinti átalakítás a hasonlósági transzformáció<br />
(similarity t ransf ormát ion).<br />
Az új koordináták kiválasztásának az a célja, hogy a paraméter<br />
mátrixokat a feladat megoldására a legjobban kezelhető alakra hozza.<br />
5.2 példa<br />
A hasonlósági transzformáció gépi számítása<br />
A transzformációs mátrix ismeretében az (5.15) egyenlet összefüggéseit<br />
az ss2ss MATLAB__^utasítással lehet kiszámítani. Ügyelni kel 1 arra, hogy<br />
az utasítás a P mátrixot tekinti transzformációs mátrixnak!<br />
5.3 Kanonikus transzformáció<br />
Szorozzuk meg az (5.12a) szerinti kvadratikus A mátrix-szal az (5.7a)<br />
alakban kifejezett ál lapotvektort. Figyelembe véve, hogy az E koordináta<br />
egységvektorokat a mátrix saját vektorrendezőibe (A^ és A^) viszi át, az<br />
eredő H vektor:<br />
H = AX = x jAE 1 + x 2AE 2 = x ^ + x ^ (5. 16)<br />
A művelet olyan leképezés, amelyben a H eredményvekt ornak a mátrix<br />
vektorrendezőire vonatkozó koordinátái (ferdeszögű vetületei)<br />
megegyeznek az X vektornak az eredeti (derékszögű) koordinátáival (5.2<br />
ábra).<br />
5.2 ábra<br />
75
Található olyan X=V vektor is, amely a leképezés során csak a<br />
hosszúságát változtatja, az irányát megtartja. Ha pl. az Aj és az<br />
és E 2 közötti szögfelezőre szimmetrikusak (5.2b ábra), akkor a<br />
szögfelezőbe eső V vektor nem fordul el, csak s^-szeresére nyúlik.<br />
H = A X = s iX<br />
(5.17)<br />
V az A mátrix (a rendszer) sajátvektora (eigenvector), s^ a sajátértéke<br />
(eigenvalue).<br />
A mátrixoknak a rendszámukkal megegyező számú sajátértékük és normális<br />
esetben ugyanennyi egymástól független sajátvektoruk is van.<br />
Diagonális mátrix sajátvektorai a koordináta vektorok, mert azokat a<br />
leképezés nem forgatja el, sajátértékei pedig a főátló elemei.Ha ugyanis<br />
A =<br />
S<br />
l<br />
0 S<br />
2<br />
akkor AE =s Ej; A E ^ s ^ (5. 18)<br />
Megfordítva, ha a koordinátarendszer transzformálásakor a mátrix<br />
sajátvektorait választjuk űj koordináta vektoroknak, akkor az azokban<br />
felírt A transzformált mátrix diagonálissá válik (főátlóban a<br />
P<br />
sajátértékekkel). A P transzformációs mátrix oszlopaiban ilyenkor a ¥<br />
sajátvektorok állnak.<br />
A transzformációt kanonikus transzformációnak (canonical transformát ion)<br />
nevezik.<br />
A sajátvektorodat és a sajátértékeket az (5.17) egyenletből lehet<br />
meghatározni. Rendezve az egyenletet<br />
(s I-A) V = 0 (5. 19a)<br />
Rendezőkben kiírt formában ez homogén n ismeret lenes egyenletrendszer<br />
(az ismeretlenek a V vektor v„,.. . ,v rendezői), amelynek akkor van a<br />
I n<br />
triviálistól eltérő megoldása, ha teljesül a<br />
det(s.I-A) = N(s.) = 0 (5.19b)<br />
1 i<br />
feltétel. A baloldal nem más, mint az A mátrix N(s) karakterisztikus<br />
po1inomja s=s^ he1yettesítésse1 (3.24 egyenlet).<br />
Ha az egyenlet gyökei egyszeresek, akkor összesen n db sajátérték van,<br />
amelyik mindegyikéhez az (5.Í9a)-ból végtelen sok sajátvektor<br />
határozható meg. Az azonos s-hez tartozó sajátvektorok azonban csak a<br />
hosszukban különböznek, irányuk azonos. így új koordináta tengelyek<br />
céljára normális esetben n különböző irány (lineárisan független<br />
sajátvektor) adható meg.<br />
A transzformációs mátrix vektorrendezői ezek a sajátvektorok.<br />
P-jVj ÍV 2 !. . . Vj (5.20a)<br />
76
A sajátvektor koordinátákra vonatkozó A^ mátrix<br />
A =p AP~<br />
P<br />
Sj 0 0<br />
0<br />
0 s 20 0<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0. . . s<br />
n<br />
(5.20b)<br />
Hasonló megfontolások érvényesek a diszkrét idejű rendszerekre is. Ott<br />
az A mátrix főátlójában az N d(z)=0 diszkrét karakterisztikus egyenlet<br />
,...,z gyökei ál Inak (diszkrét sajátértékek).<br />
Egybemenetű - egykimenetű kanonikus koordinátákban adott folytonos il 1.<br />
diszkrét idejű rendszerek ál lapotegyenletei a frekvencia tartományban:<br />
sXj(s)=s 1x1(s)+bjU(s)<br />
sx (s)=s x (s)+b u(s)<br />
n n n n<br />
y(s)=c,x,(s)+...+c x (s)+d u(s)<br />
I1letve<br />
11 n n<br />
zx d l(z)= Z lx d l(z) +b d lu d(z)<br />
zx , (z)=z x, (z)+b , u ,(z)<br />
dn n dn dn d<br />
(5.21a-c)<br />
y ( z ) = C<br />
d dl X<br />
( z ) +<br />
+ C<br />
dl "- dn X<br />
( z ) + d<br />
dn d U<br />
d ( z ) (5.22a-c)<br />
A hatásvázlat az 5.3 ábrán látható. Az átviteli függvény az ábrából pl.<br />
folytonos idejű rendszerre<br />
w(s) =<br />
b<br />
l C<br />
l<br />
s- S l<br />
b c<br />
n n<br />
(5.23)<br />
A kanonikus alakból tehát az átviteli függvény részlettörtes formában<br />
adódik. Az átviteli függvény változatlan marad, ha a számlálókban b ill.<br />
c úgy változnak, hogy a szorzatuk állandó. így végtelen sok olyan<br />
kanonikus alak van, amelyek a B és C mátrixokban különböznek, de<br />
átviteli függvényük közös. Ez abból is következik, hogy az (5.20a)<br />
szerinti transzformációs mátrix bárme1y vektorrendezője abszolút<br />
értékben tetszőlegesen változtatható, attól még sajátvektor marad. A<br />
változás az A mátrixot nem érinti, a B és C -re ellentétes értelemben<br />
P P P<br />
hat (5.15 egyenletek).<br />
Egyszeres pólusok esetén kanonikus koord i nát ákban a skaláris<br />
állapotegyéniet-rendszer n egymástól független egyváltozós elsőrendű<br />
differenciálegyenletre esik szét. Az állapotváltozók elkülönülnek és a<br />
77
endszer egy-egy pólusához rendelhetők (az 5.21, 5.22 egyenletekben pl.<br />
az x változó az s ill. z pólushoz).<br />
5.3 Példa<br />
5.3 ábra<br />
A kanonikus transzformáció gépi számítására az eig és a canon MATLAB<br />
utasítások használhatók. Az eig utasítás a sajátvektorok V mátrixát és a<br />
sajátértékek D g diagonális mátrixát számítja. V oszlopai a<br />
sajátvektorok, D g főátlójában a sajátértékek álInak. Ha a sajátvektorok<br />
különbözőek, a V mátrix a transzformációs mátrix (P=V), míg a D g mátrix<br />
a transzformált A mátrix (A-=D ).<br />
P s<br />
Ha azonban V oszlopai közül egyesek megegyeznek egymással, az annak a<br />
jele, hogy nem lehet a kanonikus alakot előál1ítani (D *A ).<br />
s p<br />
A canon utasítás különböző formákba transzforrnálja az eredeti paraméter<br />
mátrixokat. Valós sajátértékek esetén ezek közül az egyik megegyezik az<br />
előzőekben tárgyalt kanonikus alakkal.<br />
5.4 Példa<br />
Transzf orrnáljuk az alábbi állapotegyenlettel leírt folytonos idejű<br />
78
endszert kanonikus formába.<br />
X = X<br />
1 2<br />
x 2=-10x1~7x2+10u<br />
y=x. (5.23a-c)<br />
A paraméter mátrixok<br />
A=<br />
0 1<br />
-10 -7<br />
B =<br />
0<br />
10<br />
C =| 0 1 |; D=0 (5.24)<br />
A sajátvektorok meghatározására szolgáló ( s^I-A) V = 0 vektoregyenlet<br />
rendezőkben:<br />
S<br />
V<br />
i l<br />
V<br />
2 =<br />
°<br />
lOv + (7 + s )v = 0 (5.25a-b)<br />
Az egyenletrendszernek akkor van a triviális v^=v 2=0 -tói küiőbőző<br />
megoldása, ha az egyenletrendszer determinánsa (ami det (s., I-A)-val, azaz<br />
a rendszer karakterisztikus polinomjávai azonos) zérus. s=s^ jelöléssel<br />
N(s)=det(sl-A)=s +7s+10=0<br />
A karakteriszt ikus egyenlet gyökei a sajátértékek:<br />
(5.26a)<br />
s 2= -2 (5.26b)<br />
A sajátértékeket 5.24-be helyettesítve mindkét egyenlet azonos<br />
összefüggésre vezet v^ és v 2 között, így az egyik érték szabadon<br />
választható. Legyen például v^=l. Ezzel a két különböző s-hez két<br />
különböző sajátvektort kapunk.<br />
V<br />
A =<br />
P<br />
V | V<br />
1 2<br />
-5 0<br />
0 -2<br />
1 1<br />
-5 -2<br />
B =P~ !<br />
B =<br />
P<br />
P =<br />
-10<br />
3<br />
10<br />
3<br />
79<br />
-2 -1<br />
5 1<br />
C =CP= I 1 1|<br />
p I 1<br />
(5.27a)<br />
(5.27b-f)
5.4 Jordán alak<br />
Ha a karakterisztikus egyenletnek többszörös gyöke van, az mátrix<br />
csak kivételesen diagonálizálható, általában azonban legfeljebb Jordán<br />
formára hozható.<br />
J= 0<br />
"6" 0 | J n<br />
(5.28 a)<br />
Itt J,,..,J_ az s,,...,s 0 sajátértékekhez rendé1t, a sajátérték<br />
Í J 1 J<br />
multiplicitásával megegyező rendszámú kvadratikus mátrixok, amelyeknek a<br />
főátlójában a sajátértékek, az attól jobbra eső első mellékátlóban<br />
egyesek állnak, a többi elem zérus.<br />
Ha például s háromszoros sajátérték, a J részmátrix<br />
J<br />
l - 0<br />
s, 1 0<br />
1<br />
s<br />
l<br />
0 0<br />
1<br />
(5.28b)<br />
alakú lehet. Az egyesek száma attól függ, hogy a többszörös<br />
sajátértékhez hány egymástól lineárisan független sajátvektor található.<br />
Ha csupán egyetlen - ez az (5.28)-nak megfelelő normális eset - a<br />
mellékátló valamennyi eleme egyes. Ha ehhez képest a független<br />
sajátvektorok száma eggyé1 nő, az egyesek száma eggyel csökken. Ha<br />
létezik a multiplicitással azonos számú független sajátvektor, a Jordán<br />
mátrix diagonális. Ettől az esettől eltekintve a transzformációs mátrix<br />
megkeresése a korábbiaktól eltérő megfontolásokat igénye1, amelyekre itt<br />
nem térünk ki.<br />
5.5 Példa<br />
Határozzuk meg az alábbi ál lapotegyenlet kanonikus alakját:<br />
-1 0 1<br />
0 -1 1<br />
0 0-2<br />
V —<br />
A<br />
X +<br />
(5.29)<br />
A MATLAB [V, D g]= eig(A) utasításával ill. az (5.15) egyenletekből a<br />
következő eredményt kapjuk:<br />
80
-1<br />
0<br />
0<br />
-0,5774<br />
-0,5774<br />
0,5774<br />
=P;<br />
B = P<br />
P<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1,7321<br />
1,7321<br />
(5.30a-d)<br />
D g főátlójából látszik, hogy s^ kétszeres sajátérték, ennek el lenére a V<br />
mátrix oszlopaiban három egymástói független sajátvektor áll. Ezért V=P<br />
és D =A .<br />
s p<br />
A kanonikus állapotegyenletek rendezőkben:<br />
-x +2u<br />
pl Pl<br />
X<br />
p2 =<br />
~ X<br />
+ 2 U<br />
P 2<br />
x = -2x +l,7324u<br />
p3 p3<br />
(5.31a-c)<br />
Az x Pl és x „ ál lapotváltozók mozgását azonos differenciálegyenlet írja<br />
p
- = W(S)= 1 1 1 , —~T—r- - W ,(z) = n n , %<br />
u(s) s-s. u ,(z) d z-z. (5.32a-b)<br />
1 d 1<br />
1<br />
y(s)= -i- [u(s) + SjyCs)] ill. yd(z)= z " [ud(z)+z1yd(z)] (5.33)<br />
alakra hozhatók, amelyben az y i11 y^ kimenő jel egy integrátor ill.<br />
késleltető tag kimenete, tehát állapotváltozónak is tekinthető, maga az<br />
átviteli függvény pedig az (5.4a) hatásvázlata szerint visszacsatolt<br />
integrátorként (késleltető tagként) ál 1ítható elő. Ebből következik,<br />
hogy ha a nagyobb rendszámú átviteli függvényt az (5.32 a-b) szerinti<br />
egységekre lehet bontani, azok kimenetén az állapotváltozók, bemenetein<br />
pedig az sx(s) ill. zx^(z) függvények ill. az i dő t ar t o mányban x és<br />
x^(n+1) jelennek meg (5.4 b ábra).<br />
Az átviteli függvényben sokszor az s^ pólus helyett annak negat ív<br />
reciprokat - az időállandót - használják. Az (5.32 a) TJ=-1/SJ és<br />
y(s)=x(s) helyettesítéssel<br />
x(s) T<br />
u(s) 1+sTj (5.34)<br />
Ennek hatásvázlata a c ábra szerint alakul.<br />
u(s) x (s)<br />
ud(z) / Z -21 Xd(2)<br />
©<br />
u(s)<br />
Ti<br />
©<br />
x(s)<br />
u(s)<br />
ud(z)<br />
5.4 ábra<br />
sx(s)<br />
2 X d (Z) y (s)-x(s)<br />
yd(z)s<br />
=xd(z)<br />
Az átviteli függvényből csak akkor lehet az ál lapotegyénieteket teljesen<br />
rekonstruálni, ha a rendszer valamennyi pólusa az átviteli függvény<br />
nevezőjében jelen van. Ha egyes pólusok hiányoznak, az azokhoz rendelt<br />
állapotváltozók nem rekonstruálhatók.<br />
A következőkben egy konkrét példa keretében olyan eljárásokat<br />
tárgyalunk, amelyek az egybemenetű - egykimenetű rendszer átviteli<br />
függvényéből jellegzetes alakú ál lapotegyenleteket rekonstruálnak. A<br />
példa folytonos idejű rendszerre vonatkozik, de a módszerek s=>z változó<br />
cserével diszkrét idejű rendszerekre is érvényesek.<br />
82
5.6 példa<br />
Legyen az átalakítandó átviteli függvény<br />
y(s) s +9s+14 (s+2)(s+7)<br />
u(s) 3 2 _ n (s+1)(s+5)(s+10)<br />
s +16s +65s+50<br />
Határozzuk meg az állapotegyenleteket különböző formákban.<br />
(5.35)<br />
Ha a számlálót és a nevezőt polinomiális alakban használjuk, a következő<br />
módszerek a célravezetőek.<br />
1. ) A számlálót és a nevezőt s -nal osztjuk és y(s)-re rendezzük az<br />
egyenletet.<br />
y(s)=s" 3<br />
[14u(s)-50y(s)]+s" 2<br />
[9u(s)-65y(s)]+s~ 1<br />
[u(s)-16y(s)]=<br />
=s~ 1<br />
[u(s)-16y(s)+s" 1<br />
[9u(s)-65y(s)+s~ 1<br />
[14u(s)-50y(s)]]]<br />
A hatásvázlat az 5.5a ábrán látható.<br />
Az integrátorok (az s 1<br />
az ál lapotegyenlet:<br />
Al<br />
(5.36)<br />
operátor) kimenetét tekintve ál lapotváltozónak,<br />
-50<br />
-65<br />
-16<br />
+ 0. u<br />
14<br />
9<br />
1<br />
(5.37a)<br />
(5.37b)<br />
Ez a megfigye1hetőségí alak (megf igye1hetőségi kanonikus alak), amelynek<br />
jel legzetessége, hogy az x^ ál lapotváltozó maga a kimenő jel, amely<br />
valamennyi integrátor bemenetére is vissza van csatolva. A<br />
visszacsatolási tényezők a karakteriszt ikus egyenlet ~ n<br />
n-i' * * • »~ n<br />
Q<br />
negatív együtthatói, amelyek az A mátrix utolsó oszlopában is<br />
megjelennek.<br />
2.) vezessük be az<br />
X<br />
3<br />
( s ) =<br />
y(s)<br />
-2<br />
s + 9s + 14<br />
83<br />
(5.38a)
u *1<br />
-16<br />
-65<br />
-50<br />
p-1 c-1<br />
©<br />
©<br />
,-1<br />
5.5 ábra<br />
84<br />
•16<br />
•65<br />
-50<br />
x 3
új változót. Ezzel az (5.35)<br />
x 3 ( s ) = _ _ u(s)<br />
s + 16s +65s+50<br />
(5.38b)<br />
A nevezővel mindkét oldalt szorozva és rendezve az egyenletet<br />
s 3<br />
x 3(s)=[u(s)-50x3(s)]-16s 2<br />
x 3(s)-65s x3(s) (5.39a)<br />
x 3~at és differenciálhányadosait sx^(s)=x2(s); s x3(s)=Xj(s) tekintve<br />
állapotváltozónak (5.5b ábra) a kimenő jel az (5.38)-ból:<br />
y(s)=(s +9s+14)x 3(s)=x1(s)+9x2(s)+14x3(s) (5.39c)<br />
X =<br />
-16 -65 -50<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
X + (5.40a)<br />
y=|l 9 14| X + O.u (5.40b)<br />
Ez a fázisváltozós vagy irányithatósági kanonikus alak. Jellegzetessége,<br />
hogy az utolsót kivéve mindegyik állapotyáltozó a hatásirányban<br />
következő ál lapotváltozó deriváltja, és valamennyi az első<br />
ál lapotváltozó bemenetére van visszacsatolva. A visszacsatolási tényezők<br />
- az előző esettel megegyezően - a karakterisztikus egyenlet negatív<br />
együtthatói, amelyek az A mátrix első sorában is megjelennek. A bemenő<br />
jel csak x^-re hat. A kimenő jelet képező előrecsatoló tényezők az<br />
átviteli függvény számlálójának együtthatói.<br />
Ha az 1. és 2. esetben az állapotváltozók sorszámozását megcseréljük, az<br />
A mátrix oszlopai vagy sorai felcserélődnek.<br />
Az átviteli függvény gyöktényezős alakjával a következő eljárások is<br />
használhatók.<br />
3. ) Bontsuk fel az átviteli függvényt egypólusú átviteli függvények<br />
szorzatára.<br />
y(s)<br />
u(s)<br />
s+2<br />
s+1<br />
s+7<br />
s+5*<br />
1<br />
s+10 s+10<br />
(5.41)<br />
Egy-egy tagban a számláló és a nevező összerendelése itt önkényes, ha<br />
azonban az állapotváltozóknak konkrét fizikai jelentése van, az<br />
összerendelést a fizikai háttér rögzíti. Az 5.4b ábra szerint<br />
állapotváltozónak a 1ineáris nevezőjű tagok kimenő jeleit választva a<br />
hatásvázlatot az 5.6a ábra mutatja.<br />
85
u(s) 1<br />
u(s)<br />
s + 1<br />
x^ls)<br />
1 *,(s) 1<br />
s + 1 6<br />
1<br />
s+5<br />
x 2(s) 3<br />
10<br />
1 x 3(s) e<br />
st10 15<br />
©<br />
S+5 s*10<br />
©<br />
y(s) u<br />
5.6 ábra<br />
10<br />
_8_<br />
15<br />
X3ÍsJ=y!s)<br />
-1<br />
Fi gye lembe véve, hogy pl. az (s+1) tag az s^-1 tényezőn keresztül<br />
*3_<br />
©<br />
-1<br />
-5 K 1<br />
x 3<br />
-10 — 1<br />
visszacsatolt integrátor (5.4b ábra), az állapotegyenlet az<br />
időtartományban:<br />
- 1 0 0<br />
2-5 0<br />
1 1 -10<br />
X + (5,42a)<br />
y= | 0 0 1 | X + O.u (5.42b)<br />
4.) Az (5.35)-öt részlettörtekre bontva, három párhuzamosan kapcsolt<br />
egypólusú (egytárolós) átviteli függvényhez jutunk, amelynek<br />
hatásvázlata az 5.6b ábrán látható. Az állapotegyenlet az<br />
86
időtartományban:<br />
-1 0 0<br />
0-5 0<br />
0 0 -10<br />
X +<br />
y= | 1/6 3/10 8/15 | X (5.43a-b)<br />
így az állapotegyenlet egyik kanonikus alakjához jutottunk.<br />
Egy másik kanonikus alak hatásvázlata - ezúttal az időtartománybeii<br />
jelekkel - az 5.6c ábra. Itt a korábban a kimenő oldali átviteli<br />
tényezők (C mátrix rendezői) a bemeneti oldalra (B mátrix) kerülnek. Ha<br />
mindegyik ágban a kimenő és bemenő oldali átviteli tényezőket - azok<br />
szorzatának állandóan tartásával - az előzőktől eltérő módon osztjuk<br />
meg, újabb kanonikus alakot kapunk.<br />
5.7 példa<br />
Gépi átalakítás<br />
A MATLAB az átviteli függvénybő1 (111. több ki- és bemenet esetén<br />
függvenyekbő1) a tf2ss (transfer function to state space) utasítással<br />
határozza meg az állapotegyenlet mátrixait az 5.5b ábrának megfelelő<br />
irányíthatósági formában.<br />
5.8 példa<br />
Határozzuk meg az állapotegyenletet<br />
részlettörtekre bontásából:<br />
y(s)*<br />
u(s)<br />
(s+1) (s+2)<br />
S = S<br />
1 2 =<br />
~* kétszeres pólus.<br />
Részlettörtekre bontva<br />
y(s) =<br />
1<br />
(s+1)' s+1 s+2<br />
az alábbi átviteli függvény<br />
(5.44a)<br />
u(s) (5.44b)<br />
Az egyes részlettörtek kimenő jeleivel mint állapotváltozókkal<br />
hatásvázlat az időtartományban az 5.7 ábrán látható.<br />
87
u(s)<br />
s + 1<br />
s + 2<br />
Az állapotegyenletek:<br />
X =<br />
-1 1 0<br />
0 - 1 0<br />
0 0 - 2<br />
x 2(s)<br />
x3(s)<br />
X+<br />
s +1<br />
5.7 ábra<br />
y=| 1 -1 1| (5.45a-b)<br />
A részlettörtékből most nem diagonális, hanem Jordán formájú A mátrix<br />
adódott. Ez annak a jele, hogy az s^=-1 kétszeres multiplicitású<br />
sajátértékhez nem lehet két független sajátvektort találni.<br />
Valóban, ha az (5.44a) átviteli függvényt a MATLAB tf2ss utasításával<br />
állapotegyenletté alakítjuk, és az eredményre alkalmazzuk az eig<br />
utasítást, a sajátvektorok V mátrixában két oszlop azonos lesz.<br />
Ha a rendszernek többszörös sajátértékei vannak, a pé1dában használt<br />
eljárással a transzformációs mátrix kiszámítása nélkül is előál1ítható<br />
az állapotegyénietek Jordán alakja.<br />
5.9 Példa<br />
Egy folytonos idejű rendszer hatásvázlata az 5.8a ábrán látható<br />
W ( s )<br />
; w ( s ) =<br />
l -(s+0,5)(s+0,2) 2 -¥^rT<br />
88<br />
y(s)
Az irányi tó jel: u.<br />
u 2ls)<br />
'id<br />
1 2d<br />
w^s) w 2( s) y(s)<br />
w^s) w 2( s)<br />
3 di<br />
B d 2<br />
©<br />
W<br />
©<br />
A rendszerre zavaró jel is hat:<br />
~0,5t<br />
u =e ;<br />
, ,<br />
u«(s) =<br />
1<br />
2 * 2 V<br />
' s + 0,5<br />
5.8 ábra<br />
0,5 •0,2 J<br />
Határozzuk meg a rendszer folytonos idejű és diszkrét idejű<br />
állapotmodel1jét, ha mintavételezési lépésköze T g=l, a tartószerv pedig<br />
zérusrendű.<br />
a. ) A folytonos idejű állapotmodellt a 1egegyszerűbben az átviteli<br />
függvényből az 5.5 pontban ismertetett valamelyik olyan<br />
rekonstrukciós módszerrel kaphatjuk, amelyben az u^ jel közvetlenül<br />
az egyik állapotváltozó integrátorának bemenetére kerül. Válasszuk<br />
az 5.6a ábra szerinti eljárást.<br />
A (s) és w 2(s) függvényeket sorbakapcsolt egypólusú átviteli<br />
függvények szorzatára bontva az 5.8b ábra szerinti struktúrához<br />
jutunk, amelyben az u^ bemenőjel az ál lapotváltozó bemenetére<br />
hat. Az ábra alapján a folytonos idejű állapotegyenletek közvetlenül<br />
fel írhatók.<br />
89<br />
©<br />
Yd<br />
s-1 s-1 -0,1<br />
x 3-y
-0,5<br />
-0,2<br />
1<br />
0<br />
-0, 1<br />
0 0<br />
0 1<br />
| B<br />
1 \*z\<br />
C = | 0 0 1 | D = | 0 0 | (5.45a-d)<br />
A rendszer két bemenő jelét az U = |u^ u^ j'vektorba vonhatjuk össze.<br />
Bonyolultabb kapcsolás esetén, amikor az állapctmodel1t nem lehet<br />
i lyen egyszerűen meghatározni, a MATLAB connect, blkbuiId<br />
utasításai vezetnek célhoz.<br />
) A diszkrét idejű ál lapotmodel1 a 4.42 pont szerinti közelítő ill.<br />
pontos módszerrel határozható meg.<br />
1) A 4.11b ábra szerinti közelítő megoldásban feltételezzük, hogy<br />
mindkét bemenő jel - tehát a teljes U vektor - mintavételező és<br />
tartószerven keresztül kerül a rendszer bemenetére.<br />
így a diszkrét idejű páramétermátrixok a folytonos idejű mátrixokból<br />
a MATLAB c2dm (vagy c2d) utasításával közvetlenül meghatározhatók.<br />
Két tizedesre kerekítve:<br />
0,61 0<br />
0,71 0,82<br />
0 ;38 0,86<br />
0<br />
0<br />
0,9<br />
B<br />
d =<br />
id: 2d<br />
0.79 0 j<br />
0,4 0 \<br />
0. 14 0,95 j<br />
C d= | 0 0 1 |; Dd=j0 0| (5.45e-h)<br />
Az állapotmodel1 vektoros formában az u és u„ bemenő komponensek<br />
1 id<br />
különválasztásával az 5.8 c ábrán látható. Itt VI 0 , az u_<br />
mintavételezett időfüggvénye.<br />
2) A 4. 12 ábrának megfelelő pontos diszkrét idejű mode11 az 5.8c<br />
ábrábó1 u^ d -0 helyettesítéssel adódó diszkrét idejű és a b ábrábó1<br />
Uj=0 helyettesítésével eiőálló folytonos idejű modell<br />
mintavételezett ál lapotváltozóinak a szuperpoziciójábó1<br />
származtatható. Rendezőkre bontott hatásvázlata az 5.9a ábrán<br />
látható.<br />
Mivel esetünkben az u^ jel a folytonos idejű model lben csak az<br />
állapotváltozóra hat ^ x<br />
ib~ X<br />
s a z<br />
2b~^<br />
5.9a ábrán szaggatottan<br />
bekeretezett tag egyetlen kimenőjele x^ d^, amely az x^-nek a<br />
mintavételezéséből keletkezik.<br />
Ezért a kimenőjelre a diszkrét mode11 a b ábra szerinti alakra<br />
egyszerűsödik, w (z) az u. .(z) bemenő és az y kimenőjel közötti<br />
d 1 cl oa<br />
90
u 1d<br />
impulzusátviteli függvény, y^ pedig:<br />
y<br />
db X<br />
3db 1<br />
u 2(s)<br />
s+0,1 ^d (5.45Í)<br />
ahol a jobboldali d index a zárójelben levő folytonos idejű jel<br />
mintavételezésére utal.<br />
1<br />
0,14<br />
0,4<br />
0,73<br />
H*I s-1<br />
UU1(J(2) 1(J(2)<br />
-0,5<br />
0,61<br />
Mb<br />
y db"V S +0,1 id<br />
w d<br />
©<br />
(z)<br />
1ÖQ<br />
x 1d<br />
Mdb<br />
y*4«<br />
0,71<br />
-0,2<br />
91<br />
©<br />
0,82*-<br />
'2b<br />
5.9 ábra<br />
Az 5.8a ábra szerinti közelítő ill. az 5.9a szerinti pontos modellel<br />
való számítás eltérését mutatja az 5.10a ábra. Mive 1 az u^ bemenő jel<br />
* mindkét model1ben azonos kimenő jelet hoz létre, a különbség az u^<br />
hatásában mutatkozik. Ezért az ábra u =0 esetre vonatkozik, y,. a<br />
1 dA<br />
közelítő, y, a pontos mode11 kimenő jele (zérusrendű tartószervvel<br />
Q.D<br />
rekonstruálva).<br />
5.10 ábra<br />
A számításokat a MATLAB következő szimulációs utasításaival<br />
végeztük<br />
y d A=dlsim(A d > B d 2,C d ( D d, u^; stairs (y^)<br />
y dB=lsim(A, B2, C,D, u 2 > t); stairs (ydg)<br />
Az eltérés okát az 5.10 b ábra magyarázza.<br />
A pontos modellben az exponenciálisan csökkenő u 2 jel jut a folytonos<br />
tag bemenetére, míg a közelítő model1ben a bemenettel sorbakapcsolt<br />
mintavételezés és zérusrendű tartás miatt az u,^ lépcsős görbe, amely a<br />
mintavételi intervallumokban belül mindenütt nagyobb, mint a tényleges<br />
érték, ezért a ténylegesnél nagyobb kimenő jelet hoz létre. Az eltérés<br />
u 1egmeredekebben változó szakaszán a legnagyobb.<br />
92
5.6 Irányíthatóság<br />
Az irányítás lényeges kérdése, hogy a bemenő jel lel (jelekkel)<br />
valamennyi ál lapotváltozó tetszőlegesen befő1yáso1ható-e. Erre a Kalman<br />
által bevezetett irányíthatóság ad választ.<br />
A rendszer állapot irányitható, ha az ál lapotvektora az U irányítóvektor<br />
(irányító bemeneteken keresztül ható bemenő jel vektor) hatására<br />
tetszőleges X(t Q) kezdeti állapotbói (t v~t Q) idő alatt a tetszőlegesen<br />
előírt X(t^) állapotba vihető át. Ha a definíció csak a kimenő jelre<br />
teljesül, kimeneti irányíthatóságró1 van szó.<br />
Nem állandó paraméterű 1ineáris i11. nemiineáris rendszerekben különbség<br />
van az i rány í t hat óság és a teljes irányíthatóság között. (Ha pl. a<br />
definíció bármilyen t Q-ra teljesül, akkor a rendszer teljesen<br />
irányítható, ha csak meghatározott t Q-ra, akkor t Q-ban irányítható,<br />
stb. ).<br />
A következőkben állandó paraméterű 1ineáris rendszer i rány í t hat óságát<br />
tárgyaljuk.<br />
A kezdeti időpontot t Q=0-ra, a kezdeti állapotot X(0)-nak vesszük.<br />
Lineáris rendszerben az irányíthatóság rendszerhez kötődő fogalom. Ha<br />
valamilyen kezdeti állapotra teljesül, bármilyen állapotbói ki indulva is<br />
fennmarad, hiszen pl. az X(0)-ból megfelelő irányító jellel X(t Q)-ba<br />
vihető az állapotvektor.<br />
Az i rány í t hat óság kanonikus koord i nát ákban mutatkozik meg a<br />
legszemléletesebben.<br />
Vizsgáljunk például egy olyan három állapotváltozós folytonos idejű<br />
rendszert, amelyre egyetlen u bemenő jel hat, és amelynek s^ s^<br />
sajátértékei egyszeresek.<br />
A kanonikus egyenletek legyenek<br />
x^s^+^u (5.46a)<br />
X = S<br />
2 2 X + b<br />
2 2 U<br />
(5.46b)<br />
X = S<br />
3 3 X<br />
3 (5.46c)<br />
y = C<br />
lV C<br />
2 X<br />
2<br />
+ C<br />
3 X<br />
3 (5.46d)<br />
1. ) Ahhoz hogy egy állapotváltozó irányítható legyen, minimálisan az<br />
szükséges, hogy a bemenő jel közvetlenül, vagy egy másik<br />
állapotváltozón keresztül eljusson annak bemenetére, x^-ra ez nem<br />
teljesül, az kizárólag a kezdeti értékének hatására mozog, a bemenő<br />
jel ezt a mozgást nem képes befolyásolni. A rendszer ez esetben nem<br />
állapot irányítható, pontosabban x^ változója nem irányítható.<br />
93
Mivel kanonikus alakban egy állapotváltozó egyértelműen hozzá van<br />
rendelve egy pólushoz, úgy is fogalmazhatjuk, hogy az s^ pólus nem<br />
irányítható.<br />
2.) Az Xj és x^ változókból álló alrendszerben az 1.) feltétel mindkét<br />
változóra teljesül. A kettő együttesen akkor állapotirányítható , ha<br />
ugyanazzal a bemenő jellel bizonyos idő alatt tetszőlegesen előírt<br />
Xj=kj és x<br />
2 =<br />
^2 értékre hozhatók. Stabilis rendszerre ennek egyik<br />
lehetőségét mutatja az 5.11 ábra egyszerűség kedvéért b^/s^^/s^l<br />
esetre. A t=0 pontban az x^(0)=x 2(0)=0 ál lapotban lévő rendszerre<br />
kapcsolt Uj amplitudójú ugrásalaku bemenő jel az állapotváltozókat<br />
-1/Sj, ill. -l/s^ időállandójú exponenciális görbe mentén mozgatja<br />
u,b„/s,~u,b 0/s =u,állandósult értékük felé.<br />
5.11 ábra<br />
A t=tj pontban a bemenő jelnek u^-re változtatása új állandósult értéket<br />
jelöl ki. Az állapotváltozók t^-beli értékeikből most efelé haladnak<br />
ugyancsak exponenciálisan. A t=t 2 pontban elérik az előírt k^ ill. k^<br />
értékeket.<br />
94
A bemenő jel ugrásainak a számát és azok időpontját változtatva a két<br />
változó bármilyen egymástól független értékre állítható, de csak akkor,<br />
ha az s^ és s^ sajátértékek különbözők.<br />
Azonos pólusok (Sj=s 2) esetén az eljárás hatástalan, mert b 1=b 2 esetében<br />
a két változó mindig azonos, b *b esetében egymással arányos (b /b )<br />
i c, 1 2<br />
görbék mentén változik, így ettől az aránytól eltérő k ^ ^ érték nem<br />
írható elő.<br />
A rendszer csak akkor állapotirányíthat6, ha a kanonikus koordináták<br />
pólusai különbözők.<br />
Attól, hogy a rendszer nem állapot i rány í t hat ó, kimenő jele még<br />
irányítható. Esetünkben pl. az (5.46d) szerinti kimenő jel mindaddig<br />
irányítható, ameddig valamelyik állapotváltozó önmagában irányítható és<br />
ennek az együtthatója zérustól különböző.<br />
A kanonikustól eltérő koord i nát ákban az állapotváltozók kölcsönös<br />
összefüggése miatt az előzőekben megfogalmazott feltételek nem<br />
ismerhetők fel közvetlenül, ezért általánosabb kritériummal kel1 azokat<br />
helyettesíteni.<br />
A Kalman féle kritérium szerint az n dimenziós rendszer akkor<br />
állapot irányítható, ha az A és B mátrixból felépíthető<br />
n _ 1<br />
C. = I B i ÁB | ....... i A B i (5.47)<br />
o<br />
írányíthatósági mátrix (controllabi1ity mátrix) rangja (ránk) n, azaz<br />
oszlopaiból és soraiból kiválasztható egy nxn méretű nem elfájuló mátrix<br />
(amelynek determinánsa nem zérus). Itt B az a bemeneti mátrix, amelyen<br />
keresztül az irányító jelek hatnak a rendszerre.<br />
Az irányíthatóság tehát részint a rendszer pólusaitól és az azokhoz<br />
rendelhető állapotváltozók kapcsolatától (A mátrix), részint az irányító<br />
bemenetek kijelölésétől (B mátrix) függ. A nem irányítható<br />
ál lapotváltozók más pontokra ható irányító jellel (másik B mátrix)<br />
esetleg ipányíthatóvá tehetők. Ezért az A;B mátrix pár<br />
i rányí t hatóságáró1 is szokás beszélni, ami azt jelent i, hogy az A<br />
mátrix-szal szimbolizált rendszer a B mátrix-szal szimbolizált<br />
bemeneteken keresztül állapot irányítható.<br />
Az előző megállapításokat értelemszerűen vonatkoztatva az m dimenziós<br />
kimenő jelre, a kimeneti irányíthatóság feltétele az, hogy a<br />
n !<br />
C =|CBJCABl... ÍCA Bl<br />
1 1 8<br />
oy<br />
hipermátrix rangja m legyen.<br />
5.7 Megfigyelhetőség<br />
(5.48)<br />
Az irányíthatósággá1 rokon fogalom a megfigye1hetőség, amely arra ad<br />
választ, hogy egy ismeretlen állapotú*rendszer kimenő és bemenő jelének<br />
bizonyos ideig tartó mérése után rekonstruálható-e a mérés kezdetekor<br />
fennálló állapot.<br />
95
A rendszer megfigyelhető, ha a t Q
Az megf i gye1het őség a rendszertől (A mátrix) és a kimenő jelek<br />
kiválasztásától (C mátrix) függ. Ezért az A, C mátrixpár<br />
megf igye1hetőségérő1 is szoktak beszélni, ami azt jelenti, hogy az A<br />
mátrix-szal megadott rendszer a C-vel definiált kimenő jelekkel<br />
megfigyelhető.<br />
5.10 példa<br />
Gépi eljárások. Az irányithatósági és megfigyeihetőségi mátrixokat a<br />
MATLAB a ctrb ill. obsv utasításokkal képezi az A és B ill. az A és C<br />
párokbó1. A mátrixok rangja a rank utasítással számítható.<br />
2<br />
Az AB; A B stb. képzésekor kedvezőtlen esetben a kis abszolút értékű<br />
rendezőkből olyan kis értékű szorzatok képződhetnek, amelyeket a gép<br />
számítási pontatlansága már jelentősen torzíthat. Ez a további<br />
számításokban - pl. a rank utasítás végrehajtásakor - megbízhatat1anná<br />
teheti az eredményt. Ezért a MATLAB-nak az irányítási<br />
megfigyeihetőségi kérdéskörre egyéb - hatékonyabb - utasításai is<br />
vannak.<br />
A gram és dgram az un. Gram mátrixokat (gramian) számítják folytonos és<br />
diszkrét idejű rendszerekre, amelyek ugyancsak a rangjukkal jelzik az<br />
irányíthatóságot és a me gf i gye1he t ősége t, de numerikusan jobban<br />
kezelhetők, mint a C_ és az 0, mátrixok.<br />
5.11 példa<br />
0 b<br />
A Kalman féle kritérium igazolása<br />
B irányító bemenet i mátrixon keresztül ható u(t) irányító jellel<br />
előállított X(t y) állapotvektor tQ=0 és X(tQ)=X(0)=0 feltételekkel<br />
t<br />
Xí t )= J e<br />
0<br />
A í t T )<br />
Bu(x)dx<br />
Az exponenciális függvényt Taylor sorával helyettesítve<br />
(5.52)<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
,2<br />
X(tv) = A°B J u(x)dx + AB J<br />
2<br />
(t-x)u(x) + A B J { t ^ u(x)dx +...<br />
0 0 0<br />
(5.53)<br />
Az integrál értékek u(x) kellő kiválasztásával a t pontban tetszőleges<br />
értékre állíthatók (pl. az 5. 11 ábrán vázolt technikával).<br />
A Caley-Hamilton tétel szerint minden mátrix kielégíti saját<br />
karakterisztikus egyenletét, ami azt jelenti, hogy az A n<br />
és annál<br />
magasabb kitevőjű tagok kifejezhetők az alacsonyabb hatványokkal.<br />
Ha ugyanis n^_^,...,n Q a karakterisztikus egyenlet együtthatói, akkor<br />
A n<br />
n _ 1<br />
+n , A +...+n nA°=0<br />
n-1 u<br />
97<br />
(5.54a)
i11. A-val szorozva<br />
n + 1<br />
A +n . A n<br />
+...+nnA=0 (5.54b)<br />
n-1 0<br />
A b egyenletbe (5.54a)-ból<br />
TI<br />
A* -et helyettesítve végül<br />
n+1<br />
A is az<br />
n 1<br />
A°, . ..,A hatványokkal fejezhető ki. Az eljárás ismétlésével bármely<br />
n- nél nagyobb hatványnál is ezt kapjuk. Ennek figyelembe vételévei<br />
n<br />
X(t )=k0(t )B+k,(t )AB+...+k ,(t )A ' 1<br />
B (5.55)<br />
v 0 v 1 v n-1 v<br />
k^(t ),...,k , (t ) az u(x)-val beállítható skalárok, amelyek az X(t )<br />
n v<br />
n-1 v<br />
vektornak a B, AB,. . . , A B oszlopvektorokra mint ferdeszögű koordináta<br />
tengelyekre eső vetületei.<br />
Az (5.50)-nél tetszőlegesen előírt n dimenziós X(t ) akkor ál 1ítható<br />
elő, ha B; AB;...;A n<br />
*B koordináta vektorok n dimenziós teret határoznak<br />
meg, tehát egyikük sincs benne a többiek által meghatározott altérben.<br />
Ennek pedig az a feltétele, hogy ezekből a vektorokból<br />
felépített<br />
mint rendezőkből<br />
n _ 1<br />
C0=|Bi AB i... ÍA B|<br />
irányithatósági mátrix rangja n legyen.<br />
5.8 Rendszerek Kalman féle dekompoziciója<br />
Egy általános rendszer négyféle alrendszerre bontható, amelyeket az 5 12<br />
ábra hat ás vázlat ában egy-egy kanonikus állapotváltozó reprezentál.<br />
