1 Portfólióelmélet

Portfólióelmélet
Friedman portfólió-elmélete
Azt vizsgálta, miért takarítanak meg az
egyes emberek különböző
vagyontárgyakat? Miért halasztják el
jelenbeli fogyasztásukat?
Hozam
Likviditás Kockázat
A kockázat általános értelmezése
(Kindler József)
Az esemény
Biztos
Bizonytalan
Kedvező
Előny
Esély
Kedvezőtlen
Hátrány
Kockázat
Portfólió fogalma
Két szóeredet
Latin szó
Portare – hordani, vinni
Fólió – ügy, irat
Olasz szó
Pincérek pénztárcája
Portfólió tág értelmezése – vagyontárgyak
összessége
Portfólió szűk értelmezése – különböző, tőzsdén
jegyzett értékpapírok összessége
A befektetés három jellemzője
Hozam – a befektetés mekkora
többletpénzáramot eredményez a
befektetett összegen felül (hozamráta)
Likviditás – A befektetést milyen gyorsan
és mekkora költséggel lehet készpénzre
váltani
Kockázat – A kockázat általános
értelemben valószínű veszély. Pénzügyi
értelemben a várható hozam szórása.
Friedman 5 befektetési kategóriája
Befektetések
Várható
hozam
Készpénz Nincs
Kötvény
Részvény
Reálvagyontárgy
Tanulás
Kicsi
Közepes
Nagy
Legnagyobb
Likviditás
Maximális
Jó
Jó/kicsi
Kicsi
Nincs
Kockázat
Nincs
Minimális
Közepes
Nagy
?
1

Hozamszámítás
Richter TVK MATÁV
Megnevezés Dátum Árfolyam Dátum Árfolyam Dátum Árfolyam
Vétel 98.05.22 19 605 98.09.11 2 100 98.09.25 956
Eladás
Időszaki hozam
98.12.15 7 800 98.12.15 2 900 98.12.15 1 166
Névleges hozam
Tényleges hozam
Kamatintenzitás
r
⎡ P1
⎤ 1 ⎡ P1
⎤
= ⎢ −1
r
⎣ P
⎥ × =
⎦ t
⎢
⎣ P
⎥
0
0 ⎦
n eff
⎡ P ⎤
ln⎢
P
⎥
− r =
⎣ 0
1
⎦
int
t
1 1
t
Kamatintenzitás levezetése
n ⎡⎛
r ⎞ ⎤
lim⎢⎜1+
⎟ ⎥
n→∞
⎢⎣
⎝ n ⎠ ⎥⎦
r*
t P1
e =
P
t
r
= e = e
0
r * t * ln
() e
t
r*
t
⎛ P ⎞ 1 ln
P
⎜
P ⎟
⎛ ⎞ 1 ⇒ r =
⎝ 0
= ln
⎠
⎜
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
Árfolyamváltozás mérése
Abszolút változás
Relatív változás (hozamszámítás)
Százalékosan St
gt
= −1
St−1
Logszázalékosan
⎛ S ⎞ t z = ln
⎜
⎟
t
⎝ St−1
⎠
Kapcsolatuk
ln
A
= St
− St
−1
x
1
2
x
2
3
x
3
n
x
n
n−1
( 1+
x)
= − + −....
( −1)
* + .....
