Portfólióelmélet

(4.88)
s
( eA
) =
2
sA
−
2 2
A * sm
= 0,
39
( e ) =
2 2
0,
55 − 0,
30 = 0,
46
s β
B
2
− 0,
18
2
= 0,
35
A vállalatspecifikus és a piaci szórás összevetéséből látható, hogy az A papír
kockázatának varianciáját jobban magyarázzák vállalatspecifikus, egyedi tényezők, mint
a B értékpapírét.
A kovariancia kiszámításához behelyettesítünk a 4.82-es képletbe. A korreláció
kiszámításához a kovarianciát osztjuk a két részvény teljes szórásával.
(4.89)
( rA;
rB
) = β A *
Cov(
r ; r )
Cov β * s
R
AB
=
A
A
s * s
B
B
B
2
m
2
= 0,
70*
1,
20*
0,
25 = 5,
25%
0,
0525
= =
0,
39*
0,
55
0,
24
A két értékpapír közötti alacsony korreláció már azt jelzi, hogy érdemes a két papírból
portfóliót képezni.
Most az optimális Sharpe-mutatójú portfóliót keressük. Az A értékpapír súlyát a 4.64-es
képlet átalakításával nyerjük.
(4.90)
w
Max
A
=
2
[ E(
rA
) − rf
] * sB
− [ E(
rB
) − rf
] * Cov(
rA;
rB
)
2
2
[ E(
r ) − r ] * s + [ E(
r ) − r ] * s − [ E(
r ) + E(
r ) − 2*
r ] * Cov(
r ; r )
A
f
B
Ahol, E(rA) – az A értékpapír várható hozama,
E(rB) – a B értékpapír várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
sA – az A értékpapír szórása,
sB – a B értékpapír szórása,
Cov(rA;rB) – az A és a B értékpapír közötti kovariancia,
wA Max – a maximális Sharpe mutatójú portfólióban A értékpapír súlya.
Mivel minden adat rendelkezésünkre áll, helyettesítsünk be a 4.90-es képletbe!
(4.91)
Max
wA
=
2
( 26,
4%
− 8%
) * 55%
− ( 38,
4%
− 8%
) * 5,
25%
2
2
( 26,
4%
− 8%
) * 55%
+ ( 38,
4%
− 8%
) * 39%
− ( 26,
4%
+ 38,
4%
− 2*
8%
)
B
f
A
A
B
53
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
f
* 5,
25
A
B
= 51,
54%
Ha az A részvény súlya 51,54%, akkor B részvény súlya 1-51,54%=48,46%
Helyettesítsünk be a 4.49-es képletekbe, hogy megkapjuk a portfólió várható hozamát és
szórását!
54
(4.92)
E
s
( r )
p
p
=
= 0,
5154 * 26,
4%
+
2 2
0,
5154 * 39%
+
4. Fejezet – Portólió elmélet
0,
4846 * 38,
4%
= 32,
22%
2
0,
4846 * 55%
+
2 * 0,
5154 * 0,
4846 * 5,
25%
= 37,
06%
A portfólió Sharpe mutatója (32,22%-8%)/37,06%=0,65, ami tényleg jobb, mint akár az
A, akár a B részvény Sharpe mutatója. De vajon jobb-e, mint a piaci indexé. A piaci
index Sharpe mutatója (30%-8%)/25%=0,88, ami jobb, mint az A és B részvényből
képzett legjobb portfólióé. Piaci portfólióba tehát annak ellenére érdemesebb fektetni a
pénzt, hogy mind az A, mind a B részvény alulértékelt.
4.5.1. Treynor-Black modell
Az előző feladatból azt láttuk, hogy a piaci index jobb, mint a két részvényből képzett
maximális Sharpe-mutatójú portfólió. De mi lenne, ha a két indexből képzett
portfóliónkat kombinálnánk a piaci indexével. Nem kerülhetnénk-e jobb helyzetbe? Erre
a választ a Treynor-Black modell adja meg, ami az indexmodell egy alkalmazása. A
modell lényege a következő:
1. Néhány értékpapírról feltételezem, hogy nem helyesen árazottak. Ezekről a
papírokról igyekszem a legtöbb információt beszerezni és meghatározni
karakterisztikus egyenesük jövőbeni képét. A vizsgálaton kívüli papírokról
felteszem, hogy helyesen árazottak.
2. Becslést adok a piaci indexportfólió várható hozamára és szórására, továbbá
megtudom az éves lejáratú állampapír hozamát.
3. Az általam elemzett értékpapírokból létrehozok egy úgynevezett aktív portfóliót.
Az aktív portfóliónak előnyei és hátrányai is vannak az úgynevezett piaci
portfólióval szemben. Egyrészt a papírok tartásával realizálni tudom a papírok
abnormális hozamát, azaz az alfáját. Azonban, mivel piaci indexbeli súlyuknál
nagyobb mértékben tartom ezeket a papírokat, a vállalatspecifikus kockázatukat
nem szüntetem meg teljesen, az terhelni fogja a portfóliómat. Akkor járok el
helyesen, ha egy egységnyi vállalatspecifikus varianciára a legnagyobb abnormális
hozamot érem el. Ezért az aktív portfólión belül a súlyokat az α/s 2 (e) hányados
szerint fogom képezni.
4. Ha megfelelő súlyok szerint képeztem az aktív portfóliót, akkor meghatározom az
aktív portfólió alfáját, tapasztalati bétáját és az aktív portfólió vállalatspecifikus
varianciáját. A Treynor-Black modell is fenntartja az indexmodell feltételezéseit a
vállalatspecifikus szórások, továbbá a piaci szórás korrelálatlanságáról.
5. Egy képletpár segítségével meghatározom az aktív portfólió súlyát.