Fóliák

Előadó: dr. Bozsik Sándor 

Vállalatértékelés 

Ajánlott szakirodalom: 

McKinsey: Vállalatértékelés 

PriceWaterhouse: A részvényesi érték 

Tőzsdei szakvizsga felkészítő 

Közép-európai brókerképző alapítvány 1998 

Budainé Ferenczy Zsuzsanna: Értékteremtés alapelvei és 

definíciói

Vállalatértékelés indokai 

• Vállalatok (divíziók) vétele/eladása 

–Vevőnek mi a maximális ár 

– Eladónak mi a minimális ár 

• Jegyzett vállalatok értékelése 

– Befektetőnek érdemes-e venni/eladni részvényt 

– Felvásárlási célpontok felderítése 

–Megfelelő benchmark kiválasztása miatt 

• Részvénykibocsátás 

• Öröklés/válás esetén 

• Vállalatvezetők jutalmazása 

• Vállalati értékhordozók meghatározása 

• Stratégiai tervezés

Mit értünk értéken? (Pratt) 

• Reális piaci érték. Az az ár, amelyen a tulajdon gazdát 

cserél, vagyis található önként vásárolni kész vevő és 

értékesítésre hajlandó eladó. 

• Belső érték. A jövőbeni pénzáramlások diszkontált 

jelenértékén alapuló, adott várakozások 

figyelembevételével számolt érték. 

• Méltányos érték. Rendszerint egy-egy 

részvénycsomaghoz kapcsolódó, a tulajdonosi befolyás 

mértékét és egyéb értékmódosító hatásokat is tükröző ár. 

• Folyamatos működést feltételező érték. Ez a típus 

inkább szemléletmód, amely azt hangsúlyozza, hogy egy 

működő társaság többet ér, mint eszközállományának 

együttes értéke. 

• Likvidációs érték. A folyamatos működést feltételező 

szemlélet ellentéte. Az üzleti tevékenység megszűnésekor 

realizálható értéket jelenti. 

• Könyv szerinti érték. A vállalati eszközök számviteli 

kimutatásokban szereplő nyilvántartási értékének összege.

Vállalatértékelés módszerei 

Mérlegalapú 

Könyv szerinti 

Eredménykimutatás 

alapú Vegyes 

érték Ár/árbevétel Klasszikus 

Kiigazított könyv 

Kivonatos 

szerinti érték Ár/eredmény 

Likvidálási érték Ár/EBITDA EU ajánlat 

Fő vállalatértékelési módszerek 

Diszkontált 

pénzáram 

Szabad cash 

Értékteremtés Opcióalapú 

flow EVA Részvényárazás 

eredmény Osztalékhozam Gazdasági profit 

Benchmarkon alapuló 

értékelés 

Saját tőkére jutó 

pénzáram 

Hozzáadott 

pénzérték 

Helyettesítési 

érték Egyéb Egyéb APV CFROI 

Beruházási 

lehetőségek 

Beruházás 

halasztása 

Alternatív 

befektetések 

Fernandez: Company valuation methods

Mérleg alapú módszerek 

(Eszközértékelés) 

• Vállalat értéke = Eszközök értéke 

• Saját tőke értéke = Eszközök értéke – 

Kötelezettségek értéke 

• Részvény belső ára = 

Saját tőke értéke 

Kibocsátott részvények 

darabszáma

Könyv szerinti érték 

• A vállalat eszközei annyit érnek, amekkora 

értéken a vállalat nyilvántartja őket. 

• Könyv szerinti érték = beszerzési ár + 

értékhelyesbítés – 

értékcsökkenés/értékvesztés

MOL könyv szerinti értéke 

MOL könyv szerinti értéke 2002 2003 

Eszközök könyv szerinti értéke 959 484,0 1 532 673,0 

Saját tőke könyv szerinti értéke 405 441,0 524 055,0 

Kibocsátott részvények darabszáma 93,24488 93,12790 

Egy részvény könyv szerinti értéke 4 348,1 5 627,3 

Részvényár 5 245,0 5 315,0 

Egész jónak tűnik, de 2004 decemberi adat: 

Egy részvény könyv szerinti értéke: 7.775 

Részvényár (2004. december 30.): 14.743

Eltérések lehetséges okai 

• A vállalat könyvei hamisak, hibásak 

• Beszerzés időpontjához képest eszköz 

értéke eltérően változik, mint a leírás 

• Szinergia-hatás 

•Jövőbeni kilátások 

• Értéknövelő tényezők, amit a számvitel 

nem vesz figyelembe 

– Döntési lehetőségek értéke 

– Saját goodwill 

Múltbeli vétel

Kiigazított könyv szerinti érték 

• Elv: tételesen meghatározzuk az eszközök 

piaci értékét – vizsgáljuk a piaci érték és a 

könyv szerinti érték eltérését 

• Az eszközök értékét összeadva kapjuk a 

vállalat értékét 

• Innen a további rész ugyanaz.

Befektetett eszközök 

csoportosítása (Schweichs) 

• Immateriális reál javak (ásvány-kitermelési, területfejlesztési jogok, 

kedvezmények) – járadékok – értékmeghatározásuk örökjáradék 

módszerrel 

• Immateriális vállalati javak (szabadalmak, márkanevek, szerzői jogok, 

szoftverek, üzleti titkok, üzleti kapcsolatok, folyamatos működés 

értéke, goodwill) – benchmark alapon 

• Pénz jellegű eszközök (készpénz, vevők, aktív időbeli elhatárolás) – 

könyv szerinti érték időérték figyelembe vételével 

• Materiális vállalati javak (gépek, berendezések, berendezési tárgyak, 

gépjárművek) – használt piaci ár 

• Ingatlanok (föld, épületek) - ingatlanbecslés 

• Pénzügyi befektetések/határidős ügyletek – napi piaci érték 

• Kisebbségi részesedések értékelése – tőzsei kapitalizáció alapján 

vagy osztalékhozam alapján 

• Többségi részesedések értékelése – diszkontált cash flow modell 

alapján

Kötelezettségek számbavétele 

(Schweichs) 

• Rövid lejáratú kötelezettségek (szállítók, adó- és 

bérfizetési kötelezettség, passzív időbeli 

elhatárolás) – könyv szerinti értéken 

• Hosszú lejáratú kötelezettségek (kötvények, 

jelzálogok, váltók) – könyv szerinti érték 

• Függő kötelezettségek (adóviták, 

környezetvédelmi kötelezettségek, perek) 

• Különleges kötelezettségek (alultőkésített 

nyugdíjalapok, munkavállalói 

részvénytulajdonlási program visszavásárlási 

kötelezettségei, ki nem adott szabadságok)

Likvidációs érték 

(érték abszolút minimuma) 

• Ha most kellene értékesítenünk a 

vállalatot (vagy a vállalat eszközeit 

egyenként) mennyi pénzt kapnánk érte 

• Módszer használata: csődközeli cég 

értékelése 

• Használata: banki fedezetértékelés, vevői 

limit

Helyettesítési érték 

(érték abszolút maximuma) 

• Mennyi pénzt kellene befektetni ahhoz, 

hogy egy MOL-hoz hasonló társaságot 

hozzunk létre. 

• Helyettesítési érték magába foglalja 

– Eszközök bruttó értékét 

– Emberek felvételét, képzését 

– Szervezés-irányítás kialakításának költségét 

– Piacszerzés, akvizíció költségét

Eredmény-kimutatás alapú 

módszerek 

• Piaci ráta megtalálása 

• Benchmark vállalat keresése (átlag vagy 

egyedi vállalat) 

– azonos ágazat 

– azonos kockázatú piac 

– azonos méret 

• Hányadoselemzéssel felderíteni a 

különbözőségek okait és a torzító tényező 

nagyságát 

• Vállalat értékének képzése

P/E hányados 

• P/E – részvényár/egy részvényre jutó 

eredmény 

• Vállalat értéke: 

P 

V 

X 

X 

= 

= 

P 

EPS X * 

E 

P * DB 

X 

X 

* 

* 

( 1± 

d ) 

• Alkalmazása: iparvállalatoknál 

Ahol: 

•P x – vállalat részvényára 

•EPS X – vállalat 1 részvényre 

jutó adózott eredménye 

•P/E* - benchmark P/E mutatója 

•d – módosító tényező 

•DB X – kibocsátott részvények 

darabszáma 

•V X – saját tőke értéke

P 

V 

X 

X 

Ár/EBITDA 

• P/EBITDA – részvényár/egy részvényre 

jutó EBITDA 


= 

= 

EBITDA 

P 

X 

* DB 

X 

X 

* 

P 

EBITDA 

* 

* 

( 1± 

d ) 