A folytonos kamatszámítás
levezetése (10%-os kamattal)
Kamatfizetés évi
gyakorisága
1
2
12
∞
Képlet
1
⎛ r ⎞
⎜1+
⎟
⎝ 1 ⎠
2
⎛ r ⎞
⎜1+
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ r ⎞
⎜1+
⎟
⎝ 12 ⎠
⎜
n→∞
1 lim
12
⎛ r ⎞ r
+ ⎟ = e
⎝ n ⎠
Előző feladat megoldása
n
Tőkenövekmény
1,1000
1,1025
1,1047
1,1052
Richter TVK MATÁV
Megnevezés Dátum Árfolyam Dátum Árfolyam Dátum Árfolyam
Vétel 98.05.22 19 605 98.09.11 2 100 98.09.25 956
Eladás 98.12.15 7 800 98.12.15 2 900 98.12.15 1 166
Időszaki hozam 207 -60,21% 95 38,10% 81 21,97%
Névleges hozam -106,17% 146,37% 98,98%
Tényleges hozam -80,31% 245,61% 144,69%
Kamatintenzitás -162,52% 124,01% 89,48%
Logszázalék (kamatintenzitás) tulajdonságai
Logszázalékokkal mért relatív változások
összeadhatók, a százalékos hozamráták nem
adhatók össze
Logszázalékok súlyozott átlaga a valós
időszaki hozam
Logszázalékos hozam mindig a legkisebb –
óvatosság elve
Tökéletesen likvid befektetések esetében
közgazdaságilag jól magyarázható
feláldozott haszon
2

p
Példa százalékos és logszázalékos
hozamok összeadására
Év
0
1
2
Árfolyam
50
100
50
Logszázalékos hozam
Százalékos hozam
⎛ S ⎞ ⎛
1 S ⎞ 2
r =
⎜ −1
⎟ +
⎜ −1
⎟ =
⎝ S0
⎠ ⎝ S1
⎠
⎛100
⎞ ⎛ 50 ⎞
⎜ −1⎟
+ ⎜ −1⎟
=
⎝ 50 ⎠ ⎝100
⎠
100%
− 50%
= 50%
⎛ S ⎞ ⎛
1 S ⎞ ⎛
2 S1
S ⎞ ⎛
2 S ⎞ 2 ⎛ 50 ⎞
r = ln
⎜
⎟ + ln
⎜
⎟ = ln
⎜ *
⎟ = ln
⎜
⎟ = ln⎜
⎟ = ln =
⎝ S0
⎠ ⎝ S1
⎠ ⎝ S0
S1
⎠ ⎝ S0
⎠ ⎝ 50 ⎠
n −
R =
ij
Portfolió hozama és kockázata
Hozam
r = w*
r + w*
r
p
Kockázat
2
A
Korreláció
1
2
A
n
1 i = 1
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ xi − x⎟ × ⎜ yi
−y⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s × s
∑
A
A
2
B
x y
B
s = w * s + w * s + 2*
w * w * s * s * ρ
RAB
=
rp
s p
1
*
2
2
B
B
A
B
() 1 0%
Eset A részvény B részvény
1 10% 13%
2 20% 18%
3 30% 23%
Hozam
Szórás
A
Alkossunk portfóliót A és B részvényből!
(w A=60%, w B=40%)
Számítsuk ki a két értékpapír közötti
korrelációt!
[ ( 10 − 20)
* ( 13 −18)
+ ( 20 − 20)
* ( 18 −18)
+ ( 30 − 20)
* ( 23 −18)
]
= 1
10*
5
Számítsuk ki a portfólió hozamát!
= 0 , 6*
20%
+ 0,
4*
18%
= 19,
2%
=
Számítsuk ki a portfólió szórását!
2 2 2 2
0,
6 * 10 + 0,
4 * 5 + 2
* 0,
6
B
* 0,
4
AB
* 10*
5*
1
=
64 = 8%
Lásd fenti példát
Százalékos hozamok átlaga
Logszázalékos hozamok átlaga
( − 50%
)
1* r1
+ 1*
r2
1*
100%
+ 1*
r = =
= 25%
2
2
r =
⎛ 1 ⎞
ln(
2)
+ ln⎜
⎟
* ln(
r1
) + 1*
ln(
r )
2
=
⎝ ⎠
= 0%
2
2
1 2
Hozamráta és szórásszámítás
A részvény
−
10%
+ 20%
+ 30%
r =
= 20%
A 3
s
A
−
=
1
*
2
2
2
2
[ ( 10%
− 20%
) + ( 20%
− 20%
) + ( 30%
− 20%
) ]
B részvény
13%
+ 18%
+ 23%
=
= 18%
B 3
r
s
B
=
1
*
2
= 10%
2
2
2
[ ( 13%
−18%
) + ( 18%
−18%
) + ( 23%
−18%
) ] = 5%
Hogyan lehet javítani egy portfólió
relatív szórását?
