Portfólióelmélet

4.1. Táblázat
Megnevezés Nominális vagy
lineáris hozam
Képlete
rn ⎛ P ⎞ 1 1
⎜ −1
∗
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
Effektív vagy
exponenciális hozam
Kamatintenzitás
=
1
⎛ P ⎞t
1 r
⎜
⎟
e = −1
⎝ P0
⎠
⎛ P ⎞ 1 1
ri = ln
⎜ ∗
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
Feltételezés Az eredeti összeget A befektetés végén A hozam
(P0) fektetjük be újra. maradt összeget (P1) időarányos részét
fektetjük be újra. folyamatosan
realizáljuk.
Alkalmazási Olyan bankbetét, Minden olyan
Olyan likvid
köre
melynek kamata a befektetés, melynek befektetéseknél,
folyószámlára kerül. hozama meghatározott ahol a hozamot
időszakonként bármikor realizálni
Ahol,
tőkésedik.
lehet.
P1 – a részvény eladási ára,
P0 – a részvény vételi ára,
r - éves hozamráta,
t – a befektetési periódus években.
A nominális hozamszámítás gyakorlatilag egy egyenes arányosság. Ha t időszak alatt a
hozam r, akkor egy év alatt mekkora lenne a hozam. Képlettel kifejezve:
(4.6)
P1
−1
r r r P ⎛ P ⎞
n
n 0
1 1
= ⇒ = ⇒ rn
= 1 ∗
1 t 1 t ⎜ −
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
A nominális hozamszámítás esetében feltételezzük, hogy mindig a kezdeti tőkeösszeget
fektetik be újra, és mindig az időszaki hozamot realizálják. Ha a hozamráta pozitív, a
hozamot elfogyasztják, ha a hozamráta negatív, a befektetendő tőkét újra feltöltik az
eredeti összegre. Ez a feltételezés általában az olyan bankbetétekre jellemző, ahol a
kamat automatikusan a folyószámlára kerül, vagy a befektető szándéka az, hogy a
befektetés hozamát felélje.
Ha az időszaki hozam tőkésedik, akkor alkalmazzuk a második képletet. Az effektív
hozamrátát a kamatos kamatszámítás képletéből kapjuk.
(4.7)
t
t P1
P0
∗ ( 1+
r)
= P1
⇒ ( 1+
r)
=
P0
A 4.7 képlet nem más, mint a jövőérték-számítás képlete. Kihasználva azt, hogy P1/P0
hányados mindig pozitív, a következőket írhatjuk:
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
5
6
4. Fejezet – Portólió elmélet
1
P ⎛
1 P ⎞t
1
(4.8) 1+
r = t ⇒ r =
⎜
⎟ −1
P0
⎝ P0
⎠
A fenti hozamszámítást minden esetben alkalmazhatjuk, ha feltételezzük, hogy a
befektető a befektetés hozamát újra be szándékozik fektetni, és egy év alatt
időszakonként ugyanazt az időszaki hozamot realizálja a befektető.
A kamatintenzitás esetében feltételezzük, hogy a hozam időarányos részét végtelen
gyakorisággal realizálja a befektető, és fekteti be újra. A képlet az effektív kamatszámítás
képletéből lehet levezetni.
Tételezzük fel, hogy egy befektetőnek 100 forintja van, és több bank ajánlata közül kell
választania. A bankbetét kamata mindenhol 10%, de az A banknál évente egyszer, B
banknál félévente, C banknál negyedévente, D banknál havonta írják jóvá a
betétszámláján a kamat időarányos részét. Ha feltételezzük, hogy a befektető 1 évre
hagyja a bankban a pénzét és a kamatláb az év folyamán nem változik. A számítást a 4.2
Táblázat tartalmazza.
4.2 Táblázat
Gyakoriság Szám Bank Képlet Helyettesítés Eredmény Hozam
1
1
Évente 1 A bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,00 10,00%
P 0 ∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗ ⎜1+
⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠
2
2
Félévente 2 B bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,25 10,25%
P 0 ∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗⎜1
+ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
4
4
Negyedévent 4 C bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,38 10,38%
P
e
0 ∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗⎜1
+ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
12
12
Havonta 12 D bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,47 10,47%
P0
∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗⎜1
+ ⎟
⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠
Végtelen ∞ ? ? ? ?
A 4.2 Táblázatból látható, hogy a gyakoriság növekedésével nő a hozam. Azonban az is
látszik, hogy a hozamnövekedés nem lineáris, hanem erősen degresszív. Ha évről félévre
változik a gyakoriság, a hozam növekedése 25 bázispont2. A következő duplázódásnál (2ról
4-re) a növekedés már csak 13 bázispont (10,25%-ról 10,38%-ra). A havi gyakoriság
háromszorosa a negyedévinek, mégis a hozam növekedése csak 9 bázispont.
Van-e a gyakoriság növekedésével a hozamnak határértéke. A fenti táblázatból már
sejthető a válasz, hogy van.
(4.9)
⎛ r ⎞
lim ⎜1+
⎟
n→∞
⎝ n ⎠
r
= e
Az „e” a természetes szám. Közelítő értéke: 2,72.
2 1 bázispont = 1 század százalék.
n