Hidrosztatika, Hidrodinamika

Hidrosztatika, Hidrodinamika
Nyugvó folyadékok
HIDROSZTATIKA
Folyadékok fizikája
Áramló folyadékok
HIDRODINAMIKA
Ideális folyadékok áramlása Viszkózus/ reális folyadékok
áramlása
Lamináris (réteges)
áramlás
Turbulens (örvényes)
áramlás
Folyadékok alaptulajdonságai
folyadék: anyag, amely folyni képes
• térfogat állandó,
• alakjuk változó, a tartóedénytől függ
• a térfogat-változtató erőkkel szemben ellenállást fejtenek ki
• összenyomhatatlanok
sűrűség nyomás
HIDROSZTATIKA
10/4/2012
1

A hidrosztatika alaptörvénye (Pascal törvénye) szerint
a folyadékok belsejében bármely dA felületelemet
véve, a rá ható erő merőleges a felületelemre, nagysága
pedig arányos a helyi nyomással (feszültséggel):
dF pdA
Blaise Pascal
1623-1662
Hidrosztatikus nyomóerő, nyomás
A hidrosztatikus nyomás értéke független az edény alakjától, a
folyadékoszlop magasságával (h) és sűrűségével (ρ f) egyenesen
arányos.
Különböző alakú, azonos magasságú edényben lévő folyadékoszlopok
hidrosztatikai nyomása lehet azonos, ha a súlyuk különbözik is.
Hidrosztatikus nyomóerő, nyomás
Hidrosztatikai nyomás: folyadék súlyából származó nyomás
A Föld felszínén nyugvó folyadékokban a nyomás a folyadékok súlya miatt a
magassággal arányosan változik.
Kísérlet:
Egy gumihártyával fedett végű/oldalú üvegcsövet vízzel teli tartályba helyezünk,
majd megtöltjük vízzel.
A folyadék egy adott mélységében minden
irányból azonos erővel nyomja a gumihártyát.
F = G = mg
Pascal törvénye: A nyomás terjedése
folyadékokban
Pascal törvénye: Zárt folyadékokra ható nyomás minden irányban
gyengítetlenül terjed tovább.
d 1
F 1
F 2
10/4/2012
h
d 2
2

Pascal törvénye
Kísérlet:
Egy U – alakú cső két szárába töltsünk két,
egymással nem elegyedő, különböző sűrűségű
folyadékot.
Egymással nem keveredő folyadékoknak a közös érintkezési
szinttől mért távolságai a folyadékok sűrűségével fordítva
arányosak.
Közlekedőedények
A folyadék nyomása nem függ az edény alakjától, ezért az egymással
összeköttetésben álló edényekben a folyadék szintje azonos.
A két szár alakjától függetlenül
azonos a két folyadékoszlop
magassága ha sűrűségük azonos.
Nyomásmérés:
Δp = p k1 – p k2 = (h 2 – h 1) ρg = h ρg
Arkhimédesz törvénye
Egy A alapú h magasságú tárgy folyadékba merül
Minden folyadékba merülő testre felhajtóerő
hat, amely az általa kiszorított folyadék súlyával
egyenlő.
Süllyedés
G>F fel
Úszás,
lebegés
G=F fel
10/4/2012
Emelkedés
G

F e
Felületi feszültség
A felületnövekedéshez munkát kell végezni:
ΔW=α ΔA
W
A
A folyadékok határfelülete a lehető legkisebbre
húzódik össze.
A folyadék belsejében az egy molekulára ható
erők eredője nulla.
Felszíni molekulákra ható F e a folyadék beseje
felé mutat.
N/m v. J/m 2
Egységnyi felületnövekedéshez szükséges munkavégzés
A drótkeret függőleges helyzetében az l hosszúságú
drótdarab nyugalmi állapotának az a feltétele,
hogy a drótdarab és a rá függesztett kis test
együttes súlya megegyezzen az Fh erő
nagyságával. A mérések szerint az Fh erő független
a hártya A felületétől, és arányos az l hosszúsággal:
Fh 2
l
A 2-es szorzó a hártya két (elülső és hátulsó)
felületének hatásából adódik. Az arányossági
tényezőt felületi feszültségnek nevezzük. Az
egysége [N/m].
Az előzőek általánosításaként elmondhatjuk, hogy a
folyadék felszínét határoló görbe bármely s
hosszúságú vonaldarabjára a felszín érintősíkjában a
vonaldarabra merőlegesen
A
F Δs
nagyságú erő hat.
A felszín egy rugalmas
hártyaként viselkedik (behorpad
a rovar lába alatt
l
F h
Felületi feszültség
A kísérleti tapasztalatok szerint a
folyadékok szabad felszíne másképpen
viselkedik, mint azt az előzőekben
megismert hidrosztatikai törvények
alapján várnánk. Pl. a lapjával a víz
felszínére helyezett borotvapenge
(vékony acéllemez) nem merül el a
folyadékban, annak ellenére, hogy
sűrűsége ~7,8 -szorosa a víz
sűrűségének. A víz felszíne a
borotvapenge súlya alatt ˝behorpad˝, a
felszín úgy viselkedik, mintha az egy
rugalmas hártya lenne.
Megfigyelhető továbbá, hogy a
folyadékok felszíne az edény falánál
vízszintes sík helyett görbült felülettel
jellemezhető.
F
Δs
Határfelületi jelenségek
Ugyanekkora erő hat a folyadékfelszín belsejében kijelölt görbe bármely s
vonalelemének mindkét oldalára.
A folyadékok felületi feszültsége hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet
növekedésével csökken.
szobahőmérsékletű vízre:
a higanyra pedig:
H2O
Hg
0
, 073
0,
5
N
m
N
m
10/4/2012
4