Ahol: 


•EBITDA X – vállalat 1 

részvényre jutó EBITDA-ja 

•P/EBITDA* - benchmark 

P/EBITDA mutatója 



darabszáma 

•V X – saját tőke értéke 

• Alkalmazása: hálózati szolgáltatók

Ár/árbevétel 

• P/S – részvényár/egy részvényre jutó 

árbevétel 


P 

V 

X 

X 

= 

= 

S 

P 

X 

X 

* 

P 

* * 

S 

* DB 

X 

( 1± 

d ) 

Ahol: 


•S X – vállalat 1 részvényre jutó 

árbevétele 

•P/S* - benchmark P/S mutatója 



darabszáma 

•V X – saját tőke értéke 

• Alkalmazása: kereskedelmi cégeknél

P 

V 

X 

X 

Ár/működési pénzáram 


= 

= 

OCF 

P 

X 

X 

* 

* DB 

P 

OCF 

X 

( 1± 

d ) 

• Alkalmazása: általános 

* 

* 

Ahol: 


•OCF X – vállalat 1 részvényre 

jutó működési pénzárama 

•P/OCF* - benchmark P/OCF 

mutatója 



darabszáma 

•V X – saját tőke értéke

Kapitalizáció/saját tőke 


C 

= TE * * 1 

TE 

VX X 

( ± d ) 

• Alkalmazása: általános 

* 

Ahol: 

•TE X – vállalat saját tőkéje 

•C/TE* - benchmark 

kapitalizáció/saját tőke mutatója 


•V X – saját tőke piaci értéke

Vegyes módszerek 

• mind a vállalat eszközeinek jelenlegi 

értékét, mind a jövőbeli pénztermelő 

képességét figyelembe veszik 

• Érték = Jelenlegi eszközérték + várható 

tőkenyereség

Klasszikus 

• Érték = nettó kiigazított érték + saját goodwill 

értéke 

• Saját goodwill becslése két képlettel 

V X 

= A + 

V A ( z F ) 

X = + * 

( n* 

B) 

A – kiigazított eszközérték 

n – többszörös (1,5 és 3 között) 

B – éves adózott eredmény 


n – forgalom %-a 

B – éves árbevétel

Egyszerűsített kiigazított eredmény módszer 

• Képlet: 

( B r A) 

AFr 

n 

V = A + − * * 

X 

, 


AF r,n – annuitásfaktor, ahol n 5 

és 8 közötti szám, 

r - a vállalati befektetés elvárt 

hozama 

B – a következő évi eredményelőrejelzés

EU vállalatértékelőinek ajánlása 

VX 

= 

A + ( B − r * V ) * AFr 

, n 

A + ( B* 

AF ) 

• Képlet: 

V 

= 

1+ 

r 

* 

AF 

r, 

n 

rn 


AF r,n – annuitásfaktor, ahol n 5 

és 8 közötti szám, 


hozama 

B – a következő évi eredményelőrejelzés 

V – szuperprofit – tőkésített 

eredményfolyam

• Képlet: 

Közvetett módszer 

V X 

= 

⎛ 

⎜ A + 

⎝ 

2 

B 

r 

⎞ 

⎟ 

⎠ 



hozama 


V x – vállalat értéke

Angolszász vagy közvetlen módszer 

• Képlet: 

V X 

= 

A + 

( B − r * A) 

r 

* 


r - a vállalati befektetés hozama 


V X – vállalat értéke 

r* - vállalati befektetéstől elvárt 

hozam

Éves eredménytőkésítési módszer 

• Képlet: 

V X 

= 

A + 

( B − r * A) 

* m 


m – többszörös, értéke általában 

3-5 között 


hozama 


V x – vállalat értéke

Kockázatviselő és kockázatmentes módszer 

• Képlet: 

V X 

V 

A + 

= 

r * 

B 

A + 

= r * 

r 

1+ 

r * 

( B − r * V ) 


r* - a befektetéstől elvárt hozam 

r - a vállalati befektetés hozama 


V – szuperprofit – tőkésített 

eredményfolyam 

V x – a vállalat értéke

Pénzáram-diszkontáló módszerek 

• Alapja az általános értékképlet: Minden 

eszköz annyit ér, mint az eszköz 

működéséből származó pénzáramok 

jelenértékösszege 

• Képlettel: 

GPV 

= 

n 

∑ 

1 

i= 

1 

CF 

( + r) 

• Feladat: - pénzáram, kockázattal arányos 

hozam, vizsgálat időtartamának 

meghatározása 

i 

i

• Képlete: 

• Feltételezései: 

Gordon-modell 

P 

= 

Div1 

r − g 

Div0 

* 

r − 

– állandóan g %-al növekvő osztalék 

– végtelen pénzáram 

– vállalattól elvárt hozam nem változik 

= 

( 1+ 

g) 

• kockázatmentes kamatláb változatlan 

• befektetők által elvárt kockázati prémium nem változik 

• vállalat kockázata nem változik 

–egy időszakkal vagyunk a következő osztalékfizetés 

előtt 

g

Pénzáram-diszkontálás általános 

V 

módszere 

CF1 

CF2 

CF 

= + 

+ .... + n 

( 1+ 

r ) ( 1+ 

r ) * ( 1+ 

r ) 

1 

1 

2 

∏ 

i= 

1 

n 

+ VR 

( 1+ 

r ) 

Magyarázat: 

V – vállalat értéke 

CF i – vállalat által adott időszakban megtermelt 

pénzáram 

VR n – vállalat maradványértéke n év múlva 

r i – elvárt hozam az i-dik évben 

i 

n

Releváns pénzáramok releváns diszkontráták 

Érték 

Vállalat értéke 


Adósság értéke 

Pénzáram 

Szabad pénzáram 

Tőkére jutó 

pénzáram 

Adósságszolgálat 

Diszkontráta 

Súlyozott átlagos 

tőkeköltség 

Részvényektől elvárt 

hozam 

Hiteltől elvárt hozam

Diszkontált pénzáram kiszámításának 

lépései (1) 

• Az iparág és a vállalat történeti és 

stratégiai elemzése 

– Pénzügyi elemzés 

• Eredmény-kimutatás és mérleg elemzés 

• Pénzáram elemzés 

– Stratégiai és piacelemzés 

• Iparág fejlődése 

• Vállalat piaci helyzetének elemzése 

• Értéklánc azonosítása 

• Értékhordozók azonosítása

Stratégia négy nézőpontból 

Mit várnak el 

vevőink? 

Vevő/piac 

célok mutatók 

Képesek vagyunk-e a 

fejlődésre és az érték 

növelésére? 

Értékalapú irányítás kurzus 

Pénzügyi teljesítmény 


Vízió és 

stratégia 

Tanulás, fejlődés 


Hogyan pozícionáljuk 

Vállalatunkat a befektetők 

felé? 

Belső folyamatok 


Milyen folyamatokban 

kell kiemelkedő 

teljesítményt nyújtani? 

Forrás: MOL – érték alapú irányítás

Részvényesi érték feltárása 

• Potenciális értéktényezők azonosítása 

• Menedzsment elképzeléseinek 

pozicionálása 

• Stratégia és végrehajtás értékelése 

• Teljesítmény-mutatók rendszere, 

adatok megszerzése, elemzés 

• „Átfogó kép” megalkotása

• Pénzügyi érték 

Értéktényezők 

–tőkearányos hozam 

– szabad cash flow 

– gazdasági hozzáadott érték (EVA) 

– gazdasági profit 

• Fogyasztói érték 

• Humán érték 

• Növekedési potenciál 

• Innováció 

• Üzemeltetési érték

Általános belső értéklánc modell 

Innovációs kör 

Működési kör 

Szolgáltatási kör 

Érték alapú irányítás kurzus 

Azonosított 

Azonosított 

vevői vevői igények igények 

Azonosítani a piacot 

Termék előállítása 

szolgáltatás ajánlása 

Termék/szolgáltatás 

építése 

Termék/szolgáltatás 

szállítása 

A vevő kiszolgálása 

Azonosított 

Azonosított 

vevői vevői igények igények 


MOL értéklánc 

Kutatás 

és 

Termelés 

Érték alapú irányítási kurzus 

Termelés 

Finomítás 

Kenőanyagok 

Beszerzés 

& 

Szállítás 

Értékesítés, 

Kereskedelem 

Vételi 

szerződés 

Tárolás 

& 

Disztribúció 

Vegyipar 

Ellátás Lánc Menedzsment 

Non-fuel kiskereskedelmi termékek 

Szerződések & Beszerzés 

Karbantartás & projektek 

Menedzsment & pénzügyi számvitel 

Humán erőforrások 

Információs rendszerek 

Marketing 

Kereskedelem 

Lakossági 

értékesítés 


Értéklánc és Kulcs Teljesítmény Jelzők 

• Az üzletek folyamatszintű lebontása 

• Az egyes folyamatokra az értékképző elemek meghatározása 

• Az értékképző elemek mérhetőségének meghatározása 

• A megfelelő Kulcs Teljesítmény Jelzők definiálása 


Beszerzés 

(belföldi és 

import) 