1) Irányítható és megfigyelhető állapotváltozók íI1. pólusok.<br />
Az ábrában az x^ változó olyan, amelynek bemenete a bemenő jellel,<br />
kimenete a kimenő jel lel ál 1 összefüggésben, b^*0; c, *0.<br />
2) Irányítható, de nem megfigyelhető állapotváltozók (x^)-<br />
Ez a bemenő jel lel mozgatható ugyan, mert b o*0, de ez a kimenő jelben<br />
nem látszik, mert 0^=0.<br />
3) Megfigyelhető, de nem irányítható ál1apo t y á 11 o z ó k (x_).<br />
] _<br />
——— ^ j<br />
Mozgása a kimenő jelben megfigyelhető, mert c o*0, de csak a kezdeti<br />
érték vagy az u irányító jeltől különböző jel mozgathatja, mert b^=0.<br />
4) Nem Irányítható és nem megfigyelhető ál lapotváltozók (x^,), amelyek<br />
sem az irányító sem a Kimenő jel lel nincsenek kapcsolatban, mert<br />
b =0; c =0.<br />
4 4<br />
A rendszer karakterisztikus egyenletében valamennyi alrendszer pőiusai<br />
jelen vannak, míg az átviteli függvény csak a ki és a bemenettel<br />
egyaránt kapcsolódó irányi tható és megfigyelhető alrendszer, pólusait<br />
98
tartalmazza. Az 5.5 pontban ismertetett módszerekkei így csak ennek az<br />
alrendszernek az állapotegyenlete rekonstruálható.<br />
5.12 példa<br />
uis)<br />
XJO)<br />
x,ÍO)<br />
x3(0)<br />
1 x^s)<br />
s-s..<br />
1 x 2l<br />
s~~s 2<br />
1<br />
b =0<br />
3 s - s 3<br />
b b4=o 4=o<br />
x 6!0)<br />
1<br />
s - s 4<br />
5.12 ábra<br />
X3ÍS)<br />
x^(s)<br />
1<br />
c<br />
C 3<br />
c4=0<br />
Egy folytonos idejű n=3 dimenziójú lineáris rendszer paraméter mátrixai<br />
-0,5 0,5<br />
-3 0<br />
-1 -2<br />
B= 3 ; C=| 0 0 1|;<br />
1 I<br />
Vizsgáljuk a rendszer irányithatóságát és megfigyelhetőségét.<br />
D=0<br />
y(s)<br />
(5.56a-d)<br />
1.) Az irányíthatóság! mátrixot a C^=ctrb(A,B) utasítással, a rangját a<br />
rank(C ) utasítással kiszámítva<br />
~ o<br />
99
A rendszer nem állapot irányitható.<br />
rankíC )=2 < 3<br />
o<br />
(5.57)<br />
2.) Teljesen hasonlóan az 0^=obsv(A,C) utasítással meghatározva a<br />
megf igye1hetőségi mátrixot, majd annak rangját r Q=rank (0^):<br />
0,<br />
0 0<br />
2 -1<br />
-8 4<br />
adódik, így a rendszer nem megfigyelhető.<br />
3. ) A kimeneti irányithatósági mátrix<br />
r = 2 < 3<br />
o<br />
(5.58)<br />
Q =C-C =1 1 -1 1I<br />
oy o 1 1 (5.59)<br />
Ennek rangja r<br />
= 1<br />
o y<br />
rendszer kimenetileg irányítható.<br />
, ami megegyezik a kimenő jelek számával,<br />
így a<br />
E tulajdonságok oka, ami az (5.56 a-d) egyenletekből nem látszik<br />
közvetlenül, kanonikus transzformációval tehető felismerhetővé. A<br />
[V, D ] = eig (A)<br />
utasítással kiszámított V sajátvektor mátrixban minden oszlop különböző,<br />
így az transzformációs mátrixnak használható.<br />
P=V=<br />
0,577 0 -0,442<br />
0,577 -0,707 -0,894<br />
0,577 -0,707 0<br />
P.=P =inv(P)=<br />
1,73<br />
1,41<br />
0<br />
-0,866<br />
-0,707<br />
-1,188<br />
A transzformált paraméter mátrixokat az<br />
[A B C D ]=ss2ss (A, B, C, D, P.)<br />
P P P P<br />
utasítással lehet meghatározni.<br />
A =D =<br />
P s<br />
B<br />
1,73<br />
0<br />
-2,236<br />
100<br />
0,866<br />
0,707<br />
1, 188<br />
(5.60a)<br />
(5.60b)<br />
Cy=| 0,5774 -0,707 0|<br />
(5.70)
Az kanonikus változó (s 2=-3 pólus) a bemenő jellel nem<br />
befolyásolható (b =0), ezért nem irányítható, míg az x (s =-2 pólus)<br />
^p3. 2<br />
hiányzik a kimenő jelből (c 3=0), ezért nem megfigyelhető. Az átviteli<br />
függvényben így csak az irányítható és megfigyelhető s^-1 pólus<br />
szerepel.<br />
Valóban a [Sz, S, k]= ss2zp( A, B, C, D, 1) utasításból a számláló Sz és<br />
a nevező S zérushelyeire és a k átviteli tényezőre a következőket<br />
kapjuk:<br />
Sz= k=l.<br />
w(s)<br />
(s+2)(s+3) = 1<br />
(s+l)(s+2)(s+3) s+1<br />
5.9 Az általánosított rendszer<br />
(5.71)<br />
A rendszer bemenőjelei más rendszerek kimenő jelének tekinthetők, így<br />
minden jel egy-egy magára hagyott - kezdeti állapotainak hatására mozgó<br />
rendszer kimenő jeleként is értelmezhető. Mivel a kezdeti ál lapotok a<br />
Dirac függvényekkel állíthatók elő, ez azt is jelenti, hogy a jelek egy<br />
alkalmas rendszerrel - a szűrőhálózattal - a Dirac függvenybő1<br />
s zármaz t at hat ók. (A szűrőhálózat elnevezés a jel frekvencia tartalmára<br />
utal. A Dirac függvényben valamennyi frekvencia azonos<br />
amp1i t udósűrűségge1 van jelen így, ebből bármilyen egyéb spektrum a<br />
felesleges részek kiszűrésével ál1ítható elő).<br />
A szűrőhálózat a jel modellje, amely a rendszer modellekkel azonos<br />
formában (átviteli függvény, állapotegyenlet) építhető fel. Állapotváltozói<br />
a jel állapotváltozói. Minden olyan folytonos idejű jel<br />
például, amelynek valós együtthatójú rációnál is törtfüggvényű Laplace<br />
transzformáltjában a számláló alacsonyabb fokú mint a nevező, 1ineáris<br />
tagokból ál ló Dirac deltával gerjesztett állapotú hálózattal ál 1ítható<br />
elő. A két legegyszerűbb példa az ugrásfüggvény, amely integrátorral, és<br />
az exponenciális függvény, amely visszacsatolt integrátorral képezhető.<br />
Általánosabb esetben a jel Laplace transzformáltját átviteli függvénynek<br />
tekintve az 5.5 pontban tárgyalt valamelyik eljárással lehet a jel<br />
ál lapotegyenletét meghatározni, amely az X(0)ő(t) kezdeti értékkel a<br />
kimeneten a szóbanforgó jelet generálja.<br />
Diszkrét idejű modellben az állapotváltozók bemeneti pontjaira a kezdeti<br />
értékek zX(0) alakban hatnak, ezért a diszkrét idejű jel z<br />
transzformáltját z-vel osztva kapjuk az impulzusátviteli függvényt (vagy<br />
függvényeket), amelyből a jel állapotmodel1je meghatározható.<br />
Egy rendszer valamelyik bemenő jelének állapotmodelÍjét is a rendszer<br />
részének tekintve olyan általánosított vagy bővített rendszerhez jutunk,<br />
101
amelynek állapotváltozói az eredeti rendszer és a jel állapotváltozóiból<br />
tevődnek össze.<br />
Az állapotmodellel helyettesített jel többé nem külső hatás, hanem a<br />
rendszer állapotváltozóinak része, amelynek hatását az érintett<br />
formázás állapotváltozók kezdeti értékei generálják.<br />
Ha az előző eljárás valamennyi bemenő jelre kiterjed, olyan<br />
általánosított rendszer keletkezik, amelynek a kezdeti értékeket<br />
szimbolizáló Dirac impulzusokon kívül nincsenek külső bemenő jelei.<br />
Állapotegyenlete, mivel U=0, homogén egyenlet. Erre való utalásként<br />
homogenizált rendszernek is szokás nevezni.<br />
Az általánosított rendszer fogalmából következik, hogy elvileg elegendő<br />
a Dirac impulzus bemenetű rendszereket analizálni.<br />
A kezdeti értékek egy folytonosidejű rendszer folytonos idejű és<br />
diszkrét idejű modelIjében is azonosak. Ezért ezzel a módszerrel könnyen<br />
tárgyalhatók azok az esetek is, amikor a folytonos idejű rendszer<br />
mintavételes modelIjében az irányító bemeneten ható jelek a tartószerven<br />
keresztül, a többi bemenő jel annak kikerülésével jut a rendszerre<br />
(5.9 példa).<br />
5.13 Példa<br />
Az 5.13 ábrán a w^(s) és w^ís) átviteli függvenyű sorbakapcsolt tagokból<br />
ál ló folytonos idejű rendszerre az irányító bemeneten keresztül ható u^<br />
bemenő jelen kívül az irányító bemenetet elkerülő u^ zavaró jel is hat.<br />
w^s) =<br />
u<br />
l<br />
u 2<br />
l+2s<br />
W 2(8) S<br />
1<br />
1+s<br />
= 1 ( t ) u (s) = l/s<br />
= sin t<br />
Határozzuk meg:<br />
a. ) A rendszer állapotegyenletét.<br />
u 2(s)=<br />
1+s<br />
(5.72a-f)<br />
b. ) Az u 2 jel modelljével kibővített rendszer állapotegyenletét.<br />
c. ) Az Uj és u 2 jelek modelÍjévei kibővített (homogenizált) rendszer<br />
állapotegyenletét.<br />
a. ) A tárolós tagokat visszacsatolt integrátorral helyettesítve (a<br />
ábra) az állapotegyenlet<br />
y- |0 1|<br />
-0,5<br />
1<br />
"1<br />
102<br />
0,5<br />
0<br />
0 0 |<br />
V<br />
(5.74a-c)
. } Az u 2 jelet Laplace transzformáltja alapján (5.73 f egyenlet) egy<br />
Dirac delta bemenetű visszacsatolt kettős integrátorral lehet<br />
modellezni, ami a b ábra szerint két új ál lapotvál tozóval<br />
(x 3;) bővíti a rendszer modelljét. Az ábra alapján<br />
-0,5 0 0<br />
1 -1 0<br />
0 0 0<br />
0 0 1<br />
y = |0 1 0 0 X<br />
l X<br />
2<br />
X<br />
3<br />
X(0)= |0 0 1 0|' (5.75a-c)<br />
c. ) Az u^ jelet a c ábra szerint egy integrátorral lehet a Dirac<br />
impulzusból képezni, ami még egy további állapotváltozót<br />
(x)_.hoz a rendszernek a c ábra szerinti homogenizálmodeljébe<br />
b<br />
5.14 Példa<br />
-0,5<br />
1<br />
y =| 0 1 0 0 0 | •<br />
X(0)= ( 0 0 1 0 1 |*<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 0<br />
X<br />
3<br />
X<br />
4<br />
0,5<br />
0<br />
0<br />
0<br />
(5.76a-c)<br />
Határozzuk meg az 5. 13 példa folytonos idejű rendszeréből az irányító<br />
bemenet mintavételezésével és zérusrendű tartással képzett mintavételes<br />
rendszer állapotegyenletét.<br />
A diszkrét idejű állapotegyenlet paraméter mátrixai a folytonos idejű<br />
paraméter mátrixokból a MATLAB c2dm utasításával képezhetők.<br />
Mivel a mintavételezés-tartás konverzió csak az jelre érvényesül az<br />
Ug-re pedig nem, az utasítás nem alkalmazható az 5. 13 példa a<br />
modelljére.(Ez ugyanis azt jelentené, hogy az u 2<br />
és tartáson keresztül hat a rendszerre. )<br />
103<br />
jel is mintavételezésen
P2<br />
1.2s 1.s<br />
x<br />
5<br />
x 3(0)
egyenletek:<br />
X.(n+1)<br />
d<br />
0,905 0 0 0<br />
0,172 0,819 0,019 0,18<br />
0 0 0,98 -0,199<br />
0 0 0,199 0,98<br />
y (n) = | 0 1 0 0 | X (n)<br />
X (0) = | 0 0 1 0 ['<br />
X,(n) +<br />
d<br />
0,095<br />
0,009<br />
0<br />
0<br />
(5.77a-c)<br />
•u ld(n><br />
Itt X^ és az (5.76) egyenletekben szereplő állapotvektor i 11.<br />
bemenő jel mintavételes alakja.<br />
105
6. LINEÁRIS TAGOK JELÁTVIVŐ TULAJDONSÁGAIT JELLEMZŐ FÜGGVÉNYEK<br />
Az irányítási rendszer analízisében és szintézisében az<br />
ál lapotegyénieteken kívül nagy jelentőségük van azoknak a függvényeknek,<br />
amelyek az állapotváltozók mellőzésével különböző módon a ki- és a<br />
bemenő jelek közötti kapcsolatot írják le az idő ill. a frekvencia<br />
tartományban.<br />
Az időtartományban egy tagot - differenciál- vagy differenciaegyenletén<br />
kívül - meghatározott bemenő jelekkel előidézett kimenő jelével is lehet<br />
jellemezni.<br />
Különleges jelentősége van a Dirac delta bemenetre adott válasznak, az<br />
un. sú1yfüggvénynek (w(t)), ame1ynek ismeretében a konvolúciós<br />
integrállal tetszőleges bemenő jel lel gerjesztett kimenő jel is<br />
kiszámítható (2.4 pont), másrészt a magára hagyott rendszer<br />
mozgásjeliemzőit is tisztán mutatja.<br />
A súlyfüggvény helyett sokszor az egységugrás bemenetre adott választ, a<br />
v(t) átmeneti függvényt használják.<br />
6.1 Átviteli függvény<br />
A frekvencia tartományban az y kimenő és az u bemenő jel Laplace ill. z<br />
transzformáltjának a hányadosa az átviteli függvény, ill. az<br />
impulzusátviteli függvény, amely a folytonos idejű w ill. diszkrét<br />
idejű w súlyfüggvény w(s) ill. w^(z) Laplace ill. z transzformáltja.<br />
Folytonos idejű n-tárolós tagra az átviteli függvény az s változó valós<br />
együtthatójú rációnál is törtfüggvénye (3.27a egyenlet).<br />
y(s) M(s) m s m<br />
+...+ m<br />
w(s j = — =<br />
, .<br />
u(s)<br />
, *<br />
N(s)<br />
= ——•—— r— —<br />
n n~i ,<br />
s +n , s +...+ n<br />
n-1 o<br />
CB. 1J<br />
Fizikailag realizálható rendszerre mz n.<br />
A számlálónak és a nevezőnek valós vagy konjugált komplex gyökei vannak.<br />
Jelölje a számláló gyökeit - a függvény zérusait - s ,...,s , a<br />
u o*/ _ — _ — z 1 zm<br />
nevező gyökeit - a függvény pólusait - s^,...,s^. A (6.1) gyöktényezős<br />
(faktorizált) formaja:<br />
(s-s )(s-s )...(s-s )<br />
, . zl z2 zm<br />
w(s) = k — íc 0 s<br />
(s-s^)(s-s 2)...(s-s^j<br />
107
m (6.3)<br />
Sokszor előnyösebb a gyökök negatív reciprokat - az időállandókat<br />
használni.<br />
||>0 és |s z^|>0 esetben<br />
x.=-l/s . és T.=-l/s. (6.4)<br />
1 Zl 1 1<br />
jelölésekkel<br />
(1+ST.)(1+ST_)...(1+ST .<br />
, x , 1 2 mj<br />
1<br />
(1+ST 1)(1+ST_)...(1+ST ) 1 J<br />
m (- s )•••(- s )<br />
k = - ^ = - ^ , 55L (6.6)<br />
T n o (-Sj) ••• (-s n)<br />
x\ i11. T\ valós vagy komplex számok.<br />
Ez az átalakítás az s^=0 zérusok és az s^=0 pólusok gyöktényezőiben nem<br />
hajtható végre, azokat eredeti alakjukban kel 1 megőrizni. Ha a (6.1)-hez<br />
hasonlóan a gyöktényezős alakban is csak valós együtthatókat kívánunk<br />
szerepeltetni, a konjugált komplex gyökpárokat egy másodfokú valós<br />
együtthatójú tényezővé kel 1 összevonni.<br />
A<br />
Legyen pl. s^ kopjugáltja s^ és T\ konjugáltja T\ .<br />
s^= a+jb, s\ = a-jb, és (6.7)<br />
(s-s.)(s-s.)=s 2<br />
-2as+(a 2<br />
+b 2<br />
)=s 2<br />
+2£ u s+w 2<br />
1 í o o<br />
i1letve a (6.4) figye1embevéte1éve1<br />
(6.8)<br />
A<br />
p«e p p<br />
(1+sT. )U+sT. ) = 1 - 1r S<br />
1 1<br />
0<br />
2,2<br />
a +b<br />
+<br />
2,2<br />
a +b<br />
= 1+2? T s+s 17<br />
o o<br />
(6.9)<br />
Itt<br />
w 2<br />
= a 2<br />
+b 2<br />
; T = — ; - — (6.10)<br />
O O U) ü)<br />
o o<br />
í«> o -t a négyzetes tag saját frekvenciájának (natural frequency), £ -t a<br />
esi 1lapitási tényezőjének (damping factor) nevezik. A számláló konjugált<br />
komplex gyöke i t hasonló módon másodrendű tényezőkben összevonva és<br />
megkülönböztetésül a T q ill. £ jelöléseket használva a (6.5) egyenlet az<br />
108
alábbi alakba írható:<br />
d<br />
2 2<br />
n (1+ST.)-n (1+2C.T .s+s T )<br />
r . 1 i oi oi<br />
w(s)=— P<br />
s<br />
. K . I í =<br />
T 6 f<br />
2 2<br />
n (1+sT.)-n (1+2?.T .s+s^T f )<br />
j i 1 i Ol oi<br />
ahol<br />
, s (6.11)<br />
l P P<br />
= s wp(s) = w.(s) wp(s)<br />
r + c + d = m és p + e + f = n<br />
(6.12)<br />
Itt az összes időállandó és esi 1lapítási tényező valós érték.<br />
Az s változót műveleti operátornak tekintve w^(s) matematikai műveletet<br />
szimbolizál, amelyet a tag végez a bemenő jelen. Ezért eszerint<br />
különböztetjük meg az átviteli függvény ill. tag típusát. i=r-p<br />
jelöléssel az a és b kitevőktől függően a következő három eset<br />
lehetséges:<br />
r > p; v.^ (s)= s 1<br />
differenciáló tag (6. 13a«)<br />
r = p (s)=l arányos tag (6.13b)<br />
r < p (s)= s 1<br />
integráló tag (6.13c)<br />
A kimenő jelben ezek a műveletek akkor jelennek meg tisztán, amikor a<br />
bemenő jel által kiváltott tranziensek már lecsi1 lapodnak. j<br />
A tranzienseket a w p(s) függvény írja le. Ennek a szétválasztásnak az<br />
alapján úgy tekinthetjük, hogy egy tag tartós karakterének (w^) az<br />
érvényre jutását a tárolók feltöltődésével összefüggő hatások<br />
késleltetik. w p az arányos időkéséses tag átviteli függvénye.<br />
u I»y<br />
6.1 ábra<br />
109
A tárolók feltöltődésén kívül a késleltetésnek egy másik forrása a<br />
jelhordozó véges terjedési sebessége, amely a ki és a bemenő jel közé<br />
egy idejű késleltetést - holtidős késleltetést - iktat.<br />
A ho11idős tag kimenő és bemenő jele közötti összefüggés a 6.1 ábra<br />
alapján<br />
y(t) =<br />
0 , ha t< T,<br />
n<br />
u(t-T h) , hat*T h ( 6_ 1 4 )<br />
A Laplace transzformáció eltolási szabályával<br />
-sT -sT<br />
y(s)= e<br />
n<br />
u(s); w(s)=e n<br />
(6. 15)<br />
Az átviteli függvény nem rációnál is tört, hanem transzcendens függvény.<br />
A rációnál is törtfüggvényeknek megfelelő differenciálegyenletek végtelen<br />
jelterjedési sebességet tételeznek fel (a véges terjedési sebesség<br />
parciális differenciálegyenletre vezet). Ezért folytonos idejű<br />
rendszerek állapotegyenletébe a ho11idő csak közelítéssel iktatható be,<br />
vagy úgy, hogy (6.15)-öt rációnál is törtfüggvénnye1 - tárolós tagokkal -<br />
helyettesítjük, vagy a ki- ill. a bemenő jel késleltetéseként vesszük<br />
figyelembe, amelyhez azonban ál lapotváltozó nem rendelhető.<br />
A hp11 idő minden reál is rendszerben jelen van, hatása azonban csak akkor<br />
jelentős, ha a rendszerben végbemenő változások ideje a holtidővel<br />
összemérhető. Villamos jelek véges terjedési sebességéből eredő<br />
hatásokat csak kivételes esetekben (ultra nagyf rekvenciás jelenségek<br />
igen nagy távolságú - pl. bolygóközi - jeltovábbítása) kel1 figyelembe<br />
venni.<br />
Egyéb anyag- ill. energiaáramlási jelenségek leírásakor a ho11idő nem<br />
hanyagolható el (szál1ítószalagon, vagy csővezetéken történő<br />
anyagtovábbítás, hőáramlás, stb.).<br />
Diszkrét idejű rendszerekben az ál lapotváltozók egy lépésköznyi holt idős<br />
késleltetést okozó tagokhoz vannak rendelve. Amennyiben a ho11 i dő a<br />
mintavételezési idő egész számú többszöröse. véges számú<br />
ál lapotváltozóval leírható, így szervesen bei 1leszthető akár az<br />
ál lapotegyenletbe, akár az impulzusátviteli függvénybe.<br />
A holt idős tag impulzusátviteli függvénye a (6.15)-bői<br />
h<br />
wJ(z)=z" ; h=T./T =egész (6.16)<br />
d h s<br />
6.2 Az átmeneti függvény<br />
Az i dő t ar t o mányban a tag tranziens tulajdonságai a legt isztábban a<br />
súlyfüggvényben és az átmeneti függvényben mutatkoznak. (Ez utóbbi a<br />
bemenő jelnek könnyebb kísérleti reálizálhatósága miatt egyes esetekben<br />
előnyösebb.)<br />
Az átmeneti függvény Laplace transzforrnált jábó1 látható, hogy az a<br />
110
súlyfüggvényből integrálással képezhető.<br />
v(s)=w(s)u(s)= ; v(t) = J w(t)dt (6. 17)<br />
s<br />
o<br />
t<br />
v( t) egyes tulajdonságai w(s)-ből inverz t ranszformác i ó nélkül<br />
közvetlenül is láthatók.<br />
a. ) Az átmeneti függvény és differenciálhányadosának kezdeti értékei az<br />
átviteli függvény számlálója és nevezője közötti fokszám különbségtől<br />
(6.1 egyenlet) függenek.<br />
A végérték tétellel:<br />
v(0)= lim s íí^i = lim w(s) (6. 18a)<br />
s=*» s s=*»<br />
és hasonlóan az r-edik differenciálhányadosra<br />
( r ) , , . s r<br />
w(s) .. r ( .<br />
v (0)= lim s = lim s w(s) f a 1 Q, .<br />
s=*» s s=*» (6. 18b)<br />
Ha s minden határon túl növekszik, w(s) számlálójában és nevezőjében a<br />
legnagyobb hatványok dominálnak. (6.1) jelölésével<br />
m<br />
t v m s r<br />
( r ) _ . m r . . s<br />
v (0)=lim s = lim<br />
s=*» n s=*» n-m (6. 18c)<br />
s s<br />
Ha w(s) számlálójának és nevezőjének (n-m) fokszámkülönbsége r, a v(t)<br />
függvény első (r-1) deriváltjának - magát a függvényt, mint 0-ik<br />
deriváltat is beleértve - a kezdeti értéke zérus.<br />
Ha a fokszámkülönbség 1, a t=0 pontban v(t) véges meredekséggel indul,<br />
ha 2, akkor a kezdeti érintő zérus hajlásszögű, ha több, a görbe egyre<br />
magasabbfokúan simul az időtengelyhez.<br />
Azonos fokszámnál - ami annak a jele, hogy a bemenő jel közvetlenül hat<br />
a kimenetre* - v( t )-nek ugrása van a kezdőpontban.<br />
b. ) Az átmeneti függvény állandósult értéke, feltételezve, hogy a<br />
(6.1 l-ben) w p összes pólusának negatív valós része van<br />
v(t=*») = lim ^i^l = w(s=x>) (6. 19)<br />
s=x> s<br />
Ha s=*0, akkor a (6. 1 l-ben) w p összes gyöktényezőjében az s változót<br />
tartalmazó tag elhanyagolható a konstansok mellett, így<br />
a<br />
w(s=x>) = kTw.(s) = k Ts " b<br />
(6.20)<br />
Differenciáló tagra v(oo)=0, integrálóra v(oo)=oo , míg az arányos típusúra<br />
v(oo)=k^,. Ez utóbbit ezért önbeálló tagnak is szokás nevezni,<br />
111
c. ) A Wp arányos időkéséses tag késleltető hatása a 6.2 ábra szerint<br />
átmeneti függvényének 1ineáris szabályozási területével (F) - az<br />
állandósult érték és a tényleges görbe közötti eltérés integráljával -<br />
jellemezhető.<br />
6.2 ábra<br />
Wp-nek (6.11) vagy (6.5) alakjából kiindulva<br />
F= J [v(oo)-v(t)]dt= j [k ^v(t)]dt<br />
o o<br />
(6.21a)<br />
Áttérve a Laplace transzforrnáltra az integrálás s-sel való osztással, a<br />
határok pedig a végérték tételekkel képezhetők.<br />
[Jl - Wp(s) l i<br />
[ s s J s<br />
s=£> k T-wp(s) s=*0<br />
Az s=*» hat árát mene t re a függvény zérust ad, így csak az s-*0<br />
határátmenetet kell elvégezni.<br />
Ha Wp számlálóját k TM(s)-sel, nevezőjét pedig N(s)-sel jelöljük<br />
, . kT(N(s)-M(s)) F= 1 ím 1<br />
s=x) sN(s)<br />
s=*»<br />
(6.21b)<br />
Mivel N(s) és M(s) (6.5) szerinti gyöktényezőiben az összes konstans tag<br />
1, azok szorzata is egységnyi, így a különbségképzésnél kiesnek.<br />
112
n m<br />
k T( E T.-E T.)S+S r(s)<br />
F _ lim 1 1 ____<br />
= S<br />
( 6<br />
-*° s(l +sT)---(l+sT )<br />
1 n<br />
2<br />
Itt s r(s) az s-ben kvadrátikus és annál magasabb fokú tagokat jelöli. A<br />
határátmenetet elvégezve<br />
F=k [X T .- E x .] (6,2id)<br />
1 1<br />
1 1<br />
A T\ ill. komplex értékek is lehetnek, de az összegezéskor - mi vei<br />
mindig konjugált párjukkal együtt fordulnak elő - a képzetes részeik<br />
kiesnek.<br />
Ha a (6.1 l-nek) megfelelő valós együtthatójú modellt használjuk,<br />
másodfokú tényezőkből az s-ben 1ineáris tagok 2^T Q ill. 2^xQ együtthatói<br />
kerülnek be a (6.21d) szerinti összegezésbe.<br />
Az átviteli függvény nevezőjének időállandó i növelik, számiá1 ójának<br />
időál landói csökkent ik a szabályozási területet. A szabályzási TORAIÉT<br />
segítségével definiálható az egyenértékű időkésés 11 eVV ckjj<br />
holtidő, amely annak a k^ amplitudójú ugrás függvé nyne k t=0-!O • ^ ! ^<br />
e11o1ási ideje, amelynek a tényleges átmeneti függvénnyé 1<br />
szabályozási területe van.<br />
T = — % — = IT-Zx (6.22)<br />
e k T<br />
- 2 1 c )<br />
>n< •<br />
Az átmeneti függvénynek az állandósult érték fölé lendülése a 6.2b ábra<br />
szerint csökkent i a szabályozási területet. Nagy túllendülés<br />
megbízhatat1anná teszi a késleltetésnek az egyenértékű időkéséssel való<br />
jellemzését, hiszen a nagyobb túllendülést az időkésés csökkenéseként<br />
értékeli. Ugyancsak hamis képet ad akkor is, ha az állandósult ál lapot<br />
periodikus lengésekkel ál 1 be, mert a különböző előjelű területrészek<br />
kompenzálják egymást. E hátrányok miatt sokszor előnyösebb a négyzetes<br />
szabályozási terület használata.<br />
6.3 Impulzusátviteli függvény<br />
Folytonos idejű rendszer diszkrét idejű modelljében az impulzusátviteli<br />
függvény a kimenő és a bemenő impulzussorozatok z transzformáltjának Ö<br />
hányadosa.<br />
A diszkrét model1 a tartószervet is magába foglalja.<br />
Egy egytárolós tag átviteli és zérusrendű tartással képzett<br />
impulzusátviteli függvénye közötti összefüggés (6.1 pé1da):<br />
113
í 1<br />
1 1<br />
w ( s ) = _ _ = -<br />
w d(z)<br />
s,T<br />
1 s<br />
1 s<br />
(6.23a)<br />
(6.23b)<br />
Többtárolós folytonos idejű tag átviteli függvényét részlettörtekre<br />
(párhuzamosan kapcsolt egytárolós tagokra) bontva, a diszkrét átviteli<br />
függvény az egyes tagok (6.23b) szerinti impulzusátviteli függvényeinek<br />
az összege, amely a (4.29b) szerinti formába írható. A z^ z^ pólusok<br />
kölcsönösen egyértelmű kapcsolatban ál Inak az átviteli függvény<br />
Sj,...,s n pólusaival. A zérusok nem feleltethetők meg egymásnak ilyen<br />
szigorúan, de normál is esetben - amikor a mintavételezés nem jár túlzott<br />
információ torzítással - néhány közelítő összefüggés megadható.<br />
Legyen pl. egy holt idős többtárolós tag átviteli függvénye<br />
-sT (s-s )...(s-s )<br />
w(s)= k e<br />
n<br />
? — ^<br />
(s-s,)...(s-s )<br />
1 n<br />
(6.24a)<br />
Itt m < n.<br />
Feltételezve, hogy a T^ holtidő a T g mintavételi időnek egész számú<br />
többszöröse (h), zérusrendű tartással a tag impulzusátviteli függvénye<br />
(z-z ,) • • - (z-z , , . )<br />
wJ Z)=k H - 1 * 1 : - ^111. ( 6. 24b)<br />
d d n, . , ,<br />
z (z-z,)•••(z-z )<br />
1 n<br />
ahol z^e<br />
s.T<br />
1 S<br />
(6.24c)<br />
A diszkrét zérusok száma a folytonos átviteli függvény zérusainak m<br />
számától függetlenül mindig (n-1). Ezek két csoportra oszlanak, m számú<br />
közülük pozitív valós vagy pozitív valós részű komplex érték, amely az<br />
átviteli függvény egyes zérusaival a (6.24c)-hez hasonló összefüggésben<br />
áll:<br />
z e<br />
zi<br />
S<br />
zi T<br />
Z 1 S<br />
s<br />
A közelítés jósága esetenként változik.<br />
(6.25a)<br />
A többi (n-l-m) számú diszkrét zérus, amelynek nincs folytonos<br />
megfelelője, negatív valós szám.<br />
z<br />
zi= -* g ; z _ Z<br />
z + g<br />
i zi • i<br />
ahol g pozitív.<br />
114<br />
( 6 2 5 b )
Kimutatható továbbá, hogy ha az átviteli függvény számlálója és nevezője<br />
közötti fokszám különbség 2-nél több, az egyik g érték, ha 4-nél több,<br />
akkor két g érték, stb. az egységnél nagyobb.<br />
Ez az összefüggés ebben a megfogalmazásban csak tájékoztató, pontosabb<br />
körül írásától most eltekintünk.<br />
Az eddigiek úgy foglalhatók össze, hogy a folytonos idejű átviteli<br />
függvénnyé 1 ellentétben a folytonos pólusok és zérusok számának a<br />
különbsége a diszkrét átviteli függvényben nem a számláló és a nevező<br />
közötti fokszám különbségében, hanem a diszkrét zérusok minőségében<br />
tükröződik.<br />
Az impulzusátviteli függvény nevezőjében a folytonos pólusoktól származó<br />
n számú diszkrét póluson kívül (z^,...,z ) a holtidőt figye1embevevő h<br />
számú egyszeres (vagy egy h-szoros) z =0 értékű pólus is jelen van<br />
(z ).<br />
A (6.24b)-ben a pólusok és a zérusok valós vagy páronként konjugált<br />
komplex értékek lehetnek. Ez utóbbiak a (6.7)-(6.9)-hez hasonlóan valós<br />
együtthatójú másodrendű gyöktényezőkké vonhatók össze.<br />
Tekintsünk pl. egy konjugált komplex diszkrét póluspárt:<br />
z. = z. +j z.. z.= z. - j z., (6.26a)<br />
1 IV ° ik ; 1 IV u<br />
(z-z.)(z-z.) = z 2<br />
- 2 z. + z 2<br />
+ z 2<br />
í í ív ív ik<br />
ahol z. és z., az. komplex pólus valós és képzetes része.<br />
iv ik i r<br />
^<br />
ik<br />
(6.26b)<br />
z^ helyett z^-t helyettesítve a konjugált komplex zéruspárok másodfokú<br />
alakját kapjuk.<br />
A (6.9) és a (6.24c) figye 1embevéte1éve1<br />
s.T aT jbT aT<br />
z. = e<br />
1 S<br />
= e S<br />
e<br />
S<br />
= e S<br />
i<br />
(cos(bT )+j sin (bT ))<br />
s s<br />
Ezzel a (6.26b) másodfokú gyöktényező a folytonos pólus a valós és b<br />
képzetes részével fejezhető ki:<br />
aT 2aT<br />
(z-z.) (z-z.) = z -(2e S<br />
cos(bTs))z + e<br />
3<br />
(6.27a)<br />
A folytonos másodfokú tényező w q sajátfrekvenciája és £ csillapítási<br />
tényezője (6.8 és 6. 10 egyenletek) az alábbi helyettesítéssel vezetheti<br />
be:<br />
-£u ; b=w /l-£ 2<br />
o o<br />
115<br />
(6.27b)
6.1 példa<br />
Határozzuk meg egy egytárolós folytonos idejű<br />
M ( s ) = 1 = -. J!jl| ( 6. 2 8 )<br />
1+sTj s-s^ u(s)<br />
átviteli függvényű tag impulzusátviteli függvényét.<br />
A megoldás menete az, hogy valami 1yen célszerűen választott u^<br />
mintavételezett bemenő jelből ki indulva meghatározzuk az y folytonos<br />
idejű jelet ill. annak y^ mintavételezett alakját. y^ és u^<br />
z transzforrnáltjainak a hányadosa a keresett w^(z) impulzusátviteli<br />
függvény.<br />
Válasszuk bemenő jelnek az egységugrás mintavételezéséből kapott<br />
impulzussorozatot, amelynek z transzformáltja (4.9c egyenlet):<br />
u íz)= -V- (6.29)<br />
d z-1<br />
Az impulzussorozatot a zérusrendű tartószerv u folytonos jel lé<br />
H<br />
alakítja (6.3 ábra) amelynek Laplace tr a nszforrnáltja, ha w (s) a<br />
n<br />
tartószerv átviteli függvénye (4.1 egyenlet):<br />
-sT<br />
u H(s) = w H(s) u d(s) = 3 • L _ = 4- (6.30)<br />
1 -e<br />
tehát u„ az időrartományban egységugrás.<br />
H<br />
6.3 ábra<br />
>TÍszhangban van azzal a korábbi (4. 2 pont) megál lapítással, hogy<br />
: rendű tartószerv a mintavételezett ugrásfüggvénybő1 ismét<br />
116<br />
3
ugrásfüggvényt ál 1ít elő. Éppen ezért választottuk bemenő jelnek ezt a<br />
jelet. Minden más görbealak u -ra lépcsős görbét eredményezett volna,<br />
amely a további számításokat nehézkessé tenné.<br />
A tárolós tag kimenő jele a frekvenciatartományban:<br />
y(s)=w(s) u u(s)= — . * (6.31a)<br />
H s 1+sIj<br />
Részlettörtekre bontva és az időtartományba visszatranszformálva<br />
T -t/T<br />
, , 1 1 , 1<br />
y( S) = - -ÜST ; y =<br />
S 5<br />
1 (6.31b)<br />
Az y-ból képzett mintasorozat z transzformáltja (4.lOd egyenlet j<br />
y l J<br />
d<br />
E z Z e l<br />
ÍM = z<br />
W j(z)<br />
_ T<br />
1 Z<br />
z-1 -T / T,<br />
s 1<br />
z- e<br />
-T /T, s T<br />
f , . s 1 . Is<br />
y (z) l-e l-e<br />
(6 32)<br />
d u ,(z) -T /T, s.T „ .<br />
d s 1 ls ib 33)<br />
z-e z-e<br />
ahol s 1=-l/T r<br />
Az eredmény megegyezik a (6.23b) egyenlettel<br />
6.2 példa<br />
A folytonos idejű rendszer átviteli függvénye<br />
w(s) =<br />
( 1 + 5s)<br />
(l+10s)(l+8s)(l+4s)(l+2s) ib 34;<br />
Határozzuk meg a rendszer diszkrét átviteli t ti^ 'ényet n :,r**i.dú<br />
tartószervvel T = 1 mintavételi idővel.<br />
s<br />
A függvényt zérus-pólus alakra hozva (6.2 egvnruHí a k T. átviteli<br />
tényező, az zérusok és az S pólusok:<br />
S =s =-0,2; k =1/128 (6 35j<br />
-0,1 z z T<br />
-0,125<br />
-0,25<br />
-0,5<br />
A feladatot a MATLAB-bal oldjuk meg. Először meg kell határozni a wís)<br />
számláló és nevező polinomjának együttható mátrixait. A számlálóra ez<br />
117
azonnal látszik. A nevezőt vagy a (6.34) nevezőjében álló tagok<br />
összeszorzásábó1 (a conv utasítás ismételt alkalmazásával), vagy a<br />
(6.35)-ből a poly(S) utasítással kapjuk.<br />
N = poly(S) (6.36a)<br />
A számláló együttható mátrixa<br />
M = k T* [1, -0.2] (6.36b)<br />
A diszkrét átviteli függvényt polinomiális alakban a c2dm utasítással<br />
számítjuk, majd a tf2zp utasítással zérus-pólus alakra hozzuk.<br />
[Md,Nd] = c2dm(M,N,Ts); (6.37)<br />
[Zz,Z,kd] = tf2zp(Md,Nd,Ts) (6.38)<br />
Az eredmény:<br />
k^ =0,0011<br />
d<br />
z ,=0,8187; z =-3,088; z = -0,2198<br />
zl ' z2 z3<br />
z =0,9048; z 0 = 0,8825; z 0 = 0,7788; z =0,6065 , e o n ,<br />
1 2 3 4 (6.39a~cJ<br />
A z^,...,z^ pólusok megegyeznek a (6.24)-bői számítható értékekkel<br />
(s^k a (6.35) S vektorából).<br />
A három zérus közül T. pozitív valós érték, amelyre a (6.25a) most igen<br />
jó közelítés. A másik két diszkrét zérusnak nincs folytonos megfelelője,<br />
ezért azok negatív valós számok. Mivel pedig w(s) számlálója és nevezője<br />
között a fokszám különbség 3, az egyik negatív valós zérus abszolút<br />
értéke egynél nagyobb.<br />
6.3 példa<br />
Határozzuk meg a következő átviteli függvenyű tag impulzusátviteli<br />
függvényét:<br />
2<br />
, > 1+3,6s + 9s , c<br />
w(s)= — 5<br />
p- (6. 40)<br />
(l+5s)(l+2,8s+4s )<br />
A számlálóban és a nevezőben is van egy másodfokú gyöktényező, amelyek<br />
sajátfrekvenciái és csillapításai :<br />
A számlálóban w = 1/3 ; < = 0,6 (6.41a)<br />
oz<br />
A nevezőben * u> =1/2 ; C = 0,7 (6.41b)<br />
A függvény zérusai és pólusai:<br />
o<br />
s zl=-0,2 + j 0,2667; -0,2 - j 0,2667<br />
s 1 =-0,2; s2= -0,35+j 0,3571; s3= -0,35- j 0,9571 (6.42)<br />
118
A diszkrét átviteli -függvényt a 6.2 példában tárgyalt módon meghatározva<br />
zérus-pólus formában:<br />
Z<br />
zl 2 =<br />
7 8 8 5<br />
°'<br />
í 0.2156J;<br />
Z j = 0.8187; z 2 3=0,6602 + 0,2463 j<br />
k^ = 0,3501 (6.43)<br />
d<br />
Ha a zérusokat az s értékekből a (6.25a) közelítő formulával<br />
z<br />
számítanánk, az<br />
s T<br />
Z<br />
e<br />
S<br />
=0,7898- 0,2157 j<br />
eredményt kapnánk, ami jól egyezik a pontos z z értékekkel.<br />
A komplex gyöktényezőket másodfokú gyöktényezőkbe vonva össze<br />
, > n O K n.<br />
2<br />
z -l,5771z + 0,6683<br />
w,(z)=0,3501<br />
d<br />
' (z-0,818)(z 2<br />
-1,3205z+0,4966)<br />
(6.44)<br />
A nevező másodrendű gyöktényezőjére pontosan, a számlálóéra közelítőén<br />
teljesül a (6.27).<br />
6.4 Hatásvázlatok átalakítása<br />
A rendszer hatásvázlata az egyes tagok átviteli fügvvényeinek<br />
összevonásával, a ki- és a bemenő jelek áthelyezésével a számításokhoz a<br />
legalkalmasabb formára hozható. Mivel az átalakítási szabályok a<br />
folytonos és a diszkrét átviteli függvényekre egyaránt érvényesek, a<br />
következőkben nem teszünk különbséget közöttük.<br />
Tagcsoportok átviteli függvényei<br />
Sorosan kapcsolt és átviteli függvényű tagok egyetlen w átvitel i<br />
függvénnyel helyettesíthetők (6.4a ábra).<br />
w u-w<br />
" - y<br />
- = — ^- = w,w0 (6.45)<br />
u u 12<br />
Párhuzamosan kapcsolt tagokra (b ábra):<br />
w = w 2 (6.46)<br />
Visszacsato1ásra (c ábra):<br />
119
A számlálóban az előrevezető ág átviteli függvénye ál 1. A nevezőben a -<br />
jel a pozitív, a + jel a negatív visszacsatolásra vonatkozik. w q az un.<br />
felnyitott körnek az átviteli függvénye, amely a tetszés szerinti helyen<br />
felvágott körben a felnyitási pontok (d ábra a - b) között található<br />
tagok átviteli függvényeinek az eredője.<br />
u<br />
w 1<br />
* 1 . w 2<br />
W = W4 w<br />
1 w 2<br />
* w-<br />
Jelek áthelyezése<br />
©<br />
©<br />
y 2 ,<br />
