Az elektromosságtan alapjai Elektrosztatika

Tóth Mónika
2011.04.05.
Az elektromosságtan
alapjai
Elektrosztatika
Áramkörök
Ohm-törvény, Kirchoff I. és II.
törvénye
Elektrosztatika
Elektromos töltés
Tudománytörténet
Már az ókori görögök is tudták…
elecktron [gr]
a gyapjúval megdörzsölt borostyánkő magához
vonz apró, könnyű tárgyakat (Thalesz ~i. e.
600).
(a mágneses erőket is ők fedezték fel a
magnetit tulajdonságainak megfigyelésével).
Töltéssel rendelkező testek kölcsönhatása
üvegrudak
két töltéssel rendelkező
üvegrúd között taszítás jön
létre.
minden, selyemmel dörzsölt
üvegrúd azonos töltéssel
rendelkezik.
az üvegrudak töltése tehát
azonos.
az azonos töltések
taszítják egymást.
1

!
Töltéssel rendelkező testek kölcsönhatása
üvegrúd
ebonitrúd
Egy töltéssel rendelkező
ebonitrúd és egy feltöltött
üvegrúd között vonzás jön
létre.
A két rúd ellentétes töltéssel
rendelkezik.
Az ellentétes töltések
vonzzák egymást.
Azonos töltések taszítják, ellentétes töltések vonzzák egymást.
Töltésmegmaradás törvénye
Zárt (izolált) rendszerben:
!
Töltés nem keletkezik, nem is tűnik el.
A tárgyak feltöltődése annak köszönhető, hogy
a negatív töltés átadódik egy másik tárgyra.
Zárt rendszer töltése állandó.
!
Az atom szerkezete
Az atomok 3 szubatomi részecskéből
épülnek fel.
-
-
Töltés
-
+ +
+ + +
+ + -
-
-
-
Benjamin Franklin (1706-1790): a
nyúlszőrrel dörzsölt üvegrúd töltése a
―pozitív‖, míg a borostyánkőé a ―negatív‖
elnevezést kapta.
Pozitív: elektronhiány
Negatív: elektrontöbblet
2

A töltés mértékegysége
Coulomb (C)
Q = n · e
Q: elektromos töltés
e: elektronikus töltés (1 elektron töltése) = elemi töltés
n: egész szám
Q elektron: -1.6 · 10 -19 C
Q proton: +1.6 · 10 -19 C
Q neutron: 0
Vezetők és szigetelők
A vezetők olyan anyagok, amelyekben az
elektromos töltés szabadon áramlik.
Ha egy vezetőt egy kis részén feltöltünk, a
töltés eloszlik a teljes felületen.
Réz, alumínium, ezüst
A szigetelők olyan anyagok, amelyekben
nincs szabad töltésáramlás.
Ha egy szigetelőt dörzsöléssel feltöltünk, csak
a dörzsölt terület válik elektromosan töltötté.
Üveg, gumi
A töltés nem terjed át az anyag más részeire.
Elektrosztatikus feltöltődés
Az elektroszkóp
A testek elektromos állapotának (a töltés
létének) tesztelésére alkalmazzák.
A töltés előjelének vizsgálatára is
alkalmas.
vezető rúd
vékony aranylemezek
vezető korong
szigetelő dugó
földelt fémtok
üvegablakkal
földelés
3

Test feltöltése vezetéssel
Egy töltéssel
rendelkező testet
egy másik testhez
érintünk.
Elektronok
áramlanak a rúdból a
gömbbe.
Amikor a rudat
eltávolítjuk, a gömb
töltéssel fog
rendelkezni (ami
azonos előjelű, mint
a töltést okozó tárgy
töltése).
Elektromos polarizáció
negatív
töltésű
fésű
Semleges szigetelő: a
molekulákban az
elektronok elmozdulnak
a fésűtől.
A molekulák pozitív töltései
közelebb vannak a negatív
töltésű fésűhöz, mint a
negatívak, az eredő töltés
következménye a vonzás.
A töltésmegosztással való
feltöltéshez nem minden
esetben szükséges a
töltések eltávolítása a
testből.
A töltés mozoghat a
testen belül is, így is
jöhetnek létre különböző
töltésű régiók a testen
belül.
Ez esetben a gerjesztés
polarizációt (töltésszétválást)
idéz elő.
Test feltöltése megosztással
szigetelő a talajba földelés.
Negatív töltésű test semleges
test közelébe töltésátrendeződés,
e — vándorlás a
gömbben.
Földelt vezeték kapcsolása a
testhez e — vándorlás a talajba
Földelést eltávolítva a gömb
pozitív töltésűvé válik.
A pozitív töltés egyenletesen
oszlik el.
A gerjesztéssel történő
feltöltéshez nem szükséges a
testek érintkezése.
Elektromos erő és elektromos
mező
4

