Halmazelméleti alapfogalmak II

Logika nyelvészeknek, 9. óra
Relációk, elsőrendű nyelvek szintaxisa és szemantikája
I. Halmazelméleti alapfogalmak 2.
Relációnak két halmaz elemeinek egymáshoz való viszonyát nevezzük. Ha adott egy K és
egy L halmazunk, akkor a két halmaz elemei közötti R reláció nem lesz más, mint olyan
párok összessége, ahol a pár első elemét a K halmazból vesszük, a második elemét pedig az L
halmazból.
Az ilyen párokat rendezett pároknak hívjuk, mivel a két elem sorrendje meghatározott, nem
cserélhetők fel: ≠
Ha olyan rendezett pár, hogy a ∈ K, és b ∈ L, akkor ∈ K × L.
K × L halmazt K és L halmaz szorzathalmazának hívjuk: K × L = { : a ∈ K, b ∈ L},
azaz K és L halmaz szorzathalmaza az összes olyan rendezett párt tartalmazza, amit úgy
kapunk, hogy K egy-egy elemét párba állítjuk L egy-egy elemével.
Példa:
K = {a, b, c, d, e}
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
K × L = {, , ..., , , ..., }
A halmazok szorzásának a művelete nem kommutatív: K × L ≠ L × K.
A szorzathalmaz fogalma alapján definiálni tudjuk a reláció fogalmát:
K és L halmaz elemei közti relációnak K és L szorzathalmazának részhalmazait hívjuk,
azaz R-t akkor nevezzük K és L elemei közötti relációnak, ha R ⊆ K × L.
Példa:
R = {, , , , } =
= { : x a latin ábécé n-edik betűje, y pedig n}.
Láthatjuk, hogy R ⊆ K × L.
A K × L szorzathalmaz fogalmát arra az esetre is értelmezzük, ha K = L. Ebben az esetben a
reláció egy halmaz elemei közötti viszony.
Példa:
R’= {, , , } = { : x közvetlenül megelőzi y-t a latin ábécében}
R’ ⊆ K × K.
Azt, hogy eleme egy R relációnak, úgy is szoktuk jelölni, hogy a R b (R
predikátumszerűen, infix írásmóddal).
A halmazok szorzásának a műveletét egymás után többször is alkalmazhatjuk:
(K × L) × M halmaz rendezett hármasok halmaza, azaz olyan rendezett párokat
tartalmaz, amelyek közül az pár a K × L szorzathalmaz valamely eleme, a c elem pedig
az M halmaz egy eleme.
A halmazok szorzásának egymás utáni többszöri alkalmazásánál az adott rendezett pár első
eleme körül a hegyes zárójelet rendre el szoktuk hagyni, azaz helyett azt írjuk,
hogy (és hasonlóképpen (K × L) × M helyett azt, hogy K × L × M).
(Megjegyzendő, hogy a halmazok szorzása nem asszociatív: (K × L) × M ≠ K × (L × M).)
Relációkat ilyen többelemű szorzathalmazokon is tudunk definiálni: a K × L × M
szorzathalmaz részhalmazai olyan relációk lesznek, amelyek három halmazelem közötti
viszonyt adnak meg.

Halmazok szorzathalmaza olyan halmazokra is értelmezhető, amelyek elemei halmazok.
Példa:
K’ = {a, b, c, d}
L’ = {1, 2, 3, 4}
M = {K’, L’}
(Megjegyzendő, hogy K’ és L’ itt nem részhalmazai M-nek, hanem elemei. M részhalmazai a
példában nem K’ és L’, hanem a következők: po(M) = {{K’, L’}, {K’}, {L’}, ∅}.)
M × M halmazon tudunk olyan R relációt meghatározni, hogy:
R = { : |a| = |b|} = {, , , } (= M × M)
|K|-val K halmaz számosságát, elemeinek számát (K kardinalitását) jelöljük.
A példánkban |K’| = |L’| = 4 és |M| = 2.
A függvény egy speciális tulajdonságokkal rendelkező reláció. Olyan K és L halmaz közötti
relációkat nevezünk függvénynek, amelyek elemei a következő F halmaznak:
F = {R : minden a ∈ K-ra igaz, hogy ha ∈ R és ∈ R, akkor b’ = b}
(⊆ po(K × L))
azaz K halmaz bármelyik elemét L halmaznak legfeljebb egy elemével állítja párba minden
R ∈ F függvény (a függvények ún. egyértelmű leképezések).
Ha R (⊆ K × L) függvény, akkor K halmazt R értelmezési tartományának hívjuk, L halmazt
pedig R értékkészletének.
Azt, hogy eleme egy R függvénynek, úgy is szoktuk jelölni, hogy R(a) = b (prefix
írásmóddal, ellentétben az egyéb relációkkal; ilyenkor a függvény neve rendszerint kis f, g
stb. szokott lenni).
II. Elsőrendű nyelvek szintaxisa és szemantikája 1.
1. Az elsőrendű nyelvek szintaxisa
RM nyomán egy elsőrendű nyelv szintaxisa általában úgy jellemezhető, mint egy L = struktúra, ahol
Log: logikai konstansok (mondatfunktorok, azonosság, kvantorok, zárójelek)
Var: (individuum)változók
Con: nemlogikai konstansok (individuumkonstansok, predikátumok)
Form: formulák (L jólformált, zárt mondatai)
(RM-nél továbbá még Term (terminusok: individuumváltozók és -konstansok), amire azért
lehet szükség, hogy megkönnyítsük a szintaktikai szabályok megfogalmazását, de nem
nékülözhetetlen.)
Con-on belül továbi részhalmazok közötti különbségtételre van szükség: individuumkonstansoké,
egyargumentumú, kétargumentumú stb. predikátumoké, esetleg atomi
mondatoké (0-argumentumú predikátumok) és egyebek.
A Log, Var és Con alkotta részt felfoghatjuk úgy, mint a nyelv szótárát.
Ezeken kívül szereplnek a nyelvben szintaktikai szabályok, amelyek a szókincs alapján
létrehozzák a formulák halmazát.

Példa:
L1 szintaxisa
A. L1 nyelv nemlogikai konstansai a következők:
1. tulajdonnevek: d, n, j, m
2. egyargumentumú predikátumok: M, B
3. kétargumentumú predikátumok: K, L
L1 nyelv tartalmaz ezen kívül egy felsorolhatóan végtelen készletet változókból:
Var = {x, y, z, v1, v2, v3 ...}
B. A formulák halmaza (Form) a következőképpen jellemezhető (induktív definícióval):
1. Ha δ egyargumentumú predikátum, és α tulajdonnév vagy változó, akkor δ(α) ∈ Form.
(Megjegyzés: itt α és δ, a továbbiakban pedig γ, φ, ψ, u ún. metalogikai változók
(metaváltozók).)
2. Ha γ kétargumentumú predikátum, és α és β (egyenként) tulajdonnév vagy változó, akkor
γ(α, β) ∈ Form.
3. Ha α és β (egyenként) tulajdonnév vagy változó, akkor α = β ∈ Form
Ha φ ∈ Form és ψ ∈ Form, akkor
4. ~ φ ∈ Form
5. (φ & ψ) ∈ Form
6. (φ ∨ ψ) ∈ Form
7. (φ ⊃ ψ) ∈ Form
8. (φ ≡ ψ) ∈ Form
9. Ha φ ∈ Form és u ∈ Var, akkor ∀uφ ∈ Form
10. Ha φ ∈ Form és u ∈ Var, akkor ∃uφ ∈ Form
11. Semmi más nem eleme a formulák halmazának.