6.4 ábra<br />
U U
u 1<br />
u 1<br />
w 1<br />
w 0<br />
w 2<br />
©<br />
©<br />
6.5 ábra<br />
6.6 ábra<br />
B.7 ábra<br />
u 1<br />
w 1<br />
w 1<br />
w, w 2<br />
u 2<br />
i y<br />
r — — — i i _<br />
Visszacsatolt körre ható bemenőjel és az általa a kör egy másik<br />
pontjában előidézett jel közötti kapcsolat a 6.8 ábra alapján<br />
állapítható meg. Keressük például az u bemenő jel és az y jel közötti<br />
w 2<br />
©<br />
w átviteli függvényt, csak u^ hatását tekintve (u^=0).<br />
121<br />
U-<br />
y
y = W<br />
2 2 (<br />
V y ) = w ( u<br />
l 2 2" w y ) = w<br />
l 2 (<br />
V w<br />
l y<br />
2 W<br />
3 )<br />
y~ w w<br />
— = , = (6.48)<br />
u_ I+w.w0w0 1+w^<br />
2 12 3 o<br />
Ennek alapján általános szabály is megadható. Az átviteli függvény<br />
számlálójában a bemenő és a keresett jel között a hatási rányban<br />
található átviteli függvények eredője, míg nevezőjében mindig az<br />
1+ W q kifejezés ál 1. W q a felnyitott kör átviteli függvénye. A + jel a<br />
negatív, a - jel a pozitív visszacsatolásra érvényes.<br />
6.8 ábra<br />
Ha pl. az y^ jelnek az u 1 -tői való függését akarjuk a átvitel i<br />
függvénnyé1 jellemezni, a szabály alapján:<br />
w = —t (6.49)<br />
h 1+w<br />
o<br />
Ha u^* 0 esetén keressük y^-t<br />
y.<br />
W<br />
l W<br />
2 U<br />
l<br />
2 1+w<br />
o<br />
+ W<br />
2 U<br />
2<br />
6.5 Folytonos idejű tag frekvencia átviteli függvénye<br />
Ha egy 1ineáris folytonos idejű tag bemenetére állandósult periodikus<br />
jel hat, amelyet u(jw)exp(jwt) formában í runk le íu(jw) az w-tól függő<br />
komplex amplitudó), akkor állandósult állapotban a kimenő jel<br />
(feltéve, hogy van állandósult értéke) is periodikus függvény, amely<br />
y(jüí)exp(jí*)t) alakú. A két jel közötti összefüggés<br />
w(Jw)=y(Jw)/u(Jw) (6.50)<br />
alakban adható meg. w(jw) abszolút értéke az y(ja>) és u(jw) jelek<br />
aöszo*^ . tekének hányadosa, míg szöge az y és u jelek közötti<br />
fáziseltolást mutatja. w(jw) a tag folytonos idejű frekvencia átviteli<br />
vagy röviden folytonos frekvencia függvénye.<br />
122
Mivel jw=s helyettesítéssel a (6.50) kifejezés megegyezik az átviteli<br />
függvény definíciójával, formailag w(jw) nem más, mint a folytonos<br />
idejű tag átviteli függvényének s=jw helyettesítéssel előálló értéke.<br />
Mivel pedig ez a helyettesítés a Laplace transzforrnáltból a Fourier<br />
transzforrnál tat ál 1ítja elő - amennyiben az létezik - a frekvencia<br />
átviteli függvény formailag a súlyfüggvény Fourier transzformáltja. Ezen<br />
kapcsolat következtében a w(jw) függvény a tag tranziens viselkedését is<br />
tükrözi.<br />
Ha a rendszert olyan új hatás éri, amely tranzienseket vált ki,<br />
kezdetben a nagyfrekvenciás, a későbbiekben a kisf rekvenc iás<br />
tulajdonságai dominálnak; az s=»jw=x> átmenet éppen az ál landósul t<br />
viselkedést tárja fel (6.20 egyenlet). Ez a minőségi kapcsolat azonban<br />
nem o1yan, hogy az idő- és a frekvencia tartomány között pontos<br />
mennyiségi összerendelést tenne lehetővé.<br />
6.5.1 Nyquist diagram<br />
A Nyquist vagy komplex amplitudó - körfrekvencia diagram (Nyquist plot)<br />
a w(jw) vektor helygörbéjét írja le a komplex sikon, ha az w paraméter<br />
az -co)=w( jw), az u>
vektorokat kellene azonos diagramban ábrázolni.<br />
Valójában csak szűkebb kiterjedésű görbeszakaszt lehet megfelelő<br />
léptékben ábrázolni, így fokozott jelentősége van annak, hogy a görbe<br />
menetéről nagyságrendi áttekintésünk legyen. Az i rány í t ás t echn i ka i<br />
gyakorlatban a legtöbb esetben amúgy is csak erre van szükség, a<br />
részletek legfeljebb szűkebb környezetben érdekesek.<br />
Rációnál is törtfüggvény ábrázolását megkönnyítik az alábbi<br />
megfontolások:<br />
a. ) Ha a számláló w-ban alacsonyabb fokú, mint a nevező, az ÜF=±SO pont<br />
az origóba kerül.<br />
b. ) Arányos típusú tagban az o>=0~hoz tartozó w(0) vektor a valós<br />
tengelyre esik, abszolút értéke a tag átviteli tényezője (6.11<br />
egyenlet k T).<br />
c. ) Az w=#co értékeknél a pol inomiál is formában f el írt átvitel i<br />
függvénynek (6.1 egyenlet) mind a számlálójában, mind a nevezőjében<br />
a legmagasabb hatványú tag dominál. s=jw helyettesítéssel:<br />
m (jw) m<br />
( . * m<br />
w(jw)= ~~—<br />
(jw)<br />
, ,<br />
, . .-(n-m)<br />
= m^ijo))<br />
(6.51)<br />
Mivel jo> fázisszöge H/2, nagy w-ra a w( jw) vektor fázisszöge<br />
annyiszor - FT/2, amennyi a számláló és a nevező fokszámkülönbsége.<br />
Ez pozitív egész szám (eset leg zérus), így w=#oo hat árát menet kor w( jw)<br />
valamelyik koordináta tengely mentén éri el a. w(oo) pontot (általában<br />
az origót).<br />
d. ) A (6.11 )-ben (ju>) a teljes u> tartományban valamelyik koordináta<br />
tengelyen mozog, fázisszöge állandó, a szöget Wp(jw) változtatja. Ha<br />
Wp-ben az összes időállandó és esi 1lapítási tényező pozitív előjelű,<br />
a rendszer minimum fázisú. Ekkor miközben D zérustól +oo-ig változik,<br />
az elsőfokú gyöktényezők fázisszöge O-tól ±TI/2-ig változik.<br />
Az eredő fázisszög az egyes tényezők fázisszögeinek összege (a<br />
számlálóban levőket pozitív, a nevezőben levőket negat ív előjel lel<br />
összegezve). A frekvencia tartományt 0 oo között befutva w(jw)<br />
vektora w^(jw) vektorához (a ki indulási helyzethez) képest annyiszor<br />
-TI/2 szöggel fordul el, amennyivel több ekvivalens elsőfokú<br />
gyöktényező van Wp nevezőjében, mint a számlálójában. Másodfokú<br />
tényezők két elsőfokúnak számítanak, a többszörös gyökökhöz tartozók<br />
a multiplicitassál azonos darabszámmal egyenértékűek.<br />
Nem minimum fázisú rendszerekben azok a gyöktényezők, amelyeknek<br />
negat ív időállandóik (másodfokú tényezőknek negat ív esi 1lapításai)<br />
vannak, a többiekhez képest ellenkező i rányú fáziseltolást<br />
okoznak. Az eredő fázise1fordulást a minimum és a nem minimum fázisú<br />
gyöktényezők fázisforgatásának az összegezése adja.<br />
e. ) A w( ja>) vektorok abszolút értékei sokszor a gyakorlati igényeket<br />
124
kielégítő pontossággal határozhatók meg a frekvencia függvénynek<br />
egyes frekvencia sávokra vonatkozó aszimptotikus közelítéséből,<br />
amelyek a Nyquist diagram menetéről is áttekintő képet adnak. Az<br />
aszimptotikus közelítés lényege az, hogy egy-egy gyöktényezőt vagy<br />
az o>=0 körül i, vagy az w=oo-re vonatkozó asz imptotájávai<br />
helyettesítjük. A kettő közötti határnak azt a frekvenciát<br />
tekintjük, amelyre a két közelítés azonos abszolút értéket<br />
eredményez. így pl-<br />
1+jWT =<br />
Másodfokú tényezőkre<br />
1 , ha orr < 1 , ill. ü)<br />
jü)T , ha WT > 1 , ill. ü)<br />
l+2Ct oJo> + T^(jw) 2 1 , ha ü) <<br />
2 2 1<br />
-ü) x , ha ü) > —<br />
o T<br />
(6.52a)<br />
(6.52b)<br />
(6.53a)<br />
(6.53b)<br />
A 6.10 ábra a számlálóban (a. ábra) ill.. a nevezőben ál ló (b.<br />
ábra) egyetlen elsőfokú gyöktényező helygörbéjét és annak aszimptotikus<br />
közelítését szemlélteti. A w(jw)=l+jwx helygörbéje a valós tengely + 1<br />
pontján átmenő, a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, amelynek w<br />
skálája egyenletes.<br />
©<br />
-táp-ej; B I<br />
©<br />
6.10 ábra 6.11 ábra<br />
Az b) < 1/x f rekvenc i ákra az aszimptot ikus közel ítés a valós tengelyre<br />
eső w(0)= 1 vektor, míg az w > 1/x frekvenciákra a képzetes tengelybe<br />
125
eső jü)T egyenes (mindkettőt vastag vonal lal jeleztük). A tényleges w( jw)<br />
vektorok kis és nagy frekvenciákon aszimptotikusan közelednek ezekhez az<br />
értékekhez. A két helyettesítés közötti határ az wx=l értéken van, ahol<br />
w( jo>) abszolút értéke V2, fázisszöge 45 . Ennél van a közel ítés<br />
hibájának a maximuma is. orr egyéb értékein a tényleges és a közel ítő<br />
értékek a 6.1 táblázat szerint alakulnak.<br />
ü) X 5 2 1 0,5 0,2<br />
|w| 5, 1 2,24 1,41 1, 12 1,02<br />
W -DT<br />
a<br />
w = 1<br />
a<br />
5 2 1<br />
1 1 1<br />
egyenlet szerinti alakban van szükség. Az eljárást a 6.5 példa keretében<br />
mutatjuk be.<br />
Holt idős tag frekvencia függvénye<br />
w( jw) = e ; |w| = 1 ; 1 tartományban - igen erősen módosítja. a)T^= 1 -nél (p = -1 radián,<br />
azaz -57,3°.<br />
6.4 példa<br />
Számítógépes eljárás a Nyquist diagram meghatározására<br />
A MATLAB-ban a nyquist utasítás kiszámítja a w(ju) frekvencia függvény<br />
valós és képzetes részét különböző pozit ív w frekvenciákon. Az CJ<br />
értékéket elő lehet írni, de az utasítás automatikusan is képes<br />
generálni azokat.<br />
A paraméterezéstől függően akár az ál lapotegyenlet paraméter<br />
mátrixaival, akár az átviteli függvény együttható polinomjaival el lehet<br />
végezni a számításokat.<br />
Az utasítás a holtidőt nem tudja kezelni. Holt idős tagot csak úgy lehet<br />
figyelembe venni, hogy a kiszámított valós és képzetes részekből<br />
meghatározzuk w(jü>) vektorát, módosítjuk a fázisszögét -wT^-val, majd az<br />
eredményt valós és képzetes alakban adjuk meg. Ehhez a műveletsorhoz<br />
használhatók az abs; angle; unwrap; real; imag utasítások.<br />
A frekvencia értékek a 1inspace és a logspace utasításokkal<br />
generálhatók. £z első 1ineárisan, a második logaritmikusan egyenlő<br />
iépésközű frekvencia értékeket ad az előírt határok között.<br />
A diagramot az utasítás vagy automatikusan ábrázolja, vagy a plot<br />
utasítással kell a valós rész függvényében a képzetes részt és annak<br />
negat ív ját (negatív o>) is felrajzoltatni .<br />
6.5 Példa<br />
Határozzuk meg a<br />
w(s) = 10<br />
l+2s<br />
(l+10s)(l+0,6s+(0,5s) 2<br />
) (6.55)<br />
átviteli függvényű tag Nyquist diagramját.<br />
A görbéről nagyvonalú áttekintést úgy kaphatunk, ha az egyenletben s=jo><br />
helyettesítés után w-val 0-tól +oo felé haladva a számláló ill. a nevező<br />
127
egyes tényezőit az adott frekvenciának megfelelő aszimptotával<br />
helyettesítjük. A közelítésben akkor következik be változás, amikor a<br />
körfrekvencia át lépi azt az értéket, ame1yné1 valamelyik tényezőben<br />
aszimptota váltásra kerül sor. így négy frekvencia tartományt<br />
különíthetünk el. Ezekben a w( jo>) függvény aszimptotikus közel ítését,<br />
annak amplitudó és szög értékeit a 6.2 táblázat tartalmazza.<br />
w( jü>) IvMjw) |<br />
a 0 - 1/10 10 10 0<br />
b 1/10 - 1/2 10/10 jo> l/ü) -90<br />
c 1/2 - 2 20 jcj/10 ju 2 0<br />
d 2 - o o 2 /(0,5jw) 2 2<br />
8/CÜ<br />
6.2 táblázat<br />
^a<br />
-180<br />
A görbe (6. 12 ábra) o>=0-nál a pozitív valós tengelyre eső w(0) = 10<br />
értékből indul. u> növekedésekor ehhez képest először a nevező első<br />
tényezőjének hatása érvényesül, amely a w(jw) vektort a negatív<br />
fázisszögek irányába fordítja. így a vektor kezdetben nagyjából állandó<br />
(a szakasz), majd az w=0, 1 frekvencia át lépése után w-val arányosan<br />
csökkenő amplitúdóval (b szakasz) a negatív képzetes tengely irányába<br />
fordul (=2~nél a nevező második<br />
tényezőjében a (0,5j(*>) tag vál ik dominálóvá. Ennek hatására a vektor<br />
Ü) -tel arányosan csökkenő amplitudóval a negatív valós tengelyhez tart<br />
(d szakasz) és onnan fut be az origóba.<br />
6.12 ábra 6.13 ábra<br />
128
6.6 példa<br />
Határozzuk meg a nem minimálfázisú<br />
W ( S )<br />
= rPIÖiT(Í°4s)(U2s)<br />
átviteli függvény Nyquist diagramjának menetét.<br />
Í 6 S 6 )<br />
'<br />
s=jü)=0~nál a görbe a negat ív valós tengelyre eső w(0)=-10 vektor<br />
végpontjából indul. Először a nevező első - nem minimálfázisú tényezője<br />
vál ik dominálóvá, ami a w(jw) vektort ki indulási helyzetéhez képest<br />
pozitív szöggel forgatja el, így az kezdetben közel állandó, majd az<br />
w=0, 1 frekvencián történő aszimptota váltás után w-val csökkenő<br />
amplitúdóval a negatív képzetes tengelyhez közelít (6. ÍJ ábra a és b<br />
szakasz). A frekvencia további növekedésekor a nevezd másik két<br />
tényezője ís aktivizálódik, és mindkettő negatív fáziseltolást okoz.<br />
Ennek hatására először a görbe a negat ív valós tengelyhez közelít (c.<br />
szakasz), majd a frekvencia minden határon túli növekedésekor a pozitív<br />
képzetes tengely irányából fut be az origóba (d.szakasz).<br />
6.5.2 A frekvencia diagram származtatása konform leképezéssel<br />
A w(s) komplex változós függvény az s komplex tárgysík vektorait a w<br />
képsík vektoraiba viszi át. A leképezés során az s sík zárt görbéi (g^)<br />
a w síkon is zárt görbékbe mennek át (6.14a ábra ). Ha a g 1 görbe maga<br />
a képzetes tengely (ez zárt görbe, mert a komplex számsíknak csak<br />
egyet len oo pontja van, függetlenül attól, me 1 y i k irányból közei í t jük),<br />
akkor a leképezés eredménye a w(ju>) zárt Nyquist diagram (b ábra).<br />
A leképezés az s sík o1yan pontjaira, amelyekben a w(s) függvény<br />
szinguláris, nem értelmezhető. Ezért az ilyen pontokon a g^ görbével<br />
nem szabad keresztülhaladni, hanem reguláris környezetükben meg kel 1<br />
kerülni azokat. Vizsgáljuk pl, a<br />
w(s) = l/s (6.57)<br />
függvény frekvencia diagramját. Mivel a függvénynek az s=0 pontban<br />
szinguláris helye van, a g 1 görbével az s sík origóját - pl. egy<br />
tetszőlegesen kis r sugarú körrel - meg kell kerülni.<br />
Á P és P 2 pontok között tehát a görbe a képzetes tengelytől<br />
eltérő k körön halad (-90° és +90° közé eső változó a görbén - co-től a<br />
pontig változik, a w sík origójából ki indulva a pozitív képzetes<br />
tengelyt futja be a P^ pontig. Amikor az s a (6.58a)-nak megfelelő<br />
szakaszra kerül, akkor<br />
129
w(s)= — = _I e-J* = R e-J»<br />
r<br />
(6.58b)<br />
az R sugarú k' körön a negatív szögek irányában éri el a negatív<br />
képzetes tengelyen fekvő P^ pontot, amely az s sík P^ pontjának a<br />
leképezése (c ábra). Innen pedig a g^ görbe P^ és + co közötti<br />
szakaszának képeként a negatív képzetes tengely mentén fut be az<br />
origóba. A k' körív R sugara r=*0 esetében minden határon túl nő, a<br />
Pj' és P^' pontok megközel ít ik a w=co pontot. A k' körív azt mutatja,<br />
hogy a frekvencia diagram a szinguláris w(co) pont környezetében hogyan<br />
záródik. (Esetünkben úgy, hogy w jobboldali félsíkját foglalja magában.)<br />
s sík w sík s sik wsík<br />
6.14 ábra<br />
A d ábra annyiban különbözik a c-től, hogy itt a g^ görbe ellentétes<br />
i rányban úgy kerüli meg az s sík origóját, hogy azt a jobboldal i<br />
félsíkhoz sorolja. Ekkor a w(jw) görbe úgy záródik, hogy a w sík<br />
130
aloldali félsíkja kerül a görbe belsejébe.<br />
A konform leképzéssel ilyen módon akkor is eldönthető, hogy a w(jw)<br />
görbe mit zár körül, amikor arra a 6.5 és 6.6 példákban követett<br />
gondo1atmenet nem tud válaszolni.<br />
6.7 példa<br />
Egy tag átviteli függvénye<br />
w(s) =<br />
1<br />
s 2<br />
(l+s)<br />
Határozzuk meg a Nyquist diagramot.<br />
s sík w sík<br />
2<br />
4P,<br />
6,15 ábra<br />
(6.59)<br />
Az s=0 a függvénynek kétszeres szinguláris helye. A konform leképezésből<br />
ezt a pontot a g 1 görbe segítségével kirekesztve (6.15 ábra) a w(jw)<br />
képgörbe a P^-P^ pontok közötti körívből és a Pp t=*Pj közötti növekvő ca<br />
irányába befutott szakasz<br />
helyettesítéssel a (6.59)-bői<br />
w(jü)) =<br />
2<br />
(jw) "(1+jw)<br />
•jcj<br />
leképezéséből. tevődik össze. s=jt*><br />
(6.60)<br />
A P 0 pontnak megfelelő kis pozitív u> értékből kiindulva a>-t növelve a<br />
w(j(4)) görbéje negatív valós és pozitív képzetes résszel közeledik az<br />
origóhoz, majd ü>=oo-né 1 a w=0 ponton áthaladva az előző görbeszakasz<br />
(negatív 0-nak megfelelő) tükörképén éri el a P^' pontot.<br />
131
A ' és P^' pontok közötti zárószakasz a és P^ közötti r sugarú<br />
kört leíró (6.58a) egyenletnek a (6.59)-be helyettesítéséből adódik. Ha<br />
r elegendően kicsi, a nevező második tényezője első közelítésben<br />
figyelmen kívül hagyható. Ekkor<br />
W ( S) = e" 2<br />
^ = R e" 2<br />
^<br />
r<br />
( 6 6 1 )<br />
Miközben az s síkon a ) = w(o>) e 3) függvény abszolút értéke (gain), =arctg OJT (6.65a)<br />
log w=log<br />
. 2 2<br />
1+0) T (6.65b)<br />
A görbék a 6. 16a ábrán láthatók. Az ampl i tudó görbe az u> < 1/T<br />
frekvenc i ákon a k i sfrekvenc i ás, a fölött a nagyfrekvenc i ás<br />
132
aszimptotájávai közelíthető, ami a (6.52) egyenletnek felel meg.<br />
log w = 0, ha UT < 1; log w = log OJT , ha Ü>T > 1 (6.66a-b)<br />
Az első vízszintes egyenes (esetünkben az egységnyi erősítés 0 dB-es<br />
tengelye), a másik olyan egyenes, ame11ye1 egy nagyságrendnyi amplitudó<br />
növekedés egy nagyságrendnyi frekvencia növeléssel érhető el, tehát<br />
meredeksége (1). Egy nagyságrendnyi frekvencia tartományt dekádnak<br />
nevezve az egységnyi meredekség 20 dB/dek formában is megadható.<br />
A b ábrán a<br />
6.16 ábra<br />
w(Jw)= -yr^r- (6.67)<br />
átviteli függvény Bode diagramja látható. Az a ábrához képest annyi a<br />
különbség, hogy a nagyfrekvenc i ás aszimptota meredeksége -1<br />
(-20dB/dek).<br />
A fázisszög a két esetben 0 és +90° ill. 0 és -90° között változik. Az<br />
w=l/x ill. o=l/T pontokban értéke +45° ill. -45°.<br />
Másodfokú gyöktényező nagyfrekvenc i ás aszimptotájának meredeksége a<br />
133
(6.53b) szerint az elsőrendűnek a kétszerese ((±2) ill. ±40dB/dek).<br />
Alkalmazástechnikailag sokkal előnyösebb, ha úgy fogjuk fel, hogy az<br />
amplitúdó diagramot kétszer logaritmikus (loglog), a fázisdiagramot<br />
egyszer logaritmikus (semilog) papíron ábrázoljuk és a koordináta<br />
tengelyekre a frekvencia, az amplitudó és a fázisszög tényleges értékeit<br />
tüntetjük fel. Ha ily módon mellőzzük a logaritmikus ill. a decibelben<br />
kifejezett értékek használatát, az aszimptotikus diagram kezelése<br />
fejszámolásra, az ábra maga i1lusztráció szintjére egyszerűsödik.<br />
Több gyöktényezős amplitudó diagram szerkesztésekor az egyes tényezők<br />
meglehetősen áttekinthetetlen szuperponálása helyett nagyvonalú<br />
tájékozódáskor előnyösebb a 6.6 és 6.7 pé1dákban alkalmazott<br />
aszimptotikus technika.<br />
6.8 példa<br />
Számítógépes eljárás a folytonos idejű rendszer Bode diagramjának<br />
meghatározására<br />
A MATLAB a bode utasítással számítja ki o> függvényében a w és < 0, 1 frekvenciákon a<br />
függvény w=10 állandó értékkel helyettesíthető (6.2 táblázat a szakasz).<br />
A 0,1 és 0,5 közötti frekvenciákon a nevező első tagjának<br />
nagyfrekvenciás közel ítése dominál, így a w--t egy egységnyi negatív<br />
meredekségű egyenes ábrázolja. Ez u>=0,S-nél a számláló belépése miatt<br />
w=2 értékkel vízszintessé, majd LŰ = 2-nél a nevező másodfokú tényezője<br />
miatt -2 meredekségűvé (-40 dB/dek) válik.<br />
A pontos diagramot a MATLAB-bal kiszámítva, abban feltüntettük az<br />
aszimptotikus közelitéseket is. Az eredményt a 6.17 ábra mutatja.<br />
/z Ű). c vágási frekvencia, aho 1 az ampl itudó egységnyivé vál ik, a d<br />
szakaszon van. Közelítő értéke a 6.2 táblázat szerinti aszimptotikus<br />
közelítésből<br />
134
6.17 ábra<br />
A fázisszögre az aszimptotikus közelítés nem ad kielégítő eredményt, azt<br />
legegyszerűbb az egyes tényezőkből kiszámítani. A (6.54) egyenletből<br />
s=jo> c=j2, 83 helyettesítéssel:<br />
)= 6<br />
'<br />
2 > 8 3<br />
(0,5-2,83) 2<br />
-l<br />
6.5.4 összefüggés az amplitúdó és a fázisdiagram között<br />
Amint az a 6. 2 táblázatból kitűnt, w(jw) aszimptotikus közelítése mindig<br />
egy jwT alakú kifejezés egyik hatványa. Az n hatványkitevő pozitív vagy<br />
negatív egész szám ill. zérus lehet.<br />
Minimumfázisú rendszerben az aszimptota fázisszöge egyértelműen<br />
összerendelhető ezzel a hat ványk i t evőve1. ±n-hez ugyanis ±n90°<br />
aszimptotikus fázisszög tartozik.<br />
Mivel az aszimptotikus Bode amplitudó diagram meredeksége is ±n, az<br />
egyes szakaszok meredekségébő1 egyértelműen következik a szakasz<br />
aszimptotikus fázisszöge is (pl. (-2) meredekségnél -180°, stb.). A<br />
meredekségváltozást okozó töréspontokban a fázisszög aszimptota is<br />
ugrik.<br />
135<br />
) =
Nem minimumfázisú rendszerben az aszimptot ikus amplitudó és<br />
fázisdiagram összerendelése eset i. Az amplitudó diagram azonos<br />
meredekségű szakaszaihoz még ugyanazon diagramon belül is különböző<br />
aszimptot ikus szögértékek tartozhatnak, sőt az is előfordulhat, hogy egy<br />
állandó meredekségű szakaszon belül ugrik az aszimptot ikus szög. Ezért<br />
meg kel 1 különböztetni a töréspontokat - ahol meredekség változás<br />
következik be - a sarokpontoktó1, ahol a fázisszög aszimptota változik.<br />
A sarokpont az általánosabb, mert a másikat is magába foglalja.<br />
A fázisszög általában különbözik az aszimptot ikus értékétől. Az<br />
eltérésre elvileg az átviteli függvény valamennyi gyöktényezője - ill.<br />
az azokat az aszimptotikus amplitudó diagramban megjelenítő sarokpont -<br />
hatással van.<br />
A 6. 1 táblázat ill. a 6. 18 ábra szerint egyet len egyszeres - ±90°<br />
fázisszög ugrást okozó - sarokponttól származó A
6.10 példa<br />
Határozzuk meg az 6.6 pé1dában tárgyalt nem minimálfázisú rendszer<br />
aszimptotikus amplitudó diagramját, és becsüljük meg ennek alapján az<br />
o>=0, 2 pontban a fázisszög értékét.<br />
Az ttKO, 1 frekvenciákon az aszimptot ikus közel ítés w(ju>) ~ -10. Ennek<br />
amplitudója w=10, fázisszöge -180 . Az o>=0, 1 sarokpontban ezek a nevező<br />
első tényezőjének aszimptota váltása következtében w=1/ü> és ^=-9Q°-ra<br />
módosulnak. A nevező második és harmadik tényezőjének aktivizálódását az<br />
u>=0, 25 ill. ü)=0, 5 f rekvenc iákon kialakuló sarokpontok jelzik, amelyekben<br />
a fázisszög aszimptoták -180 ill. -270 -ra változnak. Az aszimptotikus<br />
amp1itudó diagramot a 6. 19 ábra szemlélteti, Az egyes szakaszokon<br />
feltüntettük a megfelelő aszimptotikus fázisszög értékeket, valamint<br />
zárójelben a szakasz meredekségét is.<br />
Az o>=0,2 frekvencián az aszimptotikus fázisszög -90°. Ezt kel 1 a három<br />
sarokpont hatásával korrigálni. Az o>=0, l-es sarokpontban a szög<br />
aszimptota +90°-kal (pozitív irány) változott, így ennek hatása az 1:2<br />
távolságban levő w=0,2 pontban
6.6 Diszkrét idejű tag frekvencia átviteli függvénye<br />
Diszkrét idejű tag w^Cjw) frekvencia átviteli függvénye a w d(z)<br />
impulzusátviteli függvényből<br />
helyettesítéssel származtatható.<br />
(6.68)<br />
w^(jű>) az IÚ változónak transzcendens függvénye, ezért a frekvencia<br />
diagram menetéről gyors áttekintést adó aszimptotikus közelítés<br />
közvetlenül nem alkalmazható.<br />
így bár a z transzforrnáltbó1 a tag diszkrét idejű Fourier spektruma zárt<br />
kifejezésben rendelkezésre ál1, az nem tükrözi eléggé szemléletesen sem<br />
a frekvencia görbe menetét, sem a folytonos és a diszkrét idejű jelek<br />
frekvencia spektrumai közötti összefüggést.<br />
6.6.1 A mintavételezett jel frekvencia spektruma<br />
Jelölje y(jo>) egy folytonos idejű y jel frekvencia spektrumát<br />
ábra). A T g időközönkénti mintavételezéssel előál1ított y^ jel<br />
frekvencia spektruma a 6.11 pé1dában bemutatott eljárással az<br />
alakban fejezhető ki:<br />
y d(j
6.11 példa<br />
A ..-hv^'te 1<br />
r ! es. jel<br />
1<br />
y (j CŰ)<br />
-2a -Q. o a 2Q<br />
v ^ L w n c a ? ^oekt.~umana^<br />
6.20 ábra<br />
raefhatározása<br />
A ii. ntavet-^ c-?t s o 5<br />
< c-.i< a i r v ^ « v-ud;. moouiár ióoc 1 s/ár naztalható, amikor az<br />
y foly* oros í cs j" jelet egyiegr; 5 t^ru 1<br />
eti' t szélességű egymást T<br />
s<br />
í d c K ö ^ ö T k e i m' -'c v ő * mpu" vuso- i u. ^' \" - inpuLai^ ^orozautal szorozzuk<br />
iB, 21 a-b ábra).<br />
a~ y jei^e'^ e L a,b v<br />
a f/z^r < n i a c~C nont bar. vU" ' jg^áss. *.s lehet.<br />
h srorzás -d' >üpyt ol„ar „mpu3 z: ^ sorozni, a i n e i v - x i az nT^ pillanatban<br />
az<br />
s<br />
ereié' '
teljesen az u^ mintavételes sorozattal, hanem<br />
y<br />
Md = yI=y y(0) őCt); ~ Í (6.70a)<br />
i1 letve<br />
y<br />
d =<br />
\ y ( 0 ) ő ( t ) + y 1<br />
(6.70b)<br />
Helyettesítsük I-ben is az impulzusokat Dirac függvényekké1 és képezzük<br />
az így előálló T periódusidejű periodikus függvény Fourier sorát.<br />
oo * jnOt<br />
1= £ c e<br />
u<br />
n<br />
n=-oo<br />
6.21 ábra<br />
ahol fi az ismétlődési (mintavételezési) körfrekvencia<br />
0=2n/T .<br />
140
A komplex amplitudó minden n-re:<br />
T /2<br />
-jnfit<br />
V=T<br />
S<br />
í ^ d t = í n T<br />
S<br />
s -T /2<br />
s<br />
Az integrálási tartományban ugyanis I-nek egyetlen Dirac impulzusa van,<br />
amely a t=0 pontot kivéve mindenütt zérus, ott viszont egységnyi<br />
területű. Az integrandus második tagja pedig ugyanitt exp(0)=l.<br />
Ezzel a (6.70b)-ből<br />
f n l<br />
00<br />
jnQt<br />
yd= ^ ő (t) + E e (6.71)<br />
s n=-«<br />
Jelöljük y(jw)-val a folytonos idejű frekvencia spektrumot (6.20a ábra)<br />
és képezzük a (6.71) egyenlet Fourier integrálját (y^(jw)).<br />
jwt<br />
y d(Jw) = J y d e dt<br />
A műveletet tagonként végezzük.<br />
-oo<br />
j ygl 8lt) e<br />
J u t<br />
d t = y t o i ( 6 . 7 2 a )<br />
1 f ±jnfi jwt 1 f j(w±nfi)t<br />
-y- J y e u<br />
e° dt = -=- J y e dt =<br />
S -oo S -oo<br />
= -~- y(jcj±jnfi) (6.72b)<br />
s<br />
y( jo>± jnfi) az y( jw) folytonos jelű frekvencia spektrum ±nfi-val való<br />
eltolásával jön létre.<br />
A mintavételezett jel frekvencia spektruma az egyes tagok összege, amely<br />
megegyezik a (6.69) egyenlettel.<br />
6.6.2 A visszaállított jel spektruma<br />
Je1vi sszaál1í táskor a mintavételezett jel y^(jw) spektrumából<br />
igyekszünk valamilyen szűrési eljárással kiválasztani a folytonos idejű<br />
jel y(jw) spektrumát. A 6.20c ábra tanúsága szerint ez általában nem<br />
oldható meg tökéletesen, mert az y(jw)-val arányos főeloszlásból<br />
141
származó összetevő - amelynek különválasztása lenne az ideális megoldás<br />
a járulékos<br />
görbe).<br />
eloszlásokból származó részekkel együtt jelentkezik<br />
(y H<br />
Egyes frekvenciatartományok kiszűrése az ábrán egy ideál is szűrővel a<br />
főeloszlást is csonkítja. A megmaradó spektrum még y(0)=0 esetén is<br />
különbözik y(jw)-tól, mivel abban az oldalsávok hatása is jelen van. A<br />
frekvenciatarto mányban így tükröződik az időtartományban triviális<br />
jelenség, hogy a mintavételezett jel információtartalmából általában nem<br />
lehet a mintavételi pontok közötti jelenségekre következtetni. A feladat<br />
közelítő megoldására használt szűrő - a tartószerv - frekvencia<br />
karakter i szt i kajának az o>=0 és 0/2 között i sávban nagyjából alakhű<br />
átvitelt és T^-szeres erősítést, nagyobb frekvenciákon viszont erőteljes<br />
szűrést kel 1 biztosítania.<br />
A szűrési karakterisztika pontos alakja attól függ, hogy a<br />
visszaál1ított jel y (jo>) spektruma milyen módon közelíti y(jw)-t. A<br />
Jrl<br />
különböző rendszámú tartószervek ebben különböznek egymástól.<br />
A magasabbrendű tartószervek a nagyobb frekvenciákat erőteljesen<br />
elnyomják, ezért a visszaál1ított jel nem követ i y( t) hirtelen<br />
változásait.<br />
A zérusrendű tartószerv a nagyobb frekvenciákat mérséke1tebben szűri, de<br />
nagyobb torzítást ad a kisebb frekvenciájú összetevőkben is.<br />
Minél kisebbek y(jw) függvényében a nagyfrekvenciás összetevők és minél<br />
nagyobb 0, annál kevésbé fedik át egymást a fő és a járulékos<br />
eloszlások, és y(0)=0 esetén az o> < 0/2 tartományban annál inkább<br />
helytál ló az<br />
y d(jw) ~ i y(j«) (6.73)<br />
s<br />
közelítés. Ha y(jw) spektruma csak a közé eső véges tartományra<br />
terjedne (6.22a ábra), elegendően nagy 0 esetén az oldalsávok teljesen<br />
elkülönülnének és nem befolyásolnák a fősáv eloszlását, amely így<br />
arányos lenne y( jw)-val. Ekkor mód nyí Ina y( j 2c^) s tehát még a<br />
hat ár f re kve nc i ás összetevőből is periódusonként kettőnél több mintát<br />
kel 1 venni (b ábra).<br />
2. ) A visszaál1ítást olyan ideál is aluláteresztő szűrő végzi, amely az<br />
w< u). sávot T -szeres erősítéssel torzítatlanul viszi át, az 0/2<br />
h s<br />
felett i tartományt pedig tökéletesen szűri (c ábra). Ekkor az<br />
142
y^Cjo>)-ból kivágott spektrum (y(0)=0) éppen y(ju>)-val egyezne.<br />
A Shannon tételek a valóságban elő nem ál1ítható elméleti határeset<br />
megfogalmazásai. Egyrészt hartárfrekvenciája csak állandósult véges<br />
számú harmonikus tagból ál ló jelnek van. Egyoldalas (valamikor<br />
bekapcsolt) jel frekvencia spektruma sohasem korlátozódik a véges<br />
frekvencia tartományra. Másrészt az ideál is aluláteresztő szűrő<br />
karakterisztika is csak megközelíthető. Ezért a mintavételezett jel<br />
teljes hűséggel nem rekonstruá1ható, az elszenvedett információveszteség<br />
annál kisebb, minél jelentéktelenebb része esik az y(ju>) spektrumnak<br />
az o) > 0/2 tartományba.<br />
6.22 ábra<br />
143
6.6.3 Diszkrét frekvencia átviteli függvény<br />
A 6.6.2 pont eredményeiből a diszkrét frekvencia átviteli függvényre az<br />
alábbi következtetések vonhatók le.<br />
1. ) A w^(_ja>]_ frekvencia átviteli függvény egy mintavételezett jel - a<br />
diszkrét súlyfüggvény - frekvencia spektruma, ezért a frekvencia<br />
tartomány fi "szélességű sávjaiban periodikusan ismét lődik. A<br />
frekvencia diagramot elegendő a -ÍI/T s<br />
n/T fősávban<br />
s<br />
meghatározni.<br />
2. ) A diszkrét súlyfüggvény a tag diszkrét idejű model1 jenek válasza<br />
egyetlen egységnyi területű Dirac függvényből ál ló bemenő<br />
impulzussorozatra. Ha a tag folytonos idejű, diszkrét idejű modellje<br />
a tartószervet is magában foglalja.<br />
3. ) Példaképpen egy folytonos idejű<br />
©<br />
w(s)<br />
1<br />
1+sT<br />
átviteli függvenyű tag w folytonos idejű és diszkrét idejű<br />
súlyfüggvényeit a 6.23 ábrán hasonlítjuk össze. Dirac delta<br />
bemenetre a folytonos idejű model1 (a ábra) kimenő jele - a<br />
folytonos idejű súlyfüggvény w(0)=l/T 1 kezdeti értékből induló,<br />
1<br />
időállandóval exponenc iáii san lecsengő görbe. Ennek<br />
mintavételezése exponenciálisan csökkenő területű impulzusok<br />
sorozata lenne.<br />
w<br />
6.23 ábra<br />
y*w H<br />
y d-" w d<br />
A K zérusrendű tartószervvel kiegészített diszkrét idejű model1ben<br />
(b ábra) a tartószerv a bemenő Dirac impulzust egy T g szélességű<br />
144
egységnyi amplitúdójú négyszög impulzussá alakítja, amelynek<br />
hatására a tag kimenetén w folytonos idejű jel jön létre. Ez O-ból<br />
indul (w H(0)=0), a t=Tg időpontig az l-exp(-T^/Ts) értékig<br />
növekszik, majd a bemenő jel megszűntével időállandójú<br />
exponenciális görbe szerint esillapodik.<br />
mintavételezett alakja a w^=w^ diszkrét idejű súlyfüggvény.<br />
ami nem azonos a folytonos idejű súlyfüggvény mintavételezett<br />
formájával (Pl. w,(0)=0; w.íOM/T, ).<br />
* d d 1<br />
4.) A 3. -ból következik, hogy a folytonos idejű tag w^( jo>) diszkrét<br />
frekvencia átviteli függvénye. ha a fősávon belül az oldalsávok<br />
hatása e1hanyago1ható, nem a tag w(jw) folytonos frekvencia átviteli<br />
függvényével, hanem a w (joO • w( jcj) függvénnyé 1 arányos, ahol w TT( ju>)<br />
rí rí<br />
a tartószerv frekvencia átviteli függvénye.<br />
6.6.4 A diszkrét frekvencia átviteli függvény kisfrekvenciás<br />
helyettesítése<br />
Ha feltételezzük, hogy a diszkrét spektrumban az oldalsávok hatása a<br />
fősávban elhanyagolható - ami helyesen kiválasztott mintavételezési<br />
lépésköznél csaknem mindig megtehető - a diszkrét frekvencia átviteli<br />
függvény az |o>|)~w f (jo>) (6.74)<br />
folytonos átviteli függvénnyel helyettesíthető, amelynek könnyen<br />
áttekinthető a frekvencia menete, mert alkalmazhatók rá az aszimptotikus<br />
közelítések.<br />
Ha ismerjük annak a folytonos idejű tagnak a w(s) átviteli függvényét,<br />
amelyből a w d(z) impulzusátviteli függvény származtatható, akkor a<br />
6.6.3/4 ppnt szerint a helyettesítő függvény a w^(s)w(s)<br />
kisfrekvenciás közelítése. Figyelembevéve a (4.1) és a (6.73)<br />
egyenleteket s=jo> rövidítéssel<br />
-sT<br />
, . 1 l-e ( .<br />
W d( S) = ^ W(B)<br />
(6.75a)<br />
Az exponenciális függvényt Taylor sorának első három tagjával<br />
helyettesítve.<br />
1-U-sT +s 2<br />
T 2<br />
/2) sT -sT /2<br />
wd(s)= ~ w(s)= (1- ^ ) w(s) ~ e<br />
S<br />
w(s)<br />
s<br />
(6.75b)<br />
A kisfrekvenciás tartományban a diszkrét idejű modell a folytonos idejű<br />
modelltől egy T^/2 holt idejű holtidős^ taggal különbözik.<br />
145
Ha w{s) nem ismert, vagy w^Cz) nem egy folytonos idejű tag diszkrét<br />
modelljéből, hanem diszkrét műveletből - pl. a szabályozási<br />
algoritmusból - származik, a w^(z) (6,24b) szerinti alakjában a<br />
gyöktényezőket egyenként lehet kisfrekvenciás közelítésükkel<br />
helyettesíteni. A (6.75b) kapcsán kézenfekvő az a feltételezés, hogy a<br />
helyettesítés egy folytonos gyöktényezőből, egy ho11idő jellegű<br />