Gázüzlet 

Gáz tárolás, 

szállítás 

Értékesítés 







Nyersanyag 

beszerzése 


Feldolgozás és Kereskedelem 

Nyersanyag 

tárolása és 

szállítása 

Finomítás 

Tárolás, 

szállítás 

Értékesítés 








Lakossági szolgáltatások 

Működés Értékesítés 







Földalatti 

készletek 

kutatása 


Kutatás és Termelés 

Gáz és olaj 

kutatás 

Gáz és olaj 

előkészítése 

Gáz tároló 

működése 

Belső 

értékesítés 



lépései (2) 

•Jövőbeli pénzáramok előrejelzése 

– Pénzügyi előrejelzés 

• Eredménykimutatás, pénzáram előrejelzés és 

mérleg 

– benne (beruházások, finanszírozás, érzékenységi 

elemzés) 

• Stratégiai és versenyhelyzet előrejelzés 

– iparág fejlődése 

– vállalat versenyhelyzetének előrejelzése 

–fő versenytársak versenyhelyzetének alakulása 

• Pénzáram előrejelzés konzisztenciája 

–Előrejelzések pénzügyi konzisztenciája 

– Múltbeli és jövőbeli előrejelzések konzisztenciája 

– A pénzáram konzisztenciája a stratégiai előrejelzéssel

Megtermelt üzemi pénzáram 

(EBITDA) 

+ Árbevétel, egyéb bevételek, saját teljesítmény 

- Értékesítés közvetlen költségei 

= Bruttó fedezet 

- Értékesítés közvetett költségei 

- Egyéb költség, ráfordítás 

= Üzemi eredmény 

+ Amortizáció 

= EBITDA

NOPLAT meghatározása 

+ EBITDA 

- Szokásos működéshez szükséges beruházások 

= Adózás előtti nettó működési eredmény 

- Működési eredményt terhelő adó 

= Nettó adózás utáni működési eredmény 

(NOPAT) 

+ Fizetett adó 

± Halasztott adó 

+ Adókorrekció a nem működési kiadások és kamatkiadások után 

(Tételek*Adóhányad) 

Működési eredményt terhelő adó

Szabad cash-flow 


+ NOPLAT 

+ Működésbe fektetett bef. Eszközök 

é.cs. 

± Forgótőke állományváltozása 

- Pótló beruházások 

± Egyéb források - egyéb eszközök 

= Szabad cash flow 

- Új befektetések 

= Finanszírozás előtti cash flow


lépései (3) 

• Súlyozott átlagos tőkeköltség összetevőinek 


–Jövőbeli infláció megbecslése 

– Kockázatmentes hozam becslése 

– Kockázati prémium becslése 

– Vállalat eszközeinek, saját tőkéjének és 

hiteleinek kockázatbecslése

Részvényesi érték = Vállalat eszközeinek értéke - Adósság 

Vállalat 

eszközeinek 

értéke 

= 

Jövőbeli pénzáram 

WACC 

Pénzbeáramlás 

- 

Pénzkiáramlás 



Árbevétel növekedési 

üteme 

Fedezeti ráta 

Fizetett adó 

Tárgyi eszköz beruházás 

Forgótőkeigény 

Saját tőke költsége 

Idegen tőke költsége 

Tőkeszerkezet

Súlyozott átlagos tőkeköltség telepítése 

kockázatmentes 

kamatláb 

+ 

egyedi piaci 

kockázati x kockázati 

tényező díj 

(β) 

Saját tőke 

költsége 


kamatláb 

hitelezési 

kockázati 

díj 

+ x 

Idegen tőke 

költsége 

hitelezési 

adómegtakarítás 

Béta 



WACC 

• ez a tényező fejezi ki a WACC 

• MOL Rt értékelése 

tevékenységek eltérő 

• üzletek értékelése 

kockázatát 

• beruházások értékelése 

• eltérő diszkontráta 

kialakításának 

kulcstényezője 

• teljesítményirányításkövetelmények 

Érték alapú irányítás kurzus Forrás: MOL – érték alapú irányítás

A súlyozott átlagos tőkeköltség/diszkontráta 

számítása a MOL Rt-nél 


kamatláb 

10.0% 

+ 

piaci 

kockázati díj 

8.4% x 


β tényező 

1.1 

Bizonytalanság 

= saját tőke 

költsége 

18.9% 

súlyozás 

WACC 

15,6% 

saját tőke 

költsége 

18.9% 



lépései (4) 

•Jövőbeli pénzáramok nettó jelenértékének 

megbecslése 

– Hitel és saját tőke pénzáramok diszkontálása 

összetevők szerint 

– Értékek összeadása

Eredmények értékelése (5) 

• Kapott érték összehasonlítása 

• Értékhordozók azonosítása. Értékteremtés 

fenntarthatósága 

• Vállalati érték érzékenysége az 

értékhordozókra 

• A modell kiigazítása a stratégiai és a piaci 

helyzet elemzése szerint

Részvényesi érték 

• Profittal szemben tulajdonosok 

vagyonának növelése 

Okai: 

– számviteli adatok 

összehasonlíthatóságának 

bizonytalansága 

– értékpapírpiacok igénye 

– pénzügyi befektetők arányának 

növekedése 

– globalizáció 

– társadalmi megközelítés változása

A számviteli eredmény 

90-es évek elején állították össze egy vállalat 

gazdálkodásának adatait és különböző nemzetek könyvelőit 

arra kérték, adják meg a vállalat üzleti eredményét 

A legvalószínűbb 

adózott eredmény 

Maximális adózott 

eredmény 

(millió ECU-ben) 

Minimális adózott 

eredmény 

Belgium 135 193 90 

Németország 133 140 27 

Spanyolország 131 192 121 

Franciaország 149 160 121 

Olaszország 174 193 167 

Hollandia 140 156 76 

Anglia 192 194 171 

Forrás: PriceWaterhouseCoopers; 67. Old.

Torzító tényezők 

• Amortizációs elszámolások 

• Készletnyilvántartás 

•Időbeli elhatárolások 

• Felújítás-karbantartás 

• Tartós és kis értékű eszközök 

elszámolása 

• Céltartalékképzés, értékvesztés

Átfogó teljesítmény jelző és értékelő rendszer 

Nem pénzügyi 

(folyamat) 

Értékalapú irányítás kurzus 

Minőség 

Vásárlói 

Elégedettség 

Időben történő 

szállítás 

Dolgozói morál 

Rendszerhatékonyság 

Gyártási 

hatékonyság 

Külső 

Belső 

Piaci részarány 

Részvényárfolyam 

Részvénytulajdonosi 

hozam 

EVA 

Cash flow 

Árbevétel növekedése 

Eltérés elemzés 

Készlet forgási 

sebessége 

Pénzügyi 

eredmény 


IC meghatározása 

eszközoldalról 

+ Működéshez kapcsolódó forgóeszközök 

- Kamatfizetéssel nem járó rövid lej. 

