Portfólióelmélet

4.12 Táblázat
Kimenet Hozam Portfólió
A részvény B részvény
Átlag 20 18 19,2
Szórás 7,75 3,87 3,10
Relatív
szórás
0,39 0,22 0,16
Látható, hogy az A és B részvény kizárólagos birtoklása helyett érdemes a két
részvényből álló portfólióba fektetni a pénzünket, mivel egységnyi várható hozamra
ekkor esik a legkisebb kockázat.
Tudjuk-e tovább csökkenteni a kockázatot a portfóliósúlyok változtatásával? A válasz az,
hogy igen. Ehhez nem kell mást tennünk, mint az egyik portfóliósúly szerint deriválni a
portfólió szórásának képletét, és a derivatívot egyenlővé téve zérussal, átrendezni a
képletet a portfóliósúlyra. A képlet levezetésénél kihasználjuk azt, hogy wB = 1- wA,
továbbá ahol a szórásnak minimuma van, ott a szórásnégyzetnek is minimuma van.
Képlettel:
(4.64)
ds
dw
2*
w
w
A
2
p
A
w
*
Min
A
=
2 2
2 2
( w * s + ( 1−
w ) * s + 2*
w * ( 1−
w ) * Cov(
r ; r ) ) '
A
A
A
B
2 2
2
A * s A − 2*
sB
+ 2*
wA
* sB
+ 2*
Cov(
rA;
rB
) − 4*
wA
* Cov(
rA;
rB
)
2 2
2
2 2
( s A + sB
− 2*
Cov(
rA;
rB
) ) = sB
− Cov(
rA
; rB
)
2
sB
− Cov(
rA;
rB
)
= 2 2
s + s − 2*
Cov(
r ; r )
A
B
A
B
Számoljuk ki, milyen súlyarányok mellett lesz az adott portfóliónk minimális szórású.
Helyettesítsünk be a 4.64 képletbe:
Min 15 + 30
(4.65) w A =
= 0,
333
60 + 15 + 2 * 30
Ha az A részvény súlya 1/3, a B részvény súlya 2/3, a portfólió szórása minimális.
Nézzük meg, hogy mekkora a minimális szórás értéke.
2
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 1 2
60 60 60
(4.66) s p = ⎜ ⎟ * 60 + ⎜ ⎟ * 15 + 2*
* * ( − 30)
= + − 2*
= 0
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3
9 9 9
Látható, hogy amennyiben optimális súlyarányban kombináljuk a két részvényt,
portfóliónk szórása zérus lesz, azaz egy kockázatmentes befektetést kapunk. Azonban
hozamot kapni fogunk, mégpedig várhatóan 1/3*20+2/3*18=18,67%-ot.
Kételemű portfólióból csak akkor tudunk kockázatmentes portfóliót létrehozni, ha a
köztük lévő korrelációs együttható minimális, azaz éppen -1-el egyenlő. A 4.5 ábra az A
és B részvényekből álló portfóliókat tartalmaz, csak a két részvény közötti korrelációs
együttható különbözik. Az egyes vonalak az azonos korrelációs együtthatójú
részvényekből képzett portfóliókat kötik össze. Az indulópont minden esetben a B
A
A
A
B
= 0
35
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
=
36
értékpapír hozama és szórása (18%; 3,87%), a végpont pedig az A értékpapír hozama és
szórása (20%; 7,75%). 10%-onként növelve az A súlyát kapjuk a különböző korrelációs
együtthatók melletti görbéket. Látható, hogy 1 korrelációs együttható mellett, a
portfóliógörbe egy egyenes. Ekkor a portfólió létrehozásával nem tudjuk csökkenteni a
kockázatot. Minél kisebb azonban a korrelációs együttható nagysága, annál hasasabb a
görbe. Azaz kezdetben emelkedik a hozam, miközben a szórás is csökken. A minimális
szórás után már a hozam is, és a kockázat is növekszik. -1-es korrelációs együttható
esetén a szórás zérusra csökken. Sajnos ez az ábrán nem látszik pontosan, mivel az 1/3-os
arány a 30% és a 40% közé esik.
Hozam
4.5 Ábra
Ha a korrelációs együttható értéke -1, akkor a 4.64-es képlet leegyszerűsödik.
(4.67)
20
19,8
19,6
19,4
19,2
19
18,8
18,6
18,4
18,2
s
4. Fejezet – Portólió elmélet
2
Min sB
− Cov(
rA;
rB
)
A = 2 2
sA
+ sB
− 2 * Cov(
rA;
rB
)
B * ( sB
+ sA
) sB
= 2 ( s + s ) sA
+ sB
w
Kételemű portfólió hozama és szórása különböző
korrelációs együtthatók és portfóliósúlyok mellett
18
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
A
B
Szórás
-1 -0,5 0 0,5 1
s − sA
* sB
*
=
s + − 2*
s *
2
A
2
B
2
sB
A
( −1)
s * ( −1)
Behelyettesítve a 4.67-es képletbe, ugyanazt az eredményt kapjuk, mint korábban.
B
=