időeltolásból (fáziseltolásból) valamint egy olyan arányossági<br />
tényezőből ál 1, amely u=Ö (z=l) frekvencián az eredeti és a közelítő<br />
formulát azonossá teszi. Pontosabban úgy fogalmazhatunk, hogy w^(z)<br />
egy-egy gyöktényezőjét az s=0 pont körüli Taylor sorával helyettesítjük.<br />
A Taylor sor a helyettesítés pontosságától függő számú s változós<br />
gyöktényező szorzataként is előállítható. A legnagyobb időállandójú<br />
tényezőt kiemelve a többit egyetlen holtidő jellegű fáziseltolásba<br />
vonjuk össze (a holtidő itt általános értelemben pozitív vagy negatív<br />
irányú időeltolást is jelenthet).<br />
Legyen w^(z) valamelyik pólusa vagy zérusa q, a megfelelő gyöktényező<br />
frekvencia átviteli függvénye s=jw ill. z=exp(jwT^) rövidítéssel<br />
sT<br />
w^(z) = z-q = e - q (6.76)<br />
A w (s) kisfrekvenciás közelítés az s=0 pont környezetében meg kel 1<br />
q<br />
hogy egyezzék a z=l helyettesítéssel (vagy határátmenettel) kapott<br />
értékkel. Ennek megfelelően q-tól függően a következő eseteket kell<br />
megkülönböztetni:<br />
1. ) q valós szám.<br />
sT<br />
w q(s)< = (l-q)(l+sT )e<br />
(6.77a)<br />
T T<br />
T = - — — ; T, = S<br />
In q 1+ /q<br />
0<br />
(6.77b-c)<br />
Ha q olyan diszkrét pólus, amely egy folytonos pólusból a (6.24c)<br />
egyenlettel származtatható,. a (6.77b) formula a folytonos pólus<br />
időállandóját adja vissza, hiszen ekkor:<br />
s.T T<br />
í s _ s 1 _<br />
q = e ; T = - = - — = T.<br />
q s. i<br />
i n q 1<br />
(6.78a-b)<br />
így a kisfrekvenciás tartományban a mintavételezés hatása - a<br />
(6.75b)-vei egyezően - egy járulékos fáziseltolásban mutatkozik,<br />
amelyből a vizsgált tényezőre jutó hányadot a T^ járulékos<br />
időeltolás reprezentálja.<br />
2.) cél.<br />
146
Az 1.) határesete<br />
Z )<br />
V<br />
= Z<br />
~ X<br />
(6.79a)<br />
Az s=0-nál felvett értéket a (6.76)-ból határátmenettel képezve<br />
sT<br />
w (s) = sT e ; T =T /2 (6.79b)<br />
q s a s<br />
3. ) q negatív szám: q=-g, ahol g pozitív.<br />
w ( z) = z+g (6.80a)<br />
dq<br />
s T<br />
d<br />
T<br />
s<br />
w (s) = (l +g) e ; T d= — ^ Q g (6.80b-c)<br />
1+g<br />
I1yenkor q~nak nincs folytonos megfelelője, a tényezőt tiszta<br />
fáziseltolás helyettesíti.<br />
4. ) q komplex szám.<br />
Ekkor q-nak és konjugáltjának (q) gyöktényezői mindig együtt<br />
fordulnak elő, így másodfokú gyöktényezővé vonhatók össze.<br />
q = q 2 + Jq2 - e S<br />
W<br />
dq<br />
aT jbT<br />
e S<br />
( z ) = ( z<br />
~ q ) (z q} = z 2<br />
"~ ~ 2 (<br />
z + +<br />
í 1<br />
= z 2<br />
- 2 z e S<br />
w (s) = (l-2q, + q<br />
2<br />
% =<br />
aT 2 a T<br />
cos bT + e S<br />
s<br />
+ q 2<br />
) (1+2CT s+s 2<br />
sT<br />
( 6 8 1 )<br />
(6.82)<br />
T 2<br />
) e , .<br />
q i l 2 o o tb.öJJ<br />
. Inq c<br />
a+jb = — ?<br />
s / a +b<br />
O 2 . 2<br />
a +b<br />
2T<br />
2 . 2<br />
147<br />
•7,<br />
/ 2 ~ 2<br />
v a +b<br />
21 (6.84a-e)<br />
aT
A közelítések hibája az u> < 1/T s tartományban bT g < 2 esetében<br />
amplitudóban még a másodrendű gyöktényezőben is 10%-on belül van<br />
(elsőrendű gyöktényezőben általában ennél kedvezőbb), míg a szögben a<br />
legkedvezőtlenebb wT* s= 1-nél ~ 2°-3°.<br />
A T d~re közölt formulák empirikusak.<br />
Ha az impulzusátvitefi függvény összes gyöktényezőjét az ismertetett<br />
közelítő formulákkal helyettesítjük, végül is a diszkrét frekvencia<br />
átviteli függvény az u> < 1/T g frekvenciákon<br />
~ J w T<br />
h<br />
w d(J») ~ w(» e ( 6 8 5 )<br />
alakú kifejezéssel helyettesíthető, ahol w(jw) egy folytonos frekvencia<br />
átviteli függvény időállandós alakja, pedig az eredő holtidő, amely<br />
az eredeti holtidőből és az egyes tényezők járulékos időeltolásaiból<br />
(T ,) tevődik össze.<br />
d<br />
Ha w^(z) egy w(s) átviteli függvényű folytonos idejű rendszer diszkrét<br />
idejű modellje, akkor a (6.85) egyenletben w(jo>) s=jo> helyettesítéssel<br />
azonos w(s)-sel, maga az egyenlet pedig esetleges kisebb eltérésektől<br />
eltekintve megegyezik a (6.75b)-vei.<br />
6.12 példa<br />
Számítógépes eljárás a diszkrét idejű rendszer frekvencia diagramjainak<br />
a meghatározására.<br />
A MATLAB a dnyquist és a dbode utasításokat használja erre a célra,<br />
amelyek akár az állapot mátrixokból, akár az átviteli függvényekből<br />
végre tudják hajtani a feladatot. A frekvencia értékeket önmaguk is<br />
képesek, generálni.<br />
6.13 példa<br />
Egy folytonos idejű rendszer átviteli függvénye:<br />
w(s) =<br />
l+2s<br />
(1+ 10s)(l+6s+(5s) 2<br />
)(l+0,5s) (6.86)<br />
A folytonos idejű rendszer diszkrét átviteli függvénye T = 1<br />
mintavételezési idővel:<br />
r \ n n o i o (z-0,6065)(z+0,1581)(z+2, 5 6 9 1 )<br />
W , l Z J — U, UUI od<br />
' (z-0,9048)(z 2<br />
-l,7512Z+0,7866)(z-0,1353)<br />
1 4 8<br />
(6.87)
A függvény zérusai és pólusai<br />
0,6065<br />
- 0,1581<br />
- 2,5691<br />
0, 9048<br />
0,8756+j 0,1413<br />
0,8756-j 0,1414<br />
0,1315<br />
(6.88a-b)<br />
A kisfrekvenciás helyettesítés gyöktényezőit egyenként meghatározva -az<br />
első és a negyedik pólusra a (6.77b) egyenletet, a második és harmadik<br />
pólusra a (6.84a-c) egyenleteket alkalmazva - visszakapjuk a (6.86)<br />
nevezőjét, hiszen a folytonos és a diszkrét pólusok között kölcsönösen<br />
egyértelmű kapcsolat van.<br />
A számlálóban csak az első zérusnak van folytonos megfelelője, amelynek<br />
az időállandója a (6.77b)-bői ől T^= 2. A másik mási két diszkrét zérusnak nincs<br />
folytonos megfelelője,<br />
helyettesítik.<br />
A járulékos időkésések a számlálóban<br />
egyenletekből:<br />
T. =0,5416;<br />
dzl<br />
gyöktényezőiket tiszta időkéséses tagok<br />
T<br />
= 0<br />
dz2 ' 8 8 ; T. =0,6608.<br />
dz3<br />
a (6.77c) ill. a (6.80c)<br />
A nevezőben a (6.77c) ill. a (6.84e) egyenletekből T dl=0,5083;<br />
Td2=l,02;<br />
T d3=0,6608. Összességében a nevező járulékos időeltolásai a nagyobbak,<br />
az eredő időeltolás holt idős késleltetés, ame1ynek holtideje:<br />
Y T , = 0,5023<br />
u<br />
dz<br />
Az egyes tényezők átviteli tényezőit a (6.87)-bői z=l helyettesítéssel<br />
kapjuk. Ezek eredője:<br />
k f = wd(z=l) 1<br />
A kisfrekvenciás helyettesítés:<br />
w d(s)<br />
l+2s<br />
(1+1Os)(1+6s+25s )(l+0,5s)<br />
-0,5023s<br />
ami megegyezik a más úton kapott (6.75b)-vel.<br />
6.14 példa<br />
(6.89)<br />
Határozzuk meg az alábbi diszkrét átviteli függvény kisfrekvenciás<br />
helyettesítését T =1 mintavételezési idővel.<br />
W<br />
( ^ n (z+0,121)(z+2,125)<br />
( z ) = 0<br />
d * 1 4<br />
z(z-l)(z-0,0821)<br />
149<br />
(6.90)
A számláló gyöktényezőinek helyettesítése a (8.80) egyenletek alapján:<br />
(z+0,121) ~ 1,121 e<br />
0,9073s<br />
(z+2,125) ~ 3,125 e 0,3070s<br />
A nevező gyöktényezőinek helyettesítése a (6.77) ill. a (6.79)<br />
egyenletek alapján:<br />
s/2<br />
(z-1) -se<br />
(z-0,0821) ~ 0,9179 (1+0,4s) e<br />
0,697s<br />
A közelítő folytonos átviteli függvény:<br />
S J<br />
V<br />
í i - 0,5343 -0,9827s<br />
s(l+0,4s) 6<br />
(6.91)<br />
A pontos, a közelítő és az aszimptot ikus közelítő (w ) Bode d i agram a<br />
a<br />
6.24a ábrán, a pontos és a közelítő fázisdiagramok a 6.24b ábrán<br />
láthatók. Az ampl itudó közel ítés az o> < 1 tartományban 10%-os hibán<br />
belül van, a fázisszög közelítés még w=2-nél is igen jó.<br />
6.7 Tipikus folytonos idejű lineáris tagok jelátviteli tulajdonságai<br />
A folytonos idejű átviteli függvény néhány egyszerű alaptag<br />
kombinációjából épül fel. A következőkben ezeknek a tulajdonságait<br />
tekintjük át.<br />
0,01<br />
© ©<br />
6.24 ábra<br />
150
6.7.1 Ideális alaptagok<br />
A (6.11) egyenlet szerint az átviteli függvény két részből tehető össze,<br />
az u=0 körüli kisfrekvenciás tulajdonságokat szimbolizáló \^ (s)-ből<br />
és a rendszer tehetetlenségéből származó w p(s)-ből, amely a<br />
kisfrekvenciás tulajdonságokat bizonyos frekvencia tartományban<br />
módosítja. Az időtartományban (s) azokban a műveletekben mutatkozik,<br />
amelyeket a tag a kisfrekvenciás összetevőkből álló (kvázistacionárius)<br />
bemenő jelen végez.<br />
Wp(s)=konst. esetén előálló ideál is alaptagokban ez a művelet valamennyi<br />
bemenő frekvenciára azonos, a frekvencia karakterisztika a teljes<br />
frekvencia tartományban (s)-sel arányos, a pontos és az aszimptotikus<br />
Bode diagram megegyezik. Fizikailag bizonyos szempontból idealizált<br />
rendszereket jel lemeznek.<br />
NÉV P i D<br />
Hatás<br />
vázlatok<br />
w (s)<br />
u ^<br />
kp<br />
k P<br />
y u p.. p..<br />
1/sTj y u ^<br />
1 /sTj<br />
w<br />
kkp
(s) -tői függően a három jellegzetes alaptípus - amelyből a többi is<br />
felépül - az arányos (P), az integráló (I) és a differenciáló (D) tag.<br />
A tagok idő és frekvencia jellemzőit a 6. 25 ábra foglalja össze.<br />
Az ideál is arányos tag súlyfüggvénye a Dirac impulzus, átmeneti<br />
függvénye az ugrásfüggvény. Nyquist diagramja egyet len pontból ál 1, Bode<br />
diagramja az o> tengel lyel párhuzamos egyenes,
ami az időtartományban az u bemenő és az y kimenő jel között az<br />
Ty + y = u (6.93)<br />
elsőrendű differenciálegyenlettel írható le.<br />
6.26 ábra<br />
Súlyfüggvértye és átmeneti függvénye a 6.26 ábrán látható, Nyquist<br />
diagramja egységnyi átmérőjű kör, amely átmegy az origón. Bode<br />
diagramjának aszimptotái szerint az o> < l/T tartományban arányos, az<br />
o> > l/T tartományban I taggal közelíthető. Mivel az időtartományban a<br />
tranziensek kezdetén a nagyfrekvenc i ás, hosszú idő múlva pedig a<br />
kisfrekvenciás tulajdonságok érvényesülnek, a közelítés itt azt jelenti,<br />
hogy ha egyensúlyi állapotban (mozgásban) a bemenő jel eltér egyensúlyi<br />
értékétől, az ezáltal generált kimenő jelben először a bemenő<br />
jelváltozás integrálja, majd hosszabb idő múlva az arányos értéke<br />
jelenik meg. Az időhatár közöttük egyszerű módon nem adható meg. Egyik<br />
mértéke lehet az egyenértékű időkésés (6.22 egyenlet), amelynek értéke<br />
T.<br />
A kéttárolós arányos tag átviteli függvénye:<br />
w(s)= - — (6.94a)<br />
2<br />
1+2 £T 0s +s<br />
T 2<br />
0<br />
153
amely az időtartományban a<br />
TQ y + 2£T 0y + y = u<br />
differenciálegyenletnek felel meg.<br />
6.27 ábra<br />
(6.94b)<br />
Az ü> < 1/TQ tartományban w(ju>) ~ 1 , az u> > 1/T Q tartományban<br />
w( jo>) ~ -1/OI 2<br />
TQ, így a Bode diagram két aszimptotája egy (0) és egy (-2)<br />
meredekségű (kétszeresen integráló) egyenes, amelyek az o> 0=l/T 0<br />
sarokfrekvenciánál metszik egymást (6.27a ábra). A megfelelő<br />
szögaszimptoták 0° ill. -180° (6.27b ábra). Az w Q körüli frekvencia<br />
sávban a függvény viselkedése £-től függ.<br />
a.) g>l esetben (aperiodikusan csillapított tag) a függvénynek két valós<br />
pólusa van.<br />
154
s<br />
i2 88 - ? wcr > o / ^ s 2 = " ± j w P p<br />
A súlyfüggvény ill. az átmeneti függvény (6.28 a-b ábrák):<br />
(6.95)<br />
A tag két sorba kapcsolt ill. időállandójú egytárolós tagra<br />
bontható, így a Bode amplitúdó diagramban (6.27 ábra £=2 görbe) a két<br />
szélső aszimptota közé w^l/T^ és LÖ^=1/T^ sarokfrekvenciával még egy<br />
(-1) meredekségű aszimptota is húzható. Logaritmikus léptékben c*^ és<br />
o> 2 szimmetrikusan helyezkednek el ü)Q-hoz képest, mert V WjW^ = ü>q.<br />
Ezen közbenső tartományban a függvény egyszeresen integráló taggal<br />
helyettesíthető. így az átmeneti függvény vízszintes érintőjű parabola<br />
szakasszal indul, amely egyenesbe megy át, majd fokozatosan túl lendülés<br />
nélkül éri el az állandósult értéket (6. 28b ábra £=2 görbe).<br />
b. ) 0 0t) sin w t (6 97)<br />
expí-^Wgt)<br />
v( t ) = 1- ———- sin (w t+
2.) Az átmeneti és a súlyfüggvény (6.28a,b ábra) periodikus<br />
összetevőjének u>^ lengési körfrekvenciája.<br />
W P = K %<br />
0,5-<br />
6.28 ábra<br />
A w( ju)p) vektor ampl itudója és
w<br />
c = ü o / 2 ( 1 2 ? 2 ) -<br />
w<br />
c=l ; V - - arc tg<br />
2?/2(l-2? 2<br />
4£ 2<br />
- 1<br />
(6.103a)<br />
(6.103b-c)<br />
Ha akkor w és w frekvencia Ü> -hoz tartanak, miközben a<br />
p r 0<br />
rezonancia amplitúdó egyre nő, a fázisgörbe pedig u> 0 környékén egyre<br />
meredekebbé válik.<br />
i lm \<br />
05 10 Re<br />
6.29 ábra<br />
0 0,2 0,4 0,5 0.8 1<br />
6.30 ábra<br />
Lengő tag esetén £ hatása az aszimptotikus Bode diagramban nem<br />
mutatkozik.- £ csökkenése frekvencia kiemeléshez vezet az u> rezonancia<br />
^ r<br />
pont körül. Ez az időtartományban az átmeneti függvény túllendülésében<br />
mutatkozik. A túl lendülés és a £ csillapítási tényező kapcsolata a 6.30<br />
ábrábó1 olvasható le.<br />
= exp (-H£/ /1-€ 2<br />
) (6.103d)<br />
c. ) g=0 határesetben a súlyfüggvény és az átmeneti függvény ÍI> Q<br />
körfrekvenciájú állandósult lengést tartalmaz, a frekvencia diagram<br />
rezonancia amplitúdója w^-nál végtelenné válik, a fázisdiagram<br />
ugyanott 0 és -II között ugrásszerűen változik,<br />
d.) g
8.15 példa<br />
A 6.31 ábra két sorbakapcsolt egytárolós tag k átviteli tényezőjű<br />
arányos tagon keresztül való visszacsatolását mutatja.<br />
1 + 9 S 1 + S<br />
©<br />
6.31 ábra<br />
s 1<br />
k*0 T" ...<br />
-9 ' 7<br />
9 /<br />
k 9<br />
\ 2 9<br />
Vizsgáljuk meg, hogyan változik a tag jel lege, ha a k tényezőt O-ból<br />
ki indulva fokozatosan növeljük.<br />
A tag átviteli függvénye a (6.47) szerint:<br />
1<br />
w(s) = (l+9s)(l+s0<br />
1 + l+k+10s+9s<br />
(l+9s)(l+s)<br />
1 1<br />
„ , , 10<br />
1+k 1+ ^ — j - s+<br />
1+k<br />
Az eredő kéttárólós tag, amelynek jellemző paraméterei:<br />
V<br />
3 10<br />
vT+¥~ "6 /~í+l?<br />
1+k<br />
2 2<br />
S<br />
(6.104a)<br />
lm<br />
(6.104b-c)<br />
Ha k=k k=16/9, akkor £=1. Itt a (6.104) nevezőjének kettős gyöke van<br />
(s = -5/9). Ha k < k , akkor £ > 1, a nevezőnek két valós, ha<br />
k >k^, akkor két konjugált komplex gyöke van (£; < 1).<br />
A gyökök helyét a k függvényében ábrázolva a gyökhelygörbét (root<br />
locus) kapjuk (b ábra). k~0-nál a két valós gyök s^= -1 ill. s^=-l/Q.<br />
158<br />
Re
k növelésekor a negat ív valós tengelyen a két gyök közeledik egymáshoz,<br />
k^-nál egybeesnek, majd k további növelésekor a képzetes tengellyel<br />
párhuzamos egyenes mentén egymástól távolodnak. A gyökhelygörbe<br />
kiszámítására szolgál a MATLAB-ban az rlocus utasítás.<br />
6. 7.3 A visszacsatolt tag<br />
A jelátvivő tulajdonságok befő1yáso1ásának egyik 1eghatékonyább eszköze<br />
a visszacsatolás, ame1ynek a szabályozástechnikában különleges<br />
jelentőséget kölcsönöz, hogy a teljes szabályozási kör is a<br />
visszacsatolás elvén épül fel.<br />
Ha a visszacsatoló ágban vMs) ideál is arányos tag (6.32a ábra), akkor<br />
merev, ha frekvenciafüggő, akkor rugalmas visszacsatolásról van szó.<br />
*h<br />
w Y<br />
(s)<br />
©<br />
w v ( s )<br />
©<br />
(s)<br />
y<br />
1<br />
1 + w 0 (S)<br />
©<br />
w 1<br />
ís)<br />
w 0ls) w 0(sj<br />
0(sj<br />
6.32 ábra<br />
y<br />
1 2<br />
0<br />
y tls) y2(s)<br />
©<br />
A következőkben - külön utalás nélkül - negatív visszacsatolással<br />
foglalkozunk.<br />
A negatívan visszacsatolt tag átviteli függvénye a (6.47) szerint:<br />
t y W.(S) W.(S) W (s)<br />
l<br />
W l s<br />
u(s) 1+w^s) w y ( s )<br />
v(s) l+wQ(s) wy(s) i+wQ(s)<br />
- w(s) = - = — L _ =<br />
159<br />
(6.105)
alakba írható, ahol<br />
w Q(s)=w (s) wv(s) (6.106)<br />
a felnyitott kör átviteli függvénye. A (6.105) alapján a visszacsatolás<br />
többféle egyenértékű kapcsolással helyettesíthető. A 6.32b ábra a<br />
visszacsatolt taggal sorosan kapcsolt helyettesítő taggal, míg a c ábra<br />
a w^(s) reciprokának és merev visszacsatolásának eredőjére vezeti<br />
vissza a rugalmas visszacsatolást.<br />
w Q(s) jelentését a d ábra világítja meg. A visszacsatolt hurkot<br />
tetszőleges helyen felvágva az 1 és 2 pont között a w Q(s) átviteli<br />
függvény mérhető, azaz az 1 ponton belépő y^(s) jel hatására<br />
y 2(s)=±wQ(s)y1(s) a 2 ponton a kimenőjel. wQ-ban a különbségképző tagok<br />
jelfordításai nincsenek benne, azokat az előjelben vesszük figyelembe<br />
(esetünkben negatív előjel).<br />
A visszacsatolt tag frekvencia átviteli függvényének meghatározását<br />
megkönnyíti a (6.105) kifejezés aszimptotikus közelítése. s=jo><br />
rövidítéssel:<br />
1<br />
/ w v(s)<br />
w('s) ~ ^<br />
ha |w Q(s)|> 1 . (6.107a)<br />
w^s) , ha |w 0(s) j< 1 . (6. 107b)<br />
Az aszimptoták közötti elválasztó pontban<br />
w (s)= |w„(s) • w (s)I = 1 (6.107c)<br />
o<br />
1<br />
1 V 1<br />
Az aszimptotikus közelítés fizikai tartalmának szemléltetésére<br />
tételezzük fel, hogy valamelyik frekvencián |w Q(s)| = |wQ(jw)| nagyon<br />
nagy. Ekkor véges u és y g jelek (6. 32a ábra) mellett y^(s)-y^(s)/ w^(s)<br />
ezekhez képest nagyságrendekké1 kisebb, ezért e1hanyago1hat ó.<br />
Ekkor azonban<br />
y (s) ~ u(s); y(s)=y (sX/w (s) ~ u(s)/w (s) (6.108a)<br />
e * 'e v v<br />
Az átviteli tulajdonságokat az előrevezető ágtól függetlenül kizárólag a<br />
visszacsatoló ág frekvencia karakterisztikaja szabja meg. Figyelemre<br />
méltó, hogy az előrevezető ágról még a 1inearitást sem tételeztük fel.<br />
Ezzel szemben ha |(s)| nagyon kicsi. akkor az y^(s) hatására létrejövő<br />
y e(s)=y^(s)wQ(s)<br />
is kicsi, így ez hanyagolható el.<br />
160
y h(s) ~ u(s); y(s)=w1 (s) yh(s) ~ w^s) u(s) (6.108b)<br />
Ekkor az előrevezető ág határozza meg a jelátviteli tulajdonságokat, a<br />
visszacsatolásnak másodrendű hatása van.<br />
6.33 ábra<br />
A 6.33 ábrán mereven visszacsatolt (w^ (s)=l) rendszer (a ábra)<br />
161
felnyitott körének aszimptotikus Bode diagramja (c ábra) az u> c vágási<br />
frekvencián metszi a WQ=1 tengelyt. A zárt rendszer w Bode diagramjára e<br />
ponttól balra a (6.107a), jobbra a (6.107b) aszimptota érvényes (a c<br />
ábrán w). Ebből több fontos következtetés vonható le.<br />
a. ) Merev visszacsatoláskor a zárt kör átviteli függvényének<br />
számlálója megegyezik a felnyitott körével, így zérusaik is<br />
azonosak. Ugyanis Mg(s)-sel ill. Ng(s)-sel jelölve w^(s) számlálóját<br />
és nevezőjét<br />
M Q(s) w0(s) MQ(s) M0(s)<br />
w (s) = —-—— ; w(s) = — = — — — — = -———<br />
N (s) 1+w (s) N 0(s)+M0(s) N(s)<br />
(6.109a-b)<br />
Ha M q ( s) valamelyik zérusának sarokfrekvenciája az UKQ}^ tartományba<br />
esik (O>=1/T) , az w(s) aszimptotikus diagramjában töréspontot<br />
kel lene hogy előidézzen. A (6.108a) közelítés szerint azonban ezen a<br />
szakaszon észrevehető töréspont nincs, ami csak úgy lehetséges, hogy<br />
w(s) egyik pólusa az említett zérus közelében van, és nagyrészt<br />
semlegesíti annak hatását azáltal, hogy ellentétes irányú törést<br />
okoz. (Ha a szóbanforgó zérus és pólus pontosan megegyeznének,<br />
gyöktényezőikke1 egyszerűsíteni lehetne.)<br />
b. ) A visszacsatolt tagnak az a sarokfrekvenciája, amely szignifikánsan<br />
különbözik a nyitott kor zérusainak ill. pólusainak<br />
sarokfrekvenci ái tó1. 0 -közelében van. Stabi1itási okokból (7<br />
c<br />
fejezet) a vágási frekvencia w^-nak csak (-1) vagy (-2) meredekségű<br />
szakaszára eshet, így környezetében az aszimptotikus közelítés a<br />
6.34a vagy a 6.34b ábra szerint alakulhat. Az a eset egytárólós, a<br />
b eset kéttarolós lengő tagra utal T=l /u) ill. T = l/w<br />
-<br />
0<br />
c o c<br />
időállandókkal. Mivel azonban a (6.107) éppen az aszimptota váltás<br />
környezetében a legkevésbé pontos, az időállandókra (pólusokra) a<br />
fent i becslés mennyiségileg bizonytalan és további analízist<br />
igényel. Azt azonban jelzi, hogy a zárt kör átviteli függvénye ebben<br />
a frekvencia, tartományban egy vagy két pó1us (domináns pólus vagy<br />
póluspár) első ill. másodfokú gyöktényezőjével helyettesíthető,<br />
amelynek sarokfrekvenc i ája 0 ^ közelében van. A helyettesítő tag<br />
jellegére (egy vagy kéttarolós) és a sarokfrekvenc i a tényleges<br />
értékére a 6.33. ábra szerinti aszimptotikus diagramból csak az 0 ^<br />
körüli fázisszög ismeretében lehet pontosabban következtetni. Ha pl.<br />
a 6.34a ábra szerint a zárt kör aszimptotikus diagramjának w -nél<br />
levő töréspontjától a kisebb ill. a nagyobb frekvenciákra eső<br />
töréspontok kellően távol vannak (1:5-1:10 arányban nagyobb ill.<br />
kisebb frekvenciákon), a domináns pólus (pólusok) sarokfrekvenciája<br />
ÍÚ közvetlen közelében van, a domináns tag jellegét pedig az co -n<br />
162
átmenő aszimptota meredeksége mutatja. Ha azonban az pontot<br />
kővető (-1) meredekségű aszimptota rövid, és Wj-nél (-2)<br />
meredekségűre vált, a szögviszonyok torzulása következtében a két<br />
közeli 'töréspont által reprezentált elsőfokú gyöktényezők másodfokú<br />
lengő taggá olvadhatnak össze, amelynek a c ábra szerint w-nál van<br />
kétszeres sarokpontja.<br />
© © ©<br />
6.34 ábra<br />
Hasonló hatása lehet az 1/w^ nagyságrendű holtidőnek is, amely<br />
azamplitudó diagramban nem is mutatkozik, de a fázisszöget úgy<br />
megváltoztathatja, hogy a (-1) meredekségű aszimptota ellenére az<br />
környékén a zárt kör másodfokú lengő tagként viselkedik.<br />
c. ) Az O)»Ü)C szakaszon a zárt rendszer diagramjának sarokpontjai jó<br />
közelítéssel megegyeznek a felnyitott kör diagramjának<br />
sarokpontjaival, ami arra utal, hogy a töréspontoknak megfelelő<br />
zérusok és pólusok mindkét rendszerben közel azonosak.<br />
A visszacsatolás néhány jellegzetes alkalmazása:<br />
Nemiineáris erősítő karakterisztika 1inearizálása.<br />
A 6.35a ábra szerint a k átviteli tényezőjű tagot k^ átviteli tényezőjű<br />
tagon keresztül visszacsatolva kk »1 feltétellel<br />
& v<br />
v ÜÍ-F- - - 4 - í 6 -<br />
V V<br />
átviteli tényezőjű taghoz jutunk, amelyben k ugyan sokkal kisebb, mint<br />
e<br />
a visszacsatolás nélküli k, de csak a visszacsatoló tagtól függ. Főleg<br />
erősítőkben alkalmazott megoldás, amelynek célja a kapcsolás<br />
1inearizálása és külső zavaroktól (pl. tápfeszültség változás) való<br />
függetlenitése. Az aktív (elektronikus, pneumatikus, stb.) erősítők<br />
önmagukban nem készíthetők kieiágítően lineárisra (k függ a bemenő<br />
jeltől), a visszacsatolásban azonban nagypontosságú passzív elemekkel<br />
(pl. ellenállás) jelfüggetlen k átviteli tényező alakítható ki, amely a<br />
163<br />
n o )
(6.110) értelmében a visszacsatolt tagot 1inearizálja. A b ábra az elvet<br />
egy nagy fészültségerősítésű elektronikus erősítőre alkalmazza. A nagy<br />
erősítés miatt (több nagyságrend) az kimenő feszültség előál1ítására<br />
az erősítő bemenő kapcsán igen kis feszültségre van szükség. Ezt a<br />
kimenő feszültség ,ellenál1ásláncon leosztott részéhez hozzáadva<br />
kapjuk az bemenő feszültséget. azonban mellett e1hanyago1ható,<br />
így az erősítő karakterisztikajátó1 függetlenül fennál1 az<br />
V u<br />
i<br />
R<br />
2<br />
+ u<br />
R<br />
2<br />
k~ r^r 2<br />
u<br />
k m<br />
R + R<br />
l 2<br />
- V ^ r - U<br />
b<br />
( 6 U 1 )<br />
arányosság. Az erősítő szerepe az, hogy az adott U^-hez a hozzá képest<br />
jelentéktelen -gye1 kikényszerítse a megfelelő U^-t.<br />
Ideál is arányos tag frekvenciafüggő negat ív visszacsatolása<br />
Ha az arányos tag átviteli tényezője elegendően nagy, a (6.107a) alapján<br />
az eredő átviteli függvény viszonylag széles frekvencia sávban a<br />
visszacsatoló tag frekvencia karak teriszti káj ának reciprokával<br />
helyettesíthető. így különböző típusú (P,I, stb. ) tagok ál 1íthatók elő.<br />
A 6.36 ábra egy nagy feszültségerősítésű erősítő kondenzátoros<br />
v i sszacsato1ását mutatja. Az előző esethez hasonlóan feltételezhető,<br />
hogy Uj-O, és az erősítőbe befolyó áram is elhanyagolható a többi<br />
áramhoz képest. A ki és a bemenő fészültség Laplace transzforrnáltja<br />
között az<br />
összefüggés ál1 fenn, ami egy integrátor átviteli függvénye.<br />
6.35 ábra<br />
164
Arányos egytárolós tag merev negatív visszacsatolása r.; :<br />
csökkentése céljából.<br />
A 6.37 ábra kapcsolására<br />
w(s) =<br />
k<br />
1+sT<br />
kk1+-<br />
v<br />
T+sT<br />
1+kk V<br />
1+<br />
1+kk<br />
1+sT,<br />
(6.113)<br />
i andó<br />
Az eredő egy egytárolós tag, amelynek k^ átviteli tényezője és<br />
időállandója kk^>l esetén kisebb az eredeti értékénél.<br />
Pozitív visszacsatolás<br />
1 + sT<br />
6.36 ábra 6.37 ábra<br />
A 6.37 ábrában a negatív visszacsatolás helyett pozitív visszacsatolást<br />
alkalmazva az előzővel ellentétes hatás érhető el.<br />
w(s)<br />
k/(l+sT)<br />
1-kfk vTT+sTT l-kk v+sT<br />
Amint arról a nevező első tagjával való osztással könnyű meggyőződni, az<br />
eredő egytárolós tag időállandója és átviteli tényezője az eredetihez<br />
képest megnő.<br />
kk^=l esetben az eredmény integráló tag. (Villamos erősítő gépekben így<br />
ál1ítják elő az integráló kapcsolást. ) kk^>l esetén a tag labilissá<br />
válik.<br />
6.16 Példa<br />
Legyen a 6.33 ábra szerinti felnyitott körben<br />
T=25; 1^=5; T 2=0,1; T 3=0,02; k=5/x (6.113)<br />
165
A körerős it és megadott értékénél x változtatásakor az Ü>=1/X sarokpontban<br />
az aszimptotikus diagram amplitudója mindig W q=5 marad.<br />
A felnyitott kör vágási frekvenciájának aszimptotikus és - zárójelben -<br />
a pontos értéke<br />
o) = 1 (0,9473) (6.114)<br />
A zárt kör (6.109b) egyenlet szerinti átviteli függvényéből kiszámítva a<br />
pólusokat (a MATLAB roots vagy damp utasítása) és összehasonlítva azokat<br />
a 6.33 aszimptotikus diagramjából (w) az a-c pontokban részletezett<br />
módon becsülhető közelítő értékekkel, a következő eredményre jutunk (a<br />
pólusok pontos értéke zárójelben):<br />
s ~ -l/T = -0,04 (-0,043)<br />
s 0 ~ -ü) = -1 (-1,35)<br />
2 c<br />
S<br />
1 / T<br />
3 ~ ~ 2 =<br />
* 1 0<br />
(-8,58)<br />
s 4 ~ -1/T3= -50 (-50,24)<br />
Ha a felnyitott kör átviteli függvényében x=25/3-ra változik (k=0,6), a<br />
zárt kör pólusainak közelítő és pontos értékei:<br />
s, ~ -0,12 (-0,112)<br />
s,<br />
'2<br />
s,<br />
'3<br />
s<br />
4<br />
-1 (-1,26)<br />
10 (,-8,57)<br />
-50<br />
(-50,24)<br />
166
7. LINEÁRIS SZABÁLYOZÁS STABILITÁSA<br />
7.1 A stabilitás fogalma<br />
A stabilitás (stabi1ity) a rendszernek az a tulajdonsága, hogy<br />
egyensúlyi állapotából (egyensúlyi mozgásából) kimozdítva újra<br />
egyensúlyba képes kerülni.<br />
Általános esetben a stabi1itás a bemenő jeltől és a munkaponttól is<br />
függ, így i nkább a rendszer egy állapotának, semmint az egész<br />
rendszernek a jellemzője. Ezért a körülmények pontosabb<br />
körű1hat áro1ására számos stabi1itási definíció létezik. A két<br />
legfontosabb:<br />
a. ) A magára hagyott rendszer stabi1itása. Eszerint a rendszer<br />
stabi1 is, ha nyugalmi állapotából kimozdítva majd magára hagyva az<br />
eredeti állapotába visszatér. Ha az eredeti állapotától eltávolodik,<br />
akkor iabi1 is. Határesetben nem tér ugyan vissza a nyugalmi állapotba,<br />
de nem is távolodik el attól, hanem annak a kitérítés mértékétől függő<br />
környezetében marad (pl. a ki indulási állapot körül korlátos amplitudójú<br />
esi 1lapítatlan lengéseket végez. )<br />
b. ) A gerjesztett rendszer stabi1itása. Stabi1 is a rendszer, ha<br />
korlátos bemenő jelre korlátos kimenő jel lel válaszol.<br />
Lineáris rendszerben a stabi1itás a rendszer tulajdonsága. Ha az a<br />
feltétel teljesül, autómat ikusan kielégül a b is. így csupán egyet len<br />
stabiiitási fogalom létezik, amely valami 1yen egyszerű bemenő jelre<br />
adott válaszfüggvénybő1 egyértelműen megítélhető.<br />
A rendszer súlyfüggvénye az a, az átmeneti függvénye a b definíció<br />
szerintí vizsgálatokra alkalmas.<br />
A stabiIitás feltételei az időtartomány helyett sok esetben előnyösebben<br />
tisztázhatók a frekvencia tartományban az átviteli függvény<br />
segítségével.<br />
Az a definíció szerinti vizsgálat egyszerűsíthető a határeset<br />
minősítésével. Az általánosan használt Ljapunov féle definíció ezt is<br />
stabi1isnak tekinti. Eszerint a nyugalmi állapotából kitérített, majd<br />
magára hagyott rendszer akkor stabil is, ha található olyan - zérustól<br />
különböző - mértékű kitérítés, ahonnan a rendszer a nyugalmi állapotnak<br />
tetszőlegesen előírható kis környezetébe tér vissza. Ha ilyen nincs, a<br />
rendszer labi1 is.<br />
Azt az esetet, amikor a rendszer a ki indulási helyzetébe (nem pedig<br />
annak csupán a környezetébe) tér vissza, aszimptotikus stabi1itásnak<br />
nevezik.<br />
A b definíció csak az aszimptot ikusan stabi1 is rendszerre teljesül. Ha<br />
187
ugyanis pl. a Íjapunovi értelemben stabil is rendszer a kiindulási pont<br />
körül esi 1lapítatlan lengéseket végez, akkor ezen lengés frekvenciájávai<br />
azonos frekvenciájú korlátos bemenő jel minden határon túl növekvő<br />
amplitudójú kimenő jelet gerjeszt (rezonancia).<br />
A határeset minősítése elvi jelentőségű, a technikai értelemben stabi1 is<br />
1ineáris szabályozási rendszer csak aszimptot ikusan stabi1 is lehet.<br />
7.2 A folytonos idejű zárt rendszer aszimptotikus stabilitása<br />
A magára hagyott zárt szabályozási rendszer akkor aszimptotikusan<br />
stabi1 is, ha a tranziens mozgását leíró időfüggvény csillapodó<br />
összetevőkből ál1.<br />
A tranziens időfüggvény olyan exponenciális összetevők kombinációja,<br />
amelyek kitevői a rendszer karakterisztikus egyenletének a gyökei (a<br />
rendszer pólusai, 2.3 egyenlet, 3.6 pont).<br />
Megfigyelhető és irányítható rendszerben ezek megegyeznek a zárt<br />
rendszer átviteli függvényének pólusaival.<br />
Az aszimptotikus stabi1itásnak az a feltétele, hogy a zárt rendszer<br />
pólusai negat ív valós részűek legyenek, mert ezek eredményeznek időben<br />
csökkenő tranzienseket. A feltétel úgy is fogalmazható, hogy a zárt<br />
szabályozási kör akkor aszimptotikusan stabi1 is, ha valamennyi pólusa a<br />
baloldali félsíkra esik.<br />
(Ha bármelyik pólus a jobboldali félsíkra esik, a rendszer labi1 is. Ha a<br />
baloldali félsíkra eső pólusokon kívül a képzetes tengelyre eső pólusok<br />
is vannak és ezek egyszeresek, a rendszer nem aszimptot ikusan, hanem<br />
1japunovi értelemben stabi1 is, míg ha többszörösek, a rendszer labi1 is.<br />
Amint azonban említettük, gyakorlatilag a zárt rendszernek csak az<br />
aszimptotikus stabi1itása elfogadható, ezért ezekkel az esetekkel a<br />
továbbiakban nem foglalkozunk.)<br />
Megfigyelhető és irányítható szabályozási rendszerben a rendszer<br />
karakterisztikus polinomja a zárt kör átviteli függvényének a nevezője<br />
(6.109 egyenlet), így a pólusok meghatározására szolgáló<br />
karakt er i s z t i kus egyenlet<br />
1 + w (s) = 0 (7.1)<br />
o<br />
alakú, ahol w (s) a felnyitott kör átviteli függvénye.<br />
7.3 A zárt kör stabilitásának megítélése a nyitott kör átviteli<br />
függvényéből<br />
A zárt kör stabi1itásának a karakteriszt ikus egyenlet megoldásával<br />
történő közvet len meghatározása tervezéskor nem prakt ikuse1járás, mivel<br />
kezdetben sem a zárt, sem a nyitott kör átviteli függvénye még nem<br />
ismeretes, és éppen a követe1ményeknek - közöttük a stabi1itásnak -<br />
megfelelően kell azokat kialakítani. Másrészt ezen az úton nehéz arra<br />
következtetni, hogy milyen módon kel1 stabi1izálni egy labi1isnak<br />
mutatkozó rendszert.<br />
168
Ezért hasznosabbak az olyan közvetett eljárások, amelyek a felnyitott<br />
kör egyes jellemzői alapján következtetnek a zárt rendszer<br />
stabi1itására. Amikor ez a kérdés a szabályozáselmélet központi kérdése<br />
volt, számos ilyen eljárás született. Ma már csak a Nyquist ill. a Bode<br />
kritériumnak van gyakor1ati jelentősége, mert ame1lett hogy egyszerű és<br />
áttekinthető, segíti a méretezési koncepció kialakítását és a zárt kör<br />
minőségi tulajdonságainak nagyvonalú becslését is.<br />
A Nyquist kritérium a felnyitott kör W q( jo>) frekvencia görbéjének<br />
menetéből következtet a zárt kör stabi1itására. Két változata van:<br />
a. ) Egyszerűsített Nyquist kritérium<br />
Ha a felnyitott kör W Q(S) átviteli függvényének nincsenek a jobboldali<br />
félsíkon pólusai, a zárt rendszer akkor aszimptotikusan stabi1 is. ha a<br />
jcj) teljes Nyquist diagramja (az -OKÍW^OO frekvencia tartományban) nem<br />
veszi körül a -1+jO pontot.<br />
b. ) Az általános Nyquist kritérium<br />
Ha a felnyitott kör átviteli függvényének jobboldali pólusai is vannak<br />
(a felnyitott kör labilis), a zárt kör még aszimptotikusan stabi1 is<br />
lehet, ha W q(jw) teljes Nyquist diagramja az óramutató járásával<br />
ellentétes i rányban annyiszor fogja körül a -1+jO pontot, ahány<br />
jobboldali pólusa van w (s)-nek.<br />
7.1 ábra<br />
A 7.la ábra az egyszerűsített kritérium szerint aszimptotikusan<br />
stabilis, a b ábra labilis rendszert jelez.