Kötelezettség 

= Forgótőke 

+ Működéshez szükséges bef. eszközök 

= Működésbe fektetett tőke (IC) 

+ Piacképes értékpapírok 

+ Goodwill 

+ Működéshez nem kapcsolódó befektetések 

= Nettó Eszközök

IC meghatározása 

forrásoldalról 

+ Saját tőke 

+ Kamatköteles adósság 

- Nem a működésbe befektetett források 

= Lekötött tőke összesen (IC) 

( ) * 

1 T − 

NOPLAT EBIT NS 

ROIC = 

= * * c 

IC NS IC

Gazdasági eredmény, hozzáadott 

érték 

• Gazdasági eredmény 

Befektetett tőke * (ROIC - WACC) 

• Gazdasági hozzáadott érték 

Szabad cash-flow - Befektetett tőke * WACC

Lekötött tőke hatékonyságának mérése 

ROACE = 

adózott üzleti eredmény x 100 

átlagos lekötött tőke 

Lekötött tőke * = 

Return On Average Capital 

Employed 

Összes eszköz 

- befektetett pénzügyi eszközök 

- befejezetlen beruházások 

- pénzeszközök és értékpapírok 

- rövid lejáratú kötelezettségek 

+ rövid lejáratú hitelek 

- passzív időbeli elhatárolások 

ROE = 

ROE=Return On Equity 

ROAIC = 

adózott üzleti eredmény x 100 

átlagos lekötött tőke 

Lekötött tőke * = 

Return On Average Invested 

Capital 

Aktivált tárgyi eszközök 

+ befektetett pénzügyi eszközök 

+ befejezetlen beruházások 

+ készletek 

+ vevők 

- szállítók 

adózott eredmény 

saját tőke 

* az átlagos lekötött tőke az adott időszaki nyitó, illetve záró értékekből számítandó 



EVA mutató összetevői 

[ adózott üzleti eredmény – (lekötött tőke x WACC*) ] = EVA** 

saját tőke költsége idegen tőke költsége 

saját tőke x hozamelvárás idegen tőke x kamatköltség 

adózott üzleti eredmény 

lekötött tőke 

- WACC x lekötött tőke = EVA 

ROACE - WACC = Megtérülési „rés” 

*WACC = Weighted Average Cost of Capital ROACE = Return On Average Capital Employed 

**EVA = Economic Value Added 



EVA levezetése 

Üzleti eredmény 

(adóval csökkentve) 

Árbevétel 

Energetikai 

nagyker. 

Energetikai 

kisker. 

Gáz 

PB és 

gáztermék 

Tranzit 

Egyéb 

- 


Költségek 

Kutatás 

Kitermelés 

Finomítás 

Árubeszerzés 

Logisztika 

Irányítás 

- 

Tőke költsége 

Lekötött tőke 

Immateriális 

javak 

Tárgyi esz. 

(beruh.nél.) 

Készlet 

Vevő 

Szállító 

Egyéb* 

Átlagos 

lekötött 

tőke 

WACC 

X = 

*Egyéb követelések, egyéb rövid lej. köt., halasztott 

adó, céltartalék, vevőtől kapott előleg 

EVA 


Részvényesi érték 

leszármaztatása az éves 

működés szintjére 

Részvényesi érték (SHV) = Piaci hozzáadott érték (SVA) 

+ Nyitó tőke 

SVA = Gazdasági hozzáadott érték (EVA) + 

Maradványérték 

EVA = Lekötött tőke (IC) * (Lekötött tőkearányos hozam 

(ROIC) - Súlyozott átlagos tőkeköltség (WACC)) 

vagy 

EVA = Lekötött tőke gazdasági hozama (NOPAT) - 

IC * WACC

EVA és DCF közötti összefüggés 

FCF 1 

(1+WACC) 1 

+ 

FCF 2 

(1+WACC) 2 

+ 

. 

. 

. 

+ 

FCF t 

(1+WACC) t 


Üzleti 

érték 

= 

MVA 

+ 

Lekötött 

tőke 

EVA 1 

(1+WACC) 1 

+ 

EVA 2 

(1+WACC) 2 

+ 

. 

. 

. 

+ 

EVA t 

(1+WACC) t 

MVA = Market Value Added 


Shareholders value maximalizálása 

*egyéb tőkeelemek: egyéb követelések, egyéb 

kötelezettségek, aktív, passzív időbeli 

elhatárolás egyenlege, vevőktől kapott előlegek 

** *** mérlegen kívüli tételek figyelembe veendő 

értéknövelési tényező 

EVA 

Kutatási portfolió ENPV** 

Volumen, gazdaságosan 

Kitermelhető készlet*** 

Adózott üzleti eredmény Lekötött tőke költsége 

Üzleti eredmény Adó 

Nettó árbevétel Költség 

ELÁBÉ 

Értékesítési 

volumen 

Árrés 

bevétel 

Fajlagos 

árrés 

Volumen Fajlagos költség 

Kontrollálható 

költség 

Nem 

kontrollálható 

költség 

Lekötött tőke 

Saját 

tőke 

Idegen 

tőke 

WACC 

Saját tőke 

költsége 

Tárgyi eszközök 

Készletek 

Vevő 

Szállító 

Idegen tőke 

kamat 

költsége 

Befektetett pénzügyi 

eszközök 

Értékalapú irányítás kurzus Forrás: MOL – érték alapú irányítás

Múltbeli teljesítmény 

elemzése 

• A múltbeli teljesítmény elemzésének a fő 

értékhordozókra kell koncentrálnia 

– Befektetett tőkearányos hozam (ROIC) 

– Növekedési potenciál 

• ROIC és a működésbe befektetett tőke 

vezérli a pénzáramot és a vállalat értékét 

• Mind a ROIC-t, mind a növekedést 

alkotóelemeire kell bontani

A számviteli kimutatások 

átalakítása 

• ROIC-nak és a gazdasági nyereségnek 

inkább a gazdaságossági, mint a számviteli 

szemléletet kell tükrözniük. 

• Meg kell különböztetni a működési és a 

nem-működési (jóléti, presztízs) eszközöket 

• Meg kell határozni, hogyan hatnak a 

befektetett tőkére és az üzemi eredményre a 

különböző erőforrások 

• Ennek eredményeképpen megkapjuk a 

NOPLAT-t és a vállalkozás valódi gazdasági 

értékét tükröző befektetett tőkéjét

Befektetett tőke 

• Meg kell határozni, mennyi tőkét fektettek 

be 

– a részvényesek és a hitelezők 

–működési és nem működési eszközökbe 

•Működésbe fektetett tőke = 

–Működési forgótőke + 

– Nettó befektetett eszközök + 

– Nem kamatozó források ¬ 

• Ez különbözik a teljes befektetett tőkétől, 

ami a nem a működésbe vont eszközöket is 

tartalmazza.

Forgótőke 

•Működésbe vont forgóeszközök mínusz 

nem kamatozó források 

•Működésbe vont forgóeszköz: a működés 

fenntartásához szükséges és arra használt 

eszközök (pénzeszközök egy része, 

követelések, és készletek) 

•A működés igényénél nagyobb 

pénzállomány és értékpapír-állományt nem 

kell figyelembe venni 

– Úgy tekintjük, hogy ezen befektetések NPV-je 

zérus

NOPLAT 

Net Operating Profit Less Adjusted Taxes 

• EBITA = kamat- és adófizetés, valamint 

a goodwill amortizációja előtti eredmény 

– Megmutatja mekkora nyereséget termelt a 

vállalkozás, amit szét lehet osztani a 

tőkenyújtók és az állam között 

• Mínusz az EBITA-ra jutó adó 

• Plusz a halasztott adó 

állományváltozása 

– A halasztott adót úgy kell tekinteni, mint 

olyan forrást, ami után a befektetők 

hozamot várnak el

EBITA-ra jutó adó 

• Olyan adó, amit akkor fizetne a vállalat, 

ha nem lenne adóssága, működési 

igényei feletti pénzeszköze vagy nem a 

működésből származó bevétele vagy 

kiadása = 

• Társasági adó 

• Plusz a kamatkiadáson lévő adópajzs 

• Mínusz kamatjövedelem adója 

• Mínusz nem működésből származó 

jövedelem adója

Befektetett tőkére jutó hozam 

ROIC = 

NOPLAT 

IC 

• Következetesen kell meghatározni a 

nevezőt és a számlálót 

• Ha valamilyen befektetett eszközt 

belevesszük a befektetett tőkébe, akkor 

a jövedelmét is bele kell foglalni a 

NOPLAT-ba 

• ROIC a vállalat valós működési 

teljesítményét fejezi ki

Gazdasági profit 

• A vállalat mérete és a hozamkülönbözet 

szorzata dollárban 

• Gazdasági profit = befektetett tőke × 

(ROIC - WACC) 

• Gazdasági profit = NOPLAT - Tőkeköltség 

= NOPLAT - (Befektetett tőke × 

WACC) 

• Ne keverjük össze a gazdasági profitot a 

vállalat értékében egy év alatt 

bekövetkezett változással

Szabad pénzáram (FCF) 

• Hogyan termeli és használja fel a vállalat a 

pénzeszközeit 

• A vállalat valós működési pénzárama 

• A vállalat által termelt teljes pénzáram, ami 

a finanszírozók számára rendelkezésre áll 

• FCF = NOPLAT – Nettó beruházás 

=[NOPLAT+Amort.]-[Nettó 

beruházás+Amort.] 