Válogassunk össze alacsony
páronkénti korrelációjú
értékpapírokat!
Válasszuk ki az optimális
portfóliósúlyokat!
Növeljük a portfólióban lévő
értékpapírok számát!
3

s
p
=
Nézzük meg az előző példát -1-es
korrelációval!
Eset A részvény B részvény
1 10% 23%
2 20% 18%
3
Hozam
Szórás
30% R 13%
1
* 10 − 20
R 2
AB =
10*
5
Hozam marad ugyanannyi = 19,2%
[ ( ) * ( 23−18)
+ ( 20 − 20)
* ( 18 −18)
+ ( 30 − 20)
* ( 13−
18)
]
2 2 2 2
0,
6 * 10 + 0,
4 * 5 + 2
* 0,
6
* 0,
4
* 10*
5*
( −1)
= 16 = 4%
Minimális relatív szórású
portfólió súlyai
2 2 2
2 2
∆s
p ∆(
w * s + ( 1−
w ) * s + 2*
w * ( 1−
w ) * s * s * R )
=
∆wA
A A
A B
A
∆wA
2
2 2
2*
wA
* sA
+ 2*
wA
* sB
− 2*
sB
+ 2*
sA
* sB
* R
2*
wA
* A B A B
sA
* sB
* RAB
= Cov(
rA;
rB
)
2
sB
− Cov(
rA;
rB
)
wA
= 2 2
sA
+ sB
− 2*
sA
* sB
* RAB
AB
B
2
5 −10*
5*
( −1)
1 2
wA
=
= ⇒ w =
2 2
B
10 + 5 + 2*
50 3 3
2 2
2
[ s + s − 2*
s * s * R ] + −2*
[ s − s * s * R ]
2
2
⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ 2 1 2
s p = ⎜ ⎟ * 10 + ⎜ ⎟ * 5 + 2*
* * 10*
5*
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3
1 2
rp
= * 20%
+ * 18%
= 18,
67%
3 3
AB
A
A
− 4*
w * s * s * R
B
( −1)
A
A
AB
B
= 0%
A portfólió súlyarányait meghatározó
képletek 2 elemből álló portfóliók esetén
( )
Minimális szórású portfólió
w
D
( , )
Cov( r , r )
2
σ − Cov r r
= 2 2
σ + σ − 2 ×
E D E
D E D e
σ
⇒ ,ha R =-1
σ + σ
2
E
2 2
D E
Optimális kockázati felárú portfólió súlya
ErP − rf
S = ⇒ max
σ
P
w
D
2
[ rD −rf ] σ E −[ rE −rf
] Cov rD rE
2 2
[ − ] σ + [ − ] σ − [ + −2]
A
AB
B
=
AB
= −1
* * ( , )
=
r r * r r * r r * r * Cov( r , r
D f E E f D D E f D E
=
„A” és „B” részvényből álló portfólió hozama és
kockázata különböző portfóliósúlyok esetén
Hozam
20,0000%
19,5000%
19,0000%
18,5000%
18,0000%
0,0000% 1,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000%
Szórás
6,0000% 7,0000% 8,0000% 9,0000% 10,0000%
..
n
2-nél több elemű portfólió kockázata
Értékpapír
1
2
3
n
∑ 1
1
w 1 2* s1 2
w 1*w 2*Cov
12
w1*w3*Cov 13
w 1*w k*Cov
1k
w 1*w n*Cov
1n
r = w × r
p i i
i =
2
w 1*w 2*Cov
12
w 2 2* s2 2
…..
3
w 1*w 3*Cov
13
w 3 2* s3 2
…….