Ha a W q(jw) görbe átmegy a -1+jO ponton, akkor a zárt rendszernek egy<br />
vagy több pólusa a képzetes tengelyre esik.<br />
7.2 ábra<br />
Ha a felnyitott körnek a képzetes tengelyre eső pólusai vannak, azok<br />
akár a jobboldali, akár a baloldali félsíkra esőnek tekinthetők. A zárt<br />
rendszer stabilitásának a megítéléséhez ilyenkor a feltételezésnek<br />
megfelelő Nyquist kritériumot kell használni.<br />
170
A legegyszerűbb<br />
w (s)= -J— ; w (jw) = -io<br />
s o ^ Jü><br />
esetet a 6. 14 ábrán már bemutattuk. A W Q-nak az s=0 pontban a képzetes<br />
tengelyre eső pólusa van. Ha ezt a Nyquist diagram szerkesztésekor a<br />
baloldali fél síkhoz soroljuk azáltal, hogy a c ábra szerint kerüljük<br />
meg r=>0 sugarú körívvel, akkor a vM jo) teljes Nyquist görbe a<br />
jobboldali félsíkon keresztül záródik R=*» sugarú körívvel, így a -1+jO<br />
pontot nem veszi körül, a zárt rendszer aszimptotikusan stabi1 is.<br />
Ez az eredmény akkor sem változik, ha az s=0 pólust (szinguláris pontot)<br />
a d ábra szerint úgy kerüljük ki, hogy az a jobboldal i félsíkra kerül.<br />
Ekkor w (jw) görbéje a baloldali félsíkon keresztül záródik és az<br />
óramutató járásával ellentétesen egyszer körülveszi a -1+jO pontot, de<br />
mivel ekkor az általános Nyquist kritériumot kel 1 alkalmazni (W q(s)-nek<br />
jobboldali pólusa van), éppen ez a zárt rendszer aszimptotikus<br />
stabilitásának a feltétele.<br />
A frekvencia diagram legkönnyebben kezelhető formája a Bode diagram,<br />
ezen azonban közvetlenül nem érzékelhető a -1+jO pont "körbefogása".<br />
Ezért a Nyquist kritériumot célszerű olyan formában kifejezni, hogy az a<br />
Bode diagramból is el lenőrizhető legyen.<br />
A 7.2a ábra szerint, abban az esetben, ha w^(jo>) görbéjének fő ága<br />
(o^o)=s+oo) csak egyetlen pontban lép be az egységsugarú kör belsejébe, az<br />
egyszerűsített Nyquist kritérium akkor teljesül, ha ez a belépési pont 0<br />
és -180° közé eső negatív
A 7.3a ábrán W q(jw) egy belépési és az azt követő ki lépési pont között<br />
éri el a ^=-180° ill.
A stabilitási tartalékot az erősítési tartalék (amplitudó többlet; gain<br />
margin) és a fázistartalék (phase margin) méri. Az előbbi azt mutatja,<br />
hányszorosára lehet megnövelni a felnyitott kör erősítését ahhoz, hogy a<br />
vágási frekvencia a ^ c=-180 -os fázisszögnél legyen. A fázistartalék a<br />
fázistöbblettel azonos.<br />
7.1 példa<br />
A stabi1itási tartalék számítógépes meghatározása<br />
A MATLAB-ban a stabi1itási tartalék meghatározására szolgál a margin<br />
utasítás. Ez a Bode diagram amplitudó és fázisszög adataiból megadja az<br />
erősítési tartalékot és azt a frekvenciát, ame1yné1 a fázisszög -180°,<br />
valamint a c vágási frekvenciát.<br />
Közvetve a stabi1itás megítélését segíti a damp utasítás is, amely a<br />
zárt rendszer átviteli függvényének nevezőjéből kiszámítja a zárt kör<br />
pólusának sarokfrekvenc iáit és azok esi 1lapítási tényezőit. Ez utóbbiak<br />
közül a domináns póluspár esi 1lapítása utal a stabi1itási tartalékra.<br />
7.2 példa<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye<br />
w (s) =<br />
w (s) pólusai<br />
W<br />
0,25<br />
s(l+s)(l+0,2s)(l+0,ls)<br />
(7.3)<br />
s 3= -5 ; s4=-10 (7.4)<br />
7.4 ábra 7.5 ábra<br />
173<br />
lm<br />
Re
Ha az s=0 pontot az ismert módon a baloldali félsíkhoz csatoljuk,<br />
W q(s)-nek nincs jobboldali pólusa, így a stabilitást az egyszerűsített<br />
Nyquist ill. a Bode kritériummal vizsgálhatjuk.<br />
1.) Becslés az aszimptotikus Bode diagram alapján<br />
W q( jo>) 7.4 ábrán látható aszimptotikus Bode diagramjának vágás i<br />
frekvenciája és a fázisszöge:<br />
ü) =0,25<br />
c<br />
(7.5a)<br />
^c=-90°-arctg0,25-arctgO,05-arctgO,025=-108,4°; (7.5b)<br />
A fázistöbblet:<br />
c=71,6° > 0<br />
A zárt rendszer stabi1 is.<br />
2. ) A pontos Bode diagramot és a stabi1itási tartalékot a MATLAB-bal<br />
meghatározva a pontos értékek:<br />
ü> =0,2425 ;
W<br />
o<br />
( s ) =<br />
-5<br />
Megállapítandó, stabi1is-e a zárt rendszer.<br />
(7.9)<br />
A felnyitott kör egyik pólusa a jobboldali félsíkra esik, ezért a zárt<br />
kör stabi1itását az általános Nyquist kritériummal kell vizsgálni.<br />
W q( jü>) Nyquist görbéje a 7.5 ábra szerint a -5 pontból indul. w<br />
növelésekor W q(jw) vektora a nevező első gyöktényezőjének hatására<br />
negatív szöggel a pozitív képzetes tengely irányába fordul, a második<br />
tényező hatására ismét a negat ív valós tengelyhez közelít, végül a<br />
harmadik tényező miatt a pozitív képzetes tengely irányábó1 fut be az<br />
origóba. A görbe egyszer körülveszi ugyan a -1+jO pontot, de nem az<br />
óramutató járásával ellentétes irányban, ezért a zárt kör nem stabi1 is.<br />
7.4. példa<br />
S sík<br />
(l+10s)(l-2s)(l+0,5s)<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye<br />
-sT<br />
7.6 ábra 7.7 ábra<br />
w (s)= k — — (7. 10)<br />
Határozzuk meg a vágási frekvenciának és a hozzátartozó k erősítésnek<br />
azt az értékét, ame1yné1 a fázistöbblet<br />
a. ) ? t=60°=II/3 ; {
a.) A (7.10) fázisszöge radiánban<br />
Ebből<br />
w cTh=2n/3-n/2=n/6=0,52; (7.11)<br />
u =0,52/T u<br />
c h<br />
A W q amplitudó ezen a frekvencián<br />
V-ö^27TT= 1 : k=0,52/T h (7.12)<br />
h<br />
b. ) k. esetében labilis. A zárt kör<br />
ö<br />
kr<br />
Bode diagramjának (6.107) szerinti aszimptotikus közelítése (w a)<br />
mindhárom esetben látszólag azonosan u)^ sarokfrekvenciájú egytárolós<br />
tagra utal. Mivel azonban w^-nél a holt idős tag fáziseltolása erősen<br />
érvényesül, a közelítés nem jogosít ilyen feltételezésre. Az ábrán a<br />
kritikus körerősítéshez tartozó Bode diagram látható. W q a felnyitott<br />
kör, w a zárt kör átviteli függvényének amplitudója. =0-ból kiindulva a képzetes tengely mentén jo>=2n/T s-be kerül, a z<br />
síkon az óramutató járásával el lentétesen befutja a z=exp( jo>T s)<br />
egységsugarú kört (7.6 ábra). Minden további 2TT/T s szélességű szakasz<br />
egy további körülfordulást eredményez. Az s sík képzetes tengelytől<br />
balra eső félsíkjának képe a z síkon az egység körtől "balra" eső<br />
térrész, azaz a kör belseje, míg a jobboldali s félsík képpontjai a z<br />
177
síknak az -egységkörön (unit circle) kívül vannak. így a diszkrét idejű<br />
zárt szabályozási kör akkor aszimptotikusan stabilis, ha pólusai az<br />
egységsugarú kör belsejébe esnek. Ljapunovi értelemben stabilis, ha vagy<br />
aszimptotikusan stabilis, vagy olyan egyszeres pólusai is vannak,<br />
amelyek az egységsugarú körre esnek, minden egyéb esetben labilis.<br />
A diszkrét idejű zárt kör stabi1itása is megítélhető a felnyitott körre<br />
vonatkozó Nyquist ill. Bode kritériummal. A frekvencia függvények<br />
megszerkesztése bonyolultabb, mint a folytonos idejű rendszerekben.<br />
Ekkor a közvet len számítógépes programok mellett tervezési becslésre jól<br />
használhatók a diszkrét átviteli függvények folytonos idejű<br />
kisfrekvenciás helyettesítései is (6.6.4 pont).<br />
7.5 példa<br />
Egy visszacsatolt rendszer felnyitott köre egy zérusrendű H<br />
tartószervvel kiegészített egytárolós arányos tag mintavételezésével<br />
keletkezik (7.7 ábra).<br />
Határozzuk meg a k körerősítésnek azt a kritikus értékét, ame1yné1 a<br />
zárt kör a stabilitás határára kerül. A mintavételezési lépésköz T g=l.<br />
A folytonos idejű tag átviteli függvénye<br />
w<br />
o<br />
í s ) =<br />
k<br />
= K<br />
T+ST^<br />
1 / T<br />
i<br />
_ s<br />
i i<br />
SÍTTÍY = K sr --T-<br />
A diszkrét átviteli függvény zérusrendű tartással a (6.23b) egyenlet<br />
szerint<br />
-s.T<br />
( 7<br />
- 1 5 )<br />
. _ 1 s - s<br />
w .(z) = k — =— = k — (7. 16a)<br />
od ~s,T - s,<br />
z-e 1 s z-e 1<br />
w ,(jü>)= k — — (7. 16b)<br />
od -s,<br />
+ju> 1<br />
e -e<br />
A kritikus körerősítésné 1 a vágási körfrekvencián W q^(jw) fázisszöge -II.<br />
Ez akkor álIhat elő, ha a (7.16b) nevezője negatív valós szám, tehát ha<br />
Ü> =11. Ekkor a<br />
c<br />
|w Q d(jw)| = w Q d = 1 feltételből<br />
l-e" S<br />
l<br />
kr (. -s.,<br />
-íl+e 1)<br />
"kr- 3<br />
- 2<br />
l-e<br />
T,=10<br />
1<br />
esetén pl. k. =20,02.<br />
r<br />
kr<br />
Ekkor a zárt kör impulzusátviteli függvénye:<br />
178<br />
^<br />
( 7 1 ? )
w d(z)<br />
-0, 1<br />
20,02(l-e<br />
z-e -0, 1 +20,02(l-E<br />
A függvény pólusa a nevező gyöke<br />
z =21E -0, 1 - 20,02- 1<br />
(7.18)<br />
A zárt rendszer a stabilitás határán van, mert egyetlen pólusa az<br />
egységsugarú körre esik.<br />
Figyelemre méltó, hogy a mintavételes rendszerben a visszacsatolt<br />
egytárolós tag labilis is lehet, holott folytonos idejű rendszerben az<br />
ilyen alakzat mindig stabilis. A különbséget a nyitott körben a<br />
mintavételezéssel<br />
okozza.<br />
és a tartással előidézett kb. T /2<br />
s<br />
járulékos ho11idő<br />
A zárt kör strukturálisan stabi1 is, ha a minimálfázisú felnyitott kör<br />
páramé t ere i nek (erősítés, időállandók) bárrne 1 y pozit í v értékénél<br />
stabi1 is. Folytonos idejű rendszerben az egy- és a kéttárolós arányos<br />
tagok merev negatív visszacsatolása mindig ilyen, mert a felnyitott kör<br />
fázistöbblete sohasem lehet negat ív.<br />
Feltételesen stabi1 is a rendszer, ha bizonyos paraméter értékeknél<br />
stabi1 is, másoknál labi1 is. Pl. a 7.4 pé1dában k^k. esetében a zárt<br />
^ kr<br />
kör stabi1 is, ellenkező esetben labi1 is<br />
Egyes paramétereknek a rendszer stabi1i tására gyakorolt hatásait jól<br />
szemléltet i a gyöknelygörbe íroot locus), amelyet a zárt rendszer<br />
pólusai írnak le a komplex számsíkon, miközben a felnyitott kör bizonyos<br />
paraméterei változnak<br />
Meghatározására számítógépes programok vannak„ (A MATLAB-ban pl. az<br />
rlocus utasítás, amely a felnyitott kör erősítésének hatását számítja.)<br />
A visszacsatolásnak destabilizáló és stabilizáló hatása is lehet.<br />
Önmagukban stabilis tagok a visszacsatolás révén labilis rendszerré<br />
válhatnak, im^ más esetben az önmagukban labilis tagok megfelelő<br />
visszacsat o1ással stabi1í zálhatók.<br />
A mere*- VJ sszacsatolás destabi 14<br />
zá 1<br />
^ hatását c -Telnyitott kör je 1<br />
átvivő<br />
tagjainál; idő^esese okgzls. L:. 1<br />
tg., iszt i jdc - no • t de esetébe<br />
nemiéi tettet Ö c /. 9e zi.rar v r , ~ r^naszerr** az egysegry<br />
r r<br />
ampl i tud '*,/ -c^ tudja a kimenő<br />
179
időben kellő irányban változtatni, másrészt az, hogy a hibajel ugrása<br />
azonnal teljes egészében az időkéséses tag bemenetére kerül és azt<br />
állandóan rángatja. A jelenség elkerülhető lenne, ha a hibajel hatása<br />
csak fokozatosan érvényesülne.<br />
7.10 ábra<br />
180<br />
A 7. 10 ábra önmagában labi1 is<br />
rendszer stabi1izálását mutatja. Az M<br />
motorral hajtott kocsiban<br />
csapágyazott inga (F) függőleges<br />
helyzetében labi1 is egyensúlyban van,<br />
mert ha onnan kimozdul, önmagától oda<br />
visszatérni nem tud. Ha azonban az<br />
inga
8. A SZABÁLYOZÁSI KÖR KÖVETÉSI ÉS ZAVARELHÁRÍTÁSI JELLEMZŐI<br />
8.1 A szabályozási hiba<br />
A szabályozási kör a 8.1 ábra model1je szerint a w^(s) átviteli<br />
függvényű szabályozott szakaszból és a w^(s) átviteli függvényű<br />
szabályozóból ál 1. A szabályozás célja egyrészt az u^ís) alapjel<br />
követése (követő szabályozás), másrészt az y^ís) zavarójel hatásának a<br />
kiküszöbölése (értéktartó szabályozás). Bár a két feladat együttesen is<br />
jelentkezhet, 1ineáris rendszerben az alapjel és a zavaró jelek<br />
elkülönítve tárgyalhatók, mert hatásaik szuperponálhatók.<br />
UQ(S) y h(s)<br />
(s)<br />
w r (s) (s)<br />
8.1 ábra<br />
Ideál is esetben az y(s) kimenő jel a zavaró jelektől függetlenül mindig<br />
megegyeznék az alapjel lel. Valóságos rendszerben ez az állapot csak<br />
bizonyos hibával közelíthető meg. A 8.1 ábra modelIjében a hibát az<br />
y^(s) jel szfmbolizálja. A 6.5 pont ill. a (6.48) egyenlet szerint az<br />
u<br />
a<br />
alapjel hatására létrejövő y, ,<br />
nK<br />
követési hiba ill. a szakasz<br />
kimenetére helyezett y^ zavaró jel által keltett y^z hiba:<br />
y<br />
( s ) =<br />
hk<br />
Ha az y z l<br />
y<br />
( s )<br />
hz<br />
u (s) y z(s)<br />
TTwTsT<br />
; y<br />
( s ) =<br />
hz<br />
" 1+w (s)<br />
o o<br />
zavaró jel a szakasz bemenetén hat, akkor<br />
w (s) y (s)<br />
= - 1 + w (s)<br />
o<br />
181<br />
( 8 1 )<br />
( 8<br />
- 2 )<br />
y(s)
ahol w (s) = w (s) w (s)<br />
o p r<br />
A zavaró jel hibája<br />
u (s) = - y (s) ill. u (s) = - y ,(s)w (s)<br />
a z a zl p<br />
(8.3)<br />
(8.4)<br />
helyettesítéssel követési hibává alakítható, ezért elegendő a követési<br />
hibát vizsgálni.<br />
8.2 ábra<br />
A 8.2 ábra egy zárt szabályozási kör y szabályozott jellemzőjének<br />
időfüggvényét mutatja ugrásalakú (a ábra) és időben lineárisan növekvő<br />
(b ábra) u alapjel lel való gerjesztéskor<br />
a<br />
A rendszer tranziensek (3.6 pont) lecsengése után előálló<br />
kvázistacionárius állapotban az y kimenő jel igyekszik a bemenő jellel<br />
azonos módon változni. Az a esetben - mivel a bemenő jel állandó -<br />
stacionárius értékre áll be, amely állandó értékkel tér el az<br />
alapjeltől. A b esetben időben lineárisan változik, de az alapjelet<br />
csak egyre növekvő eltéréssel képes követni.<br />
Az ideális kimenő jel mindkét esetben azonos az alapjellel. Az ideális<br />
és a valóságos kimenő jel különbsége a követési hiba, ame1y ugyancsak<br />
két szakaszra bontható.<br />
Dinamikus hiba íh,) az ideális kimenő<br />
• Q<br />
állapotban.<br />
Kyazístacionáríus hiba (h_) az * J.ef,_ ' ^~<br />
rendszer tranziensek lecsengése UÍ B , I<br />
182<br />
jeltől való eltérés tranzien:<br />
íi.oíáit<br />
e s z (-' ~-<br />
ttarerí éke
(h ) a stacionárius vagy statikus hiba. (Az a esetben a<br />
s ~~<br />
kvázistacionárius és a stacionárius hiba megegyezik.)<br />
A rendszer tranziensek lefolyása a szabályozási kör paramétereitől függ.<br />
A rendszer dinamikáját minőségileg jellemzi az un. beállási vagy<br />
szabályozási idő (t ), amely alatt a tranziensek annyira esi 1 lapodnak,<br />
hogy a kimenő jel A hibasávon belül megközelíti a kvázistacionárius<br />
értékét, továbbá a kvázistacionárius ál lapot beállásának a jel lege. Ez<br />
utóbbi lehet aperiodikus (8.3 ábra b görbe) vagy lengő (a és c görbék).<br />
A lengő jel leget a h^. túl lendülés jelzi, amely a hibajelnek a kezdeti<br />
hibával ellentétes irányú maximál is eltérése a kvázistacionárius<br />
értékétől.<br />
8. 3 ábra 8.4 ábra<br />
8.2 Dinamikus jellemzők a frekvencia tartományban<br />
Az előzőekben a rendszer dinamikának a nagyvonalú jellemzésére<br />
bevezetett mutatók összefüggésbe hozhatók a felnyitott kör frekvencia<br />
függvényével.<br />
Az idő és a frekvencia tartomány mutatóinak az összerendelése azonban<br />
nem olyan, hogy abból egyértelmű mennyiségi kapcsolat lenne levezethető.<br />
Az összefüggések tájékoztató jellegűek, ame1yek bizonyos struktúrákra<br />
általában mennyiségi becslésekre is alkalmasak, de érvényességi körük<br />
korlátos.<br />
A szabályozási idő a felnyitott kör u)^ vágási frekvenciájávai fordítva<br />
arányos. A kvázistacionárius érték 5%-os megközelítését véve alapul a<br />
szokásos esetekben<br />
183
A 6.7.4 pont szerint ugyanis a zárt szabályozási kör egyik pólusának<br />
vagy póluspárjának a sarokfrekvenciája - amely általában a leglassúbb<br />
tranziens összetevőjének esi 1lapodását megszabja - az frekvencia<br />
környékén van. Ennek a tranziens összetevőnek a szempontjából a zárt kör<br />
egytárolós arányos taggal (T=1/u^ időállandó), vagy kéttárolós lengő<br />
taggal (1/T Q= o>c saját frekvencia) helyettesíthető. Egytárolós tag<br />
tranziense az 1/CJ időál landó háromszorosával azonos idő alatt, míg<br />
c<br />
kéttárolós lengő tag lengése ~? W<br />
Q ki tevőjű exponenciális időfüggvény<br />
szerint 3/£a> idő alatt éri el az 5%-os korlátot. Mivel £
8.1 Példa<br />
1. ) A felnyitott kör átviteli függvénye<br />
w<br />
o<br />
( s ) =<br />
k<br />
i<br />
SUT^)<br />
A zárt rendszer átviteli függvénye<br />
( 8<br />
- 6 )<br />
w(4)=<br />
k<br />
l<br />
— -<br />
1<br />
— — (8.7)<br />
s • s + k^ 1 + s/k^ + s /k^<br />
Ez olyan kéttarolós lengő tag, amelynek paraméterei<br />
T = — - — ; £ = -— (8.8)<br />
o<br />
k<br />
1 2V k ]<br />
A felnyitott kör vágási frekvenciáját és a fázistöbbletét a MATLAB<br />
utasítással (margin) különböző fc^ értékekhez kiszámítva a 6.30 ábrát is<br />
figyelembe véve kiszámítható a fázistartalék (^ ^), a esi 1lapítási<br />
tényező éfi a túllendülés közötti összefüggés (8.4 ábra).<br />
2. ) Ismételjük meg az előző számításokat, ha a nyitott kör átviteli<br />
függvénye<br />
V s ) ' (1+lOsWi+s)- (8<br />
- 9)<br />
A zárt kör átviteli függvénye<br />
k<br />
2 1<br />
w(s)= T~nr~ - - — (8.10)<br />
1 K<br />
2 , 11 2 10<br />
* 1 + S<br />
^<br />
+ S<br />
^ 2<br />
T » / J2i € = - J L - nzs<br />
o / l+k 2<br />
q<br />
2(l+k 2)/ 10<br />
A felnyitott kör vágási frekvenciáját és fázistöbbletét az 1./ alatti<br />
módon meghatározva, erre az esetre is megszerkeszthető a csillapítási<br />
tényező és a fázistöbblet közötti összefüggés.<br />
Az eredményeket a 8.4 ábra foglalja össze, amely megadja adott<br />
esi llapítási tényezőkhöz a
8.3 Statikus hiba elhárítása, a szabályozási kör típusszáma<br />
A hibajel a felnyitott kör átviteli függvényétől és a bemenő jeltől<br />
függ.<br />
Legyen az alapjel az időnek hatványfüggvénye.<br />
u = U • l(t) ; u = U-t ; u = U • t 2<br />
/2 , stb.<br />
a A a A a A<br />
Ennek Laplace transzformáltja<br />
U<br />
A<br />
u (s) = — — ; ahol n = 1, 2, 3, stb. (8.12)<br />
a n<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye<br />
w (s) = - 4 - w D(s) (8. 13)<br />
o í P<br />
s<br />
alakba írható, ahol w p(s) olyan többtárolós arányos tag, amelyre<br />
s = O-nál w p(0) = 1.<br />
i a kör típusszáma.<br />
A hibajel a (8.1) egyenlet szerint<br />
i U<br />
y ( S) = --^ * . _JL (8.14a)<br />
h í . , x n<br />
s + k Wp(s) s<br />
A t=*» esetén fel lépő statikus hiba (h) a végérték tételekkel:<br />
i + l-n<br />
h g= y (t«*a) = lim s yh(s) = lim ^-v (8. 14b)<br />
S=#0 S=X5 s + k<br />
Az ebből kiszámított, a különböző i és n-re vonatkozó h statikus hiba<br />
értéket a 8.1. táblázat tartalmazza.<br />
186
u (s)<br />
a i=0 i=l i=2<br />
U7s<br />
A<br />
U A/s 2<br />
A<br />
U A/s 3<br />
A<br />
U<br />
A<br />
1+ k<br />
00<br />
0 0<br />
U<br />
A<br />
k<br />
09 00<br />
8.1. táblázat<br />
A 0 típusú kör az ugrásaiakú alapjelet állandósult állapotban (1.sor) az<br />
alapjel amplitúdójától 1ineárisan függő állandó hibával képes átvinni<br />
(statikus karakt er i s z t i ka). Ezzel szemben az i=l és i=2 típusú rendszer<br />
az ugrásalakú alapjelet statikus hiba nélkül követi, i1yenkor a zárt<br />
rendszer állandósult karakterisztikája astatikus.<br />
Ahol a táblázatban a hiba oo, ott a bemenő jel által kivál tott<br />
kvázistacionárius mozgás nem tudja a bemenő jelet követni. Pl. a 0<br />
t ípusú rendszerben a sebességugrás alakú alapjel kváz i s t ac i onár i us<br />
ál lapotban létrehoz ugyan egy az időben 1ineárisan változó y kimenő<br />
jelet, ennek meredeksége azonban kisebb, mint u^ meredeksége, így a<br />
kettő y = u - y különbsége minden határon túl növekszik (8.5 ábra).<br />
n a s<br />
A táblázat tanúsága szerint a különböző típusszámú körök akkor képesek a<br />
bemenő jelet állandó hibával követni, ha n= i +1, ennél kisebb n kitevőnél<br />
a statikus hiba zérussá, nagyobb kitevőnél végtelenné válik.<br />
0<br />
U<br />
A<br />
k<br />
8. 5 ábra 8.6 ábra<br />
A jelenség egyszerű fizikai magyarázatát mutatja a 8.6 ábra 0 típusú<br />
rendszerre. Állandósult állapotban a felnyitott kör átviteli függvénye k<br />
erősítési tényezővel helyettesíthető. A zárt kör állandó y kimenő<br />
jelének létrehozásához zérustól különböző y^ hibajelre van szükség,<br />
ezért a zárt kör az állandó u alapjelet sem képes hiba nélkül átvinni.<br />
187
Ha a felnyitott körben egy nem visszacsatolt integrátor is van, az az<br />
állandósult ál lapot beállása után a kimenő jelet y^=0 értéknél is<br />
fenntartja, ezért a zárt kör az állandó alapjelet hiba nélkül viszi át,<br />
de nem képes a sebességugrással ugyanezt megtenni, mert időben változó<br />
kimenő jelet az integrátor is csak zérustól különböző y^-val tud<br />
generálni.<br />
A Sör típusszáma a felnyitott kör kisfrekvenciás (s=0 körüli)<br />
karakterisztikáját jellemzi. így a vizsgálat azt mutatja, hogy a<br />
kvázistacionárius hiba a frekvencia diagram kisfrekvenciás szakaszától<br />
függ.<br />
A táblázatban foglalt törvényszerűség még általánosabban úgy foglalható<br />
össze, hogy a kvázistacionárius (stacionárius) hiba akkor tűnik el> ha a<br />
bemenőjel pólusa a W Q(S) átviteli függvényének is pólusa. (Pl. az U^/s<br />
ugrásalakú alapjelet az 1 típusú rendszer tudja követni hiba nélkül,<br />
amelynek W Q(S) átviteli függvényében az egyik pólus s=0-nál van). Ebből<br />
azonban az is következik, hogy a kör a kvázistacionárius hibát csak<br />
adott típusú bemenő jelre küszöböl i ki. Az 1 t ípusú kör pl. egy<br />
exponenciálisan csökkenő bemenő jelet nem tud kvázistacionárius hiba<br />
nélkül követni (a statikus hiba zérus ugyan, mert hosszú idő múlva a<br />
bemenő jel is eltűnik, de addig mindig lesz követési hiba). A hiba annál<br />
kisebb, minél lassabban csökken a bemenő jel, tehát minél jobban<br />
hasonlít az ugrásalakú jelhez. Az általános törvényszerűséget a 8.2.<br />
példa mutatja be.<br />
8.2 Példa<br />
Az u a(s) bemenő jel és a w^ts) átviteli függvény az s változó rációnál is<br />
törtfüggvénye.<br />
M (s) M (s)<br />
w (s) = -ÜV-T<br />
o N (s)<br />
o<br />
;<br />
a<br />
u (s) = - K i r ,<br />
a N (s)<br />
a<br />
(8. 15)<br />
Itt M(s) ill. N(s) a számláló és a nevező polinomjait (gyöktényezőit)<br />
jelzik.<br />
A hibajel<br />
y<br />
h<br />
( s )<br />
1<br />
M ( s )<br />
a<br />
1+ M (s)/N (s) N (s)<br />
N (s) M (s) N (s) M (s)<br />
o a o a<br />
M (s) + N (s) FTTsT " N(s) N (s)<br />
o o a a<br />
(8.16)<br />
N(s) a zárt szabályozási kör átviteli függvényének a nevezője. y^(s)<br />
pólusai a zárt rendszer pólusaiból (N(s) polinom) és a bemenő jel<br />
188
pólusaiból (N a(s) polinom) tevődnek össze. Az i dő t ar t ományban a hibajel<br />
a rendszer pólusaiból származó tranziens komponenseken kívül a bemenő<br />
jel pólusaitól származó valamennyi kvázistacionárius hiba komponenst is<br />
tartalmazza, így a kimenőjel a bemenő jelet a tranziensek eltűnése után<br />
is hibával követi. A kvázistacionárius hiba összetevő csak olyan bemenő<br />
jel komponensre tűnik el, amelynek pólusa az N^:s) polinomban is<br />
előfordul ( a W q függénynek is a pólusa), mert ekkor a (8.16) egyenletet<br />
az N (s) és N (s) polinomok azonos gyöktényezőivel egyszerűsíteni lehet.<br />
189
9. A SZABÁLYOZÁSI KÖR SZINTÉZISE<br />
A rendszertechnikai méretezésnek - a szintézisnek - a célja az adott<br />
követelményeknek megfelelő szabályozási kör kialakítása. Magában<br />
foglalja a szabályozási struktúra és a paraméterek alkalmas<br />
kiválasztását. A tényleges létesítmény tervezésének ezen kívül számos<br />
nem kevésbé fontos eleme van (eszközök, környezeti hatások,<br />
üzembiztonság, gazdasági és technológiai kérdések, stb.). A<br />
következőkben csak a rendszertechnikai vonatkozásokra térünk ki.<br />
9.1 Méretezési eljárások<br />
A 1egá11 a1ánosabban megfogalmazott szintézis fe1adat az y^ zavaró<br />
hatásoknak kitett irányított folyamat olyan u beavatkozó jelének a<br />
meghatározása, ame11ye1 a rendszer valamilyen minőségi kritérium szerint<br />
optimálisan hozható a kívánt állapotba. Eközben a beavatkozó jel a<br />
technikai vagy gazdasági korlátok között marad.<br />
Az u jel valós idejű (real time) kel 1 hogy legyen, azaz egy adott<br />
időpontban az addig rendelkezésre álló mérési i nformác i ókbó1 kel1<br />
képezni.<br />
A zárt szabályozási körben a szabályozási folyamat saját maga generálja<br />
a beavatkozó jelet, ezért a fe1adat a szabályozó struktúrájának és<br />
páramétereinek megkeresésére redukálódik.<br />
A tervezés metodikája többféle lehet:<br />
a. ) Automatizált tervezési eljárás, amely az előírások megadása után<br />
önműködően meghatározza a kívánt rendszert.<br />
b. ) Interaktív eljárás, amikor részeredmények alapján tervezői döntés<br />
kel1 a további lépésekhez (beleértve az esetleges követelmény<br />
módosítást is.)<br />
Az a esetben a követelményeket olyan egzakt matematikai formában kel 1<br />
megfogalmazni, hogy egyértelműen definiálják a megoldást. A<br />
követelményrendszer két különböző elven épülhet fel. Az egyik a kívánt<br />
mutatókat közvetlenül írja elő. Ilyen például a zárt kör pólusainak az<br />
előírása (pole piacement, pole assignment).<br />
A másik nem az elérendő mutatókat, hanem olyan kritériumokat ír elő,<br />
amelyek a különböző számításba jöhető megoldásokat a "ráfordításokkal"<br />
szembeállítva értékelik, és ennek alapján kiválasztható az optimális<br />
megoldás. Ezen az elven épül fel az optimális irányítás (optimál<br />
control).<br />
A b esetben a követelmények vagy nem eléggé egzaktak, vagy nem eléggé<br />
megalapozottak ahhoz, hogy egyetlen kizárólagos megoldást lehessen célul<br />
191
kitűzni. így a tervező valami 1yen felvett minőségi követelményből<br />
ki indulva próbálgatással igyekszik a rendszer konkrét adottságaihoz<br />
i1leszthető reál is megoldást találni. Ez a tervezés klasszikus módja<br />
(trial and error), amelyben a tervezői intuíciónak is fontos szerepe<br />
van.<br />
Az egzakt előírásokkal mindig fennál1 annak a veszélye, hogy formailag<br />
helyes, de lényegét tekintve irreális megoldásokat eredményez (pl.<br />
labi1 is pólusú szabályozót).<br />
Valójában ugyanis csak az írható elő, ami teljesíthető, így reál is<br />
követelmények megadásához tulajdonképpen már ismerni kellene a<br />
megoldást. Az interaktív módszer ezt az ellentmondást igyekszik<br />
feloldani. A következőkben ezzel foglalkozunk, mert a rendszer<br />
működésmódjának megismerésére ez a legalkalmasabb.<br />
A tervezés technikáját i1letően a feladatok megoldhatók az idő és a<br />
frekvencia tartományban. Az autómatizált eljárások - mivel a számítógép<br />
a differenciálegyenleteket nem frekvencia transzformációval oldja meg -<br />
főleg i dő t art ománybe1i technikákkal dolgoznak, míg az interaktív<br />
eljárásokban előnyösek a frekvencia módszerek. Az idő és a frekvencia<br />
tartomány között i kapcsolat a két tartomány mutatóinak egzakt<br />
megfeleltetését nem teszi lehetővé, mert a kölcsönös kapcsolat<br />
modellfüggő (8.2 pont).<br />
9.2 Egykimenetű folytonos idejű szabályozási kör méretezése az<br />
átviteli függvény alapján<br />
Minden rendszertechnikai méretezés igyekszik az ideál is szabályozási kör<br />
tulajdonságait megközelíteni. Ezek:<br />
a.) A rendszer stabi1 is<br />
b. ) A kvázistacionárius hiba zérus<br />
c. ) Az alapjel ill. a zavarójel változásakor a tranziens folyamatok<br />
időtartama zérushoz tart.<br />
Valóságos rendszerekben a kváz i s t ac i o nár i us hiba általában nem<br />
tüntethető el, de a felnyitott kör kisfrekvenciás karakterisztikajának<br />
megfelelő kialakításával meghatározott típusú bemenő jelekre<br />
megszüntethető vagy erősen korlátozható. Ezért mérlegelni kel 1, hogy<br />
mi 1yen típusú bemenő jel (zavaró jel) éri leggyakrabban a rendszert, és<br />
annak megfelelően kell a felnyitott kör frekvencia menetét kialakítani a<br />
kisfrekvenciás tartományban.<br />
A tranziens folyamatok végtelenül gyors lefolyását az irányított szakasz<br />
időállandói (tehetetlenségét reprezentáló pólusai) és esetleges<br />
holtideje megakadályozzák. A holtidő hatása semmilyen módon sem<br />
küszöbölhető ki, a tehetetlenségből származó késleltetés azonban a<br />
bemenő jel átmeneti megnövelésével elvileg tetszőleges mértékben<br />
csökkenthető. Ennek azonban technikai és gazdasági korlátai vannak, mert<br />
a beavatkozó szerv és maga a fo1yamat is csak meghatározott amplitudójú<br />
beavatkozó jelet képes elviselni. Ennek túllépésekor a szerkezetek<br />
tönkremehetnek, vagy telítődnek (ami a beavatkozást automatikusan<br />
korlátozza). A túl vezérlésnek a technikailag megengedhető határon belül<br />
192
is ára van, mert a beavatkozó szerv dimenziói a beavatkozó jel<br />
amplitudójától (energiájától, teljesítményétől, stb.) függenek.<br />
A tervezéskor a gyorsításból származó előnyök és hátrányok<br />
mérlegelésével kel 1 megállapítani a beavatkozó jel tolerálható tranziens<br />
csúcsértékét.<br />
Ha a tranziensek nem korlátozhatók végtelen rövid időre, megjelenik a<br />
dinamikus vagy tranziens hiba, amelynek lecsengési ideje a felnyitott<br />
kör vágási körfrekvenciájávai fordítottan arányos (8.5 egyenlet). így a<br />
vágás i frekvencia helyét a rendszer ésszerűen megvalósítható<br />
szabályozási gyorsasága szabja meg.<br />
A stabi1itási tartalék ill. a kvázistacionárius állapotba való átmenet<br />
jel lege (lengő, vagy aszimptotikus) és ezen belül az esetleges<br />
túl lendülés mértéke a fázistöbblettől függ. Durván kb. 60°-os<br />
fázistöbbletnél várhatók a legkedvezőbb viszonyok, ezért ki indulásként<br />
ezt lehet előírni.<br />
A fázistöbblet döntően a felnyitott kör frekvencia diagramjának az a> c<br />
vágási körfrekvencia körüli alakulásától függ. így a tervezéskor ezt<br />
kell megfelelő módon kialakítani.<br />
A szabályozott szakasz frekvencia átviteli tulajdonságait<br />
természetszerűen nem a szabályozási szempontok határozzák meg. A<br />
felnyitott kör frekvencia diagramjának a kívánt kialakítása a<br />
szabályozóra marad, amely ezt a feladatot jelformálással oldja meg.<br />
Ennek alapformája a 9.la ábra szerinti struktúra, amelyben a szabályozó<br />
egy alkalmas frekvencia átvitel i tulajdonságokkal rendelkező vMs)<br />
átviteli függvényű kompenzáló szervet tartalmaz. Ez az irányított<br />
folyamattal sorba kapcsolva a felnyitott kör átviteli függvényét a<br />
kívánt alakra hozza (soros kompenzáció).<br />
yh u y " c<br />
9.1 ábra<br />
A struktúra működésének a mechanizmusa az, hogy a w^(s) átviteli<br />
függvény a fo1yamat (w (s) átviteli függvény) egyes zérusainak és<br />
P<br />
pólusainak a hatását részben vagy egészében semlegesíti (erre utal a<br />
kompenzáció elnevezés) és helyettük új zérusokat ill. pólusokat hoz be a<br />
felnyitott körbe (a folyamat zérusait és pólusait mintegy "áthelyezi"<br />
más frekvencia tartományba). Ugyanez a hatás más struktúrával is<br />
elérhető.<br />
193<br />
w, r1<br />
®
A 9.1b ábrán pl. a jelformáláshoz a w , (s) soros elemen kívül a<br />
rl<br />
szabályozott szakasz valamilyen mérhető belső jeléről w (s) frekvencia<br />
függő elemen keresztül vett visszacsatolása is hozzájárul. Ezáltal a fő<br />
hurkon belül még egy belső visszacsatolt hurok keletkezik. Az<br />
elrendezést visszacsatolásos kompenzációnak nevezik, ami arra utal, hogy<br />
a szabályozó hatás valami lyen vMs) soros kompenzációval egyenértékű.<br />
Egyéb szempontból - pl. zavarra vagy a nemiinearitásókra való<br />
érzékenység - azonban a 9. la és b megoldások jelentősen<br />
különbözhetnek egymástól. Ugyanez vonatkozik egyéb lehetséges<br />
struktúrákra is.<br />
A soros kompenzáció - tényleges megvalósításától függetlenül - a<br />
kimenetről visszacsatolt kör szabályozásának egyik alapvető model1je.<br />
Az időtartományban a w^(s) átviteli függvény olyan analóg műveletekkel<br />
megvalósított algoritmus, amely az y^ híbajéiból előál1ítja a beavatkozó<br />
jelet. Me ghat ározása különböző idő vagy frekvencia tartománybeii<br />
interpretációk alapján történhet, így számos méretezési eljárás<br />
ismeretes. Ezek közül az egyik az, amikor w^(s) pólusait és zérusait a<br />
szakasz frekvencia átviteli függvényében a minőségi követelmények miatt<br />
szükségessé váló pólus (zérus) áthelyezésből közvet lenül vezetjük le. Az<br />
eljárás az átviteli függvényeken ill. a frekvencia diagramokon alapul.<br />
9.3 Kompenzációs szabályozó<br />
A kompenzációs szabályozóval elérhető hatásokat és a szabályozó<br />
algoritmus meghatározását egy konkrét számpélda kapcsán mutatjuk be.<br />
Az irányítandó fo1yamat áviteli függvénye:<br />
, ^ =<br />
i<br />
1 _<br />
i<br />
1_ =<br />
M (s)<br />
p<br />
S J<br />
p ~ (1+sT )(l+sT )(l+sT ) ~ ri + !0s)(l+sTU+0,2s) " N (s)<br />
1 2 3 p<br />
(9. 1)<br />
Az aszimptot ikus Bode diagram a 9.2 ábrán látható (w ).<br />
A szabályozót ugrás alakú alapjel követésére méretezzük, u (s)=l/s.<br />
a<br />
A tranziensek periodikusan esi 1lapítottak lehetnek, de a túl lendül és<br />
maradjon 10%-on belül. Ez a domináns póluspár £=0,6-0,7 esi 1lapításánál<br />
ill. a fázistöbbletnek (a kör struktúrájától függően) 60 -80 közötti<br />
értékénél várható..<br />
A fe1adat a működési sebességre és a statikus hibára vonatkozó további<br />
előírásoktól függően különböző kompenzációs algoritmusokkal<br />
teljesíthető.<br />
9,3.1 P kompenzáció<br />
A zárt rendszer stabi1itása ill. a kel lő fázistartalék miatt a<br />
felnyitott kör vágás i körfrekvenc i ája az aszimptot ikus diagram (-1)<br />
meredekségű szakaszán lehet. Ilyen meredekségű hosszú szakasz az o> =0, 1<br />
194
és LÚ = 1 sarokfrekvenciák között w görbéjében megtalálható. Ezért ha a<br />
d P<br />
szabályozási időre vagy a statikus hibára vonatkozó előírások nem<br />
kívánják a frekvencia diagram alakjának a módosítását, a legegyszerűbb<br />
megoldásban a szabályozó (kompenzáló szerv) arányos tag (proporcionális<br />
tag = P tag). Ennek k^ erősítési tényezőjét a ke11ő fázistöbblet<br />
biztosítása korlátozza. Figyelembevéve a sarokpontoknak az aszimptotikus<br />
szög értékre gyakorolt hatását (6.5.4 pont ill. 6.18 ábra) és korrekció<br />