= Bruttó pénzáram – Bruttó beruházás

ROIC 

A ROIC alkotóelemei 

Adózás előtti ROIC 

EBITA adókulcsa 

EBITA/árbevétel 

Árbevétel/befektetett 

tőke 

Közvetlen/árbevétel 

Közvetett 

ktg./árbevétel 

É.cs../árbevétel 

Mük. Forgótőke 

/árbevétel 

Bef. Eszk./árbevétel 

Nem kamatozó 

forrás/árbevétel

Tőkeköltség becslése 

• Mind a hitelezők, mind a részvényesek 

elvárják, hogy kárpótolják őket azért, 

hogy ebbe a vállalatba fektették a 

pénzüket, nem pedig egy más, 

ugyanilyen kockázatú vállalkozásba 

• WACC az a diszkontráta, vagy a pénz 

időértéke, amivel a jövőben várt szabad 

pénzáramnak kiszámoljuk a jelenértékét 

• Meg kell felelnie az értékelési eljárásnak 

és a szabad pénzáram definíciójának

Hogyan legyen megfelelő? 

• Foglalja magába minden tőkeforrás 

súlyozott átlagos költségét 

• Adózás utáni értékét kell kiszámítani 

• Nominálhozamokat használjunk 

• Ki kell igazítani a tőkenyújtók által viselt 

szisztematikus kockázattal 

• Piaci értékalapon súlyozzunk 

• Változtassuk, ha szükséges az 

előrejelzési periódusban

A WACC becslésének képlete 

• WACC = kb (1-Tc )(B/V)+kp (P/V)+ks (S/V) 

• kb = az adósság adózás előtti elvárt hozama 

• Tc = társasági adókulcs 

• B = a kamatozó adósság piaci értéke 

• V = a vállalkozás piaci értéke V = B+P+S 

• kp = elsőbbségi részvény adózás utáni 

hozama 

• P = elsőbbségi részvény piaci értéke 

• ks = törzsrészvény elvárt hozama 

• S = törzsrészvények piaci értéke

WACC kiszámítása 

• 1) Piaci értékalapú súlyok kiszámítása 

• 2) Hitelek költségének becslése 

• 3) Saját tőke költségének becslése

Piaci értéksúlyok kiszámítása 

• Elméletileg helyes 

– Különböző WACC a különböző években, 

ami kifejezi az adott év tőkeszekezetét 

• Inkább a céltőkeszerkezetet kell 

tekinteni, mintsem a ténylegest 

– A jelenlegi eltérhet a várható jövőbeli 

tőkeszerkezettől 

– Visszacsatolás a WACC számításában

A céltőkeszerkezet kiszámítása 

• 1) Meg kell határozni a vállalat jelenlegi 

tőkeszerkezetét 

• 2) Át kell nézni a hasonló vállalkozások 


• 3) Figyelembe kell venni a vállalatvezetés 

implicit és explicit pénzügyi stratégiáját és 

a céltőkeszerkezetről alkotott véleményét

Jelenlegi tőkeszerkezet 


• Meg kell határozni a tőkeszerkezet 

elemeinek értékét, piaci értéken, ha 

lehetséges 

• Meg kell határozni a piaci értékeket, ha 

nem állnak rendelkezésre

Adósság értéke 

• Értéke három tényezőtől függ 

– Az előre rögzített kifizetésektől 

– A hitelkockázattól 

– A hasonló lejáratú állampapírok elvárt 

hozamától 

• 1) Meg kell határozni a kifizetések 

nagyságát 

•2) Minősíteni kell az adósságot 

• 3) Ki kell számolni a kifizetések 

jelenértékét


• Kisebbségi részesedések 

– Ha nincs tőzsdei forgalomban, DCF vagy P/E 

vagy piaci érték – könyv szerinti értéke 

megközelítést kell alkalmazni 

•Elsőbbségi részvény 

– Ez kockázatosabb, mint az adósság, de nem 

olyan kockázatos, mint a törzsrészvény 

• Törzsrészvény – ha nem forog a tőzsdén 

– Ki kell számolni a részvény értékét több 

megközelítés szerint (eszközértékelés, DCF, 

osztalékhozam, P/E, piaci érték – könyv szerinti 

érték, opciós árelmélet)

Tőkeszerkezet – benchmark 

elemzéssel 

• Át kell nézni a hasonló vállalatok 


– Segít megérteni, vajon a jelenlegi 

tőkeszerkezet szokatlan-e 

– Néhány esetben nem lehet meghatározni a 

jelenlegi tőkeszerkezetet 

• Benchmark-ot kell alkalmazni, hogy alátámasszuk 

a céltőkeszerkezet megalapozottságát

Az adósságtól elvárt hozam 


• Befektetési fokozatú adósság 

– A névleges hozam nem fontos 

– Kötvényminősítést kell használni, ha 

rendelkezésre áll 

• Kockázatos adósság 

– Meg kell különböztetni a lejáratig várt hozamot 

az ígért hozamtól 

•Lízing 

– Az adósság más formáinak helyettesítője 

– Ugyanaz a költsége, mint a hosszú távú 

dó á k

Saját tőke elvárt hozamának 


• A legnehezebb becsülni, ha nem lehet 

megfigyelni 

• CAPM-t vagy APM-t kell használni 

•CAPM k s= r f + [E(r m)-r f]×béta 

• Három tényezőt kell megbecsülni: 

– Kockázatmentes hozam 

– Kockázati felár 

– Szisztematikus kockázat

Kockázatmentes hozam 


• Néhány alternatíva 

– kincstárjegyhozam 

– 10 éves államkötvény-hozam 

– 30 éves államkötvény-hozam 

• A 10 éves kötvény-hozam közel olyan 

durációjú, mint a vállalat pénzárama 

• Kevésbé érzékeny az inflációs 

várakozásokra, mint a 30 éves 

államkötvény

Béta becslése 

•Tőzsdei cégek számára a béta becslése 

könnyű 

– Ezek a becslések igen különbözőek lehetnek 

• Az egyedi béták helyett az ágazati átlagos 

bétát vesszük 

• Az ágazati átlagos béta stabilabb és 

megbízhatóbb, mivel a mérési hibák 

jórészét kiküszöböli

Pénzügyi előrejelzés 

• 1. Meg kell határozni a hosszát és a 

mélységét 

• 2. Stratégiai perspektívából kell szemlélni 

• 3. Le kell fordítani a stratégiai 

perspektívát a pénzügyi előrejelzés 

nyelvére 

• 4. Alternatív forgatókönyveket kell 

megvizsgálni (érzékenységi elemzés) 

•5. Ellenőrizni kell az előrejelzés 

konzisztenciáját

Az előrejelzés hossza 

• Meg kell határozni, hogy hány évet 

jelzünk előre és mennyire részletesen 

• Konkrét előrejelzést kell készítenünk 

néhány évre előre 

• És egy egyszerű módszerrel 

értékelnünk kell a további működés 

értékét is – a maradványérték 


• Ahol nem találunk adatot a 

bázisszemléletet célszerű alkalmazni

Bázisszemlélet 1. 

• A vállalat minden új tőkére ugyanazt a 

hozamot kapja az értékelési periódus alatt 

• A vállalat ugyanazt a hozamot kapja a 

meglevő tőkéjére is. 

• A vállalat ugyanolyan mértékben 

növekszik és a működési eredményének 

ugyanazt azt arányát fekteti be minden 

évben.

Bázisszemlélet 2. 

• A növekedés rátájának közel kell lenni a 

gazdaság általános növekedési üteméhez 

• Magasabb rátájú növekedés esetén a vállalat 

az értékelési periódus végén irreálisan nagy 

lehet a gazdasághoz képest 

• Vegyünk 10-15 évet és utána alkalmazzuk a 

bázisszemléletet 

• Nagyon nagy növekedésű vagy ciklikus 

vállalatoknál hosszabb idő szükséges, hogy a 

bázisszemléletet alkalmazhassuk

Előrejelzési periódus 

• Nehéz előrejelezni, különösen 10-15 

éven túl 

• Leegyszerűsíti a problémát, ha két részre 

bontjuk az előrejelzett időszakot 

– 1. Egy részletesebb 3 vagy 5 éves 

előrejelzést: kitöltött mérleg és 

eredménykimutatás valós változókhoz kötve 

(mennyiség, egységköltség…) 

– 2. Egy egyszerűsített előrejelzés a hátralévő 

időszakra, ami az árbevétel növekedésére, a 

nyereségrátára és a tőke forgási 

sebességére koncentrál.

Stratégiai perspektíva 

•Hihető történetet jelent a vállalat jövőbeli 

teljesítményéről 

• A pénzügyi előrejelzést megfelelő 

alapokkal látja el 

• A vállalat és az ágazat elemzésén kell 

alapulnia 

• Tud-e a vállalat hozamot elérni a tőke 

elvárt hozamán felül? 