Felületi energia
Ha az ábrán látható folyadékhártyával kitöltött keret
l hosszúságú mozgatható oldalát x úton
függőlegesen lefelé elmozdítjuk, akkor a felületi
feszültségéből származó erő ellenében
W Fx
2lx
ΔA
munkát végzünk, ahol A = 2lx a felület
megváltozását (növekedését) jelöli.
A folyadék felülete a megnövelése közben végzett
munka révén potenciális energiához jut. A
potenciális energiának ezt az újabb fajtáját felületi
energiának nevezzük. A folyadékok felszíne csak
munkavégzéssel növelhető. A felszín növelésére
végzett munka a folyadék felületi energiáját növeli:
ΔE ΔW ΔA
A felületi feszültség a folyadék felszínének egységnyi növeléséhez szükséges munkát
is jelenti. Ezért -t másképpen fajlagos felületi energiának vagy fajlagos felületi
munkának is nevezzük.
Kohéziós és adhéziós erők
A folyadék és az edény fala (egy szilárd
test) érintkezésekor is tapasztalunk
felületi jelenségeket.
A folyadék és a vele érintkező szilárd
test részecskéi között fellépő vonzó
kölcsönhatási erőket adhéziós erőknek
nevezzük.
A kohéziós és az adhéziós erők együttes
hatásának következménye a folyadék
felületének az edény falánál
tapasztalható görbültsége.
A nyugvó folyadék felülete mindig
merőleges a rá ható erők eredőjére.
Az ábra azt az esetet mutatja, mikor az adhéziós erő (F a ) nagyobb, mint a
kohéziós erő (F k ) falra merőleges komponense, és így a folyadék „nedvesíti” az
edény falát. (Ilyen pl. a víz egy tiszta falú üvegedény esetén.)
A
x
l
F h
Kohéziós és adhéziós erők
A folyadék molekulái között vonzó kölcsönhatási erők, ún. kohéziós erők is
hatnak. A kohéziós erők hatósugara 10 -8 m nagyságrendű, ami azt jelenti, hogy egy
molekulára csak egy r = 10 -8 m sugarú „hatásgömbön” belüli molekulák fejtenek
ki erőhatást.
Egy molekulának a folyadék
belsejéből a felszínre juttatásához (és
ezáltal a felszín növeléséhez) a
felületi rétegben befelé mutató erők
ellenében pozitív munkát kell
végezni.
Emiatt a felszínen lévő molekulák
potenciális energiája (felületi
energiája) nagyobb, mint a folyadék
belsejében lévőké.
Feladatok:
Labda 10%-a belemerül a vízbe. Mekkora a
labda sugara, ha a tömege 55 g?
Egy 0,4 * 10 3 kg/m 3 sűrűségű fadarabot 2,9 m mélyen a vízbe merítünk.
Határozzuk meg a fadarab gyorsulását elengedés után, és hogy mennyi idő
múlva éri el a felszínt!
Víz felületi feszültségének meghatározása céljából 1 mm átmérőjű csövön 1
cm 3 vizet csepegtetünk ki, miközben 40 cseppet számlálunk. Mekkora az
adott hőmérsékleten a víz felületi feszültsége?
10/4/2012
5

