Portfólióelmélet

4.7 Példa
Egy diszkont kincstárjegy árfolyama július 25-én 97,03%. A következő év január 30-án
fog lejárni. Mekkora az időszaki hozam? A három évesítési módszerrel mekkora
hozamokat kapunk? Melyik esetben, melyiket alkalmazzuk?
Behelyettesítve a 4.30-as képletbe, kapjuk:
100%
− P 100%
− 97,
03%
(4.31) r = =
= 3,
06%
P 97,
03%
A diszkont kincstárjegy időszaki hozama 3,06%. A befektetési periódus értéke: (31-
25+31+30+30)/365=0,266 A három évesítési módszerrel kapott hozamot a 4.5 táblázat
tartalmazza.
4.5 Táblázat
Megnevezés Nominális vagy Effektív vagy Kamatintenzitás
lineáris hozam exponenciális hozam
Képlete
r
= ( 1+ ) −1
rn =
r r e r
ln(
1+
r)
ri =
t
t
Eredmény 3,06%/0,266=11,5% 1,0306 0,266 -1=12,0% ln(1,0306)/0,266=11,3%
Feltétel
Hozamot nem
forgatjuk vissza
Hozamot
visszaforgatjuk
17
Folytonosan realizáljuk
az időarányos éves
hozamot.
Az időszaki hozam változatlan marad az év folyamán.
4.1.2.3. Az átlagos hozam kiszámítása
A 4.1.1.1. alfejezetben már láttuk, hogy igazából csak a kamatintenzitás segítségével
tudjuk meghatározni a befektetéseink átlagos hozamát. Most azt a problémát vizsgáljuk
meg, hogyha egy időszak alatt különböző befektetésekben volt a pénzünk, akkor hogyan
tudjuk kiszámolni ezen befektetések átlagos hozamát és azok szóródását.
4.8 Példa
2000. október 3-án vásároltunk 100 millió forintért 92,41%-os árfolyamon D010808
diszkont kincstárjegyet. Ezt a kincstárjegyet a következő év március 13-án eladtuk
95,09%-os árfolyamon, és vettünk D020123 diszkont kincstárjegyet 92,22%-os
árfolyamon. Ezt a kincstárjegyet lejáratig megtartottuk, majd vettünk D021227
kincstárjegyet 93,24%-ért, amit szintén lejáratig tartottunk. Ekkor 92,85%-os áron
vettünk D030611 kincstárjegyet, amit szintén lejáratig tartottuk. Mekkora volt a
befektetésen elért átlagos hozam?
Az egyes tranzakciókat a 4.6-os táblázat mutatja:
4.6 Táblázat
Vétel dátuma Vételi árfolyam Eladás Eladási árfolyam
dátuma
2000.10.03 92,41% 2001.03.13 95,09%
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
18
2001.03.13 92,22% 2002.01.23 100%
2002.01.23 93,24% 2002.12.27 100%
2002.12.27 92,85% 2003.06.11 100%
Először számoljuk ki a példát a 4.6 Példában már ismertetett módszerrel. Kiszámoljuk,
hogy pénzünk mekkora összegre növekedett 2003. június 11-ig, majd behelyettesítünk a
4.28-as képletbe.
95,
09%
100%
100%
100%
(4.32) FV = 100 * * * * = 128,
89
92,
41%
92,
22%
93,
24%
92,
85%
Számoljuk ki most a befektetés időtartamát! t = (31 – 3 + 30 + 31 + 31 + 28 + 31 + 30 +
31 + 11)/365 + 2 = 2,69 év
128,
89
(4.33)
= −1
= 9,
89%
100
t IRR
Ha az effektív kamatszámítás képletét alkalmazzuk, akkor 9,89%-os éves hozam adódik.
Használjuk most a folytonos kamatszámítás képletét! Ekkor a következő éves hozamot
kapjuk.
⎛128,
89 ⎞
ln⎜
⎟
100
(4.34) r
⎝ ⎠
i =
= 9,
44%
2,
69
Ezt a 9,44%-os hozamot az egyes periódusok hozamainak átlagaként is megkaphatjuk.
Jelölje tj a j-dik befektetési periódus időtartamát, rj – a j-dik periódusban elért folytonos
hozamot, T a teljes befektetési időtartam hosszát, Pj 0 – a j-dik periódus kezdeti befektetett
összeget, Pj 1 – a j-dik periódus végi befektetett összeget, n – a befektetési periódusok
teljes számát. Használjuk ki azt, hogy a periódus végi összeg, megegyezik a következő
periódus kezdeti befektetett összeggel.
1
1 1
1
1
1
1
⎛ P ⎞ ⎛ P P P ⎞ ⎛ P ⎞ ⎛ P ⎞ ⎛
n
n
P ⎞
1 2
1
2
n
ln
⎜
+
P ⎟ ln
⎜ * ...... *
+
P P P ⎟ ln
⎜
n P ⎟ ln
⎜
P ⎟ ... ln
⎜
P ⎟
0
0 0
0
0
0
0
n
(4.35) r
⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
i = =
=
T
T
T
Ha átrendezzük a kamatintenzitás képletét, kapjuk:
(4.36)
⎛ P ⎞ 1 ln
⎜
P ⎟
0 ⎛ P ⎞ 1
ri =
⎝ ⎠
⇒ ln = ri
* t
t ⎜
P ⎟
⎝ 0 ⎠
Behelyettesítve a 4.35-ös képletbe a 4.36-os képletet, kapjuk:
r *
t1
+ r2
* t2
+ ... rn
* tn
ri
=
=
T
n t j
rj
* =
T
(4.37) ∑ ∑
4. Fejezet – Portólió elmélet
n
1 w j * rj
J = 1 i=
1