forrásnak első közel ítésben csak az o> sarokpontot tekintve, attól 1:2<br />
arányban kisebb frekvenciánál a kel lő fázistartalék még biztosíthatónak<br />
látszik.<br />
• -9,2 ábra<br />
Tehát olyan k erősítésből indulhatunk ki, amely a felnyitott kör<br />
r<br />
aszimptotikus diagramjának vágási frekvenciáját kb. ~ 0,5 értékre<br />
állítja. Ehhez w görbéjét a függőleges tengely irányában az eredeti<br />
P<br />
helyzetéhez képest 1:5 arányban kell megemelni (9.2 ábra W Q) .<br />
w (s) = 5 (S.2)<br />
r<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye:<br />
M<br />
wo(s)= wr (s) w is)= XJTm-T(T+sHl^<br />
( s )<br />
= - r T^ y<br />
o<br />
(9.3a)<br />
5<br />
A pontos vágási frekvencia ill. fázistöbblet (zárójelben az<br />
aszimptotikus diagram szerinti értékek):<br />
195<br />
o
CJ = 0,44; (0,5);
Az irányító .jel<br />
U ( S ) =<br />
w r(s) ua(s) vMs) ua(s) N Q(S)<br />
1+w (s) w (s) =<br />
1+w (s)<br />
r p o<br />
Behelyettesítve<br />
= k<br />
r"N(s) U ( s )<br />
a<br />
(9.7a)<br />
( , (l+10s)(l+s)(l+0,2s) 1<br />
(l+10s)(l+s)(l+0,2s)+5 ' s (9.7b)<br />
U l S J b<br />
A irányító jel időfüggvényét a 9.4 ábra u p görbéje szemlélteti. A<br />
kezdeti értéket a (9.7b)-bői a t=0-ra vonatkozó határérték tétellel<br />
kiszámítva<br />
u(0) = 5 (9.7c)<br />
Ugyanerre az eredményre vezet, ha abból indulunk ki, hogy a szakasz<br />
időkésése miatt a t=0 pont környezetében az y kimenő ill. az y<br />
el lenőrző jel még közel zérus, így<br />
y,(s) ~ u (s) ill. u(s) ~ w (s)u (s) (9.8)<br />
h a r a<br />
Ebből<br />
u(0)= lim s w (s) • u (s) = w (s-*») = 5<br />
s-*oo r a r<br />
Az irányító jel a tranziens folyamat jelentős részében meghaladja az<br />
u(oo)=5/6 ál lamdósult értékét. A beavatkozó jelnek a túllendülését - a<br />
dinamikus túlvezérlést - vagy a maximális és az állandósult érték<br />
arányával (u^.) vagy - amennyiben az ál landósult érték zérus - a<br />
maximális értékkel (u ) lehet magadni. Ebben az esetben a maximális<br />
max<br />
érték a t=0 pi1lanatban - az alapjel bekapcso1ásakor - lép fel, ezért a<br />
túlvezérlési" arány:<br />
u =-^j = 6 [600%] (9.9)<br />
t U(oo)<br />
A dinamikus túlvezérlés a tranziens fo1yamat alatt fokozatosan szűnik<br />
meg.<br />
A dinamikus túlvezérlés a rendszer gyorsításának az eszköze. A<br />
gyorsítás mechanizmusát egy egytárolós arányos tag példáján a 9.5 ábra<br />
i1lusztrálja. A T időállandójú tagra u^ egységugrás bemenő jelet adva az<br />
y^ kimenő jel T időállandójú exponenciális görbe mentén éri el<br />
állandósult értékét (a ábra). A bemenő jelet a kezdő pi1lanatban<br />
kétszeresére növelve, majd fokozatosan egységnyire csökkentve (u^), az<br />
y^ kimenő jel a kezdeti pillanatban olyan meredekséggel indul, mint a<br />
kétszeres bemenő jelnek megfelelő kétszeres állandósult értékű T<br />
197
9.4 ábra<br />
Az elv általános érvényű. Egy rendszer tehetetlenségét csak<br />
túlvezérléssel lehet rövidebb idő alatt leküzdeni. Az irányított<br />
folyamat beállási idejének a csökkentését (a felnyitott kör vágási<br />
frekvenc i ájának a növelését) túlvezérléssel lehet elérni, amelyet<br />
azonban az állandósult kimenő jel változatlan értéke miatt fokozatosan<br />
meg kel1 szüntetni.<br />
A szabályozási körben a túlvezérlést és annak kellő ütemű visszavételét<br />
a negat í v visszacsatolás és a helyesen kiválasztott szabályozó<br />
algoritmus automatikusan valósítja meg.<br />
A 6.2 pont szerint egy rendszer tehetetlenségének egyik jellemzője<br />
kimenő jelének a 1ineáris szabályozási területe. Ennek alapján a 9.5a<br />
ábra gyorsítási folyamata úgy interpretálható, hogy az u^ jelnek az<br />
Uj-hez viszonyított - az ábrán vonalkázással jelölt - szabályozási<br />
területe negatív (gyorsító terület), amely levonódik az u^ által keltett<br />
y^ jel pozitív (időkéséses) szabályozási területéből és így jön létre a<br />
kevésbé időkéséses (kisebb pozitív szabályozási területű) y^ jel. A 9.5b<br />
ábra a (9.7b)-nek megfelelő irányító jel gyorsító területét mutatja.<br />
198
9.3.2 PI Kompenzáció<br />
A zárt szabályozási kör statikus hibája a nyitott kör erősítésének<br />
növelésével csökkenthető. Ha egy adott erősítésnél a felnyitott kör a<br />
gyakorlatilag még elfogadható stabi1itás határára kerül, további<br />
erősítésnövelés csak úgy lehetséges, ha annak hatása a kisfrekvenciás<br />
tartományra korlátozódik, de a stabi1itást és a beállási dinamikát<br />
meghatározó frekvenciatartományban (a vágási frekvencia környékén) már<br />
nem mutatkozik.<br />
9.5 ábra<br />
A felnyitott kör frekvenciaátvitel i függvényében (9.2 ábra) az o)^<br />
töréspontot a szakadozott vonal mentén az u) frekvenciára áthelyezve, a<br />
(-1) meredekségű szakasz a kisfrekvenciák felé úgy hosszabbítható meg,<br />
hogy az aszimptotikus diagram vágási körfrekvenciája változatlan marad,<br />
a fázitöbbletet pedig csak a távolabbra került töréspont korrekciós<br />
hatásának változása módosítja. Ekkor a körerősítés k -ről k -ra<br />
r ra<br />
növelhető. Szélső esetben a töréspontot w, =0-ra helyezve a w ^ T görbe<br />
la orl<br />
a teljes kisfrekvenciás szakaszon integráló jellegűvé (1. típusúvá)<br />
válik, ami az ugrásfüggveny alakú bemenetre a statikus hibát zérusra<br />
redukálja. A nyitott kör átalakításának ez a formája az arányos -<br />
integráló kompenzáció (PI kompenzáció), amely a kör eredeti típusszámát<br />
eggyel növeli, másrészt a frekvencia diagramot eredeti helyzetéhez<br />
képest a P kompenzációhoz hasonlóan a függőleges tengely i rányába<br />
önmagával párhuzamosan eltolja.<br />
199
A kompenzáló algoritmus, amely az 1/T^-nél levő valóságos vagy<br />
képzelt sarokpontot w=0-ra helyezi<br />
1+sT 1+sT<br />
w (s)= k o T = k —=-i (9.10)<br />
r r s i j r sl j<br />
Esetünkben az - l/T^ = 1/10 f rekvenc iánál levő sarokpontot úgy<br />
áthelyezve, hogy a P kompenzációval beállított vágási frekvencia és<br />
dinamika kölelítőleg változatlan maradjon,<br />
, . c 1+lOs n _ 1+lOs f ,<br />
w (s)= 5 —R~PR— = 0,5 (9.11)<br />
r lOs s<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye<br />
0,5 M (s)<br />
w (s) = — T - T - — w . _ _ v = —RR-7—r (9. 12a)<br />
o s(1+s)(1+0,2s) N (s)<br />
o<br />
A vágási frekvencia és a fázistöbblet a pontos és az aszimptotikus<br />
diagram (zárójelben) alapján :<br />
w c= 0,4540 (0,5); ^=60,39° (57,72) (9. 12b-c)<br />
A zárt kör átviteli függvénye<br />
W ( S ) =<br />
0,5 M Q(S)<br />
s (l+s)(l+0,2s)+0,5 =<br />
N(s)<br />
( 9 1 3 )<br />
'<br />
A domináns póluspár sarokfrekvenciája és esi 1lapítási tényezője<br />
w = 0,7 ; C = 0,63. (9.14)<br />
o ^<br />
A zárt kör harmadik pólusának sarokf rekvenc i á ja a>=5, 11 .<br />
A zárt kör átmeneti függvényét a 9.3 ábra Pl görbéje mutatja. A rendszer<br />
statikus állapotban az alapjelet hiba nélkül viszi át, a dinamikus<br />
túllendülés h t=0,077 , ami a statikus érték 7,7%-a.<br />
A (9.10) szerinti szabályozó átviteli függvény egy arányos és egy<br />
integráló tag párhuzamos kapcsolásával is előál1ítható (innen<br />
származik a Pl elnevezés).<br />
w (s)= k (1+ l/sT T)= 5 (1+ ^R-) (9.15)<br />
r r I lOs<br />
k^ az arányos csatorna erősítése, Tj az u. n. integrálási idő, amelynek<br />
elteltével - ugrás alakú bemenetnél - az integráló csatorna kimenete<br />
egyenlővé válik az arányos csatorna kimenetével. a frekvencia<br />
tartományban az aszimptotikus Bode diagram alapján értelmezhető (9.6a<br />
200
abra) Az 1/Tj-nél kisebb frekvenciákon a tag integráló, az azoknál<br />
nagyobb frekvenciákon arányos jellegű.<br />
Az irányító jel t=0 környéki értékének számításakor ismét a (9. 10)-bői<br />
induIhatunk ki. Az első pi1lanatban a szabályozó arányos csatornája a<br />
teljes bemenő jelet átviszi, az integráló csatorna kimenete zérusról<br />
indul. így<br />
u(0) = k u (0) = 5<br />
r a<br />
ami azonos a P kompenzációval kapott értékkel. Mivel azonban most u<br />
ál landósult értéke - a s tat ikus hiba eltűnése miatt - u(oo) = l , ezért a<br />
kezdeti pontban a túlvezérlés<br />
u(0)<br />
U(oo)<br />
[500%] (9.16)<br />
A későbbiekben ha az integráló csatorna kimenő jele gyorsabban nő, mint<br />
ahogyan az arányos csatorna kimenő jele csökken, az eredő u(0)-nál<br />
nagyobb is lehet (9.4a ábra), így a túlvezérlés maximuma nem a t=0<br />
pontban lép fel. Az eltérés rendszerint nem számottevő, ezért a<br />
továbbiakban sokszor az egyszerűség kedvéért a (9.16) alapján számított<br />
értéket tekintjük túlvezérlési aránynak.<br />
y h(s)<br />
100<br />
-<br />
v 1<br />
+ s T i I u(s)<br />
10 J_ 100 u<br />
T,<br />
®<br />
u(s) 1.ST1 u(s)<br />
9.6 ábra<br />
201<br />
1.sT Q
Az CJ=1/T töréspontot az cj-nál kisebb w =1/T frekvenciára (T > T. )<br />
l a a a 1<br />
áthelyező<br />
1+sT<br />
wr(s)= k (9.17)<br />
a<br />
algoritmus a 9.6b ábra aszimptotikus Bode diagramjának tanúsága szerint<br />
közelítőleg olyan Pl tágnak tekinthető, amelynek integrálási ideje T^ -<br />
T., mert az Ü»1/T\ tartományban arányos (k =KT./T erősítéssel), az alatt<br />
l 1 r l a<br />
integráló jellegű. A közelítés abban mutatkozik, hogy az integráló<br />
szakasz nem terjed ki a teljes kisfrekvenciás tartományra, U < U<br />
a<br />
frekvenciákon a tag k-ra növekedett erősítéssel ismét arányossá válik.<br />
Összefoglalva: Az egyszeres Pl t ípusú kompenzáló tag egy egyszeres<br />
töréspontot kisebb frekvenciákra képes áthelyezni.<br />
9.3.3 PD kompenzáció<br />
A szabályozás az eddigieken túlmenően gyorsítható, ha s i kerül a vágási<br />
körfrekvenciát úgy növelni, hogy a fázistöbblet nagyjából változatlan<br />
marad és ezáltal a kör megőrzi a gyakorlat i stabi1i tását.<br />
Az irányított folyamat Bode diagramjában az Ü)=1/T^=\ körfrekvencián<br />
levő töréspontot nagyobb frekvenciára - pl. (j^^l/T^^lO-re - helyezve a<br />
(-1) meredekségű szakasz az ^=2-re kerüljön, a<br />
módosított Bode diagramot függőleges i rányban önmagával párhuzamosan<br />
1:20 arányban kel1 eltolni (9.7 ábra vastagon kihúzott görbéje). Ezt az<br />
eltolást és a pólusáthelyezést megvalósító arányos-differenciá1ó (PD)<br />
kompenzáló tag átviteli függvénye:<br />
V<br />
S )<br />
= k<br />
1 + s T<br />
2 Us<br />
r -ÜÍTT- = 2 0 2a<br />
TÍÖ7TI<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye:<br />
W ( s ) = =<br />
o<br />
20<br />
( 9 1 8 )<br />
(l + 10s)(l+0,2s)(l+0,ls) (9.19)<br />
A vágási frekvencia és a fázistöbblet pontos és (zárójelben) az<br />
202
aszimptoták szerinti értéke<br />
w c= 1 ,84 (2);
értékével.<br />
S<br />
*"<br />
A túlvezérlési arány<br />
T<br />
2<br />
u(0) = lim s u(s) = k = 20-10=200 (9.21a)<br />
r r<br />
2a<br />
A beál1ási idő a P kompenzációhoz képest kb 1:4 arányban csökken, ennek<br />
az ára azonban az irányítójel kezdeti ugrásának 1:40 arányú növekedése.<br />
A nagy túlvezérlés egyrészt azért alakul ki, mert az irányi tójel<br />
gyorsító területének a beállási idő rövidítése miatt önmagában is<br />
növekednie kel 1, másrészt a növelt terület rövidebb idő alatt kel 1<br />
képződjék.<br />
A (9.21a) egyenletből látszik, hogy a túlvezérlés két komponens<br />
szorzatából ál 1. Az egyik a pó1usáthe1yezési arány (T /T ), a másik az<br />
2 2a<br />
arányos erősítés, ame11ye1 a módosított töréspontú Bode di agramot<br />
önmagával párhuzamosan eltoltuk.<br />
A (9.18) algor i tmussal az 0)^ = 1 /T^-nél levő töréspont el vi leg w^^oo-re is<br />
el tolható (T =0). Ekkor az algoritmus egy arányos és egy differenciáló<br />
2a<br />
tag párhuzamos kapcsolásával is előál1í tható (innen származik az<br />
elnevezés).<br />
w (s)=k (1+sT) (9.22)<br />
r r D<br />
k^ az arányos csatorna erősítése, pedig a differenciálási idő. A 9.8a<br />
ábra szerint a tag az w
9.8 ábra<br />
Az aszimptotikus Bode d i agramban (9.8b ábra) az arányos és a<br />
differenciáló szakasz között i határ u) = \/T^ f rekvenc ián van. A<br />
differenciáló hatás azonban nem terjed ki az egész nagyfrekvenc i ás<br />
tartományra. ÜM/T^ f rekvenc iákon a tag arányos jel legűvé vál ik.<br />
A tag v átmeneti függvényében a kezdeti ugrás időállandójú<br />
exponenciális görbe szerint csökken az állandósult értékre.<br />
v(t) = k [l+( - 1) e ^ a<br />
] (9.24)<br />
r<br />
2a<br />
A időállandót a kompenzálandó töréspont határozza meg, T^ a bizonyos<br />
határok között szabadon választható. A fázistöbblet szempontjából<br />
előnyös, ha a kompenzált pólus minél távolabbra kerül ( T / T<br />
n a g y<br />
2 2a ^»<br />
a beavatkozó jel kezdeti csúcsa T -val fordítottan arányos. Márpedig<br />
ugrásszerű bemenő jelekre a gyorsító hatás csak akkor érvényesül, ha ezt<br />
a csúcsot a soron következő tagok átviszik. Ha a kompenzáló szervet<br />
követő valamelyik erősítő a szabályozóban vagy a beavatkozó szervben<br />
kisebb jelszinten telítődik, akkor nem képes a szakaszra átvinni a kellő<br />
túlvezérlést, így a gyorsító hatás részben vagy egészében elmarad.<br />
205<br />
d e
Annak érdekében, hogy a telítétlen üzemállapot ne korlátozódjék<br />
túlságosan kis bemenő jelekre, a túlvezérlést lehetőleg korlátozni kel 1.<br />
Egyszeres PD tagban a T /T arányt 1: 10 - nél nagyobbra csak ritkán<br />
választják. Többszörös PD kompenzációt pedig - mivel az egyes pólusok<br />
áthelyezéséből származó túlvezérlések összeszorzódnak - folytonos idejű<br />
rendszerekben csak igen kivételes esetben alkalmaznak.<br />
Összefoglalva: A PD tag a Bode diagram egyik egyszeres töréspontját<br />
nagyobb frekvenciára helyezi át, de ezzel az áthelyezési aránnyal azonos<br />
túlvezérlést okoz.<br />
9. 3.4 PID kompenzáció<br />
A stacionárius hiba csökkentése és a rendszer gyorsítása együttesen<br />
megoldható a PID (arányos - integráló - differenciáló) kompenzációval,<br />
amely a PI és PD kompenzáció kombinációja. Az univerzális szabályozók<br />
rendszerint ilyen jelformálással készülnek széles határok között<br />
ál 1ítható arányos erősítéssel, integrálási és differenciálási időkkel.<br />
A vizsgált esetben az irányított folyamat w (jw) frekvencia függvényében<br />
a 9.3.2 és 9.3.3 pontokban tárgyalt módosításokat együttesen végrehajtja<br />
a PI és é PD tag soros kapcsolásával képzett alábbi w (s) átvitel i<br />
függvény:<br />
, , ,<br />
1 + S T<br />
1<br />
1 + S T<br />
2 Q n l + 10s 1+s r q<br />
w (s) = k = -r-—= = 20 —px ~TTn—TTT (9.25)<br />
r r sT, l+sT 0 lOs 1+0,ls<br />
1 2a<br />
A felnyitott kör =2,96; C=0,6109<br />
o ^<br />
A zárt kör átmeneti függvényét a 9.3 ábra PID görbéje mutatja.<br />
206
A túllendülés<br />
h t<br />
= 0,084<br />
ami az y(oo)=l állandósult érték 8,4%-a.<br />
Az irányitó.jel a stacionárius értékekben mutatkozó kis különbségtől<br />
(u(oo) = l) eltekintve megegyezik a PD kompenzáció megfelelő jelével. A<br />
kezdeti értéke u(0)=200, a dinamikus túlvezérlés u t=200.<br />
A (9.25) átviteli függvény egy arányos, egy integráló és egy<br />
reálizálhatóan differenciáló tag párhuzamos kapcsolásával is<br />
előállítható (9.9a ábra).<br />
r*- 1<br />
sTp<br />
1.sT 2 o<br />
©<br />
w (s)= k (1+<br />
r sTT sT<br />
1+sT,<br />
2a<br />
w<br />
100-<br />
10-<br />
9.9 ábra<br />
(l+sT^d+s^)<br />
)= k<br />
r s T l (UsT 2 a)<br />
T I » T D > > T 2 o<br />
k r~k<br />
JL^JL J 1_ JL 00<br />
©<br />
T 1 ~ T l T 2~ T D T 2a<br />
Amikor az integrálási és a differenciálási frekvencia tartomány<br />
távol esik egymástól (9.9b ábra)<br />
T V 2 » T<br />
i U<br />
2a - T<br />
I » T<br />
D » T<br />
2a<br />
akkor<br />
T ~ T<br />
L<br />
l<br />
A<br />
l<br />
T ~ T :<br />
l<br />
B 2 '<br />
(9.27a)<br />
Ha a két frekvenciasáv közel van, a paraméterek közötti összefüggések<br />
módosulnak. T =T_ » T 0 határesetben<br />
1 2 2a<br />
T =2T •<br />
I *V<br />
k= 2k (9.27b)<br />
207
9.3.5 Különböző jelformálású szabályozók összehasonlítása<br />
A P, PI, PD jelformálás fizikai oldalát vizsgálva tételezzük fel, hogy<br />
akár az alapjel, akár a zavarójel ugrásszerű változása miatt megváltozik<br />
a kompenzáló szerv bemenetét alkotó y^ hibajel (9.1 ábra).<br />
A szabályozó olyan u irányító jel lel válaszol, amely igyekszik<br />
eltüntetni a hibát, és az első időszakban általában nagyobb, mint a<br />
stacionáriusán szükséges érték. Éppen ez az átmenet i túlvezérlés<br />
biztosítja a gyors működést.<br />
A P szabályozó a hibával arányos teljes túlvezérlést a hiba fellépésének<br />
pi1lanatában beveti. Ha pl. a felnyitott kör arányos típusú k Q=10<br />
körerősítéssel, akkor a szabályozott jellemzőben keletkező 10%-os hiba a<br />
P szabályozóban akkora irányítójelet vált ki, amekkora stacionárius<br />
ál lapotban 100%-os hiba eltüntetésére lenne elegendő. A túlvezérlést<br />
maga a beavatkozás következtében csökkenő hiba veszi vissza. Ha a<br />
szabályozott szakasz tulajdonságai miatt a beavatkozás eredménye<br />
túlságosan késleltetve jelenik meg, a túlvezérlés pedig túlságosan nagy,<br />
az arányos visszavétel annyira elkésik, hogy a szabályozott jellemzőben<br />
erős túl lendülés vagy lengés ál Ihat elő. Ezért ilyen struktúrában a<br />
felnyitott kör erősítése az adatoktól függő k^ r értéket nem haladhat<br />
meg. Ez határt szab a statikus pontosságnak és a működési sebességnek.<br />
Ezt a határt kétféle módon lehet át lépni:<br />
a.) A túlvezérlés lépcsőzésével,<br />
b. ) A túlvezérlés visszavételének a gyorsításával.<br />
A PI szabályozó az első elv szerint a hiba megje1enésének a pi1lanatában<br />
az arányos csatornáján keresztül a krit ikusnak megfelelő beavatkozó<br />
jel lel válaszol, amelyet a hibajel integrálása útján olyan lassan<br />
igyekszik növelni, hogy közben az első beavatkozás eredményeként a hiba<br />
jórészt megszűnik és a túlvezérlés sokkal előbb mérséklődik, semmint a<br />
kezdeti hibának megfelelő végértéke kialakulhatott volna. A hiba<br />
elhárítás zömmel így k^ r körerősítéssel történik, ezért a szabályozás<br />
gyorsasága kb. megegyezik azzal, amit egy ilyen körerősítésű P<br />
szabályozással lehetne elérni. Az integráló hatást is magában foglaló<br />
teljes körerősítés már csak a stat ikus ál lapot közelében jut érvényre,<br />
amikor már nem a gyorsaságot, hanem a stacionárius hibát képes<br />
befolyásolni.<br />
A PD szabályozó - minthogy kimenő jele nemcsak a hibajellel, hanem<br />
annak differenciálhányadosával is arányos - gyorsan növekvő hibákra az<br />
arányos értéket meghaladó túlvezérléssel reagál, de ezt már a hiba<br />
változási sebességének csökkenésekor ill. megfordulásakor nagyrészt<br />
visszaveszi anélkül s hogy magának a hibának a csökkenését megvárná.<br />
A PID szabályozó azáltal egyes í t i a két elvet, hogy a beavatkozást<br />
nemcsak a hibától, hanem annak integráljától és differenciálhányadosátó1<br />
is függővé teszi.<br />
208
9.3.6 Holtidős szakasz kompenzálása<br />
Az ideál is holt idős taggal helyettesíthető szakasz szabályozása a<br />
holt idős tag két a1apt u1aj donsága miatt tér el az inercia<br />
rendszerekétől.<br />
a. ) Frekvencia átviteli függvényének amplitúdója frekvenciafüggetlen,<br />
b. ) Túlvezérléssel nem gyorsítható, mert a holtidőt okozó véges<br />
jelterjedési sebesség nem függ a bemenő jel amplitudójától.<br />
Az a isiiatt arányos szabályozással már egységnyi körerősítésnél a<br />
stabi1itás határhelyzetébe kerül (Nyquist diagramja átmegy a - 1<br />
ponton). A megfelelő stat ikus pontossághoz szükséges kisfrekvenciás<br />
kiemelés csak Pl vagy I kompénzációva1 érhető el.<br />
b-ből következik, hogy D kompenzációval maga a holt idős tag nem<br />
befolyásolható, legfeljebb a hozzá csatlakozó tárolós tagok.<br />
Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye<br />
-sT<br />
w (s)= e w, (s) (9.28a)<br />
o 1<br />
ahol Wj(s) rációnál is törtfüggvény.<br />
A zárt kör átviteli függvénye<br />
r \<br />
-sT,<br />
h<br />
w, (s)<br />
1<br />
-sTu w(s) = e —<br />
1 + e<br />
h , v<br />
Wj(s)<br />
(9.28b)<br />
A felnyitott körben előforduló ho11idő amellett, hogy soros tagként a<br />
zárt kör átviteli függvényében - így kimenő jelében is - megjelenik, a<br />
zárt rendszer átviteli függvényének 1+W q(s) nevezőjét transzcendens<br />
függvénnyé teszi. Folytonos idejű MATLAB utasítások a holt idős átviteli<br />
függvényeket nem tudják kezelni, így a zárt kör pólusát meghatározó,<br />
vagy a szimulációs feladatok csak úgy oldhatók meg, ha a holtidős tagot<br />
tárolós tagokkal helyettesítjük.<br />
A fázistöbblet alapján történő méretezéshez ilyen helyettesítés nem<br />
szükséges, mert a holt idős tag a felnyitott kör Bode amplitúdó<br />
diagramját egyáltalán nem, fázisdiagramját pedig egyszerűen kalkulálható<br />
módon módosítja. A méretezett rendszer ellenőrzéséhez azonban már<br />
szükséges a helyettesítés.<br />
Ha a ho11idő a felnyitott kör többi időál1andójához képest kicsi, a<br />
kompenzáló algoritmus ill. a vágási frekvencia kiválasztásakor nincs<br />
lényeges szerepe. Úgy tekinthető, mint a kisebb '' időállandós tagok<br />
egyike, amelyek a 6.7.4 pont szerint a zárt kör átviteli függvényében is<br />
megjelennek. (Sokszor az ilyen ho11idő nem is valóságos, hanem éppen úgy<br />
kerül a rendszerbe, hogy egyszerűség kedvéért több kis időállandós tagot<br />
egyetlen holt idős taggal helyettesítünk. )<br />
209
A holtidő akkor jut meghatározó szerephez, ha összemérhető a rendszer<br />
nagyobb időállandóival. Ilyenkor az w =1/T, "holtidős sarokfrekvencia",<br />
amely e1mozdíthatatlan, korlátozza a felnyitott kör vágás i<br />
frekvenciáját. így ez a 7.4 példa szerint 60°-os fázistöbblet<br />
betartásával akkor sem növelhető fölé, ha a kör a holt idős tagon<br />
kívül csupán egyetlen integráló vagy nagy időállandós egytárolós tagból<br />
ál 1. 11yenkor a zárt kör működését nemcsak az elkerülhetet len no11 idő,<br />
hanem a kis vágás i frekvencia miatt hosszúra nyúló beál1ási idő is<br />
lassítja.<br />
u Q(s) y hls)<br />
y m1 (s)<br />
W 5 '<br />
u Q(si y h(s)<br />
w r(s]<br />
w<br />
í s )<br />
pm<br />
w rís!<br />
-4<br />
uís)<br />
U IS)<br />
®<br />
s T<br />
e" h Wpís)<br />
y(s)<br />
e-sT h m, "pm Is) 41<br />
2 T<br />
Wpís) 2Í S<br />
®<br />
9.10 ábra<br />
e" s T h<br />
Ez utóbbi tényezőnek a kiküszöbölésére alkalmas a Smith prediktor<br />
(9. 10 ábra). Ebben az u irányító jel nemcsak a<br />
w (s)=exp (-sT,) w (s)<br />
o<br />
r<br />
h p<br />
átviteli függvényű szakaszra, hanem annak exp(-sT. ) w (s) átviteli<br />
hm pm<br />
függvényű teljes és a holtidő nélküli w^Cs) modelljeire is hat.<br />
A w^(s) algoritmust úgy kel 1 meghatározni, hogy az a holt idő néküli<br />
modellel az 1 jelű körben a kívánt dinamikát és túlvezérlést érje el. Az<br />
így előál1ított irányító jel kerül azután a szakaszra, amelyen ha a w<br />
pm<br />
mode11 pontos, az y^ jelhez képest T^-val késleltetett kimenő jelet<br />
produkál. Az elrendezés azzal egyenértékű, mintha a holtidőt sikerült<br />
volna különválasztani és a zárt szabályozási körömi kívülre helyezni (b<br />
ábra).<br />
210
Ha a modell pontos, a holt idős szakasz y kimenő jele és annak y<br />
m<br />
modellje azonos, különbségük zérus, így a 2 jelű korrekciós kör<br />
nyitottnak tekinthető.<br />
Ha bármilyen okból (hibás modell, zavarójelek) a két jel eltérő, y<br />
különbségük a bemenetre visszacsatolva az eltérést korrigálni igyekszik.<br />
9.3.7 Labilis folyamatok szabályozása<br />
A szabályozott szakasz és a szabályozó átviteli függvényeinek pólusaihoz<br />
az állapottérben állapotváltozók kötődnek, amelyek együttesen a<br />
felnyitott kor állapotváltozóit alkotják. Ezek a rendszerből nem<br />
tüntethetők el. Amikor tehát a kompenzálás a szakasz vagy a szabályozó<br />
átviteli függvényének valamelyik pólusát kiküszöböli, valójában a<br />
rendszer megfelelő változóját a kimenő vagy a bemenő oldalról<br />
hozzáférhetetlenné, tehát nem megf i gye 1 he t ő vé vagy nem irány í t hat óvá<br />
teszi. Attól azonban, hogy egyes változók nincsenek jelen az átviteli<br />
függvényben, a rendszernek részei maradnak, és a felnyitott körnek a<br />
bemenő és a kimenő jelétől különböző belső jelekkel érzékelhetők és<br />
hozzáférhetők,<br />
A rendszer stabilitásához nemcsak az átviteli függvény pólusai, hanem a<br />
nem megfigyelhető és a nem irányítható pólusok is a baloldali fél síkon<br />
ke11, hogy legyenek.<br />
Irányi tható és megfigyelhető Iabi1is pólusokat tartalmazó jznkaszK, L<br />
megfelelő szabályozó algoritmussal stabilis zárt szabályozási k^>r<br />
építhető fel, mert a labi1 is változó begerjedésekor a begerjede^t gat<br />
visszacsatoló jel alakul ki a zárt körben, ame 1 y kedvező ^£>*:tbt'p<br />
megfékezi a folyamatot. Nem szabad azonban a 1 ab i 1 i s pólusokat nvm<br />
megfigyelhetővé vagy nem irányithatóvá tenni, tehát nem Lenét azokat .\<br />
szabályozó zérusaival közvetlenül kompenzálni. A felnyitott kör átviteli<br />
függvényéből eltüntetett változókra ugyanis nem hat a visszacsatolási<br />
mechanizmus (mert vagy a szabályozott jellemzőben nincsenek jelen, vagy<br />
a visszacsatolt jel lel hozzáférhetetlenek), így ha labilisak,<br />
begerjedésüket semmi sem akadályozza,<br />
A 1.abi 1 is szakasz szabá 1 yoző jának tervezését a 9. 2 példa i 1. lusztrál ja.<br />
9.1. Példa<br />
a. ) Határozzuk meg a követési hibát, ha a 9.3 pontban tárgyalt Pí<br />
kompenzációs szabályozási kör alapjele sebességugrás alakú,<br />
U (s)=1/s .<br />
a<br />
b. ) Hogyan kell megváltoztatni a kompenzáló algoritmust ahhoz, hogy a<br />
sebességugrás alapjelet stacionárius hiba nélkül kövesse a rendszer?<br />
a. ) A (9.12a) egyenlet szerint Pl kompenzációval a felnyitott kör 1<br />
típusú, k=0,S körerősítéssei, amelynek aszimptotikus Bode diagramját<br />
a 9.2 ill, a 9.1 la ábrák Pl görbéje mutatja. A 8.1 táblázat szerint<br />
az ilyen kör a sebességugrást u^/k=l/0,5=2 állandósult hibával képes<br />
követni.<br />
211
A hibajel frekvencia függvénye<br />
u (s) 0,5s(l+s)(l+0,2s) 1<br />
y (s)= —- = . — (9.29)<br />
1+w (s) s(l+s)(l+0,2s)+0,5 s<br />
A MATLAB-bal kiszámított időfüggvényt a 9.11b ábra y görbe *e<br />
ábrázolja.<br />
9.11 ábra<br />
b. ) A stacionárius követési hiba eltüntetése érdekében a szabályozási<br />
kör kisfrekvenciás szakaszát 2-es típusúvá (-2 meredekségűvé) kel1<br />
tenni, ugyanakkor a vágás i frekvencia stabi1itási és dinamikai<br />
okokból továbbra is (-1) meredekségű szakaszon kel 1 maradjon. A<br />
szakasz (9.1) átviteli függvényének átalakításakor a vágás i<br />
frekvencia - mivel a működés i sebességet most nem akarjuk<br />
változtatni - a 9.3.2 pont szerinti értéken tartható. A<br />
kisfrekvenciás tartományt azonban kétszeresen integrálóvá kel1<br />
tenni. Ez pl. úgy történhet, hogy először a 9.3.2 ponttal egyezően a<br />
szabályozott szakasz aszimptotikus Bode diagramjának (9.2 ábra)<br />
a>=0, 1 töréspontját egy PI taggal w=0-ra helyezzük, azután az így<br />
keletkező (-1) meredekségű egyenes egyik pontjában (w^-nél) egy<br />
újabb PI taggal új töréspontot létesítünk, ame1yné1 kisebb<br />
frekvencián a diagram meredeksége (-2)-re módosul. Ez - a PI<br />
212
kompenzációhoz képest új töréspont a fázistöbbletet is csökkenti<br />
(6.5.4 pont). A hatás korlátozása érdekében w^-t a vágási<br />
frekvenciától kellő távolságra kell elhelyezni. Válasszuk az 1: 10<br />
távolságban levő o> b=0,05 értéket (ez a 9.12b egyenlethez képest a<br />
fázistöbbletet 0,1 radiánnal csökkenti).<br />
A szabályozási algoritmus<br />
i+lOs l+20s<br />
w (s)= k • (9.30)<br />
r r<br />
lOs 20s<br />
A két soros PI tag PII kompenzációt eredményez.<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye<br />
k (l+20s) 0,025 (l+20s)<br />
w (s) = = (9.31a)<br />
° 200s 2<br />
(l+s)(l+0,2s) s 2<br />
(l+s)(l+0,2s)<br />
k^ értékét úgy határoztuk meg, hogy az w c=0 pontban az aszimptotikus<br />
közelítéssel számolt amplitudó W q=1 legyen. Az aszimptotikus diagramot a<br />
9. 11a ábra PII görbéje mutatja.<br />
A vágás i frekvencia és a fázistöbblet (zárójelben az aszimptotikus<br />
értékek)<br />
tó =0,456 (0,5) ; c tartományban a>=0, 05 sarokf rekvenc i á jú zérusa<br />
van. (A 6.7.4 pont szerint ennek környezetében van a zárt kör egyik<br />
pólusa.) Ez T=17,9 időállandójú lassan esi 1lapodó összetevőt hoz a zárt<br />
kör jeleibe. Jelenléte jól felismerhető a követési hiba 9.11b ábrájának<br />
y<br />
ö r b é é b e n is<br />
h2 8 J -<br />
A jelenség a következőképpen interpretálható:<br />
A Pl és PII kompenzáció tranziensei a vágási frekvencia reciprokának a<br />
nagyságrendjébe eső időtartományban csaknem azonosak, mivel a közepes és<br />
a nagyfrekvenciákon a Bode diagramok is azonosak. A PII kompenzáció<br />
követési hibája is olyan, mintha a PI kompenzáció állandósult hibájához<br />
tartana, mivel a második PI tag hatása a nagyobb integrálási ideje miatt<br />
alig érvényesül. Amikor azonban mégis érzékelhetővé válik, a csaknem<br />
állandósuló hibát az említett időállandóval szünteti meg.<br />
213
A hiba elhárításának ez az elhúzódó szakasza a második Pl tag<br />
integrálási idejének csökkentésével rövidíthető. A 9.11b ábra<br />
görbéje arra az esetre vonatkozik, amikor a (-2) meredekségű szakasz<br />
0^=0,1 -nél végződik. A zárt kör legkisebb sarokfrekvenc i ája ekkor<br />
u>=O t 127-re kerül, azaz a második Pl tag hatása T=7,8 időál landóval<br />
érvényesül. Ez esetünkben gyorsabban eltünteti a stacionárius követési<br />
hibát, de a fázistöbbletet 47 -ra csökkenti, ami más típusú feladatnál<br />
(bemenő jelnél) hátrányos lehet.<br />
-H 2 példa<br />
4-^ ..i^i 1 is szabályozott szakasz átvitel i függvénye<br />
r > = 0,5 = -1<br />
p b<br />
' (s-0, l)(s+l)(s+5) (l-10s)Tl+s)(l+0,2s) ( Q .<br />
Tervezzünk olyan szabályozót, amely a zárt kört stabi1izálja, az<br />
ugrásalakú bemenő jelet stacionárius hiba nélkül követ i, és a<br />
túlvezérlési arány nem haladja meg az u^-50 értéket.<br />
Mivel az egyenlőre P kompenzálással - k erősítéssel - képzett nyitott<br />
kör egyik pólusa a jobboIdali félsíkra esik, a zárt koi s,ab^ i1tásának<br />
eldöntésére az általános Nyquist kritériumot kel- h^p^á] ni , A<br />
felnyitott kör minőségileg helyes Nyquist diagramját a 8,6 példa<br />
mintájára meghatározva a 9.12a ábrához jutunk. A zart kör akkor<br />
stabilis, ha a -1 pont az a hurokba esik. Ennek a fe ; étele, hogy az<br />
egységsugarú kör és a Nyquist görbe vastagon kihúzat? f-> ágának c<br />
metszéspontjában (a vágási frekvencián) a fázistöbble* o.^isi'- legyen.<br />
9.12 ábra<br />
214
A vágási frekvencia helyét a függvény aszimptotikus Bode diagramjának<br />
(9.12b ábra) segítségével lehet megállapítani. Ez esetben az<br />
aszimptotákon a meredekség helyett az aszimptotikus szögeket jelöltük.<br />
Pozitív fázistöbblet (-180°-nál nagyobb fázisszög) az CJ=0, 1 és u>~\<br />
sarokpontok közötti szakaszon (a -90 -os aszimptotán) lehetséges. Mi ve 1<br />
mindkét sarokpont az aszimptotikus szöget a szakaszon belül negatív<br />
irányba korrigálja, a legkedvezőbb szög a szakasz közepén várható.<br />
w=0,3-nál pl. a fázisszög kb. -130°. Kedvezőbb fázistartalék és nagyobb<br />
o> c elérése céljából a jobboldal i sarokpontot még PD kompenzációval<br />
o>=5-re áthelyezzük. Ekkor a vágás co=l-re tehető, mert ott a<br />
fázistartalék c=l pontba kerüljön (az ábra W q görbéje). Ez a<br />
PD kompenzáció 1:5 arányú pó1usáthe 1yezéséve1 együtt ugrásalakú bemenő<br />
jelre ^=10-5=50 dinamikus túl vezérléshez vezet, ami még éppen<br />
megfelelő. Mivel az u>=0, 1-nél levő sarokpont labi 1 is pólustól származik,<br />
közvet len kompenzációval nem tüntethető el. Ezért az integráló jel leget<br />
kialakító PI algoritmust az (l-10s) gyöktényező helyett az azonos<br />
sarokpontú (l+10s)-sel képezzük. A teljes PID kompenzáló tag átviteli<br />
függvénye<br />
w<br />
, ,<br />
(s)=10<br />
l+10s 1+s<br />
r J<br />
lOs 1+0,2s (9.33)<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye:<br />
w<br />
, ,<br />
(s)<br />
1+lOs<br />
°<br />
2<br />
s(l-10s)(l +0,2s)<br />
í 9<br />
- 3 4 a )<br />
Kis frekvenciákon az aszimptotikus Bode diagram (-1) meredekségű egyént<br />
(9.12b ábra W q), amelynek aszimptotikus szöge a negatív átviteli ténye,<br />
miatt -270°. Az CJ=0s 1 pontban mind a számlálóban mind a nevezőben a H><br />
tag vál ik dominánssá. Mivel mindkettő abszolút értéke azonos, ez xwokoz<br />
meredekség változást, de az aszimptotikus szöget +180 -kai növeli<br />
Ezért az ct>=0, 1 pont megszűnik mint töréspont, de megmarad rr • s<br />
~<br />
sarokpont, ahol az aszimptotikus szög -270°-ról -90 -ra változik.<br />
A felnyitott kör vágási frekvenciája és fázistartaléka (zárőjelb i a?<br />
aszimptot ikus értékek):<br />
w c=0,9638 (1) ^=56,25° (56) (9 34b)<br />
Az ugrásalakú alapjel által gerjesztett kimenőjelet a 9. 13 ábra y<br />
görbéje mutatja. A (9.34a) egyenlet zérusa miatt a zárt kör egyik<br />
pólusának sarokf rekvenc i á ja o>=0, 128. Ennek T=7, 8 időállandója mutatkozik<br />
az y jel elhúzódó beállásában.<br />
215
Az irányító jel<br />
u(s) =<br />
w (s)<br />
r<br />
1+ w (s)<br />
o<br />
u (s)<br />
9. 13 ábra<br />
(9.34c)<br />
Az u görbe is a 9. 13 ábrában látható 1:50 arányú ampl i tudó<br />
zsugorítással.<br />
A példa kapcsán meg kell jegyezni, hogy W q fázisszöge az o>
számú zérusa csak előjelben különbözik n számú pólusától. s^. . . s^-nel<br />
jelölve a pólusok abszolút értékét<br />
w(s) =<br />
(s-s,)...(s-s )<br />
1 n<br />
(s+s,)...(s+s )<br />
1 n<br />
(9.36)<br />
A függvény abszolút értéke bármilyen s=ja>-nál egységnyi, így a valódi<br />
holt idős átviteli függvényhez hasonlóan csak a fázisszöge változik. A<br />
9. 14a ábrán a T = 1<br />
holt idejű tag tényleges i
Mivel a T=0,1 időállandó a T h=l holtidőhöz viszonyítva kicsi, a vágási<br />
frekvenciát az előírt fázistöbblet betartásával az aszimptotikus<br />
diagramon az 1/T^=1 holtidős sarokfrekvenc i át ó1 1:2 távolságra az<br />