Elektromos erő
Coulomb törvénye leírja egy Q 1 és egy
Q 2 töltés között fellépő erő nagyságát.
!
F
k Q1Q2
2
r
F: elektromos erő (N) vektor!
Q: töltés (C)
k: arányossági tényező (9 × 10 9 N∙m 2 / C 2 )
r: a töltések közti távolság (m)
Elektromos mező
Az elektromosan töltött testeket elektromos
erőtér (mező) veszi körül.
az elektromos mező hat a bele helyezett pozitív
próbatöltésre, valamint más, a mezőbe kerülő töltéssel
rendelkező testekre.
E
F
q
kq
r
N
E Mértékegység:
2
C
E: az elektromos mező nagysága (térerősség)
F: a próbatöltésre ható erő
q: próbatest töltése
k: arányossági tényező (9 × 10 9 N∙m 2 / C 2 )
1. feladat Coulomb törvénye
Egy -1.0 µC és egy +2.0 µC nagyságú
ponttöltés távolsága 0.30 m. Mekkora erő
hat az egyes töltésekre?
Q 1 = -1.0 µC
Q 2 = +2.0 µC
r = 0.30 m
k = 9.0 × 10 9 Nm 2 /C 2
Ismeretlen: F
Megoldás:
F
k Q Q
r
1 2
2
2
9 Nm
-6
-6
9 10 -1.0
10 C 2.0 10 C
2
3
C
18 10
F 0,
2N
2
0,
30m
0,
09
Az elektromos mező erővonalai
Elektromos erővonalak (elektromos
erőteret szemléltető görbék)
A pozitív töltés felől a negatív töltés irányába
mutatnak.
Egymással nem érintkeznek, nem keresztezik
egymást.
Egy pozitív próbatöltés útját szemléltetik az
elektromos térben.
+ -
5

Elektromos mező két ellentétes töltés között Különböző elektromos mezők
+ -
Az erővonalak sűrűsége megadja a térerősséget.
Az elektromos mező tulajdonságai
Bármely vezető többlet-töltése teljes egészében a
vezető felületén oszlik el.
Bármely töltéssel rendelkező vezető belsejében
az elektromos mező nagysága mindig zérus.
Bármely töltéssel rendelkező vezető elektromos
mezeje mindig merőleges a felületre.
Éles, hegyes felületeken a töltés felhalmozódik –
csúcshatás (pl. aszimmetrikus vezetők csúcsán –
villámhárító!).
egyszerű pozitív töltés azonos nagyságú ellentétes
töltések (elektromos dipólus)
azonos töltések
Elektromos energia, feszültség
6

Elektromos energia
Ha 2 vagy több töltést egymáshoz közelítünk
vagy távolítunk, munkát végzünk, és
energiafelhasználás, vagy –tárolás történik.
U
W
Q
W: munkavégzés a próbatöltés végtelenből való
közelítésekor.
Mértékegység: volt (J/C) V
Elektromos potenciálkülönbség = feszültség
kQ1Q2
kQ1Q2
U U B U A
r r
B
U
W
Q
A
AB
A feszültség és az elektromos mező kapcsolata
Ha a próbatöltés elmozdulásának iránya
nem párhuzamos a mezővel:
V
E d
E: elektromos erő
d: A és B távolsága
Edcos
: a mező és az elmozdulás iránya által bezárt szög
Vektoriális mennyiségek skaláris szorzatáról van szó!
A feszültség és az elektromos mező kapcsolata
közelítsünk pozitív próbatöltést egy
homogén elektromos mezőbe.
F: külső erő
W AB
Fd
E: elektromos térerősség
d: A és B távolsága
!
U
V
W
q
AB
Ed
qEd
Ed
V értéke q-tól független, azaz az elektromos mezőt jellemezheti.
A feszültség és az elektromos mező kapcsolata
Az elektromos erő konzervatív.
Töltéssel rendelkező részecske mozgatása során
végzett munka független az úttól!
A potenciálkülönbség csak a végpontok
függvénye. A tér bizonyos pontjai egyenlő
potenciállal rendelkeznek. Az ezeket összekötő
vonalakat
nevezzük.
(felületeket) ekvipotenciálisoknak
Ha egy töltés egy ekvipotenciálison mozog, nem
történik munkavégzés (amíg az elmozdulás 90°os
szöget zár be az elektromos mezővel).
W
qEd cos90
0
7