• A vállalatnak ki kell fejlesztenie és ki kell 

aknáznia versenyelőnyeit

Versenyelőny 

• 1. Magasabb rendű értéket nyújt a 

vevőknek az ár és a termékjellemzők 

kombinációján keresztül 

• 2. Alacsonyabb költséggel működik, mint a 

versenytársai 

• 3. Termelékenyebben hasznosítja a tőkét, 

mint a versenytársai

Porter ágazatokat elemző 

modellje 

• Négy meghatározója van egy ágazat 

profitpotenciáljának 

• 1. Helyettesítő termékek 

• 2. Szállítók alkuereje 

•3. Vevők alkuereje 

• 4. Belépési/kilépési korlátok

Kereslet által vezérelt 

előrejelzés 

• Árbevétel előrejelzéssel kezdődik 

• Az egyéb változókat (kiadások, 

forgótőke) az árbevételből vezetjük le 

• 1. Árbevétel előrejelzést kell csinálni a 

mennyiség és az árváltozások alapján 

•2. Előre kell jelezni a működést 

befolyásoló tételeket (forgótőke, 

befektetett eszközök, stb., ezek 

árbevétellel fennálló kapcsolatai) 

•3. Előre kell jelezni a nem működési 

tételeket

• 4. Saját tőke alakulásának előrejelzése 

• 5. Használjuk a pénzkészlet és/vagy a 

hitelszámlákat, hogy kiegyensúlyozzuk a 

mérleget és a pénzáramot 

• 6. Számoljuk ki a ROIC-t és a 

kulcshányadosokat és ellenőrizzük ezek 

konzisztenciáját

Állományi megközelítés 

• A mérlegtételek és az árbevétel közötti kapcsolat 

stabilabb, mint a mérlegtételek változása és a 

forgalom változása közötti kapcsolat 

• A befektetett eszközök forgási sebessége 

gyakran stabil 

• 1. Jelezze előre a befektetett eszközök forgási 

sebességét 

• 2. Az amortizáció legyen a befektetett eszközök 

meghatározott aránya 

• 3. Tőkekiadás = Befektetett eszközök 

állományváltozása + értékcsökkenés

Forgatókönyvek 

• A legtöbb, amit tenni tudunk, hogy 

szűkítjük a jövőbeli teljesítmények sávját 

• Dolgozzunk ki több forgatókönyvet, és 

határozzuk meg az egyes forgatókönyvek 

értékét 

Szokásos működés 2662 2520 142 0,15 

Csekény javulás 3694 2520 1174 0,65 1227,6 

Folyamatos javulás 4736 2520 2216 0,2

Konzisztencia ellenőrzése 

• Vajon az eredmény konzisztens-e a vállalat 

és az ágazat várható adataival? 

• Vajon az árbevétel az ágazati árbevétellel 

együtt nő: ki fog veszteni és ki nyerni? 

• Vajon a tőkehozam konzisztens-e az 

ágazat versenyszerkezetével: belépési 

korlátok… 

• Hogyan hat a technológiai változás a 

hozamra? 

• Hogyan kezeli a vállalat a beruházásokat?

Maradványérték 

Continuing value = 

⎛ g 

NOPLATT+1⎜ 1− 

⎝ ROIC 

WACC − g 

• NOPLAT az explicit előrejelzési időszak 

utáni első évben 

• g = a NOPLAT várható növekedési üteme 

•ROICIaz új beruházások hozama 

I 

⎞ 

⎟ 

⎠

Az érték kiszámítása 

• 1. FCF diszkontálása a WACC-al 

• 2. A maradványérték osztása a WACC-al 

•3. A működés értékének kiszámítása 

PV(1. + 2.) 

• 4. A nem működési eszközök értékének 

hozzáadása 

• 5. Az adósság és minden egyéb követelés 

értékének kivonása

Az opció fogalma 

• A vételi opció (call option) olyan kétoldalú ügylet, amelyben az egyik fél 

opciós díj fizetésével egy meghatározott S termék, meghatározott 

jövőbeli napon, előre megállapított X árfolyamon történő vásárlására 

szerez jogot. 

• Az eladási opció (put option) esetén az egyik fél opciós díj ellenében 

egy meghatározott S termék, meghatározott jövőbeli időpontban, 

meghatározott X áron való eladására szerez jogot, azaz az ilyen opció 

kiírója vásárlási kötelezettséget vállal. 

• A vételi opció opciós díját c-vel (a „call”-ra utalva), míg az eladási opció 

opciós díját p-vel (a „put”-ra utalva) nevezzük. 

• Azt a pénzügyi terméket, amire az opciós ügylet vonatkozik 

alapterméknek (underlying asset), vagy mögöttes terméknek nevezzük 

• Az opciók tárgya, azaz az alaptermék – bár bármi lehet – 

leggyakrabban részvény, részvényindex, deviza, állampapír, bankbetét 

kamata, vagy az ezekre szóló határidős pozíció. 

• Az X (exercise price) árfolyamot lehívási vagy kötési árfolyamnak 

nevezzük. 

• Az ügylet kötelezettséget vállaló felét az opció kiírójának nevezik.

Az opciók tulajdonságai 

• Az opciós jog birtokosa három dolgot tehet 

opciós jogával: 

– Eladhatja az éppen érvényes opciós díjnak megfelelő 

árfolyamon; 

– Lejáratkor élhet a jogával, amit az opció lehívásának 

nevezünk; 

– Hagyhatja érvényesítetlenül lejárni jogosultságát. 

• Az opciók két nagy csoportját különítjük el. 

– Európai opciókról beszélünk, ha csak a lejárati napon 

lehet élni a joggal, azaz csak a T időpontban. 

– Amerikai opcióról beszélünk, ha a lejárati napig, azaz 

a T időpontig, ez bármikor megtehető.

Az egyszerű opciók nyereségfüggvényei 

Vételi jog (long call) +C Eladási jog (long put) + P 

veszteség nyereség 


100 

piaci árfolyam 

100 

Eladási kötelezettség (short call) -C Vételi kötelezettség (short put) -P 




100 100 


piaci árfolyam

Opciók belső értéke az alaptermék függvényében 

Long call 

Short call 

X 

S 

S 

Long put 

X 

Short put 

X 

X 

X 

S 

S

Az opciós díjat befolyásoló tényezők 

Tényező 

Alaptermék ára 

Kötési ár 

Relatív szórás 

Idő 

Kockázatmentes 

kamatláb 

Vételi jog 

Eladási jog

Opciós ármodellek 

• Binominális modell 

• Cox-Rubinstein modell 

• Black-Scholes modell 

Alaptermék 

árfolyama 

binominális 

eloszlású 

Alaptermék 

árfolyama 

Bernoulli 

eloszlású 

Alaptermék 

árfolyama 

normális 

eloszlású

A binominális opciós ármodell képletei 

Növekedés mértéke 

Csökkenés mértéke 

Vételi opció értéke növekedés esetén lejáratkor 

Vételi opció értéke csökkenés esetén lejáratkor 

Vételi opció értéke 

c 

⎛ 

⎜ 

c 

= 

⎜ 

⎝ 

u = 

d = 

Su 

S 

Sd 

S 

c u 

R f * t 

R f * t 

( e − d ) + c * ( u − e ) ⎞ R * t 

* − ⎟ * e 

u − d 

⎟ 

⎠ 

u d 

f 

c d 

= max( S * u − X ; 0) 

= max( S * d − X 

; 0)

A Cox-Rubinstein opciós ármodell képletei 

Növekedés mértéke u = e n 

Csökkenés mértéke 

1 

d = 

u 

Vételi opció értéke növekedés esetén lejáratkor 

Vételi opció értéke csökkenés esetén lejáratkor 

Vételi opció értéke 

c 

⎛ 

⎜ 

c 

= 

⎜ 

⎝ 

σ * 

t 

( ) ( ) R * t 

R * t 

e − d + c * u − e ⎞ R * t 

f 

f 

* − 

⎟ * e 

⎟ 

⎠ 

u d 

f 

u 

− 

d 

c u 

c d 

= max( S * u − X ; 0) 

= max( S * d − X ; )

Osztalékot nem fizető alaptermékre vonatkozó 

vételi jog értéke az alaptermék árának 

függvényében 

c 

X 

c 

S-X 

S

A vételi opció értéke: 

Black-Sholes modell 

− rf∗T 1 2 

( ) 

c = S∗ N d − X ∗ e ∗ N ( d ) 

ahol: 

d 

1 

= 

ln 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

S ⎞ 

⎟ + rf∗T X ⎠ 

σ ∗ T 

Szimulációja a hitelből történő 

részvényváráslásnak 

+ 

σ ∗ 

2 

T 

d = d − σ ∗ T 

2 1

A Black-Scholes modell értelmezése 

Valamekkora valószínűséggel Valamekkora való- 

ln( P0 

KT 

) + rf 

T σ T ( ) 

1 = rendelkezünk P K r T T 

+ S értékű ln 0 / T + f σ 

d = színűséggel 

2 

− fizetünk = d1 

− σX 

σ részvénnyel 

T 2 

σ Tjelenértékét 

2 érte 

d 

S*N(d 1)-X*e rf*t *N(d 2) 

• σ a részvény (az alaptermék) volatilitása, 

azaz a részvény hozamának időegységre 

(általában egy évre) vonatkozó szórása. 