w cj =0,5 pontba tehetjük (7.4 példa). Mivel ez az eredeti vágási pont is,<br />
az aszimptotikus diagramot nem kell elmozdítani. A frekvencia menet<br />
korrigálására sincs szükség, mert a vágási frekvenciát korlátozó ho11idő<br />
nem kompenzálható, a stacionárius hibát megszüntető 1 típusú<br />
kisfrekvenciás karakterisztikát pedig (9.37) már önmagában előál1ítja.<br />
így a szabályozó P típusú.<br />
w (s)=l; w (s)=w (s) (9.38)<br />
r o p<br />
a> cl=0,5; ? t=58,5°. (9.39)<br />
A zárt kör átviteli függvényében a holt idős tagot a 8-adfokú Pade<br />
közelítéssel helyettesítve a zárt kör átmeneti függvényére a 9. 15b ábra<br />
1 jelű görbéje adódik. Ennek beállási ideje az elkerülhetetlen holt idős<br />
késésnél jóval hosszabb.<br />
9.15 ábra<br />
Ha a fo1yamat modelÍjét pontosan ismerjük ((s)=w^(s)), a 9. 10 ábra<br />
szerinti Smith prediktor kapcsolásban a 2 jelű korrekciós körnek nincs<br />
szerepe. Az 1 jelű - holt időmentes - körben a vágás i frekvencia - ismét<br />
csak P kompenzációt használva - kb. a> c2=7-re növelhető.<br />
w (s)=14<br />
r<br />
A számításokat ismét a 8-adfokú Pade közelítéssel végezve az ugrás alakú<br />
bemenet által keltett kimenő jelet a 9.15b ábra 2 jelű görbéje<br />
ábrázolja. Ennek a beállási ideje jóval rövidebb (sőt az ca=10 sarokpont<br />
PD kompenzációval való eltolásával még tovább rövidíhető).<br />
218
9.4 Diszkrét idejű kompenzáció<br />
A mintavételes szabályozási kör struktúrája a 9.16 ábrán látható. A<br />
w r d(z) a diszkrét idejű szabályozó algoritmust leíró impulzusátviteli<br />
függvény, w^Cz) pedig a folytonos idejű szabályozott szakasz diszkrét<br />
idejű átviteli függvénye (impulzusátviteli függvénye, 6. 3 pont), amely<br />
a H tartószervet is magában foglalja (b ábra).<br />
u<br />
adíz y L<br />
hd ( z )<br />
U Qd ^ *hd .<br />
w rd i z S<br />
u d(z)<br />
w . (z)<br />
pd<br />
y d<br />
© n<br />
u Ü<br />
d J H<br />
w rd H W P<br />
®<br />
9.16 ábra<br />
W pd<br />
A w Az) diszkrét kompenzáló algoritmus is a 9.3 pontban tárgyalt<br />
rd<br />
elvekre épül, a mintavételezésből adódó értelemszerű eltérésekkel.<br />
A folytonos szakasz pólusainak hatása nemcsak a diszkrét átviteli<br />
függvény pólusaiban, hanem a negatív valós zérusaiban is mutatkozik.<br />
Ezért a folytonos pólus áthelyezésének a diszkrét megfelelője a pólus és<br />
a negatív valós zérusok együttes áthelyezése lenne. Az említett zérusok<br />
egyik része az egységsugarú körön kívül helyezkedik el, ezért labilis<br />
pólusú szabályozó algoritmussal kel lene kompenzálni, ami nem lehetséges.<br />
De még az egységkörön belül fekvő negatív valós zérusok kompenzálása sem<br />
kívánatos, mert a w^ d(z) átviteli függvény, illetőleg az ^(z) irányító<br />
jel nevezőjében (z+g) típusú faktorokhoz vezet. Emiatt az irányító<br />
jelben<br />
k ,<br />
U<br />
gd " "~z^T (9.40)<br />
219
alakú komponens is megjelenik, amelynek időfüggvénye alternáló előjelű<br />
esi 1lapodó impulzussorozat (9.17a ábra}. Ezt a tartószerv a<br />
szakadozottan jelölt fi/2 körfrekvenciájú négyszöghulIámmá alakítja (fi a<br />
mintavételezési körfrekvencia). Kedvezőtlen esetben hatására a kimenő<br />
jelben olyan oszci1láció alakulhat ki, amely a mintavételi pontokban<br />
csak mérsékelten vagy egyáltalán nem érzékelhető, de a folytonos idejű<br />
kimenő jelben a mintavételi pontok között meg nem engedhető lengést<br />
jelenthet (intersampling oscillation). Magának az irányító jelnek az<br />
erős oszci1lációja sem előnyös, mert a beavatkozó szervet rángatja.<br />
Ezért a diszkrét mode11 alapján történő méretezéskor azt is vizsgálni<br />
kel1, hogy a zárt kör folytonos idejű kimenő jelében nincs-e számottevő<br />
lengés a mintavételi pontok között. Ilyen lengés elvileg akkor alakulhat<br />
ki, ha a zárt körben az irányító jel diszkrét átviteli függvényének<br />
negat ív valós pólusai is vannak. Veszélyes mértékűvé azonban csak akkor<br />
válik, ha a negatív valós pólusok az egységhez közeli értékűek. (Az<br />
egységnél sokkal kisebb negat í v valós pólusok oszci1lációja gyorsan<br />
esi 1lapodik). A veszélyes lengés forrásai általában a kompenzációs<br />
algoritmus nevezőjében előforduló (z+g) típusú tagok, ezért a<br />
mintavételi pontok közötti oszcilláció gyakorlatilag úgy kerülhető el,<br />
hogy egyáltalán nem használunk ilyen típusú tagot a kompénzációban.<br />
® 9.17 ábra<br />
220
Ekkor a pólusáthelyezés a diszkrét rendszerben is a diszkrét pólusok<br />
áthelyezésére korlátozódik, amely a negatív valós zérusok egyidejű<br />
áthelyezésének elhagyása miatt a folytonos pólusok áthelyezéséhez<br />
viszonyítva járulékos hatásokat is eredményez. (Valójában a kompenzációs<br />
algoritmusnak az említett korlátozása ilyen mértékben nem szükséges,<br />
bizonyos határokon belül (z+g) típusú tagok is megengedhetők).<br />
9.4.1 Összefüggés a diszkrét idejű és a folytonos idejű kompenzáció<br />
között<br />
A T g lépésközzel mintavételezett szabályozási körben az w > T<br />
l s<br />
Ekkor azonban<br />
-T /T<br />
e S<br />
e S a z e<br />
s é n e z<br />
gy g<br />
közelálló érték.<br />
~ 1-T /T, ; T ~ T /2 ; T , -T /2 ~ 0 (9.43)<br />
s 1 dl s dl s<br />
Ezekkel<br />
1+sT<br />
w Js)=k —T=r±- (9.44)<br />
rd r sT^<br />
A diszkrét Pl kompenzáló algoritmus ugyanolyan hatású, mint a<br />
folytonos idejű Pl algoritmus. A Bode diagram 1/Tj frekvencián levő<br />
sarokpontjának áthelyezésén kívül más változást nem okoz a<br />
felnyitott körben.<br />
221
. ) A diszkrét ide.iű PD algoritmus a folytonos idejű folyamat<br />
diszkrét átviteli függvényének z 2 pólusát egy nagyobb sarokfrekvenciájú<br />
z^ a pólusra cseréli.<br />
z-z- s 2<br />
. . . 2 . z-e<br />
w , íz) = k — — — = k<br />
r d r<br />
z-z 0<br />
r ~V<br />
2a z-e<br />
Ideális esetben z, = 0. Ekkor<br />
2a<br />
z-z 2<br />
W<br />
( z )<br />
rd<br />
T<br />
2a (9.45a)<br />
" V~~z~~ (9.45b)<br />
Ennek kisfrekvenciás közelítése<br />
w.(.)-k (l-z ?)(1+ST J.'^'V ( 9 4 6 )<br />
rd r 2 2<br />
A (9.45b) diszkrét átviteli függvényének az egységugrásra adott<br />
válasza, mivel a bemenő diszkrét egységugrás z transzformáltja<br />
z/(z-l)<br />
Z-Z Z-Z r 1-Z "\<br />
u ,(z)=k • = k ^ = k 1+ % (9.47)<br />
rd r z z-1 r z-1 r[ z-1 J<br />
Az átmeneti függvény értéke a t=0 ill. a t=» pontokban a határérték<br />
tételekkel:<br />
v ít=0) = u JQ)- lim u . (z) = k (9.48a)<br />
rd rd rd r<br />
z-*»<br />
u .(«) = lim (z-1) u .(z) - k (l-z Q) - k l-e<br />
rd rd r 2 r!<br />
z-» 1<br />
A tag által létrehozott túlvezérlési arány:<br />
U<br />
rd<br />
( 0 3 1<br />
(9.48b)<br />
U , = - V-T = ~r~-7T~ (9.49)<br />
rt u (oo). -T /T<br />
rd , s 2<br />
l-e<br />
T * 3T 0 esetén:<br />
s 2<br />
l-e S<br />
-T /T T<br />
^ ~ — s<br />
- ; és T. 0 ~ T /2 (9.50)<br />
T 2 d2 s<br />
Ezzel a (9.46) és (9.49) egyenletekből<br />
222
u rt<br />
T -sT /2<br />
s s<br />
(l+sT2) e<br />
(9.51)<br />
A diszkrét PD kompenzáció hatása a vizsgált frekvencia tartományban<br />
olyan, mintha egy folytonos idejű kompenzáló tag a fo1yamat<br />
időállandóját T g/2 holtidőre cserélné és közben T^/^ (ill. pontosabban<br />
a 9.49 szerinti) túlvezérlési arányt okozna. Más szóval minden egyszeres<br />
diszkrét PD tag a felnyitott körben a folytonos átviteli függvény egyik<br />
pólusát T^/2 holtidőre cseréli olyan túlvezérléssel, mintha a pólus<br />
sarokfrekvenciáját w = 1/T^-re helyezné át.<br />
A kedvező túlvezérlési arányt a (9.47) időfüggvénye világítja meg, amely<br />
a t=0 pontban fellépő k^ területű Dirac impulzusból és az azt követő<br />
t=T g pontban kezdődő állandó területű [k^(l-z2)] Dirac impulzusok<br />
sorozatából ál 1. A Dirac impulzusokat a szabályozót követő zérusrendű<br />
tartószerv a 9.17b ábra szerinti U görbévé alakítja, így a folyamat a<br />
kezdeti túlvezérlést T g ideig kapja. Ez nagyobb gyorsító területhez<br />
vezet (vonalkázva), mint ami a (9. 18) szerinti folytonos PD<br />
algoritmussal azonos túlvezérléssel a T 2 a< T^esetre adódna (c ábra).<br />
Másképpen fogalmazva T < T esetben azonos gyorsító területet a<br />
2a s<br />
folytonos idejű algoritmus csak nagyobb túlvezérléssel képes<br />
előál1ítani, mert a túlvezérlést visszavevő mechanizmusa kedvezőt 1énebb,<br />
mint a diszkrét idejű algoritmusé. A mintavételezett szabályozásnak ez<br />
az előnye akkor jelentős, ha a mintavételezési idő a kompenzálandó<br />
időállandó nagyságrendjébe esik.<br />
A kedvezőbb túlvezérlés miatt a diszkrét szabályozásban többszörös PD<br />
kompenzáció is megengedhető.<br />
9.4.2 Diszkrét idejű kompenzáció tervezése<br />
A tervezés történhet az idő vagy a frekvencia tartományban. Az<br />
interaktív próbálgatásos eljárásra az utóbbi az alkalmasabb.<br />
A szabályozási algoritmus magáilapításához az irányított folyamat<br />
folytonos idejű átviteli függvényének ((s)) és a mintavételezési<br />
időnek az ismeretét tételezzük fel. Ezekből meghatározható a folyamat<br />
w (z) diszkrét átviteli függvénye. Ezt kel 1 közelítéssel vagy<br />
pa<br />
transzformációkkal egy egyenértékű folytonos idejű frekvencia diagrammal<br />
ábrázolható formára hozni, mert pl. a folytonos idejű aszimptotikus Bode<br />
diagram alapján könnyen kijelölhetők a vágási frekvencia elhelyezése és<br />
223
a minőségi előírások betartása érdekében szükségessé váló<br />
frekvenciamenet módosítások, valamint az azokat megvalósító kompenzáló<br />
tagok algoritmusai (9.3 pont). Ez utóbbiakat kell azután valamilyen<br />
módon diszkrét idejű algoritmussá konvertálni.<br />
A vázolt eljárásra többféle módszert dolgoztak ki. Egyik részük úgy jut<br />
a diszkrét frekvencia átviteli függvényt helyettesítő folytonos<br />
frekvencia függvényhez, hogy a z=exp(sT g) változót s-nek rációnál is<br />
függvényéve1 közelíti. Legismertebb változatuk az<br />
1+sT /2<br />
s s<br />
he1ye11es í t ésse1 operáló bilineáris transzformáció. (Tust in<br />
transzformáció. ) Ezzel a diszkrét átviteli függvényt olyan egyenértékű<br />
folytonos átviteli függvénnyé transzforrnáljuk, amelynek frekvencia<br />
menete a frekvenciatartomány kisfrekvenciás részében közelítőleg<br />
megegyezik a diszkrét idejű átviteli függvény frekvencia menetével, és<br />
közvetlenül alkalmazhatók rá a folytonos idejű rendszerek stabi1itás<br />
vizsgálati és kompenzációs módszerei.<br />
Sokkal egyszerűbben jutunk célhoz a diszkrét frekvencia átviteli<br />
függvénynek a 6.6.4 pontban tárgyalt u)< 1 /T frekvencia tartományra<br />
érvényes kisfrekvenciás közelítésével. A (6.76b) szerint a szakasz<br />
diszkrét frekvencia átviteli függvénye a folytonos idejű frekvencia<br />
átviteli függvényével és egy holt idős taggal helyettesíthető. s=jw<br />
rövidítéssel<br />
-sT /2<br />
w fs)=w (s)e S<br />
pd p<br />
(9.53)<br />
Mivel a ho11 i dő csak a fázisszöget befolyásolja, a diszkrét és a<br />
folytonos idejű aszimptotikus amplitudó diagramok megegyeznek (9.18 ábra<br />
W<br />
pd^' A<br />
töréspontok a folytonos idejű függvény pólusainak ill.<br />
zérusainak a sarokfrekvenciá^, amelyek a diszkrét átviteli függvény<br />
pólusait és zérusait is jellemzik, ezért az áthelyezésükhöz szükséges<br />
algoritmusok mind a folytonos idejű, mind a diszkrét idejű rendszerben<br />
mindenféle transzformációs eljárás nélkül közvetlenül fel írhatók.<br />
A kompenzálással létrejövő folytonos idejű ill, diszkrét idejű amplitudó<br />
diagramok is azonosak (9.18 ábra w^), csupán a fáziseltolásuk<br />
különbözik egymástól egy járulékos holtidővel kifejezhető módon (9.4.1<br />
pont).<br />
-sT<br />
w _(s) = w (s)e n<br />
od o<br />
(9.54)<br />
A T, holtidő a szakasz mintavételezése miatt fellépő (9.53 egyenlet) és<br />
n<br />
a diszkrét PD kompénzációbó1 (9.46 egyenlet) származó komponensekbő1<br />
tevődik össze. Hatását a diszkrét idejű rendszer vágási frekvenciájának<br />
elhelyezésekor a holt idős rendszernél szokásos módon kel 1 figyelembe<br />
224
venni. így a szakasz folytonos idejű átviteli függvényének alapján az<br />
interaktív tervezés kiinduló pontjául szolgáló diszkrét idejű<br />
szabályozási algoritmus igen egyszerűen becsülhető. Ezután az<br />
időtartománybeli ellenőrzéshez ill. további interaktív lépések<br />
részletszámításaihoz gépi módszerek használhatók.<br />
Meg kell jegyezni, hogy a diszkrét PD kompenzáció járulékos holtideje<br />
(z-Zj)/(z+g) típusú kompenzáló taggal (g pozitív valós) csökkenthető, g<br />
azonban nem léphet túl bizonyos értéket, mert ellenkező esetben az<br />
irányitójel oszcillációját váltja ki. Áz optimalizáló eljárások többek<br />
között ezt a lehetőséget is kihasználják a kedvezőbb dinamika elérése<br />
céljából. Jelen keretek között ezzel a kérdéssel tovább nem<br />
foglalkozunk. Az elmondottakat részleteiben a 9.5 példa i1lusztrálja.<br />
9.5 Példa<br />
Egy folyamat folytonos idejű átviteli függvénye<br />
, , 2_<br />
p (l+8s)(l+4s)(l+2s) (9.55)<br />
Legyen a mintavételezési lépésköz T g=l .<br />
Tervezzünk olyan diszkrét idejű szabályozást, amelyben<br />
a fázistöbblet ? t~60°;<br />
a zárt kör működési sebessége az elérhető legnagyobb (a beállási<br />
ideje a legkisebb);<br />
a zárt kör az ugrásalakú alapjelet stacionárius hiba nélkül követi;<br />
a kimenő jelben nem keletkezik oszcilláció.<br />
A folyamat diszkrét átviteli függvénye<br />
r ^ 0,0021 (z+3,01)(z+0,215) ( .<br />
W<br />
pd (z-0", 8825) (z-0, 7788) (z-0, 6066) ^ J<br />
Mivel w (s) nevezője és számlálója között a fokszámkülönbség 3, a w (z)<br />
p pd<br />
függvénynek két negatív valós zérusa van, amalyek közül az egyik az<br />
egységkörön kívül fekszik.<br />
A kisfrekvenciás közelítés a (9.53) szerint<br />
5 s<br />
w (s)=w (s)e °'<br />
pd p<br />
Az aszimptotikus Bode amplitúdó diagramot a 9.18 ábra Wp^Wp görbéje<br />
mutatja. A vágás1 frekvencia növelése érdekében a (-1) meredekségű<br />
szakaszt a nagyobb frekvenciák irányában meg kell hosszabbítani, ezért<br />
az td=0,25 ill. ü>=0,5 frekvenciákon levő sarokpontokat (z 2=0,7788 ill.<br />
225
z^=0,6065 pólusokat) kétszeres diszkrét PD kompenzációval meg kell<br />
szüntetni (szakadozott vonal). A diszkrét PD algoritmusok a kiküszöbölt<br />
sarokpontokat két egyenként maximálisan T /2=0 s 5 holtidejű tagra<br />
s<br />
cserélik. A stacionárius követési hiba eltüntetése érdekében az<br />
w=l/8-nál levő sarokpontot (a z^O, 8825 diszkrét pólust) diszkrét PI<br />
kompenzációval to=0-ra kel 1 eltolni (szaggatottan). Ez a művelet<br />
járulékos időkésést nem okoz, így a módosított diagram (w^) egy (-1)<br />
meredekségű integráló tag, amelyhez a mintavételezésből és a kétszeres<br />
PD kompénzác i óbó1 származó kb. T^~l,5 ho11 i dő járul. Ezen a vágás i<br />
frekvencia - a 60°-os fázistöbblet betartásával - kb. 1/2T -0,33 értékű<br />
n<br />
lehet. Valójában a PD kompenzációk nem pontosan ^ g/2 járulékos<br />
holtidőket hoznak a rendszerbe, így a> c sem ekkora, de a pontosabb<br />
becslésnek nincs értelme, mert a durvább közelítés is elegendő a<br />
ki induláshoz. A tényleges vágás i frekvenciát a tényleges frekvencia<br />
diagramból tudjuk meghatározni. A módosításokat végrehajtó diszkrét<br />
kompenzáló algoritmus<br />
W<br />
i Z J<br />
rd<br />
í 1=1, z-0,8825 z-0,7788 z-0,6066<br />
rd z~T " z z (9.57)<br />
A felnyitott kör impulzusátviteli függvénye<br />
k r d 0,0021 (z+3,01)(z+0,215)<br />
w ,(z)=w ,(z)w ,(z)od<br />
1<br />
1 J<br />
^' rd pd" 3<br />
*<br />
" , 2<br />
(z-1)z<br />
(9.58)<br />
Ha ennek pontos frekvencia diagramját az w^=0,33 pont körül k^^=l<br />
értékkel néhány pontban kiszámítjuk - pl. a MATLAB dbode utasításával -<br />
akkor könnyen megkereshető az a pont, amelyben a fázisszög -120 -hoz a<br />
legközelebb van. Esetünkben Ü>=0, 2 és Ü)=Q, 5 között logaritmikusan<br />
egyenletes lépésközzel 20 pontban kiszámítva a (9.58) diszkrét Bode<br />
diagramját k^=l értékkel és ennek amplitúdóját w^^-mel jelölve, azt<br />
kapjuk, hogy az előírt fázistöbbletet a leginkább megközelítő pontban<br />
u) =0,3744;
önmagával párhuzamosan kb. 1:3 arányban eltolt * w módosított<br />
aszimptotikus diagrammal, amit a kiindulási becsléshez használtunk.<br />
W<br />
10<br />
10 ü<br />
10"<br />
r2<br />
10"<br />
10*<br />
9.18 ábra<br />
Az egységugrás alakú alapjel által keltett folytonos idejű (y) és a<br />
mintavételezett (y d) kimenő jelek a 9.19 ábrán láthatók. Az utóbbit<br />
ábrázoló vastagon kihúzott vektorok hossza az általuk szimbolizált Dirac<br />
impulzusok területével arányos.<br />
9.19 ábra<br />
á zárt kör impulzusátviteli függvénye:<br />
227
w d(z) =<br />
37.25(z+3.01)(z+0.215)<br />
(z-l)z 2<br />
+ 0.078(z+3.01)(z+0.241)<br />
a diszkrét irányítójel transzformáltja:<br />
1+w Az) u<br />
( z )<br />
ad<br />
37,25 (z-0.8825) (z-0,7788) (z-0.6066)<br />
(z-1)z 2+0,0782(z+3,01)(z+0,245)<br />
Az időfüggvény értékei a t=0 és a t=» pontokban:<br />
u d(0)=37,25;<br />
A dinamikus túlvezérlési arány:<br />
(9.61)<br />
(9.62)<br />
u.<br />
t U.(CD)<br />
a<br />
= 37,25<br />
A diszkrét irányító jelből a tartószerv által előállított u^ lépcsős<br />
görbét a 9.19 ábra u görbéje szemlélteti.<br />
ri<br />
A túlvezérlési arány az alábbi részekből tevődik össze:<br />
a. ), A z = 0,7788 diszkrét pólus elmozdításából (9.49 egyenlet)<br />
u rt2 =1/(1- 0,7788) = 4,5<br />
b. ) a z 3= 0,6066 diszkrét pólus elmozdításából<br />
u = 1/ (l-0,6066)=2,54.<br />
rt3<br />
c. ) a módosított diagram önmagával párhuzamos elmozdításából, amely az<br />
eredetileg az ÜF=0.125-nél lévő vágást w= 0,3744-re helyezi.<br />
u- . =0,3744/0, 125 =3.<br />
rtl<br />
A komponensek szorzatából:<br />
u = 4,5-2,54-3 = 34,29. (9.63)<br />
rt<br />
Az uj.=37,44 pontos értéktől való eltérés a k i sf rekvenc i ás közelítés<br />
hibájából származik.<br />
9.6 Példa<br />
A diszkrét PD algoritmus járulékos időkésésének a csökkentése<br />
Egy folyamat folytonos idejű átviteli függvénye<br />
228<br />
z<br />
z-1
f 1 1<br />
V s(l+5s)<br />
A mintavételezési idő T =1<br />
s<br />
A diszkrét átviteli függvény<br />
(9.64a)<br />
w (z)=0 0937 z<br />
9 3 5 5<br />
+°><br />
pd<br />
U<br />
' üyJ<br />
'(z-l)(z-0,8187) (9.64b)<br />
Vizsgáljuk meg a szabályozási kör tulajdonságait, ha a PD szabályozóban<br />
a következő algoritmusokat használjuk:<br />
2. '-°1 3 8 7<br />
' • 6.62 '- 0<br />
rd rd2 z+0,6 ' z+0,6<br />
8 1 8 7<br />
'<br />
3.) w íz)=k^ 2 ~g'g*gU 10,67 2<br />
8 1 8 7<br />
- ° '<br />
rcT rd3 z+0,9355 ' z+0,9355 (9.65a-c)<br />
Az algoritmusok mindhárom esetben eltávolítják a felnyitott kör<br />
frekvencia diagramjából az u = 1/5-nél levő töréspontot (a z=0,8187<br />
diszkrét pólust), de különböző járulékos holtidőt hoznak be helyette. A<br />
k^^ tényezők mindhárom esetben kb. azonosra (kb. 60 ) állítják a<br />
felnyitott kör fázistöbbletét.<br />
Az X szerinti mego1dás felel meg a 9.4.1 pontban részletesen tárgyalt<br />
esetnek. A PD algoritmus -T g/2 = -0,5 értékkel növe1i a<br />
mintavételezésből származó -0,5 járulékos időkésést, így a felnyitott<br />
kör a kisfrekvenciás tartományban egy folytonos integráló taggal és 1^=1<br />
holtidővel helyettesíthető.<br />
A vágási frekvencia és a fázistöbblet<br />
w cl=0,49; ? u=62,4<br />
Az irányító jel<br />
, , W<br />
rd<br />
w<br />
( z ) =<br />
ud üírrrzí<br />
( Z )<br />
od<br />
impulzusátviteli függvényének pólusai<br />
Z<br />
3 7 ±<br />
3 2<br />
ul-2 ' °. J°-<br />
A pólusok között nincs negatív valós pólus.<br />
229<br />
(9.66)<br />
(9.67)<br />
(9.68)
A zárt körben az ugrásalakú alapjellel előidézett irányító jelet ( a<br />
tartószerv utáni lépcsős formában) a 9.20a ábra u^ görbéje ábrázolja. A<br />
görbében nincs 0/2 frekvenciájú oszcilláció, így a zárt kör y folytonos<br />
kimenő jelében (9.20b ábra) sincs a mintavételi pontok közötti lengés.<br />
9.20 ábra<br />
A 2. ) szerinti algoritmus számlálójának járulékos időeltolása továbbra<br />
is 0,5 , de a nevezőé a (6.80c) egyenlet szerint 0,634. így a PD<br />
algoritmus csak 0,134 járulékos holtidőt hoz a felnyitott körbe,<br />
amelynek impulzusátviteli függvénye most egy folytonos integráló taggal<br />
és T -0,634 holtidővel helyettesíthető a kisfrekvenciás tartományban. A<br />
h<br />
kisebb holtidő miatt a vágási frekvencia megnövelhető.<br />
u ==0,765; ^ 9=63° (9.69)<br />
c2 t
(9.20a ábra u^) az első három mintavételi intervallumban az oszcilláció<br />
jól látszik, és ennek hatása a folytonos kimenőjelnek (y^) a mintavételi<br />
pontok közötti enyhe hullámosságában is megmutatkozik (y az y, 0<br />
H2 d2<br />
diszkrét kimenő jel egy képzeletbeli tartószerv utáni lépcsős görbéje).<br />
A megnövelt vágási frekvencia miatt az y^-hez viszonyítva az y^ jelnek<br />
mind a felfutása, mind a beállása kb. 50%-kal gyorsabb, de ennek a<br />
kezdeti szakaszban az irányító jel 2-2,5 szeres növekedése az ára.<br />
A 3. ) algoritmus nevezőjének, amely éppen a szakasz zérusát kompenzálja<br />
kb. akkora a járulékos időeltolása, mint a nevezőé. Ekkor a PD<br />
kompenzáció nem növeli meg a felnyitott kör járulékos holtidejét, amely<br />
így I =0,5. Ezért a vágási frekvencia tovább növelhető:<br />
u c 3=l,04; ? t 3=60 (9.71)<br />
Az irányító jel impulzusátvitelí függvényének a pólusai<br />
z =0; z =-0,9355 (9.72)<br />
ul u2<br />
A negatív pólus lassú esi 1lapodású 0/2 frekvenciájú lengést okoz az u<br />
H3<br />
irányító jelben. Ennek hatására az y^ folytonos idejű kimenő jel a<br />
mintavételi pontok között lassan esi 1lapodva nagy amplitúdóval leng. A<br />
lengés a mintavételezett y jelben nem érzékelhető, mivel az egyet len<br />
mintavételi periódus alatt beál1 az állandósult értékére.<br />
A példa mutatta, hogy negat í v valós pó1usú algoritmus csökkenti a<br />
diszkrét PD kompenzáció járulékos időkésését, de az irányító jelben ill.<br />
a szakasz folytonos idejű kimenő jelében ü/2 frekvenciájú lengéseket<br />
okozhat. Ilyen lengés akkor lép fel, ha az irányító jel átviteli<br />
függvényének negatív valós pólusa van, és akkor válik veszélyessé, ha<br />
ennek a pólusnak az abszolút értéke az egységhez közel van. (Ekkor<br />
ugyanis a lengések esi 1lapodása lassú.)<br />
9.7 Példa<br />
Gépi eljárás diszkrét idejű szabályozás folytonos idejű kimenő jelének<br />
kiszámítására<br />
A szabályozási kör diszkrét idejű kimenő jele nem tükrözi a mintavételi<br />
pontok között a folytonos idejű kimenő jel viselkedését. Mivel az<br />
irányított folyamat általában folytonos idejű, a diszkrét idejű modell<br />
alapján történő méretezéskor kritikus esetben a folytonos idejű kimenő<br />
jelet is vizsgálni kel1. Ehhez az u^ diszkrét irányító jelből a<br />
tartószerv által előál1ított u u lépcsős függvényt tekintjük a w (s)<br />
H p<br />
átviteli függvényű szakasz bemenő jelének, és a folytonos idejű<br />
rendszerre vonatkozó analitikus vagy gépi eljárással számítjuk ki az y_<br />
231
folytonos idejű kimenő jelet. Gépi számításkor a számítási lépésközt egy<br />
mintavételi intervallum kellő sűrűségű - pl. r részre való - felosztása<br />
adja. Mivel a gépi eljárások a folytonos idejű műveleteket digitálisan<br />
szimulálják, előfordulhat, hogy a szimuláció torzításai miatt a<br />
kiszámított y jel a mintavételi pontokban sem egyezik meg az y^ diszkrét<br />
idejű jellel. (A MATLAB használatakor is ez következik be, mert az Isim<br />
utasítás a bemenő jel ugrásait korrigálja, így nem pontosan az u<br />
rí<br />
lépcsős függvény által keltett kimenő jelet határozza meg. ) Az eltérés<br />
kiküszöbölése érdekében célszerűbb a kimenő jelet diszkrét idejű<br />
eljárással olyan mintavételezett jelként kiszámítani, amelyet az időbe 1:<br />
aláoszt ásnak megfelelő T /r lépésközzel mintavételezett u^ jel h;z<br />
létre a szakasz ugyanilyen mintavételi időre vonatkozó impulzusátvite 1:<br />
függvényén. (A 9.6 példa y görbéit pl. a T =<br />
1 mintavételi intervallum<br />
részre való osztásával T s/10=0, 1 lépésközű diszkrét függvénykér.:<br />
határoztuk meg az u görbe t=0, 1; 0,2 stb. időpontbei i értékeivel és a.<br />
H<br />
dlsim utasítással. így minden mintavételi intervallumon be1ü1 =.<br />
folytonos idejű görbe 10 pontját kaptuk.)<br />
9.8 Példa<br />
Egy szabályozási kör w (s) átviteli függvényű folytonos idejl<br />
szakaszból, (z) impulzusátviteli függvényű diszkrét szabályozóból eE<br />
H zérusrendű tartószervből ál 1. A mintavételezési idő T =1. A szakasz<br />
s<br />
bemenetére y^ folytonos idejű zavaró jel hat (9.21a ábra). Határozz<br />
meg a szabályozási kör diszkrét modelÍjét.<br />
f ) = 1 = 0, 1<br />
S J<br />
p 1+lOs s+0,1<br />
-0,2t ( }_ 1<br />
y 6 ; y l S }<br />
z z<br />
A szakasz diszkrét átviteli függvénye<br />
0 9 5 2<br />
r °><br />
s+0,2 (9.73a-c)<br />
W<br />
pd z-0,9048 (9.74)<br />
A kör diszkrét idejű hatásvázlata a szabályozó és a szakasz<br />
impulzusátvitel i függvényeinek soros kapcsolásából épül fel. Ebber<br />
azohban az y^ jel bemeneti pontja nem jelenik meg, ezért az 5 r<br />
pé1dában követett eljárással a jelet mintavételezett formában a szakasz<br />
kimenetére kel 1 áthelyezni, amely a diszkrét hat ás váz1at ban is<br />
megtalálható.<br />
232
y z(s)<br />
9.21 ábra<br />
A kimenetre áthelyezett folytonos idejű jelet (y ) gépi eljárással vagy<br />
analitikuran határozhatjuk meg. Az utóbbi módszert követve<br />
( s ) = y<br />
za<br />
( s ) w<br />
z<br />
y<br />
'za " z p<br />
Az időfüggvény<br />
-0,lt -0,2t<br />
y =e -e<br />
°za<br />
0, 1<br />
( s ) =<br />
p Ti+örrTtiíö^T = ^ÖTÍ " ^ 2<br />
(9.75)<br />
(9.76)<br />
A mintavételezett jel z transzformáltja kerül a szakasz diszkrét<br />
modelljének a kimenetére (b ábra). A (4.lOd) egyenlet<br />
figyelembevételével:<br />
y<br />
zad<br />
( 2 ) = 2 { y<br />
za<br />
> = E y<br />
z<br />
( s ) W<br />
p<br />
( s ) ]<br />
d =<br />
0,0861<br />
(z-0,9048)(z-0,8187)<br />
-T^9ÖM " z-0?8187 =<br />
(9.77)<br />
y , képzésekor a folytonos idejű y jel és w átviteli függvény<br />
zad z<br />
egymásrahat ásábó1 (konvolúciós szorzatából) keletkező jelet kell<br />
mintavételezni.<br />
233
9.4.3 A mintavételezési idő kiválasztása<br />
Diszkrét szabályozás mintavételezési idejének kiválasztásakor különböző<br />
szempontokat kell mérlegelni. Minél nagyobb az l/T mintavételezési<br />
sarokfrekvencia a szabályozási kör vágási frekvenciájához képest, annál<br />
kevésbé különbözik a folytonos idejű és a mintavételezéses szabályozó.<br />
Ha pl. U)<br />
CJ S - 1/25, akkor a szabályozási körben a mintavételezés és a<br />
mintavételezéses PD kompenzáció által keltett járulékos ho11 i dő a<br />
fázistöbbletet legfeljebb 1-2 f okkal befő1yáso1hat ja, ezért a<br />
kompenzációs algoritmus kiválasztására gyakorlat ilag nincs hatással.<br />
Ebben az esetben irányítási szempontból nincs értelme diszkrét idejű<br />
rendszerről beszélni. A mintavételezés csupán a folytonos idejű<br />
algoritmusok egyik realizálási technikájának tekintendő. A<br />
mintavételezési időt azonban bizonyos határon túl ekkor sem érdemes<br />
csökkenteni, mert a rövid idő alatt a szabályozási kör jelei olyan<br />
keveset változnak, hogy két mintavételi pont között i különbség kel lő<br />
pontosságú visszaadása nagy felbontású A/D ill. D/A átalakítókat,<br />
mérőeszközöket és beavatkozó szerveket kíván, amelyek drágítják a<br />
hardvert, de nincs észrevehető irányítástechnikai hatásuk.<br />
A mintavételes szabályozás sajátosságai akkor jelentkeznek, ha a<br />
mintavételezési sarokfrekvenc i a és a vágás i frekvencia azonos<br />
nagyságrendűek ^ Ü)<br />
CJ S + 0,1- 10). Ekkor a mintavételezési idő nagyjából<br />
megszabja az elérhető működési sebességet. A gyakorlatilag elfogadható<br />
szabályozási algoritmusok a járulékos ho11 i dő módosításán keresztül<br />
másodrendűen képesek azt befolyásolni (9.6 - 9.7 pé1dák).<br />
A diszkrét PD kompenzációs algoritmus egyes esetekben ugráshoz közelálló<br />
alakú bemenő jelekre azonos gyorsítás mellett kisebb jelet ad, mint a<br />
folytonos idejű. Ez azonban csak akkor használható ki, ha az minél<br />
jobban megközelíti az l/T értékét.<br />
234
10. A SZABÁLYOZÁS ZAVARELHÁRÍTÓ KÉPESSÉGÉNEK NÖVELÉSE<br />
10.1 Zavarkompenzác i ó<br />
A közvetlenül mérhető zavaró jelek k i küszöbö1ésében segíti az<br />
automatikus szabályozást, ha a mért értékek alapján már azelőtt<br />
intézkedni lehet a zavar elhárítására, mielőtt a hatás a szabályozott<br />
jellemzőben mutatkozik (1.4 pont). A 10. 1 ábrán az irányított szakasz<br />
átviteli függvénye a sorbakapcsolt w (s) és w (s) részre bontható.<br />
u a< s > yh(s);<br />
r'<br />
s<br />
w r(s) J<br />
uls)<br />
10.1 ábra<br />
w z ' s '<br />
w p r(s)<br />
y 2(s)<br />
w p 2ís)<br />
A szakaszt érő legfőbb zavaró hatást az y^ jel testesíti meg, amely a<br />
w ^ bemenetén hat. Ha mérhető, a mért értékek alapján egy alkalmasan<br />
választott w z átviteli tagon keresztül már azelőtt befolyásolni lehet a<br />
szabályozó P csatornáját, mielőtt a zavar az y kimenő jelben ill. az y^<br />
hibajelben jelentkezik. Ezzel az irányító jel úgy vezérelhető, hogy az<br />
y z hatását a visszacsatolástól függetlenül kompenzálja. (A szabályozó I<br />
csatornája nem vonható be a zavarkompenzációba, mert a kimenő jele nem<br />
tudna állandósult értékre beállni.} A beavatkozáshoz szükséges<br />
átviteli karakterisztika a fo1yamat működéséről rendelkezésre ál ló<br />
előzetes ismeretek alapján becsülhető. A szabályozási körre az esetleges<br />
hibás becslésből származó hibák kiküszöbölése marad.<br />
235<br />
y(s)
10.2 Kaszkád szabályozás<br />
A 10.2 ábra az alárendelt vagy kaszkád szabályozás hatásvázlatát<br />
mutatja. A szabályozott szakaszt a hatásláncba illeszkedő y^ jel (s)<br />
és (s) átviteli függvényű részekre bontja. Ha y fe mérhető, a fő<br />
szabályozási körön belül az y -ről vett negatív visszacsatolással egy<br />
belső hurok - az alárendelt szabályozási kör - alakítható ki, amelynek<br />
önál ló szabályozója (Szb) van. A külső hurok - a fő kör -Szk<br />
szabályozója a belső hurok alapjelét ál1ítja (u ), a tényleges<br />
ab<br />
beavatkozás a belső hurokban valósul meg az u jellel.<br />
10.2 ábra<br />
A kaszkád szabályozás célkitűzése a szabályozott jellemzőnek minél<br />
tökéletesebb függetlenítése a zavaró jelektől. Ez akkor érhető el, ha<br />
sikerül olyan mérhető y^ jelet találni, amelyben a szabályozott szakasz<br />
legfontosabb zavaró jellemzőjenek (y^) a hatása korábban mutatkozik,<br />
mint a szakasz kimenő jelében (y). A zavarszűrésnek ez a módja igen<br />
hatásos, ha a belső kör eredő domináns időállandója kisebb vagy<br />
nagyságrendben azonos w -ével. A belső hurok szabályozója - minthogy a<br />
gyorsasága fontosabb mint a pontossága - P vagy PD jellegű. A statikus<br />
pontosságot biztosító általában PI jellegű fő szabályozó lassúbb<br />
működésével időt hagy a belső hurok tranzienseinek lecsengéséhez.<br />
Tulajdonképpen az Szk olyan lassan változtatja a belső hurok alapjelét,<br />
amit az praktikusan azonnal követni tud.<br />
A kaszkád szabályozás a zavarszűrésen kívül az egész szabályozás<br />
dinamikáját is érinti, mert a belső hurok eredő átviteli függvényében a<br />
domináns időállandók kisebbek w , időállandóinál, ami a fő kör<br />
Pl<br />
stabilizálását segíti. Az elvet a 10.3 ábra mutatja. A szakasz<br />
egytárolós tagokra bontott átviteli függvényeinek arányos szabályozókkal<br />
egymásba skatulyázott visszacsatolása a k^, k^ stb. átviteli tényezők<br />
alkalmas kiválasztásával gyorsítja a rendszert. A fő kör dinamikáját<br />
tekintve az ilyen visszacsatolás többszörös PD kompénzációnak felel meg,<br />
236<br />
y 2
magára a fő szabályozóra csak a statikus hiba elhárítása marad. Bár a<br />
valóságban egynél több kaszkád fokozatra ritkán nyílik lehetőség, az elv<br />
igen jelentős, mert az optimál is irányítási struktúrák egyikéhez vezet.<br />
Szk - * * r<br />
10.3 ábra<br />
1<br />
1+sT-j 1+sTj<br />
Kaszkád szabályozással az y^ jellemző korlátozása is egyszerűen<br />
megoldható. Ehhez az Szk szabályozó kimenő jelét kel 1 korlátozni, mivel<br />
helyes méretezés esetén a belső hurok e1hanyago1hat ó késéssel ezt<br />
követ i. A 10.2 ábrán a korlátozást a szakadozottan jelölt telítődő<br />
karakterisztikájú tag jelképezi.<br />
Vi1lamos motorok pozíció ill. fordulatszám szabályozásában sokszor<br />
használják az alárendelt áramszabályozást, amely a motor áramára épített<br />
kaszkádfokozat. Ennek fő oka éppen az egyszerű áramkorlátozás. Egyébként<br />
maga a motor mint szabályozott szakasz nem a legalkalmasabb a kaszkád<br />
szabályozásra.<br />
10.4 ábra<br />
237
A 10.4 ábra a kaszkád szabályozás példájaképpen egy terem hőmérséklet<br />
szabályozását mutatja. A szabályozott jellemző a T terem ű hőmérséklete,<br />
amelyet gőzzel fűtött hőcserélőn (H) átf úvott levegővel ál 1ítanak a<br />
kívánt értékre. A módosított jellemző a hőcserélőn átáramló<br />
gőzmennyiség, amelyet a B szelep mint beavatkozó szerv ál 1ít. Az egyik<br />
legfontosabb zavaró jel a gőz nyomása, mert adott szelep állásban ettől<br />
függ a H hőcserélőbe érkező gőzmennyiség ill. a hoteljesítmény. A<br />
kaszkád fokozathoz kisegítő szabályozott jellemzőnek a hőcserélőből<br />
ki lépő levegő hőmérséklete használható, mert abban a fűtőteljesítmény<br />
változása korábban mutatkozik, mint a terem hőmérsékletében.<br />
10.1 Példa<br />
©<br />
1,9<br />
©<br />
1.9<br />
w r (s)<br />
(1 + 5s) (1 +2s )<br />
s ( 1+Q,2s)<br />
w r k!s) w f b(s)<br />
1*5s<br />
u(s)<br />
1 0 u(s)<br />
w p 1(s)<br />
1<br />
(1+ 2s)(1 + 0,1s)<br />
(1+2s)(1+0.1s)<br />
w, ob 3<br />
10.5 ábra<br />
238<br />
y 2(s)=1/s<br />
yb(s)<br />
Wp (s)<br />
w p2Ís)<br />
1*5s<br />
y z(s)=1/s<br />
w p 2ís]<br />
V5s<br />
y Is)<br />
yís)
Egy szabályozott szakasz a mérhető y fa jellel két részre bontható (10.5a<br />
ábra). Az egyes részek átviteli függvényei:<br />