Kondenzátorok
Síkkondenzátor kapacitása
!
C
A: felület
0 A
d
d: lemezek távolsága
ε 0: vákuum dielektromos állandója (8.85 ×
10 -12 C 2 /Nm 2 )
Kondenzátorok, szigetelők
A kondenzátorok elektromos energiát
tárolnak.
!
Q
Q: töltés
CV
V: feszültség
C: kapacitás
(arányossági tényező)
F (farad)
Elem
Szigetelő kondenzátorokban
A kondenzátorlemezek közé
helyezett szigetelő anyagból
készült lemez:
megakadályozza a lemezek
érintkezését, amely rövidre
zárhatja a kondenzátort.
Lehetővé válik Al-fólia
tekercselésével kisméretű
kondenzátor építése.
növeli a kondenzátor
kapacitását.
C
K 0 A
d
K: arányossági tényező
8

2. feladat Mennyi 1 Farad?
Mekkora egy 1 F kapacitású
síkkondenzátor lemezének felülete, ha a
lemezek távolsága 1 mm?
0 A
C
C = 1.0 F
C
A
d
d = 1.0 mm
ε 0 =8.85 × 10 -12 C 2 /Nm 2
Ismeretlen: A
Megoldás:
3
1F
10 m
A
2
12 C
8,
85 10 2
Nm
(A gyakorlatban µF-os egységet alkalmazunk!)
1,
13
Elektromos kapcsolások
8
10 m
Zárt elektromos hálózat (olyan hálózat, mely zárt körrel
rendelkezik).
Az elektromos áramkör részei:
áramforrás (telep)
vezetékek
fogyasztók:
ellenállások
kondenzátorok
…
2
0
d
Áram, Ohm törvénye,
Kirchoff törvényei
Elektromos áramkörök
Áramforrás (az elem)
A kémiai energiát elektromos
energiává alakítja.
Anód: pozitív töltésű pólus.
Katód: negatív töltésű pólus.
Elektromotoros erő
(elektromos potenciál
vagy feszültség): az elem
végei között fellépő
potenciálkülönbség.
9

Az elektromos áram létezésének
feltételei
áramforrás: elektromos energiát szolgáltat más
típusú energia átalakításával.
vezető: mozgékony részecskéket (ionokat,
elektronokat) tartalmaz és vezet.
zárt áramkör: az áramforrás negatív és pozitív
pólusát összeköti, ezáltal a mozgó töltések a két
pólus között vándorolhatnak.
3. feladat: Áramló töltésmennyiség
Egy áramkörben 0.50 A erősségű áram
folyik 2 percig. Ezalatt az idő alatt
mekkora töltésmennyiség folyik át a
vezeték egy tetszőleges
keresztmetszetén?
I = 0.50 A
t = 2.0 min
Ismeretlen: Q
Megoldás:
Q 0,
50A
120s
60C
I
Q
t
Q
I
t
Elektromos áram
Töltések mozognak egy vezetőben (pl. vezeték). Ha elektromos
mezőt alkalmazunk, a vezetőben töltésmozgás jön létre.
Áramerősség (I): egységnyi idő alatt a vezető
keresztmetszetén áthaladó töltésmennyiség:
Q
t
Az áramerősség mértékegysége: A (ampere)
Az egységnyi keresztmetszeten átfolyó áramot
Áramsűrűségnek nevezzük:
J
I
A
Az áramsűrűség mértékegysége:
I
!
A
2
m
Ohm törvénye, elektromos
ellenállás
C
1A
1
sec
10

Az alkalmazott feszültség és az
áramerősség kapcsolata
A feszültség egyenesen arányos az
áramerősséggel.
I ~ V
Az egyenes meredeksége megadja a
rendszer ellenállását (R).
Az ellenállás eredete
Az ellenállás az anyagot felépítő atomok, ionok,
és az áramló elektronok ütközéseiből származik.
Az ellenállás függ:
- anyagi minőség – fajlagos ellenállás (ρ)
- vezető hossza (l)
- keresztmetszet (A)
- hőmérséklet
A fajlagos ellenállás hőmérsékletfüggő: (ált. nő a
hőmérséklet növelésével).
A fajlagos vezetőképesség (σ) a fajlagos
ellenállás reciproka: 1
R
l
A
Az ellenállás és az áramerősség
kapcsolata
Az ellenállás (R) és az áram fordítottan arányosak
R mértékegysége: Ohm (Ω)
1
I ~
R
Ohm törvénye: leírja az áramerősség, a
feszültség és az ellenállás kapcsolatát.
I
V
R
V
V R I
R
I !
(Ohmos vezető: Ohm törvényének megfelelően viselkedik.)
A hőmérséklet-változás hatása a fajlagos ellenállásra
Növeljük a hőmérsékletet:
0
1
T
A fajlagos ellenállás egyenesen arányos az
ellenállással, így:
R R 1
T
0 R R0
T
Az ellenállás hőmérséklet-növekedés általi
növekedése hőmérséklet-mérési módszer
(termisztor).
0
T
11