…
w 1*w k*Cov
1k
w k 2* sk 2
N elemű portfólió hozama N elemű portfólió kockázata
n
n
∑∑ 1
s = w × w × s × s × R
n
w 1*w n*Cov
1n
…….
p i j i j ij
i=
1 j=
w n 2* sn 2
4

Kockázat
Diverzifikáció hatása
s
2
p
Egyedi
kockázat
Piaci
kockázat
Részvények darabszáma
2
N 2 N − N
= lim * s + * Cov = Cov
n→∞
2
2
N N
Részvényárra ható
egyedi tényezők
Például
Pénzügyi beszámoló adatai
K+F kutatások sikere/kudarca
Vállalattal kapcsolatos bírósági
perek
Vállalati menedzsment-csere,
foglalkoztatás alakulása
Bekebelezés/felvásárlás
Hatékony portfóliók görbéje
Hatékony portfólió – adott kockázat
mellett a maximális várható hozamú
portfólió
Hatékony portfóliók görbéje – a
hatékony portfóliókat összekötő vonal
Vigyázat!!! Nem mindig igaz, hogy az adott
várható hozam mellett minimális szórású
portfólió hatékony.
Tényező
neve
Gazdasági
növekedés
Kamatláb
Munkanélküliség
Részvényárra ható piaci tényezők
Folyó fizetési
mérleg egy.
Költségvetési
hiány
Oksági összefüggés
Ha GDP nő, nő a vállalatok várható
pénzárama, nő a részvényár
Ha kamatláb nő, elvárt hozamráta
nő, részvényár csökken
Ha fiz. mérleg romlik, jegybank
kamatot emel, vagy leértelékelés,
részvény kevesebbet ér devizában
Ha nő, inflációs veszély, fiz. mérleg
romlás, leértékelés, vagy/és
kamatemelés
Ha nő, várható kereslet csökken
és/vagy költségvetési hiány nő
Portfólióelmélet és a CAPM
CAPM
( )
r f
r = r + r − r × β
i f m f i
Várható
hozam
Hozam
Szórás
Kapcsolat
iránya
Hatékony portfoliók kockázatmentes
befektetéssel
s p
tőkepiaci
egyenes
r f
Hozam
értékpapírpiaci
egyenes
Béta
Részvénybéta Portfolióbéta
COV( x, M)
β i =
2
sM
n
β p = ∑ wi
× βi
i=
1
Miskolci Egyetem Pénzügyi Tanszék - Értékpapírszámtan
Hatékony portfóliók görbéje
Hatékony
portfóliók
görbéje
B
C
A
Lehetséges
portfóliók
tartománya
1
D
Kockázat
5

1. feltétel – Legyenek a piacok
hatékonyak
Hatékony piacokon (Fama) az információk
azonnal és helyesen tükröződnek az
árakban, azaz a hatékony piacokon hozott
összes befektetési döntés NPV-je zérus.
Feltételei:
Információk mindenki számára azonnal és
ingyenesen hozzáférhetők
Az ügyletek végrehajtásának nincs más
költsége, mint az értékpapír vételára.
A befektetők árelfogadók és racionálisak.
A hatékony piacok következménye
Ha hatékonyak a piacok, minden portfólió a
hatékony portfóliók görbéjére kerül
(buborék effektus)
Magyarázat
Vegyük az A és C portfóliót. Ugyanakkora a
kockázat, de a C várható hozama magasabb.
Az A-t eladják, árfolyama esik, várható hozama
nő, egész addig, míg fel nem „száll” a hatékony
portfóliók görbéjére.
Van-e kockázatmentes
befektetés?
Ha fix kamatozású állampapírt
veszünk, és lejáratig megtartjuk,
akkor van.
Ha az állampapírt is likvid
befektetésnek tekintjük, akkor már
nem kockázatmentes, mert nincs
ugyan hitelkockázata, de van
kamatkockázata.
A piaci hatékonyság hat jellemzője
A piacnak nincs emlékezete
A piaci árfolyamok megbízhatóak
Nincsenek pénzügyi illúziók
A „csináld magad” lehetőség
Nézz meg egy részvényt és mindet láttad
Az adatok mögé kell látni
Várható
hozam
2. Feltétel – Tételezzük fel, hogy
van kockázatmentes befektetés
r f
Hatékony
portfóliók
görbéje
B
C
A
Lehetséges
portfóliók
tartománya
3. Feltétel – Kockázatmentes
kamatlábon hitelt tudunk felvenni
Tőkepiaci egyenes
D
Kockázat
A feltétel ahhoz kell, hogy a
tőkepiaci egyenesen a C ponton túl
is be tudjunk fektetni.