• N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét 

adják, hogy az alaptermék jövőértéke 

nagyobb lesz a kötési árnál és az opciót 

lehívják. 

T 

Forrás: Bóta Gábor

A Black-Scholes modell feltételei 

• Alaptermék eloszlása normális 

• Az árfolyamalakulásban nincs szakadás 

(folytonos eloszlás) 

• Az alaptermékre az opció lejáratáig nem 

fizetnek hozamot 

• Az opció európai típusú. 

• A piacok hatékonyak.

X 

0 

+P 

Put-Call paritás (1) 

X 

+S 

+S+P-C=X 

-C 

S

A Put-Call paritás (2) 

• Láttuk, hogy a +S+P-C=X egy 

kockázatmentes portfólió. 

•S 0 + p – c = X * e rf*t 

•p = X * e rf*t + c – S 0

Opcióértékelési táblázat - C/S értéke 

S/PV(X) 

szórás*idő 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% 105% 110% 115% 120% 125% 

10% 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,007 0,050 0,237 0,792 1,987 3,988 6,728 9,958 13,387 16,789 20,040 

20% 0,002 0,011 0,044 0,138 0,354 0,775 1,482 2,543 3,988 5,810 7,966 10,386 12,993 15,706 18,456 21,186 

30% 0,149 0,347 0,698 1,250 2,042 3,097 4,418 5,992 7,792 9,783 11,924 14,173 16,492 18,845 21,200 23,534 

40% 0,940 1,577 2,434 3,516 4,816 6,315 7,989 9,809 11,746 13,769 15,852 17,969 20,098 22,222 24,323 26,391 

50% 2,614 3,737 5,058 6,555 8,201 9,968 11,829 13,758 15,733 17,733 19,741 21,742 23,723 25,676 27,591 29,463 

60% 5,061 6,596 8,271 10,053 11,915 13,832 15,781 17,745 19,708 21,657 23,582 25,476 27,331 29,143 30,908 32,625 

70% 8,084 9,932 11,852 13,816 15,802 17,791 19,768 21,722 23,644 25,527 27,366 29,158 30,899 32,590 34,228 35,814 

80% 11,509 13,577 15,655 17,724 19,769 21,778 23,744 25,661 27,525 29,333 31,084 32,779 34,416 35,997 37,523 38,995 

90% 15,202 17,411 19,580 21,698 23,757 25,752 27,681 29,542 31,337 33,065 34,729 36,330 37,869 39,350 40,774 42,144 

100% 19,061 21,351 23,560 25,685 27,725 29,682 31,556 33,351 35,070 36,716 38,292 39,803 41,250 42,637 43,968 45,245 

110% 23,012 25,334 27,545 29,647 31,646 33,547 35,355 37,076 38,715 40,278 41,768 43,191 44,550 45,849 47,093 48,284 

120% 26,998 29,316 31,499 33,556 35,497 37,330 39,065 40,707 42,265 43,743 45,149 46,488 47,763 48,979 50,141 51,252 

130% 30,976 33,262 35,395 37,391 39,262 41,020 42,675 44,236 45,711 47,107 48,431 49,687 50,882 52,020 53,105 54,140 

140% 34,913 37,144 39,212 41,135 42,928 44,606 46,178 47,657 49,049 50,364 51,607 52,785 53,904 54,966 55,978 56,943 

150% 38,781 40,943 42,934 44,775 46,485 48,078 49,567 50,963 52,274 53,509 54,675 55,777 56,822 57,813 58,756 59,654 

szórás*idő 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% 105% 110% 115% 120% 125% 

155% 40,684 42,805 44,754 46,553 48,220 49,770 51,217 52,571 53,842 55,038 56,166 57,232 58,241 59,198 60,108 60,974 

160% 42,561 44,641 46,546 48,301 49,924 51,431 52,836 54,150 55,381 56,538 57,629 58,659 59,633 60,557 61,434 62,269 

165% 44,413 46,447 48,308 50,018 51,597 53,061 54,424 55,697 56,889 58,009 59,063 60,058 60,998 61,889 62,735 63,539 

170% 46,236 48,225 50,039 51,703 53,238 54,660 55,981 57,214 58,367 59,449 60,468 61,428 62,335 63,195 64,010 64,785 

175% 48,030 49,971 51,738 53,357 54,847 56,225 57,506 58,698 59,814 60,859 61,843 62,769 63,644 64,473 65,258 66,004 

180% 49,793 51,685 53,404 54,977 56,423 57,759 58,998 60,152 61,229 62,239 63,188 64,082 64,925 65,723 66,480 67,198 

185% 51,524 53,366 55,037 56,564 57,965 59,259 60,458 61,573 62,614 63,588 64,503 65,365 66,178 66,946 67,675 68,366 

190% 53,222 55,013 56,636 58,116 59,474 60,726 61,885 62,962 63,966 64,907 65,789 66,619 67,402 68,142 68,843 69,508 

195% 54,885 56,626 58,200 59,635 60,949 62,159 63,278 64,318 65,287 66,194 67,044 67,843 68,597 69,309 69,983 70,623 

200% 56,514 58,204 59,730 61,118 62,389 63,559 64,639 65,642 66,577 67,450 68,269 69,039 69,764 70,449 71,097 71,711 

205% 58,108 59,746 61,224 62,567 63,795 64,924 65,967 66,934 67,835 68,676 69,464 70,204 70,902 71,560 72,183 72,774 

210% 59,665 61,252 62,682 63,981 65,167 66,256 67,261 68,193 69,060 69,870 70,628 71,340 72,011 72,643 73,242 73,809 

215% 61,186 62,722 64,105 65,359 66,504 67,554 68,523 69,420 70,255 71,033 71,763 72,447 73,091 73,699 74,274 74,818 

220% 62,670 64,156 65,492 66,702 67,806 68,818 69,751 70,615 71,417 72,166 72,867 73,524 74,143 74,727 75,278 75,801 

225% 64,118 65,553 66,843 68,010 69,073 70,048 70,946 71,777 72,548 73,268 73,941 74,572 75,166 75,726 76,256 76,757

Reálopciók fogalma 

Olyan eszközök, melyek értéke nem (csak) 

készpénztermelő képességükből 

származik, hanem egy bennük rejlő 

lehetőségből. 

Reálopció felmerülésének feltételei: 

1. az eszköz pénzáramlása bizonytalan, 

2. a vállalatnak joga van, de kötelezettsége 

nincs egy bizonyos pénzáramlás 

megszerzésére, 

3. a befektetésnek visszafordíthatatlannak 

kell lennie.

• Részvény 

•Kötvény 

•Bővítés 

• Kiszállás 

• Halasztás 

Reálopciók főbb fajtái 

+C 

Államkötv - P 

+C 

+P 

+C

Paraméter 

S 

X 

σ 

T 

R f 

Részvény 

Eszközök relatív 

szórása 

Adósság durációja 

Reálopciók 

Kötvény 

Eszközök piaci 

értéke 

Adósság lejáratkori 

értéke 

Bővítés 

Beruházás 

GPV-je mai 

áron 

Beruházás 

költsége folyó 

áron 

GPV relatív szórása 

Beruházás 

időpontjáig 

eltelt idő 

Kockázatmentes kamatláb 

Kiszállás 

Működés GPVje 

mai áron 

Eszköz eladási 

ára folyóáron 

Kiszállási 

döntésig eltelt 

idő

Pénzügyi opciós példák 

Egy befektető MATÁV call opciót adott el 1000 kötési áron 300 Ft-ért, 

mikor a MATÁV ára az azonnali piacon 800 volt. A lejárat időpontjában a 

MATÁV ára 1200 Ft. Érdemes-e beváltani az opciót? Mekkora a call 

kiírójának nyeresége (vesztesége)? Hogyan változott a vásárlástól a 

lejáratig az opció belső és időértéke? 