4. feladat: Az ellenállás változása a hőmérséklet
függvényében
Egy platinadrótot 0 °C-ról 100 °C-ra
melegítünk. Százalékban kifejezve,
mennyit változik a drót ellenállása a
hevítés során? (Tegyük fel, hogy α ebben a tartományban konstans!)
T 0 = 0 °C
T = 100 °C
α = 3.93 × 10 -3 °C -1
Ismeretlen: ΔR/R 0
R
3 1
Megoldás: T T0
3.
93 10 C 100 C 0 C 0.
393 39.
3%
R
0
Áramkörök elektromos fogyasztókkal
Soros kapcsolás
Az egyes fogyasztókon
átfolyó áramerősség
egyenlő az áramforrás
által szolgáltatott
árammal
A feszültség minden
fogyasztó után csökken
Az áramkör eredő
ellenállása:
s
s
R R0
T
Áramkörök több fogyasztóval,
R
R
0
T
T
0
I s I1
I2
V V V
...
R R R ...
1
2
1
2 ... Vn
IR1
IR2
... IRn
I R1
R2
R
n
I
n
R
n
Kirchoff törvényei
Áramkörök elektromos fogyasztókkal
Párhuzamos kapcsolás
1
R
p
Az egyes fogyasztókra eső feszültség egyenlő az
áramforrás feszültségével.
Az áramerősség arányosan megoszlik a
fogyasztók között.
Az áramkör eredő ellenállása:
1
R
1
1
R
2
...
1
R
n
I
I
1
... I
n
V
R
1
...
V
R
n
Vp V1
V2
1 1
V ...
R R
1
n
V
n
V
R
p
12

Kirchoff törvényei
Kirchhoff törvényei:
összetett áramkörök
elemzésére.
Összetett áramkör:
több áramforrást
tartalmaz.
Kirchhoff I. törvénye
(Csomópont törvény)
Minden csomópontban az
áramerősség algebrai
összege zérus.
A csomópontba beérkező
áramerősségek összege
egyenlő az onnan kiinduló
áramerősségek
összegével.
i
Ii
0
!
Az A jelű csomópontra:
Beérkező áram = kiáramló áram
Ohm törvénye:
egyszerű áramkörök
elemzésére.
Egyszerű áramkör:
egy áramforrást
tartalmaz.
I
1
I
2
I
3
Az összetett áramkörök nevezéktana
Csomópont: 3 vagy
több vezeték találkozási
pontja az áramkörben
(A,B).
Ág: két csomópontot
összekötő útvonal, amely
1 vagy több elektromos
tagot is tartalmazhat.
Hurok: összetett
áramkör azon része,ami
önálló áramkörként is
működőképes.
Kirchhoff II. törvénye
(Hurok törvény)
Zárt hurokban a
feszültségváltozások
algebrai összege zérus.
Zárt hurokban a
feszültségnövekedések és
feszültségesések összege
egyenlő.
Az 1. hurok feszültsége:
! 1 1 1 2 3
előjelszabályok!!!
V I R V I R 0
V1
I1R1
V2
I 3R3
3
13

Előjel-szabályok
hurkok számozása
körüljárási irány megadása
csomópontok megjelölése, irányok
meghatározása
elemek számozása
egyik hurok áramforrásai előjelek
azonos hurok fogyasztói előjelek
1.
2.
3.
2.
3.
Megoldás
I
1
I
2
3I1 I3
9I 2 2I
3
3I2 4I3
I
3
3
12
3
4
9 1 I 3 2I
3
3
2. 3 2
12
I 0.
5A
I
2
3 3
4I
3
I 1.
5A
I 4(
1.
5)
3 I 1.
0A
1
3
2
R1=6.0 Ω
R2=9.0 Ω
R3=2.0 Ω
V1=6.0 V
V2=12V
5. feladat: Kirchoff törvényei
I
V
V
1
1
2
I
2
I R
1 1
I R
2
2
I
3
V
2
I R
3
I R
3
3
3
0
0
R 1=6.0 Ω
R 2=9.0 Ω
R 3=2.0 Ω
V 1=6.0 V
V 2=12V
I 1=?
I 2=?
I 3=?
14