6

Állítás – Minden befektetés rásimul a
tőkepiaci egyenesre
Ok: ugyanaz a „buborékelv”
érvényesül, mint a hatékony
portfóliók görbéjénél
Azt kell belátni, hogy a
kockázatmentes befektetés és a C
portfólió kombinációjával a
tőkepiaci egyenes bármelyik
pontjára rákerülhetünk
Milyen tulajdonságai vannak a C
portfóliónak?
Hatékony portfólió és nem
tartalmaz egyedi kockázatot.
Ha nincs egyedi kockázata, akkor
tökéletesen diverzifikált.
Tökéletesen diverzifikált portfólió
minden kockázatos eszközt
tartalmaz.
Minden befektető C portfóliót fog
venni és azt kombinálja a
kockázatmentes befektetéssel
Írjuk fel az értékpapír-piaci egyenes
egyenletét! (CAPM-egyenlet)
Várható
hozam
E(ri )
E(r m )
r f
M
1
E(r m )-r f
β i
E(r i )-r f
Piaci kockázat - béta
100% C
Példa
Kockázatmentes hozam = 10%;
C portfólió várható hozama = 20%; C portfólió kockázata = 30%
Portfólió összetétele
Kizárólag
kockázatmentes
50% C; 50%
kockázatmentes
150% C; 50%
kockázatmentes
hitelfelvétel
Várható
hozam
E(r m )
Várható
hozam
10%
15%
20%
25%
Kockázat
(w c*s c)
0%
15%
30%
45%
Meredekség
((E(r p)-r f)/s p)
Nem értelmezhető
1/3
1/3
1/3
4. Feltétel – A befektetők időhorizontja 1 év
és mindenki csak a C portfólióba fekteti a
pénzét
r f
1
C=M
A CAPM egyenlete
( r ) = r + E(
r )
i
f
Értékpapír-piaci
egyenes
Cov
β i =
σ
( r ; r )
i m
2
m
Piaci kockázat - béta
[ m − rf
] * i
E β
A CAPM következményei:
1. A befektetések várható hozama csak a piaci kockázatra
vonatkozó érzékenységtől függ
2. A befektetők vagy a kockázatmentes eszközbe vagy a
tökéletesen diverzifikált piaci portfólióba fektetnek be.
3. Az egyes befektetők eltérő kockázatérzékenysége csak
annyiban számít, hogy milyen arányban kombinálják a
fenti két befektetést.
4. Ne fektessünk csak egy vagy két részvénybe!
7

BUX kockázati prémiuma
Béta kiszámítása
Közvetlen úton
Egyszerű, de nehezen tesztelhető
Karakterisztikus egyenessel
Tesztelhető, de ritkán ad értékelhető
eredményt
Relatív béta
Csak az adott portfólióval kapcsolatban
értelmezhető
Karakterisztikus egyenes
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
0
0
-2
2 4 6 8 10 12 14
CAPM példa
10
8
6
4
2
-4
-6
-8
-10
-12
Matáv kockázati prémiuma
Egy értékpapír elemző cég a következő becslést
készítette:
Részvény Jelenlegi Negyedév Osztalék Béta
neve ár múlva a
várható ár
A
B
C
D
7 200
950
22 350
3 450
7 500
1 100
22 000
3 500
400
75
1 500
200
A piac várható hozama 10% lesz az elkövetkezendő
negyedévben. A kockázatmentes kamatláb éves
nagysága 12%. Melyik papírt érdemes venni?
0,89
1,14
1,60
0,50
Karakterisztikus egyenes
A piac kockázati prémiumának
függvényében ábrázoljuk az adott
papír kockázati prémiumát
A pontokhoz húzott regressziós
egyenes meredeksége a béta
Az egyenes Y tengellyel alkotott
metszéspontja az alfa.
Ha az alfa értéke szignifikánsan
negatív, a papír felülértékelt.
Ha az alfa értéke szignifikánsan pozitív,
a papír alulértékelt.