A 1
v 1
HIDRODINAMIKA
Lamináris (réteges)
áramlás
Viszkózus/ reális folyadékok
áramlása
Turbulens (örvényes)
áramlás
Folytonosság törvénye
A folyadékok összenyomhatatlanok, így az áramlás erőssége minden időben és
helyen állandó.
d 1
d 2
A cső keresztmetszetével (A) fordított arányban változik az áramlás
sebessége (v).
A 2
v 2
anyagmegmaradás
Ideális folyadékok áramlása
lamináris nem viszkózus
összenyomhatatlan
Az áramlás erőssége az áramlási cső
keresztmetszetén áthaladó folyadék
térfogatának és az áramlás idejének a
hányadosa.
Munka (a rendszeren):
Gravitációs erő munkája
Áramlás: Folyadékok egyirányú mozgása.
feltétele: nyomáskülönbség (Δp)
Térfogati áramerősség
örvénymentes
Az aortában ez 6 liter/perc - perctérfogat
Bernoulli törvénye
Munka (a rendszer által):
Az előrehaladáshoz szükséges erő munkája
Munkatétel: a mozgási energia
megváltozása egyenlő a rendszeren
végzett munkával
10/4/2012
6

2
2
v1
v2
p1 g h1
p2
g h2
const.
2
2
statikus dinamikus hidrosztatikus
Bernoulli egyenlet
Áramlási csőben másodpercenként 3 cm 3 víz halad át. Mennyi a víz sebessége
ott, ahol a cső átmérője 0,5 cm ill. 0,8 cm?
Víz áramlik egy zárt csőrendszerben. Egy adott pontban az áramlási sebesség 3
m/s, egy másik, 1 m-rel magasabban levő pontban pedig 4 m/s.
Mennyi a nyomás ebben a pontban, ha az alacsonyabban fekvő helyen 20 kPa?
Mennyi lenne a nyomás a felső helyen, ha megállítva az áramlást az alsó
pontban a nyomásértéke 18 kPa lenne?
Torricelli – törvénye
Egy vízzel teli üveghenger falát egy pontban kilyukasztjuk.
A kiáramló víz sebessége meghatározható a Bernoulli egyenlet
segítségével.
2
2
v1
v2
p1 g h1
p2
g h2
const.
2
2
Súrlódásos áramlás
Állandó keresztmetszetű csőben áramló folyadék nyomása, az áramlás irányában
a középtengelytől mért távolsággal csökken.
Lamináris áramlás (Réteges) Turbulens áramlás (Örvénylő)
• Az áramlás sebessége (v) kicsi
• Nincs keveredés
• Sima felszín
v d
R lamináris R 1160
Reynolds szám turbulens
R 1160
• Az áramlás sebessége (v) a
viszkozitáshoz képest arányosan nagy
• Örvényes
• Durva felszín
10/4/2012
7

Viszkózus folyadékok áramlása
Newton –féle súrlódási (viszkozitási) törvény
p 1
Viszkozitás (belső súrlódási együttható):
Jele: η (éta)
Mértékegysége Pa·s
A viszkozitás függ:
• Anyagi minőség
l
• Koncentráció
• Hőmérséklet (hőmérséklet növekedésével csökken)
• Nyomás
Hagen-Poiseuille törvénye
p 2
Áramerősség: I=A*v
Nyomáskülönbségből származó erő
v
F
A
h
2
F p
A ( p p ) r
v
p1
p2
r
h
2
l
4
r
p1 p2
I
8
l
p
1
2
Sebesség profil
turbulens
lamináris
I
v
Stokes törvénye
1851-ben, George Gabriel Stokes kimondta, hogy Egy
viszkózus folyadékban v sebességgel mozgó, r sugarú,
gömb alakú tárgyra ható súrlódási erőt hogyan lehet
meghatározni (kis Reynolds szám, folytonos viszkózus folyadékáramlásban)
p 1
A 1
v 1
F d súrlódási erő
μ dinamikus viszkozitás (N s/m 2 ),
R a gömb sugara (m), és
v sebesség(m/s).
Aneurizma: az ördögi kör
A 2 A 1
v 2
2
2
p 2
A A
2
v v
1
1
p p
1
p 1
v 1
Kontinuitási egyenlet
Bernoulli törvény
10/4/2012
8

Feladat:
Egy 1 mm belső átmérőjű 10 cm hosszúságú injekciós tűn
keresztül 10 -3 Pas viszkozitású oldatból 20 cm 3 -t akarunk
befecskendezni 4 perc alatt, 1600 Pa vénás nyomással
szemben.
Hány Pa nyomás alkalmazása szükséges?
Házi Feladat:
Legfeljebb mekkora térfogatú cseppeket képezhet a víz egy 2 mm átmérőjű
kapilláris cső alján? (A víz sűrűsége 1000 kg/m 3, a felületi feszültsége az órai
feladatból)
Egy kocka élhosszúsága 0,75 cm. Úgy úszik a 800 kg/m 3 sűrűségű
olajon, hogy egyharmada emelkedik ki. Mekkora felhajtó erő hat a
kockára? Mekkora a kocka anyagának sűrűsége?
10/4/2012
9