Portfólióelmélet

4.5. Indexmodell
A CAPM-modellt a portfólióbefektetők közvetlenül viszonylag ritkán használják, annak
ellenére, hogy adatigénye viszonylag kevés. Ennek okai a következők:
1. A CAPM feltételezései a valóságban nem teljesülnek. Különösen a hatékony
piacok feltételezése irreális. Az információk nem azonnal jutnak el minden
befektetőhöz, az információkat a befektetők eltérően értékelik, és a piachoz való
hozzáférésük is különböző lehet. Ezért az egyes értékpapíroknak piaci
kockázatukhoz képest eltérő várható hozamuk is lehet.
2. A tőzsdeindexek nem képezik le a piacon eszközölhető összes befektetést, sőt a
portfóliókezelők az alul- és túlértékelt részvényekre vadászva tudatosan is eltérnek
a tőzsdeindexben levő portfólióarányoktól. Ebből következik, hogy nem tudják
tökéletesen megtisztítani portfóliójukat az egyedi kockázattól, amit figyelembe kell
venni.
3. A béták becslése a béták számításának eredeti képletével (4.78) statisztikai
problémákat is felvet. A piaci index és az egyes értékpapírok hozamai ugyanis
idősorok, a kovariancia számítás azonban egymástól független mintavételek
eredményeinek összehasonlítására dolgozták ki. Ha a piacok hatékonyak, az egyes
napok hozamai valóban egymástól függetlenül alakulnak, ha azonban nem azok,
akkor például tendenciaszerűen alakulhatnak a pozitív és negatív hozamok, ahogy
a jó, illetve a rossz hírek elterjednek a befektetők között. Ha nem tételezünk fel
hatékony piacokat, akkor a béták becslésére más módszert alkalmazhatunk, aminek
statisztikai szignifikanciája is jobban ellenőrizhető.
A fenti problémák orvoslására fejlesztette ki Sharpe az indexmodellt, mint a CAPM
gyakorlati alkalmazását. Az indexmodell fő statisztikai eszköze az egytényezős
regressziószámítás, amit az adott értékpapír kockázati prémiuma, mint függő változó, és a
piaci index kockázati prémiuma, mint független változó között végeznek el.
Az indexmodellben egy adott értékpapír várható hozamát az alábbi egyenlettel lehet
kifejezni:
(4.80) ( r ) r = + E(
r )
i
f
i
[ m − rf
] i ei
E − α * β +
Ahol, E(ri) – az i-dik értékpapír várható hozama,
E(rm) – a piaci portfólió várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
βi – az i-dik értékpapír bétája,
αi – az i-dik értékpapír CAPM által nem magyarázott, abnormális hozama,
ei – az i-dik értékpapír hozamának az a része, amit véletlen tényezők magyaráznak.
A CAPM-hez képest az alfa és az e paraméter az új. Ha egy olyan információ van a
birtokunkban, amiről úgy gondoljuk, hogy a piac még nem vette figyelembe, a papír
hozama eltérhet a CAPM által előrejelzettől. Ez az abnormális hozam, hiszen hatékony
47
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
48
piac esetén nem létzezne. Az e paraméter pedig arra utal, hogy a jövőben a hozamot
különböző, előre nem látható tényezők hatása is módosíthatja.
A 4.3. fejezetben már láttuk, hogy egy értékpapír kockázata egyedi és piaci kockázatra
bomlik. Az egyedi kockázat a diverzifikációval megszüntethető, míg a piaci kockázat
nem. Az egyedi kockázat a vállalat egyedi teljesítményétől függ, míg a piaci kockázat a
vállalat teljesítményének és a piac teljesítményének hosszú távú kapcsolatától függ, amit
a bétával mérünk. Tételezzük fel, hogy az egyedi kockázat és a piaci kockázat egymástól
független, azaz statisztikai terminológiával élve, legyen a kovarianciájuk zérus. Egy papír
szórása ekkor a következőképpen írható fel:
(4.81)
s = β s + s
4. Fejezet – Portólió elmélet
i
2 2 2
i * m e
Ahol, E(ri) – az i-dik értékpapír várható hozama,
E(rm) – a piaci portfólió várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
si – az i-dik értékpapír szórása,
βi – az i-dik értékpapír bétája,
sm – a piaci portfólió szórása.
Most nézzük ugyanezen egyenleteket egy portfólió esetében! Ha feltételezzük, hogy a
portfólióban lévő értékpapírok egyedi kockázatai közötti kovariancia is zérus, továbbá a
papírok egyedi és piaci kockázatai között sincs kapcsolat, akkor két értékpapír hozamai
közötti kovariancia felírható bétáik és a piaci portfólió varianciájának szorzataként.
Képlettel:
Cov ri
; rj
= βi
* β j * sm
(4.82) ( ) 2
Egy portfólió hozama és szórása az alábbiakban határozható meg:
E
n
n
n
( rp
) − rf
= ∑wi* αi
+ [ E(
rm
− rf
) ] * ∑wi* βi
+ ∑
i=
1 i=
1 i=
1
w * e
(4.83)
n
2
n
2 ⎛ ⎞
2 2
s p = sm
* ⎜∑
βi
⎟ + ∑ wi
* s(
ei
)
⎝ i=
1 ⎠ i=
1
A 4.83-as táblázatból látszik, hogy az indexmodell alkalmazása esetében hány paramétert
kell megbecsülni egy n-elemből álló portfólió esetén:
1. 1 darab piaci portfólió várható hozamot,
2. 1 darab piaci portfólió szórást,
3. n darab alfát,
4. n darab bétát,
5. n darab egyedi szórást.
i
i