Portfólióelmélet

(4.93)
w
A
=
1+
w0
=
E
0
( 1−
β )
α
2
s () e
( r ) − r
m
w
f
A
s
* w
2
m
0
Ahol, α - az aktív portfólió abnormális hozama,
E(rm) – a piaci index várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
s 2 (e) – az aktív portfólió vállalatspecifikus varianciája,
s 2 m – a piaci index varianciája
wA – az aktív portfólió súlya a teljes kockázatos portfólión belül.
Az aktív portfólió súlyaránya annál nagyobb lesz, minél nagyobb abnormális hozamot
tudunk elérni, minél kisebb vállalatspecifikus variancia felvállalásával. A w0 súly
nevezője a piaci index Sharpe-mutatója. Az aktív portfólió súlya attól függ, mennyivel
tud attraktívabb lenni az aktív portfólió a piaci indexhez képest. A Treynor-Black modell
működését a 4.17-es példa adataival a 4.10 ábra szemlélteti.
Az ábrán bejelöltük az A és B értékpapírokat, valamint a tőkepiaci egyenest. A tőkepiaci
egyenesen M-el jelöltük a piaci indexet. Az ábrán az A és B portfóliót összekötő görbe a
két papírból képzett lehetséges portfóliókat jelenti. A P portfólió az az A és B papírból
képzett portfólió, amelynek maximális a Sharpe-mutatója. Látható, hogy a P portfólió
sem hatékony portfólió, mivel bőven a tőkepiaci egyenes alatt található. Ha azonban a P
portfóliót kombináljuk a
piaci portfólióval, az M és a
P portfólió közötti vonalra
kerülhetünk, amelynek egy
kis része már a tőkepiaci
egyenes felett van. Keressük
azt a pontot ezen görbén,
aminek maximális a Sharpemutatója
(ezt P’-vel
jelöltuk).
Először kiszámoljuk az
aktív portfólión belüli
súlyokat, majd ezen súlyok
alapján meghatározzuk az
aktív portfólió alfáját,
bétáját és vállalatspecifikus
varianciáját. Az aktív
portfólió alfája és bétája az
4.10 ábra
Várható
hozam
40%
30%
20%
10%
r f
A Treynor-Black modell
P'
M
P
55
10% 20% 30% 40% 50% 60%
Szórás
A
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
B
56
alkotóelemek alfáinak, illetve bétáinak súlyozott átlaga lesz. A portfólió
vállalatspecifikus varianciájának kiszámításakor azzal a feltételezéssel élünk, hogy az
egyes elemek vállalatspecifikus elemei egymással és a piaci kockázattal szemben is
korrelálatlanok. A portfólió vállalatspecifikus szórását akkor az alábbi képlettel lehet
kiszámítani:
n
∑
i=
1
2
2 2
(4.94) s ( ep
) = wi
* s ( ei
)
Ahol, wi – az i-dik értékpapír portfóliósúlya,
s 2 (ep) – a portfólió vállalatspecifikus varianciája,
s 2 (ei) – az i-dik értékpapír vállalatspecifikus varianciája,
n – a portfólióban lévő papírok száma.
A számításokat a 4.14-es táblázat tartalmazza.
4.14 Táblázat
Részvény Alfa Tapasztalati
béta
4. Fejezet – Portólió elmélet
Vállalatspec
. szórás
alfa/válspec
szórásnégyzet
Súly Alfa Béta Vállspec.
szórásnégyzet
A 3% 0,7 35% 0,245 56,3% 1,7% 0,39 3,9%
B 4% 1,2 46% 0,190 43,7% 1,8% 0,53 4,0%
0,435 100% 3,4% 0,92 7,9%
A vállalatspecifikus szórást az előző fejezetben már kiszámoltuk. Az ötödik oszlopban az
alfát osztottuk a vállalatspecifikus szórásnégyzettel. Ez az A részvény esetében
0,03/0,35^2=0,245; a B részvény esetben 0,04/0,46^2=0,190. A két szám arányában
képezzük az aktív portfólió súlyait. A két hányadost először összeadjuk –
0,245+0,190=0,435, majd képezzük az A részvény súlyát, ami 0,245/0,435=56,3% és a B
részvény súlyát, ami 0,190/0,435=43,7% lesz.
Ezután kiszámoljuk az aktív portfólió alfáját, bétáját és vállalatspecifikus szórását!
(4.95)
α =
p
β =
s
2
p
n
∑
i=
1
n
∑
i=
1
w * α = 0,
563*
3%
+ 0,
437 * 4%
= 3,
4%
i
i
n
2 2
( ep
) = ∑ wi
* s ( ei
)
i=
1
i
w * β = 0,
563*
0,
70 + 0,
437 * 1,
20
i
2 2
2
= 0,
563 * 0,
35 + 0,
437 * 0,
46
=
0,
92
2
= 7,
9%
Most helyettesítsünk be a 4.93-as képletekbe, hogy megkapjuk az aktív portfólió súlyát a
maximális Sharpe mutatójú piaci indexszel kombinált portfólióban.