Egy befektető MATÁV put opciót adott el 1000 kötési áron 300 Ft-ért, 

mikor a MATÁV ára az azonnali piacon 800 volt. A lejárat időpontjában a 

MATÁV ára 1200 Ft. Érdemes-e beváltani az opciót? Mekkora a call 

kiírójának nyeresége (vesztesége)? Hogyan változott a vásárlástól a 

lejáratig az opció belső és időértéke? 

Egy részvény jelenlegi ára 1000. Tételezzük fel, hogy egy negyedév 

múlva ára vagy 1300, vagy 900 Ft. Mekkora erre a részvényre szóló 1100 

forintos kötési áru vételi opció értéke, ha a kockázatmentes kamatláb 

10%? Mekkora a vételi opció értéke?

Reálopciós példák 

• Egy vállalat eszközeinek piaci értékét 600 millió HUF-ra 

becsülte a vagyonértékelő, melynek relatív szórása 40%. 

A vállalat adósságainak átlagos lejárata 2,0 év, a 

fennálló hitelállomány 600 millió HUF, melynek átlagos 

kamatlába 10%. A kockázatmentes kamatláb 6%. 

Mekkora a részvények és a hitelek piaci értéke? 

Használja a Black-Scholes modellt! 

• Egy darugyár hajlandó Öntől visszavásárolni használt 

daruját 400 millió forintért 1 éven belül. Mekkora ennek 

az ajánlatnak az értéke az ön számára, ha az a 

beruházás, amiben a darut használja, bruttó jelenértéke 

mai áron 420 millió forint, 40%-os szórással. A 

kockázatmentes kamatláb 12%, a vállalat WACC-a 20%. 

Használja a Black-Sholes modellt!

Magyar Clondike 

A „Magyar Clondike” Kft. egy sátoraljaújhelyi cég, mely 

Eszkála felett a Zemplénben akar aranybányát nyitni. A 

kezdeti próbafúrások reményteljesek voltak, amire a cég 15 

millió forintot már elköltött. További kutatásokra már nincs 

pénze, ezért megkeresték egy aranyröggel Önt a „Balatoni 

Cápa” befektetési társaság pénzügyi igazgatóját, hogy 

finanszírozza a további kutatásokat és a bányanyitás 

költségeit. Az ön cége rendkívül tőkeerős, finanszírozási 

oldalról az ügyletnek nincs akadálya. A „Magyar Clondike” 

által előterjesztett üzleti terv szerint a további kutatásokra 

150 millió forint kellene. A kutatás időtartama várhatóan 1 

év. Ha a kutatás sikeres lenne, a bányát 500 millió forintért 

lehetne megnyitni akkori áron. A bányaberuházás igen 

kockázatos. Egy független cég a bánya értékét várhatóan 1 

év múlvabeli értéken 700 millió forintban határozta meg, 200 

millió forint szórás mellett. (Normális eloszlást tételezve fel.) 

A „Balatoni Cápa” elvárt hozama 20%. A kockázatmentes 

hozam 7%. Belép-e csendestársként az üzletbe? Döntését 

számításokkal igazolja!

Hályogkovács Rt. 

A „Hályogkovács” Kft. egy gyógyászati segédeszközöket gyártó cég, mely egy izzadásgátló tundrabugyit 

fejlesztett ki. A kifejlesztés költsége 100 millió forint volt. A terméket 80 millió forintos induló 

reklámkampánnyal tervezik bevezetni, melynek várható pénzáramát három évre vonatkozóan az alábbi táblázat 

tartalmazza mai áron: 

adatok millió forintban 

Év 1 2 3 

Bevétel 90 90 90 

Működési költségek 50 50 50 

A vállalat társasági adókulcsa 18%. A reklámkampányra költött pénzt az első évben költségként elszámolják. A 

vállalat reálWACC-a 10%. Tekintsünk el a forgótőkétől és a termékváltás költségeitől. Mekkora a beruházás 

NPV-je? 

A vállalat feltételezi, hogy a tundrabugyi hatékonyan gyógyíthatja a felfázást is. Ezt azonban kutatni kell, a 

kutatás költsége várhatóan 30 millió forint. Ha két év múlva a kutatás sikerrel zárul, akkor mai áron 500 millió 

forintos beruházással növelni lehetne az eladott tundrabugyik számát. A növekedés bruttó jelenértéke mai áron 

550 millió forint. A sikeres termékteszt valószínűsége 50%. Ha nem sikerül a kutatás, a vállalat nem csinál 

semmit. 

Érdemes-e belevágni a reklámkampányba, illetve a kísérleti kutatásba? Használjon reálértékmodellt! A 

kockázatmentes kamatláb 6%.

Példa 

A Soldier Blue Ltd. játék katonákat gyárt. Ezek az összeszerelt katonák műanyagból 

készülnek és egy speciális fém szerkezet tartja őket össze. A vállalat rengeteg 

más kelléket is gyárt, például kifestőkészlet és játékruhák. 

A játék katonák eladása nem alakult jól az elmúlt két évben, elsősorban amiatt a 

félelem miatt, hogy a fém alkatrész veszélyezteti a gyerekek egészségét. A 

vállalat olyan fém alkatrész kifejlesztését fontolgatja, melynek csak nagyon kicsi 

az ólomtartalma. 200 ezer font kiadást már kiadtak a megvalósíthatóság 

kutatásokra. Úgy gondolják, hogy 50% a valószínűsége annak, hogy az új 

alkatrészt sikeresen kifejlesztik. A további kutatási költség 270 ezer font, amit 

azonnal ki kell adni, ha a programot eldöntik. 

Ha a program megvalósul, a játék katonák éves eladása 1 millió fonttal fog nőni. A 

vállalat bruttó árrése 60%. A működő tôke befektetés az éves eladás 20%-a. Azt 

várják, hogy a többleteladást 4 évig tudják tartani, utána a berendezés elavul. 

Ha a Soldier Blue Ltd. végrehajtja az új alkatrész fejlesztését, egy gép 600 ezer 

fontba fog kerülni, amelyiket 1 év múlva kell megvenni. A termelés a gép 

beüzemelését követő évben indulhat. A gép amortizációs kulcsa 25%. Nem lesz 

maradványértéke. 

A Soldier Blue Ltd. 30%-os társasági adót fizet 12 hónap haladékkal. A vállalat 

tőkeköltsége 15%. Feltételezik, hogy a pénzáramok minden év utolsó napján 

esedékesek. A diszkont kincstárjegyek kamatlába 5%. 

Feladat: 

a) Belefogjon-e a Soldier Blue Ltd a fejlesztési munkálatokba? 

b) Ha az alkatrész technikai megvalósítása lehetséges, mekkora összeggel nőhet a 

vállalat tőkeköltsége, hogy a program még elfogadható legyen?

Példa 

Egy gyógyszeripari készítményeket gyártó cég feltalált egy csalántartalmú 

készítményt, ami jó a gyomorbántalmak kezelésére. A termék becsült 

pénzáramát a következő táblázat mutatja: 

Év 0 1 2 3 

Befektetés -300 

Mük. pénzáram 110 160 80 

Forgótôke -10 -30 0 40 

Nettó pénzáram -310 80 160 120 

PV (r=10%) -310.0 72.7 132.2 90.2 

NPV -14.9 

A csalántartalmú készítmény várhatóan 3 évig adható el. A gyógyszeripari 

termékek nagy versenye ekkorra már eladhatatlanná teszi a terméket. 

A vállalat arra számít, hogy a csalántartalmú készítmény jó hatásfokkal 

gyógyítja a melegfront hatására képződött fejfájást. Ez azonban még 

nem bizonyosodott be. A kórházi bevizsgálás időtartama 3 év. A 

termék indítása a 3. évben többletberuházást igényel, melynek értéke 

600 millió forint. Ha a program beválik nagy kereslettel kell számolni, 

ha nem jönnek be a várakozások, gyengével. A Monte-Carló 

szimuláció alapján a jelenérték normális eloszlású, várható értéke a 3. 

évre vonatkoztatva 570 millió forint, szórása 171. Ezt a beruházást 

azonban csak akkor tudjuk végrehajtani, ha a mostani beruházást 

végrehajtjuk. A kockázatmentes kamatláb 6%.

Jó értékelés jellemzői 

• Többfunkciós 

• Stratégiai 

• Bevonja a vezetést 

• Dinamikus 

•Tőle függ a menedzsment értékelése 

• Döntési lehetősége értékét is magába 

foglalja 

• Történeti elemzésen alapszik 

• Számszakilag helyes

Fóliák

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?