W<br />
l S i<br />
pl<br />
, , 1 = 1_<br />
(l+2s)(l+0,Is)<br />
; W<br />
p2 l+5s (10.1)<br />
A w kimenetére egységugrás alakú zavarójel (y^) hat. Vizsgáljuk meg,<br />
milyen y kimenő jelet okoz a zavarójel, ha a szabályozást azonos<br />
működési sebesség és azonos ugrás alakú alapjelnél azonos túlvezérlés<br />
mellett<br />
1. ) soros PID kompenzációval, (a ábra),<br />
2. ) y^-re mint kisegítő jellemzőre telepített kaszkád szabályozóval<br />
(c ábra) működtetjük.<br />
1. ) A soros kompenzáló algoritmust a szokásos módon az w=l/5-nél lévő<br />
töréspontot a>=0-ra áthelyező PI és az w=l/2-nél levő töréspontot<br />
1:10 arányban a nagyobb frekvenciák felé eltoló PD tagból<br />
felépítve (b ábra) annak átviteli függvénye:<br />
, , l,9(l+5s)(l+2s)<br />
w (s)=-<br />
V ' s(l+0,2s) (10.2)<br />
A felnyitott kör átviteli függvénye:<br />
W<br />
0<br />
l S J<br />
s(l+0,2s)(l+0,ls) (10.3)<br />
A vágási frekvencia és a fázistöbblet<br />
ü) =1,76 ;
w u(s)=10 (10.6)<br />
rb<br />
A belső hurokban a felnyitott kör átviteli függvénye:<br />
W<br />
l S i<br />
ob<br />
(l+2s)(l+0,ls) (10.7)<br />
A belső hurok eredő átviteli függvénye:<br />
b v<br />
, , W<br />
( s )<br />
ob<br />
10<br />
1+w _ (s) 10+(l+2s)(l+0, ls) (10.8)<br />
ob<br />
A külső hurok Pl szabályozójának átviteli függvénye:<br />
r \ 1 Q<br />
1 + 5 S<br />
W<br />
( s ) = 1<br />
rk ' 9<br />
"^- (10.9)<br />
A külső felnyitott kör átviteli függvénye:<br />
19<br />
W . (s)=W . ( S ) W,( S ) W (s)= r,. n.r*^ uixn 17TT ~<br />
ok rk b p2 s[10+(l+2s)(1+0,ls) ]<br />
=<br />
1,73<br />
s(l+0,19s+0,135 2<br />
s 2<br />
) (10.10)<br />
A felnyitott kör egy integrátorból és egy olyan kéttárolós lengő tagból<br />
ál 1, amelyben T Q=0,135, a esi 1lapítási tényező pedig 0,71. A (10.3)<br />
egyenlettel összevetve a különbség mindössze annyi, hogy a (10.10)-ben<br />
a két kis időállandós tag helyett olyan kéttárolós lengő tag van,<br />
amelynek 1/TQ=7,4 sarokfrekvenciája a (10.3) két sarokfrekvenciája (w=10<br />
és w=5) közé esik. A vágási frekvencia és a fázistöbblet mindkét esetben<br />
kb. azonos.<br />
Az y_^ jel hatására létrejövő kimenő jel a (10.7) és (10. 10)<br />
figye1embevételéve1<br />
y ( s ) =<br />
w (s) 1<br />
1+w As) ' 1+w ísT y<br />
ok ob .<br />
z<br />
( s ) =<br />
s(l+2s)(l+0, ls) 1 ( 1 Q n )<br />
(1+5s)[19+s(10+(1+2s))(1+0,ls)] s<br />
A kimenő jel görbéjét az _1_ és a 2 esetre a 10.6 ábra mutatja. A<br />
kaszkád elrendezés a zavarójelnek a kimenőjelben megjelenő hatását<br />
lényegesen csökkenti.<br />
240
w r b(s)<br />
10<br />
10.6 ábra<br />
w p 1(s)<br />
u(s) 1<br />
(1^2s)(1*0.1s)<br />
w rk(s) w p 2(s<br />
1,9<br />
10.7 ábra<br />
y z (s)=1/s<br />
yb' s '<br />
Az irányító jel kiszámításához a hatásvázlatot a 10.7 ábra szerinti<br />
alakba rajzolva<br />
u(s)=- [l+w rk(s) w p 2(s)] w r b(s) y b(s)=<br />
[l+w rk(s) w p 2(s)] w r b(s)<br />
1 + W<br />
( s ) W<br />
( s H l + W<br />
( s ) w<br />
( S ) )<br />
rb pl rk p2<br />
(s+1.9)(l+2s)(l+0, ls) 1<br />
s(l+2s)(l+0,ls)+10(s+l,9) ' s<br />
Az irányító jelek időfüggvényeit a 10.6b ábra mutatja.<br />
241<br />
0<br />
(10.12)
11. STATIKUS NEMLINEARITÁSOK HATÁSA<br />
A szabályozási rendszer 1ineáris modellje a legtöbb esetben elméleti<br />
absztrakció, ame11ye1 bizonyos egyszerűsítésekkel és bizonyos határok<br />
között a tényleges működés többé-kevésbé elfogadható módon közelíthető.<br />
A valóságban egyes jelek között részben vagy egészben nemiineáris<br />
összefüggések ál Inak fenn, így a rendszer nemiineáris.<br />
Nemiineáris rendszerre általánosan néhány fizikai, kémiai, stb. alapelv<br />
(pl. energia és anyagmegmaradás elve) mondható ki. Részletesebb<br />
következtetések bizonyos alapon - pl. a nemiinearitás jel lege szerint -<br />
szelektált csoportokra vonat koz t at hat ó k. Konkrét eredményekhez<br />
nemiineáris differenciálegyenletek analitikus vagy numerikus megoldásain<br />
keresztül vezet az út.<br />
A megoldás egyedi jel lege miatt egyes paraméterek hatása rendkívül<br />
nehezen értékelhető, A 1ineáris közelítésnek a matemat ikai<br />
egyszerűs í tésen túlmenően éppen az a jelentősége, hogy nagyobb<br />
áttekintést biztosít.<br />
E fejezetben a 1inearizálás néhány egyszerűbb, a gyakorlatban<br />
leggyakrabban használt módszerét tárgyaljuk. Autonóm (időben nem változó<br />
paraméterű) rendszert feltételezve a nemiineáris tagok legegyszerűbb,<br />
igen sokszor előforduló csoportjában a nemiineari tás a kimenő és a<br />
bemenő jel állandósult értéke között i stat ikus jelleggörbében<br />
mutatkozik. A tag i1yenkor a 11.1 ábra szeri nt gondolatban egy<br />
nemiineáris stat ikus összefüggést reprezentáló N(u) részre és egy a<br />
tranziens viselkedést leíró w 1ineáris részre bontható. N(u) úgy fogható<br />
fel, mint olyan arányos tag, amelynek átviteli tényezője az u bemenő<br />
jeltől függ.<br />
Lineáris helyettesítésének két szokásos módszere a" munkaponti<br />
1inearizálás (1inearizálás az i dő t ar t o mányban) és a leíró függvény<br />
(harmonikus vagy frekvencia tartománybeli 1inearizálás).<br />
11.1 ábra<br />
243
11.1 Munkaponti 1inearizálás<br />
Ha az y=y(u) nemiineáris statikus függvény (11.2 ábra) az u^, y^<br />
koordinátájú munkapontban differenci álható, akkor e pont környezetében a<br />
görbét érintőjével, illetve a függvényt Taylor sorának 1ineáris részével<br />
helyettesítve<br />
y-y r " du<br />
( u<br />
• " u<br />
o )<br />
(11.1)<br />
1ineáris összefüggés ál 1 fenn, amely a munkaponttól való Ay=y-y Q és<br />
Au=u-u Q eltéréseket tekintve változóknak 1i neár i s arányos taggal<br />
szimbolizálható:<br />
Ay=k(u Q) • Au (11.2)<br />
Az k átviteli tényező - a görbe munkaponti differenciálhányadosa - a<br />
munkaponti koordinátáktól függ. Az ilyen tagot tartalmazó rendszerben e<br />
munkapontfüggés a visszacsatolásokon keresztül egyéb paraméterekre is<br />
kiterjed.<br />
11.2 ábra 11.3 ábra<br />
A (11.2) 1ineáris közelítés (a. kisjelű helyettesítés) feltétele az, hogy<br />
a vizsgált folyamatban az y, i1letve az u jelek maximál is értékei a<br />
munkapont környezetének olyan szűk sávjában maradjanak, amelyen az<br />
érintővel való helyettesítés még megengedhető. A folyamat nemlineáris<br />
jellege abban mutatkozik, hogy más munkapontra áttérve megváltoznak a<br />
rendszer * paraméterei. Ezt a kompenzáció méretezésekor figyelembe kel 1<br />
venni.<br />
Nem alkalmazható a módszer szakadásos vagy többértékű jelleggörbére (pl.<br />
a 11.3 ábra relékarakterisztikájára).<br />
244
A munkaponti linearizálás több bemenő változótól való függés esetére is<br />
általánosítható.<br />
A jelleggörbe megfelelője ilyenkor többváltozós felület (hiperfelület),<br />
amelynek munkapont i 1inearizálása a többváltozós érintő síkkal való<br />
helyettesítést jelenti. Pl. y=y(Uj,u^) két bemenő változó esetére<br />
Ay = — Au 1 + ^ Au 2 =.k l Au 1 +k 2Au 2<br />
(11.3)<br />
A kj, k 2 átviteli tényezők - a munkaponti parciális differenciál<br />
hányadosok- a munkaponti koordináták függvényei.<br />
11.2 A leíró függvény<br />
Nemiineáris tag kimenőjelében u> körfrekvenciájú harmonikus bemenőjel<br />
hatására az o> körfrekvenciájú alapharmonikuson kívül fe1harmonikusok is<br />
megjelennek. Ha ezek a szabályozási kör frekvenciafüggő elemein (11.1<br />
ábra w) jobban csillapodnak mint a alapharmonikus, jelenlétüktől első<br />
közelítésben el lehet tekinteni és a nemiineáris tag kimenő jelét annak<br />
a1apharmon i kusáva1 lehet közelíteni. (Feltételezzük, hogy a<br />
nemiinearitás szimmetrikus, ezért w=0 frekvenciájú összetevő nincs.)<br />
Ekkor az azonos frekvenciájú ki és bemenő jel közötti összefüggés egy<br />
frekvencia átviteli függvénnyé1 - a leíró függvénnyel - jellemezhető,<br />
amelynek abszolút értéke az amplitúdók hányadosa, a fázisszöge a ki- és<br />
a bemenő jel közötti fáziseltolás.<br />
Legyen a 11. 1 b ábra szerinti bemenő jel u> körfrekvenciájú szinuszos<br />
rezgés, amely a váltakozó áramok elméletében szokásos módon egy komplex<br />
vektor képzetes részeként fejezhető ki.<br />
u=U sin út = Im(Ue Ja>t<br />
) (11.4)<br />
Az y kimenő jel y^ alapharmonikusa<br />
J < p J w t<br />
J ü > t<br />
y^Y sin(wt+*) = Im(Y 1e e )=Im(Y 1e ) (11.5)<br />
Yj az a1apharmonikus komplex amplitúdója.<br />
Az Yj és U komplex amplitúdók hányadosa az L leíró függvény.<br />
L E<br />
W<br />
Y<br />
J L<br />
2 U (11.6)<br />
Ezzel a kimenőjel a1apharmon i kusának időfüggvénye az alábbi módon<br />
fejezhető ki:<br />
J ü > t<br />
y 1 = Im
Az N statikus nemiinearitáson az Usinwt bemenő jel által keltett kimenő<br />
jelet y=N{U sinwt}-vel jelölve, ennek Fourier sorában az a1apharmonikus<br />
amplitudóját a (11.7)-tel összevetve<br />
sinwt} sinwt á{ü)t)<br />
sinwt} coswtd(o)t) (11.8a-b)<br />
A fenti gondolatmenet^ elvileg bármilyen nemiinearitásra alkalmazható.<br />
Általános esetben az L(U,w) leíró függvény mind a bemenő szinuszos jel<br />
amp1itudójának, mind az w frekvenciájának a függvénye.<br />
Stat ikus<br />
függ.<br />
nemiinearitás esetében L(u) csak a bemenő jel amplitudójától<br />
Ha a nemiineáris karakterisztika egyértékű, akkor L fáziseltolása zérus,<br />
(L2=0, L^UU)).<br />
A leíró függvénnyel való harmonikus 1inearizálás akkor is használható,<br />
ha a munkapont i 1inearizálás nem vezet célhoz (pl. nagy amplitudó<br />
változások, többértékű és/vagy szakadásos nemiineáris karakterisztika,<br />
stb.). Fő alkalmazási területe annak vizsgálata, hogy a stat ikus<br />
nemiinearitás a szabályozási körben nem teszi-e a rendszert labi1issá,<br />
ill. nem okoz-e tartósan fennmaradó kváz i s t ac i onár i us lengést a kör<br />
jeleiben.<br />
Néhány gyakrabban előforduló tipikus egyértékű nemiinearitás leíró<br />
függvényeit a 11.1 pé1da foglalja össze.<br />
11.1 példa<br />
y y y<br />
11.4 ábra<br />
246<br />
u
A 11.4 ábrán feltüntetett tipikus egyértékű statikus nemlineáris<br />
karakterisztikák leíró függvényeinek nincs fáziseltolása { 1 (11.9a-b)<br />
(11.10)<br />
2k , IT 1<br />
L = ==— [ ^- - arc sin —<br />
ÍI<br />
1<br />
- —<br />
/ , A S2<br />
/ l-(—)<br />
,<br />
] , ha u > 1<br />
k<br />
2 u u v v<br />
u ' J<br />
r r r<br />
r<br />
(11.lla-b)<br />
d.) Háromállású ideál is relé érzéketlenségi sávval (d ábra)<br />
L=0 , ha Use<br />
L= ~ g ^-(e/U) 2<br />
e.) Előfeszíté ra<br />
L =<br />
+ k<br />
ff íT<br />
, ha U > e (11.12)<br />
(11.13)<br />
Tipikus többértékű statikus nemiinearitások leíró függvényei:<br />
247
0,7<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
-60<br />
-80<br />
1 1,25 1,5 1,75 U/h<br />
©<br />
11.5 ábra<br />
f.) Hiszterézls - kotyogás (11.5 ábra)<br />
1 h<br />
x = _ = •<br />
u U<br />
r<br />
jelölésekkel<br />
L = L ^ j ^ = Le<br />
L<br />
1<br />
0,1<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0<br />
L=0 , ha u s= -1, ill. x £ 1<br />
r<br />
u > 1 ill. x < 1 esetben:<br />
r<br />
Ii y<br />
-20<br />
-40<br />
oV^-60<br />
\4 =tg
g.) Hiszterézises kétállású relé (11.6 ábra)<br />
L=0, ha U<br />
L = n~ Ü~<br />
11.3 Határciklus<br />
ha U > h (11.15a-b)<br />
A stat ikus nemiinearitások valamilyen formában csaknem valamennyi<br />
szabályozási körben előfordulnak. Fizikai szerkezetek pl. véges<br />
jelamplitudó (teljesítmény) átvitelére készülnek, így bizonyos<br />
jelszinten felül természetes vagy mesterségesen előidézett nemiineáris<br />
korlátozó tulajdonságaik vannak. De ugyanígy az érzéketlenség, a<br />
hiszterézis és az előfeszítés is természetes velejárói a fizikai<br />
folyamatoknak (súrlódás, kotyogás, küszöbfeszültség, mágneses<br />
karakterisztikák), amelyek kis jeleknél teszik jelentősen nemiineárissá<br />
a rendszert. Ezért általában minden 1ineárisnak tekintett szabályozási<br />
körnek is van olyan jelamplitudó tartománya, ahol a nemiinearitás<br />
dominál, ez a dinamikus tulajdonságokat (elsősorban a stabi1itást)<br />
jelentősen módosíthatja.<br />
A nemiinearitás hatására például a visszacsatolt rendszerben olyan<br />
önfenntartó állandósult lengés - határciklus - alakulhat ki, amelynek<br />
amplitudója a nemiineáris karakterisztikátó1 függ, de a bemenő jeltől<br />
ill. a kezdeti feltételektől független, így a lineáris elmélettel nem<br />
írható le. A leíró függvényt éppen arra dolgozták ki, hogy a 1ineáris<br />
stabi1itásvizsgálat i módszereket a határciklus kimutatására is<br />
alkalmassá tegye.<br />
L<br />
1,2<br />
1<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
1<br />
y y<<br />
0 h<br />
i L u<br />
11.6 ábra<br />
20<br />
40<br />
-60<br />
- -80 -i<br />
5 U_<br />
h<br />
24S<br />
w t<br />
UfJ<br />
-n N • L (U) ww0(jw) 0(jw)<br />
11.7 ábra<br />
L(U (tco)
Tételezzük fel, hogy a 11.7 ábra szerinti visszacsatolt szabályozási<br />
körben az y^ jel valamilyen okból U amplitudóval megközelítőén<br />
szinuszosan leng (a fe1harmonikusokat e1hanyago1juk).<br />
A körben levő statikus nemiinearitást az L (u) leíró függvény - az U<br />
amplitudótól függő, de frekvencia független körerősítés - míg a 1ineáris<br />
jelátvivő tagokat a w^(jw) frekvenc i afüggő (amplitudó független)<br />
átviteli függvény jellemzi .<br />
A felnyitott kör eredő w^(U, Ü>) frekvencia függvénye az u> frekvenciától<br />
és az U amplitudótól is függ.<br />
w L(U, w) = L (U) w (jo) (11.16)<br />
A felnyitott kör Nyquist diagramját i1yenkor egyet len görbe helyett<br />
U-ban paraméterezett görbesereg ábrázolja.<br />
Feltételezve, hogy a zárt rendszer stabi1itása az egyszerűsített Nyquist<br />
kritériummal vizsgálható, ha egy adott U-hoz tartozó görbe (U=U ) nem<br />
fogja körül a -1 pontot, akkor ezzel az amplitudóval a lengés tartósan<br />
nem maradhat fenn. A zárt rendszer ugyanis aszimptotikusan stabi1 is,<br />
amelyben önfenntartó lengések nem alakulhatnak ki. Ha az U tartomány<br />
egyetlen görbéje sem fogja körül a -1 pontot, akkor a rendszer<br />
globálisan stabilis, azaz semmilyen lengés sem maradhat fenn.<br />
Ellenkező esetben, ha bárme1y amplitudóhoz tartozó görbe (U=U^)<br />
körülfogja a -1 pontot, a rendszer globálisan labi1 is. Ekkor az<br />
öngerjedés miatt egyetlen amplitudó sem képes állandosulni.<br />
Közbenső esetben a görbesereg egy része stabi1 is, másik része labi1 is,<br />
míg a harmadik része (U=U tI) valami 1 yen (*>.. frekvencián átmegy a -1+jO<br />
H n<br />
ponton. Ekkor a rendszernek határciklusa van, amely magában foglalja azt<br />
a lehetőséget is, hogy az y^ jelben - a fe1hármonikusokat e1hanyago1va -<br />
U amplitúdójú, w.. körfrekvenciájú tartósan fennmaradó harmonikus lengés<br />
ti H<br />
alakuljon ki.<br />
Attól függően, hogy ez a lehetőség realizálódik vagy sem, a határciklus<br />
lehet fennmaradó, un. stabi1 is vagy konvergens, i1letőleg felbomló, un.<br />
labi1 is vagy divergens.<br />
Ha az U„ amplitudót gondolatban AU -val megnövelve w görbéje a<br />
H H L<br />
határhelyzetből a stabilitás i rányába (i1letve AU-val való csökkenéskor<br />
n<br />
a labi1itás felé) mozdul, a határciklus fennmarad, mert ha bármilyen<br />
okból ez a növekedés a lengés közben ténylegesen bekövetkeznék, akkor a<br />
rendszer aszimptotikusan stabi1issá válása miatt a lengés esi 1lapodni<br />
kezd, ami az eredeti állapothoz való visszatérést jelenti.<br />
Ellenkező esetben, ha az amplitudó növekedésekor a rendszer labi1issa<br />
válik, a határciklus felbomlik, mert a labi1 is rendszer öngerjedése<br />
további amplitudó növekedést generál.<br />
:5t-
A határciklus akkor jön létre, ha kielégíthető a<br />
w L(U rü>) = L(U)« wQ( ju>) = -1 (11. 17a)<br />
illetve a<br />
w (jw) = - ^ — (11. 17b)<br />
U<br />
L(u)<br />
összefüggés, azaz a w Q(jw) frekvencia átviteli függvény görbéje metszi a<br />
leíró függvény negatív reciprokának (-1/L(U)) görbéjét. A metszéspont<br />
w„ és U„ paramétereivel jöhet létre fennmaradó határciklus.<br />
n ri<br />
Ha a két görbe nem metszi egymást, a (11.17)-nek nincs megoldása, a<br />
határciklusra jellemző állapot nem jöhet létre. I1yenkor a rendszer a<br />
két görbe kölcsönös helyzetétől függően vagy globálisan stabilis vagy<br />
globálisan labi1 is.<br />
11.8 ábra<br />
Ha pl. WQ( ja>) önmagában (L=l esetben) stabi 1 is rendszert jel lemez és<br />
minimálfázisú, u növekedésének irányában befutva a görbét a balkéz<br />
felé eső tartományban futó -1/L(U) görbe (11.8a ábra) a globális<br />
stabi1itás, míg a jobbkéz felé eső tartományban elhelyezkedő -l/L görbe<br />
(b ábra) a globális labilitás jele.<br />
Ha a két görbe metszi egymást, és a metszéspontban U növelésekor a -l/L<br />
görbe a labi1 is tartományából a stabilis tartományába lép át,<br />
konvergens, ellenkező esetben divergens határciklus képződik, amint az a<br />
11.7 ábrával kapcsolatos megfonto1ásainkbó1 közvetlenül következik. A<br />
11.8 c ábrán a görbéknek két metszéspontja is van. H^ divergens, H^<br />
konvergens határciklusra utal. (Állandósult lengés az w u_ és U?<br />
paraméterekkel keletkezik. *<br />
?51
A hajtárciklus lehetősége a Bode _diagram alapján is becsülhető. Ez<br />
különösen akkor egyszerű, ha az L leíró függvény valós. I1yenkor L<br />
lehetséges értékeit körerősítésének tekintve megállapítható, hogy annak<br />
változása a vágási frekvenciát képes-e (és milyen irányból) a stabi1itás<br />
határhelyzetébe hozni.<br />
Tisztán 1ineáris rendszerben az állandósult lengés gyakorlatilag<br />
instabi1lá teszi a szabályozási kört, mert a kezdeti feltételtől függő<br />
amplitudója igen nagy is lehet. Ezzel szemben a nemiineáris rendszer<br />
konvergens határciklusa nem okvetlenül megengedhetétlen, mert ha a külső<br />
körülményektől független amplitudója az előírt stat ikus hibahatáron<br />
belül van, nem zavarja a kör működését.<br />
11.2 Példa<br />
A 11.9a ábra egy visszacsatolt szervomotor hatásvázlatát mutatja. A<br />
motorból és a szabályozóból álló felnyitott kör átviteli függvénye:<br />
w o ( s ) = sTT+sT (11.18)<br />
A körben telítődő elem van, amelyet a w Q(s) elé helyezett statikus<br />
nemiineáris karakterisztika, ill. annak L leíró függvénye (11.9a<br />
egyenlet) jellemez. A telítetlen szakaszon a leíró függvény (a<br />
karakterisztika meredeksége) L=k=1.<br />
11.9 ábra<br />
Ezzel a b ábra szerinti aszimptotikus Bode diagramon a vágási frekvencia<br />
w =1, a fázistöbblet y =45°. CA tényleges értékek ^=0,79 és ^=51,7°. )<br />
Ha a körben U>1 amplitudójú lengés alakulna ki, L
11.3 Példa<br />
Vizsgáljuk meg, létrejöhet-e határciklus, ha az előző példában tárgyalt<br />
szabályozási körben a telítődés helyett hiszterézises statikus<br />
nemi ineari tás van, amelynek a karakterisztika meredeksége k=4. A WQ(JÜ>)<br />
és a -1/L(U) görbék a 11.10 ábrán láthatók. A két görbe metszésponti<br />
paraméterei:<br />
ü> H=l,21;<br />
UH/h=l,65<br />
-Re -0,4 -02<br />
Stabil i!<br />
tartómé<br />
^1,95<br />
f 0(ja>)<br />
U /h=1,65<br />
Labilis!<br />
tartomány<br />
. iL = 1s35<br />
h<br />
.-1/LIU)<br />
11.10 ábra<br />
A hiszterézis ekkor határciklust okoz, amely konvergens, mert a -1/L(u)<br />
görbe U növelésekor a w Q-tól jobbkézre eső labilis tartományból a<br />
*<br />
0<br />
-0,1<br />
-0,2<br />
-0,3<br />
-0,4<br />
-0,5<br />
-0,6<br />
stabilis tartomány felé haladva metszi a w Q(ja>) görbét.<br />
k kisebb értékeinél (pl. k=3) a két görbének nincs metszéspontja, ekkor<br />
a rendszer globálisan stabilis.<br />
11.4 A szabályozási kör működése a telítési tartományban<br />
A szabályozási kör - amelyben mindig vannak telítődő elemek - csak<br />
bizonyos hibajel tartományban, az arányossági tartományban működik<br />
lineárisan. Nagyobb hibajeléknél valamelyik elem telítődik, és<br />
mindazideig, amíg nem kerül vissza az arányossági tartományba, a bemenő<br />
jeltől csak kevésbé - ideálisan egyáltalán nem - függő állandó jelet ad.<br />
A telítési vagy relé tartományban a lineáris modellre épülő<br />
megfontolások érvényüket vesztik.<br />
Megszűnik a rendszer gyorsítását célzó P és PD kompenzáció működése,<br />
mert annak fizikai alapja a túlvezérlés. így. a telítés korlátozza a<br />
rendszer gyorsítását.<br />
253
A reléüzem tartománya a szabályozó és beavatkozó szervek mértezésétől és<br />
a szabályozási kör rendszertechnikai felépítésétől függ. Egy olyan<br />
arányos típusú szabályozási körben pl. , amelyben a körerősítés 50, a<br />
névleges alapjel 2%-át kitevő hibajelre a szabályozó olyan beavatkozó<br />
jellel válaszol, amely állandósult állapotban a szabályozott jellemző<br />
névleges értékének fenntartására elegendő.<br />
Nyilvánvaló, hogy a beavatkozó szerv ésszerű túlméretezése esetén is<br />
néhány százalékos hibajelre az telítődik. Ha a zavaró jelek ezt a néhány<br />
százalékot túllépik, beál1 a reléüzem.<br />
A leggyakrabban várható zavarójelek számbavételével kell eldönteni, hogy<br />
a rendszert milyen mértékű gyorsításra célszerű méretezni. A P és a<br />
PD kompenzáció túlvezérlése ugyanis - az elemek adott teljesítménye<br />
esetén - az arányossági tartományt szűkíti. A lassúbb<br />
integrálszabályozásban viszonylag ritka a reléüzem.<br />
A telítődő beavatkozó szerv a telítődés után nem tud túlvezérlést<br />
létesíteni. "Felnyitja" a kört és a saját állandó kimenő jelét adja a<br />
folyamatra, igy annak tranzienseit nem az arányossági tartományban<br />
érvényesülő kompenzáló jelformálás, hanem ennek a bemenő jelnek az<br />
értéke szabja meg.<br />
1111 ábra<br />
254
Sok esetben, amikor a nagy zavaró jel gyors elhárítása a reléüzemben<br />
létfontosságú (pl. kooperációs hálózatokat tápláló szinkron generátorok<br />
gerjesztés szabályozása), a szabályozás minőségi jellemzésére un.<br />
nagyjelű mutatókat is előírnak, amelyek a nyílt láncú működésre<br />
vonatkoznak. Ilyen például a beavatkozó szerv telítési határa és az az<br />
idő, amely alatt előírt bemenő jelnél a telítődés bekövetkezik.<br />
Ha a 11.11 ábra szerinti elrendezésben ideál is arányos tagnak képzelt<br />
beavatkozó szerv - pl. az alapjel bekapcso1ásakor - telítődik, az u jel<br />
m<br />
korlátos volta miatt a szabályozási kör y kimenő jele hosszabb idő alatt<br />
közelíti meg az alapjelet, mint az arányos működési tartományban, így az<br />
y^ hibajel is hosszabb ideig fennmarad. Ha a Pl szabályozó integráló<br />
csatornája eközben működik, annak kimenő jele a hosszú működési idő<br />
miatt jelentősen megnő. Ez egyrészt megnehezíti a telítődés megszűnését,<br />
másrészt az arányos tartományba való visszatérés után jelentős idő kel 1<br />
a leépüléséhez, ami a szabályozási hiba dinamikáját rontja. Ezért a<br />
telítési tartományban célszerű az integráló csatornát bénítani. Ez<br />
különösen gyors hajtásszabályozásokban fontos, ahol a telítési küszöbhöz<br />
képest nagy túlvezérlésekre kell számítani.<br />
11.4 Példa<br />
A 11.11 ábrán látható szabályozási kör az egytárolós szakaszból, Pl<br />
szabályozóból és a kettő között egységnyi átviteli tényezőjű arányos<br />
taggal jelképezett beavatkozó szervből ál 1. Ez utóbbi u=2 bemenő jelnél<br />
telítődik.<br />
. , 1 + lOs ir. 1<br />
w (s ) = - 10+ -<br />
r s s<br />
szabályozási algoritmust párhuzamosan kapcsolt P és I csatorna ál1itja<br />
elő. Az egységugrás alakú alapjel bekapcso1ásakor az arányos csatorna<br />
Up=u=10 kimenőjelének hatására a beavatkozó szerv telítődik, és a<br />
szakaszra mindaddig u =2 bemenő jelet ad, ameddig a lassan mérséklődő<br />
m<br />
hibajel az u jelet a telítési határértékre (u=2) csökkenti.<br />
Ha az integráló csatorna működik, ez a folyamat a t=8 időpontig tart.<br />
Eközben az integráló csatorna kimenő jele UJJ=3 értékre nő, így a<br />
telítés megszűnésekor az y^ hibajel már negatív kel1, hogy legyen, ami<br />
az y kimenő jelben már kb. 10% túllendüléshez vezet. Mivel azonban az<br />
integrátor kimenő jele a telítődés megszűntével is csak lassan csökken,<br />
a kimenő jel túllendülése egy ideig még tovább növekszik. Az ábrán a<br />
szabályozási kör ill. az integrátor kimenő jelének az időfüggvényeit az<br />
y 1 ill. az UJJ görbék ábrázolják.<br />
Ha a telítődés pillanatában az integr ló tag megszűnik működni (y 2 ill.<br />
Uj 2 görbék), a telítési üzemmód csak t=5.1 pontig tart. Megszűnésekor a<br />
hibajel pozitív, a szakasz kimenő jele a végértéknek csak 80%-át éri<br />
el. így az arányos tartományban túllendülés nélkül áll be az állandósult<br />
állapot<br />
255
Ha a szabályozó berendezés analóg elven működik, az integrátor bénítását<br />
a jeltartományok összehango1ásával lehet elérni (A PI szabályozó<br />
maximál is jelszintje megegyezik a beavatkozó szerv telítési küszöbével).<br />
Digitális szabályozású körben a szabályozó szünetelteti az integráló<br />
algoritmus működését, amíg az u irányító jel a telítési tartományban<br />
van.<br />
11.5 Állásos szabályozás<br />
Statikus nemiineáris karakterisztikájú elemeknek 1ineáris időkéséses<br />
elemekkel való kombinációjával különböző szabályozó szervek (PD jellegű<br />
kapcsolóüzemű erősítő, oszci1lator, stb.), ill. egyszerű szabályozási<br />
kör - az un. állásos szabályozás - építhető fel. A különböző kapcsolások<br />
általában a 11.12 ábra modelljére vezethetők vissza, amely egy<br />
nemiineáris tagnak (N) 1ineáris időkéséses tagon való negatív<br />
visszacsatolása. Egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy N-nek<br />
kétállású egyoldalas (0 és U q közötti) relé karakterisztikája van 2h<br />
hiszterézis sávval. A visszacsato1ásban az időkéséses tagokat egyetlen T<br />
időállandós tag helyettesíti .<br />
A relé kimenetén csak két u érték jelenhet meg (0 és U q) , így az y<br />
jelnek is csak 0 és y Q=ku Q stat ikus egyensúlyi értékei lehetnek.<br />
Ha az u^ alapjel<br />
h < u < y - h (11.19)<br />
a o<br />
határokon belül van, akkor a relé bemenő jelének (a hibajelnek) a<br />
statikus értékei<br />
y h= ua-y i {+h<br />
ha y=y c<br />
ha y=0<br />
lennének, ezekkel azonban a karakterisztika szerint statikus egyensúly<br />
nem ál Ihat be. így állandósult állapotban konvergens határciklus<br />
keletkezik, amelyben az u és y jelek középértékük körül periodikusan<br />
lengenek. Lengés közben y olyan T időállandós exponenciális görbe mentén<br />
változik, amely vagy y (b görbe), vagy zérus (k görbe) végértékhez<br />
tart.<br />
A stacionárius állapotnak az a jele, hogy egy teljes lengési periódus<br />
elteltével a jelek a, ki indulási értékükre állnak vissza. Tételezzük fel,<br />
hogy ez az állapot az u alapjelnél már bekövetkezett, és kövessük<br />
ai<br />
nyomon y változását attól a pi1lanattól kezdve, amikor az a relé u=0<br />
kimenő jelénél y=0 felé haladva az u-h határra ér (1 pont). Ekkor y^ a<br />
növekedési irányában éri el a h értéket, ame 1 yné 1 a relé kimenő jele<br />
u^-ra ugrik. Ennek hatására y változási iránya megfordul és a b görbe<br />
mentén az y Q végérték felé közeledik. A 2 pontban azonban y^=-h-nál a<br />
256
elé kimenő jele ugrásszerűen u=0-ra vált, az y jel a k ki kapcsolási<br />
görbe szerint csökkenni kezd és a 3 pontban éri el a ki indulási értékét,<br />
amikor új ciklus kezdődik,<br />
i<br />
Az y szabályozott jellemző a 2h hiszterézis sávon belül periodikusan<br />
ingadozik az alapjel körül.<br />
A relé kimenő jele a periódus egyik részében (T, bekapcsolási idő) u=u ,<br />
b o<br />
a másik részében (a kikapcsolási időben) u=0. A ki- és bekapcsolási<br />
idők, valamint a teljes T periódusidő is a T időállandón kívül az<br />
alapjeltől is függ. Ha az alapjel elegendően messze van a (11. 19)-beli<br />
határaitól és a 2h sáv elegendően keskeny, akkor az y jelnek az 1-2 ill.<br />
a 2-3 pontok között i görbeszakaszai az u^ alapjel lel alkotott<br />
metszésponti érintőikkel helyettesíthetők. Ekkor, mivel az exponenciális<br />
görbének bárme1y pontjában húzott érintője a végértékeket T idő alatt<br />
éri el:<br />
T, - 1 ; T = T ; 1/1 =<br />
b y - u k u k b u<br />
^o a a a<br />
T =T,+T. =1,(1+1. /TJ= -Q—<br />
p b k b k b y - u<br />
^ 'o a<br />
y<br />
• —<br />
u<br />
a<br />
• T (11.20a-d)<br />
u =y /2 esetén a ki- és a bekapcsolási idők azonosak, a teljes<br />
periódusidő pedig minimál is.<br />
T=T= — T; T = ^ T (11.21)<br />
b k y o p y Q<br />
Ha u a ettől azonos mértékben akár a nagyobb, akár a kisebb értékek<br />
irányában tér e*i, T azonosan növekszik (T az u (y -u ) szorzattól<br />
p p a o a<br />
függ), és pedig egymással ellentétesen változnak. Nagyobb<br />
alapjelnél a bekapcsolási idő nő, a kikapcsolási idő csökken, míg kisebb<br />
alapjelnél ennek a fordítottja következik be.<br />
A relé kimenő jelének időbeli u középértéke az alapjellel arányos.<br />
T u u<br />
5 = - H u = — u = * (11.22)<br />
T o y a k<br />
P o<br />
A rendszer állandósult üzemben kapcsolóüzemű (szakaszos üzemű)<br />
impulzusszélesség modulációjú erősítőként működik, ame1yben az u kimenő<br />
jel át 1ágértéke az u & bemenő jel lel arányos. A kapcsolási frekvencia is<br />
függ a bemenőjel tői.<br />
257
258
Az új állandósult állapotba tranziens folyamatqn keresztül jut a<br />
rendszer. Ha pl. az alapjel akkor változik u -ről u -re, miközben az y<br />
al a
használnak, mert annak kapocsfeszültsége és a tengely szögelfordulása<br />
között a tranziensektől eltekintve integráló kapcsolat van. A szakaszos<br />
működésű erősítő és a szervomotor ilyen kombinációját gyakran használják<br />
szelepet mozgató Pl szabályozónak.<br />
Az integrátor zérus bemenő jelnél is képes kimenő jelet fenntartani,<br />
ezért az erősítőnek u=0 nyugalmi állapota is lehet, ami csökkenti az u<br />
jelben a kapcsolások számát. Ezt a kétállású relékarakteriszt ikának<br />
olyan háromáilású karakteriszt ikával való helyettesítésével lehet<br />
elérni, amelynek érzéketlenségi sávja is van (11.14 ábra).<br />
y<br />
-e<br />
1<br />
u<br />
1 + sí<br />
11.14 ábra<br />
"2h A<br />
A nyugalmi ál lapot akkor jöhet létre, ha az y^ hibajel ebbe a sávba<br />
esik.<br />
A nemiineáris karakterisztika és a visszacsatoló tag megfelelő<br />
kiválasztásával a 11.12 kapcsolás más célokra is használható.<br />
Szimmetrikus kétállású relé karakterisztikával és integráló<br />
visszacsatolással pl. oszci1lator kapcsolás jön létre. A kimenő jel<br />
frekvenciája csak a hiszterézis és az integrálási paraméterektől, a<br />
lengési amplitudó az u jelben a relé telítési értékétől, az y jelben a<br />
hiszterézis sáv szélességétől függ.<br />
11.6 Korlátozás<br />
A korlátozó kapcsolásoknak az a feladata, hogy me gakadá1yo z zák az<br />
irányított folyamat valamelyik jellemzőjenek adott értéken túl i<br />
növekedését. Hajtásszabályozásokban például igen gyakran a villamos<br />
motor áramát kel 1 a biztonságos üzem határain belül tartani<br />
(áramkorlátozás).<br />
A korlátozást a szabályozási körbe épített nemiinearitás valósítja meg.<br />
Egyik megoldása pl. a kaszkád szabályozásban a főszabályozó kimenő<br />
jelének korlátozása telitődő karakterisztikájú taggal.<br />
260
Más megoldásban (11.15 ábra) a fő hurok valamelyik y fe jelétől és a külső<br />
zavaró jeltől (y z) függő y R jelet az SZ 2 szabályozóval felszerelt<br />
korlátozó kör igyekszik a megengedett határon belül tartani. A w , , w<br />
Pl p2<br />
és w átviteli függvények az u és y, valamint az u és y^ jelek közötti<br />
összefüggéseket szimbolizálják.<br />
11.15 ábra<br />
Az y^ jelet egy statikus érzéketlenségi karakterisztikájú N 2<br />
nemiineáris<br />
tag érzékeli, amely csak akkor ad kimenő jelet, ha az y^ bemenő jel a<br />
±y^ e határt átlépi. Ha ez bekövetkezik, N 2 megszólalása aktivizálja a<br />
korlátozó kört, amely úgy működik, mintha y^ e (ill. -y^) lenne az<br />
alapjele. Az SZ 2 szabályozó igyekszik y^-t ehhez közelíteni még azon az<br />
áron is, ha a fő szabályozási körben ezzel y-t eltérit i az alapjel lel<br />
megadott értékétől (a két szabályozási körnek közös az u beavatkozó<br />
jele). Az SZj szabályozó y változása el len hat, ezért a két szabályozó<br />
együttes működésekor a korlátozó hatást csak úgy lehet érvényre<br />
juttatni, ha a korlátozó kör a fő körnél sokkal erőte1jesebben hat u-ra.<br />
Ezt pusztán a körerősítésekke1 stabi1itási okokból általában nem lehet<br />
elérni, ezért az SZ 2 megszólalása után SZ^ működését bénítani kel 1. Ezt<br />
a célt szolgálja pl. az SZ^ kimenő jelét ±U q határok közé szorító<br />
telítődő elem. SZ 2 működésekor - bármekkora y^ hibát okoz is az a<br />
főkörben - SZ^ legfeljebb ±U q jellel képes ellenszegülni az y kimenő<br />
jel változásának (ugyanez az y^ jel korlátozásával is elérhető).<br />
Ha akár a főköri tranziens, akár külső zavaró jelek miatt y^ a
megengedhető érték fölé nő, SZ^ megszóia. os -i küszöbérték közelében<br />
tartja y^-t függetlenül attól, hogy ezzel y-ban jelentős hibát okoz<br />
Ami kor a korlátozást kiváltó ok megszűnik, SZ^ automatikusan átveszi az<br />
irányítást. A valóságban SZ^ és SZ^ nem teljes szabályozók, csupán olyan<br />
előfokozatok, amelyeknek közös teljesítményfokozata van<br />
2tV-
12. oldal (2.9) egyenlet<br />
28. oldal (3.8b) egyenlet<br />
50. oldai (4.7a) egyenletben<br />
76. oldal (5.17) egyenlet<br />
87. oldal utolsó sor<br />
88. oldal (5.45 a) egyenlet<br />
102. oldal 4.-5. sor<br />
103. oldal e.) pont<br />
108. oídai (6.5) nevezőjében<br />
109. oldal (ő.li)eísőtag<br />
109. oldal (6.12)<br />
112. oldal (6.21a)-ban<br />
165 .oldal 10 sor<br />
189. oldal alulról 3. sor<br />
Hibajegyzék<br />
dS : P2 2*2<br />
dt g2 m<br />
2 g 2 m<br />
1 ln z<br />
H = AV = s,V<br />
A hatásvázlat az 5.7 ábrán Járható.<br />
~1 1<br />
X -<br />
0 -1<br />
0 Ö<br />
X<br />
2 §2 m<br />
2 S2 m<br />
2<br />
Az érintett állapotváltozók kezdeti értékei generálják<br />
további állapotváltozót (x5) hoz a rendszernek a c<br />
ábra szerinti homogenizált modelljébe.<br />
0~sT n)<br />
w(s) - —kx -<br />
r+c+2d - rn<br />
J [k T - v(t)]dt<br />
W(S) :<br />
N 0(s)<br />
I + sT<br />
l Í- sT<br />
p+e+2f- n