Portfólióelmélet

1. n darab várható hozamra,
2. n darab várható szórásra,
3. n*(n-1)/2 páronkénti várható kovarianciára.
Ez mondjuk egy 10 elemből álló portfólió esetében 10 + 10 + 10*9/2 = 65 darab adat
megbecslését jelenti.
Láttuk, hogy az előző esetben a portfólió relatív szórása kisebb volt, mint a Richter-é,
azaz nem volt érdemes a pénzünket a portfólióba fektetni. Azonban egy portfólió
attraktivitása (relatív szórásának minimalizálása) három módszerrel is javítható.
1. Olyan papírok portfólióba válogatásával, amelyek jövőben várható páronkénti
kovariánciái (korrelációi) minél kisebbek,
2. a portfóliósúlyok változtatásával,
3. a portfólióban szereplő értékpapírok számának növelésével.
A fenti módszerek bemutatására nézzünk egy konstruált példát.
4.13 Példa
Egy kételemű portfólió tagjainak várható évi hozamát és szórását különböző
kimenetek esetében az alábbi táblázat tartalmazza:
Kimenet Való-
Hozam
színűség A részvény B részvény
I 0,3 10 23
II 0,4 20 18
III 0,3 30 13
Portfóliósúlyok 60% 40%
Számolja ki a kételemű portfólió várható hozamát, szórását és relatív szórását!
A feladat megoldásához ki kell számolnunk az A és B részvény várható hozamát,
szórását és a két értékpapír közötti kovarianciát, majd be kell helyettesítenünk a 4.49-es
képletekbe.
Az A és B részvény várható hozama a kimenetek hozamának valószínűségekkel súlyozott
számtani átlaga lesz, ahogy a 4.1.4-es alfejezetben már láttuk.
E(
rA
) = 0,
3*
10 + 0,
4 * 20 + 0,
3*
30 = 3 + 8 + 9 = 20
(4.57)
E(
rB
) = 0,
3*
23 + 0,
4 * 18 + 0,
3*
13 = 6,
9 + 7,
2 + 3,
9 = 18
A kimenetek szórása az eltérések valószínűségekkel súlyozott négyzetes átlaga lesz.
Képlettel:
n
∑
i=
1
2
(4.58) s = p * [ r − E()
r ]
Ahol, s – egy értékpapír várható szórása,
pi – az i-dik kimenet valószínűsége,
E(r) – az értékpapír várható hozama,
n – a kimenetek száma.
i
i
33
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
34
Behelyettesítve a 4.58-as képletbe, kapjuk:
(4.59)
0,
3
4. Fejezet – Portólió elmélet
s
A
=
*
2
2
2
( 10 − 20)
+ 0,
4*
( 20 − 20)
+ 0,
3*
( 30 −10)
= 60 =
2
2
2
( 23 −18)
+ 0,
4*
( 18 −18)
+ 0,
3*
( 13*
18)
= 15 = 3,
87
7,
75
sB
= 0,
3*
Mint korábban már említettük, két változó közötti lineáris kapcsolat szorosságának
mérésére inkább a korrelációt használják, mint a kovarianciát, mivel ez a kovariancia
értékét egy -1; és 1 közötti értékre transzformálja, így a mutatók összehasonlíthatók
lesznek egymással.
Számoljuk ki a két értékpapír hozamai közötti korrelációt!
n
A;
∑
B i=
1
A
B
[ r − E(
r ) ] * r − E(
r )
pi
* i A i
Cov(
r r )
(4.60) RAB
= =
sA
* sB
sA
* sB
Ahol, RAB – két értékpapír hozama közötti várható korreláció,
pi – az i-dik kimenet valószínűsége,
E(rA) – az A értékpapír várható hozama,
E(rB) – a B értékpapír várható hozama,
ri A – az A értékpapír hozama az i-dik kimenet esetén,
ri B – a B értékpapír hozama az i-dik kimenet esetén,
sA - az A értékpapír hozamainak szórása,
sB – a B értékpapír hozamainak szórása,
n – a kimenetek száma.
Helyettesítsünk be a 4.60-as képletbe!
(4.61)
[ ]
( 10 − 20)
* ( 23 −18)
+ 0,
4 * ( 20 − 20)
* ( 18 −18)
+ 0,
3*
( 30 − 20)
* ( 13 −18)
0,
3*
− 30
RAB
=
= = −1
60 * 15
900
A két értékpapír hozama tehát pontosan ellentétesen mozog. Most helyettesítsünk be a
4.49-es képletekbe!
(4.62) E ( rp
) = 0 , 6 * 20 + 0,
4 * 18 = 19,
2
A portfólió várható hozama tehát 19,2%.
2
2
(4.63) s = 0,
6 * 60 + 0,
4 * 15 + 2 * 0,
6 * 0,
4 * ( − 30)
= 9,
6 = 3,
10
p
A portfólió várható szórása 3,10%, ami alacsonyabb az A és B részvény szórásánál is.
Ennek oka az, hogy a portfólió szórásának harmadik összetevője a korreláció negatív
értéke miatt csökkenti a két szórás súlyozott átlagát.
Nem véletlen, hogy a portfólió relatív szórása is messze kedvezőbb, mint akár az A, akár
a B részvény relatív szórása. A három befektetés jellemző adatait a 4.12 táblázat mutatja.
B