Karakterisztikus egyenes
Regressziós statisztika paraméterei:
R 2 = a piaci index kockázati prémiuma hány %ban
magyarázza az értékpapír kockázati
prémiumát (0,58)
α = abnormális hozam (-0,233)
β = a papír makrokockázatra vonatkozó
érzékenysége (1,14)
α és β standard hibája = ha a véletlenek szórása
normális, akkor a valódi α és β 95%-os
valószínűséggel a mért érték ± 2*standard hiba
közé esik s(α)=0,17; s(ß)=0,06
Módosított béta=2/3*aktuális béta + 1/3*1
Részvény
neve
Megoldás
CAPM szerinti
hozam
Tényleges
hozam
Alfa Befektetési szabály
A 9,23% 9,28% 0,05% A papír alulértékelt
B 10,98% 21,26% 10,28% A papír alulértékelt
C 14,20% 5,02% -9,18% A papír felülértékelt
D 6,50% 7,00% 0,50% A papír alulértékelt
A fenti hozamok negyedéves hozamok
8

Portfólióalkotás
Egy elemző a következő éves előrejelzést készítette néhány
értékpapírról és a piacról. A kincstárjegy hozama jelenleg 5%.
Gazdaság
állapota
Recesszió
Kis növekedés
Valószínűség
0,2
0,6
A részvény
-15%
+0%
B részvény
+5%
+20%
Piaci index
-5%
+10%
Nagy
növekedés
0,2 +30% +10% +20%
Számolja ki az A és B papír bétáját és alfáját! Ha az A és B papírból akar
portfóliót készíteni, mi lenne a legkisebb kockázatú portfólió befektetési
aránya?
Relatív béta számítása
Induljunk ki a portfólió súlyozott
kovariancimátrixából!
Használjuk ki a béta azt a tulajdonságát,
hogy a portfólió bétája a béták súlyozott
átlagával egyenlő.
Emeljük ki a mátrix sorából a sor súlyát, és
számoljuk ki a zárójelen belüli értéket.
Osszuk el ezt az értéket a portfólió
varianciájával
Mire jó? Megadja, hogy az adott értékpapír
hogyan befolyásolja az adott portfólió
kockázatát.
Példa – Számoljuk ki a kételemű
portfólióban az A és B értékpapír bétáját!
β
β
β
A
B
p
2
0,
6*
10 + 0,
4*
10*
5*
( −1)
=
= 2,
5
2
4
2
0,
4*
5 + 0,
6*
10*
5*
( −1)
=
= −1,
25
2
4
= 0,
6*
2,
5 + 0,
4*
( −1,
25)
= 1
Megoldás
Gazdaság állapota A részvény B részvény Piaci index
Várható hozam 3,00% 15,00% 9,00%
Szórás 14,70% 6,32% 8,00%
Kovariancia a piaccal 1,08% 0,20%
Béta 1,69 0,31
Alfa -8,75% 8,75%
Kovariancia az A és B
Hozam Szórás
részvény között
0,00%
Optimális bef. arány 0,15625 13,13% 5,81%
Képlettel ugyanez
n
∑
i=
1
w *
1
w * β = 1
i
2 [ w * σ + w * Cov + w * Cov + ... w * Cov ]
1
i
1
2
w1
* σ1
+ w * Cov
β1
=
σ
2
2
2
p
12
12
3
13
Kételemű portfólió esetén
Mi határozza meg az eszközök bétáját?
Ciklikusság
Működési
tőkeáttétel
Pénzáramlás
= Bevétel-
Fix költség - Változó költség
PV(bevétel)
= PV(változó költség) + PV(fix költség) + PV(eszköz)
PV ( FC)
PV ( VC)
PV ( A)
βbevétel
= β fix _ költség * + βváltozó
_ költség * + βeszköz
*
PV ( R)
PV ( R)
PV ( R)
)
PV ( A)
⎛ PV ( VC)
⎞
βeszköz
* = βbevétel
* ⎜1−
⎟
PV ( R)
⎝ PV ( R)
⎠
⎛ PV ( R)
− PV ( VC)
⎞
βeszköz
= βbevétel
* ⎜
⎟
⎝ PV ( A)
⎠
n
1n
PV(eszköz) = PV(bevétel)
- PV(fix költség) - PV(változó költség)
9