Portfólióelmélet

transzponáltja, Cov – a páronkénti kovarianciák mátrixa. Ekkor a portfólió szórását az
alábbi képlettel lehet leírni:
(4.51) s p = w'*
Cov * w
A portfólió szórásnégyzetét grafikusan is ábrázolhatjuk, amit a 4.4 ábra mutat. A
kovarianciamátrixnak ugyanannyi oszlopa és sora van. Az egyes cellákban a páronkénti
kovarianciák találhatók megszorozva a két értékpapír portfóliósúlyával. A mátrix
fődiagonálisában az egyes értékpapírok szórásnégyzetei találhatók az adott értékpapír
portfóliósúly-négyzetével szorozva. Az ábrából vastag vonal keríti körbe a kételemű
portfólió szórásnégyzetének az elemeit. Az ábrából látható, hogy a kételemű portfólió
szórásnégyzete a két értékpapír szórásnégyzetének a portfóliósúlyok négyzetével vett
szórása, továbbá kétszer a két papír hozamai közötti kovariancia megszorozva a két
portfóliósúllyal. Képlettel:
2 2 2 2
(4.52) s p = w1
* s1
+ w2
* s2
+ 2 * w1
* w2
* Cov(
r1;
r2
)
A kovariancia helyett gyakrabban használják két változó közötti lineáris kapcsolat
mérésére a korrelációt, mivel ennek értéke -1 és 1 között változik, azaz
összehasonlíthatóvá teszi a különböző változók közötti lineáris kapcsolat szorosságát. A
korreláció nem más, mint a kovariancia és a két változó szórásának a hányadosa. Ha a
korrelációt alkalmazzuk, a 4.52-es képlet a következőképpen módosul.
2 2 2 2
(4.53) s p = w1
* s1
+ w2
* s2
+ 2 * w1
* w2
* s1
* s2
* p12
Ahol, sp– a portfólió szórása,
rp – a portfólió hozama,
w1, w2 – az első, illetve a második értékpapír portfóliósúlya,
p12 – a két értékpapír hozama közötti korreláció,
s1, s2 – az első, illetve a második értékpapír szórása.
A 4.49-es és a 4.52-as képlet segítségével számoljuk ki az OTP és a Richter részvényből
álló portfólió hozamát és szórását. Először a portfóliósúlyokat számoljuk ki. A teljes
portfólió értéke 60 mFt + 40 mFt = 100 mFt. Az OTP portfóliósúlya 60 mFt/100 mFt =
0,6, míg a Richteré 40 mFt/100 mFt = 0,4.
Behelyettesítve a 4.49-es képletbe, kapjuk:
(4.54) r p = 0 , 6 * 0,
52%
+ 0,
4 * 0,
56%
= 0,
536%
Az OTP-ből és a Richterből álló portfólió átlagos napi hozama 0,536% volt.
Most számoljuk ki a két értékpapír hozamai közötti kovarianciát, majd a portfólió
szórását. Először a 4.50-es, majd utána a 4.52-es képletbe helyettesítünk be.
(4.55)
31
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
32
1 ⎡(
1,
74%
− 0,
52%
) * ( 1,
63%
− 0,
56%
) + ( − 0,
68%
− 0,
52%
) * ( 0,
49%
− 0,
56%
) ⎤
( OTP; Richter ) = *
0,
70
2
⎢
=
( 0,
50%
0,
52%
) * ( 0,
44%
0,
56%
)
⎥
⎣+
− − −
⎦
r r Cov
A kovariancia az Excel KOVAR() függvényével is kiszámítható, aminek két paramétere
van, a két változó értékeinek tartománya.
2
2 2
2
(4.56) = 0,
6 * 1,
21%
+ 0,
4 * 1,
03%
+ 2*
0,
6*
0,
4*
0,
70%
= 1,
07%
s p
Nézzük meg, hogy a portfólió hozama és szórása tényleg ekkora-e. A számításokat a
4.11-es táblázat tartalmazza.
4.11 Táblázat
Dátum OTP Richter 100 Tényleges Számított
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2003.07.28 61,05215 40,65556 101,7077 1,69%
2003.07.29 60,63683 40,85556 101,4924 -0,21%
2003.07.30 60,94139 40,67778 101,6192 0,12%
Átlag 0,53540% 0,53539%
Szórás 1,0168% 1,0170%
A táblázat első oszlopa a dátumokat tartalmazza, a második és a harmadik oszlop pedig a
portfólióelemek értékét az egyes napok végén. A negyedik oszlopban pedig a portfólió
teljes értékét láthatják. A portfólió tényleges hozamai az értékek természetes alapú
logaritmusainak különbségei. Ezek számtani átlaga és szórása található az ötödik oszlop
alján. A hatodik oszlopban látható a képletek alapján kiszámított portfólió átlaga és
szórása. Látható, hogy a két érték között igen kicsi a különbség. A különbséget két
tényező magyarázza:
1. A portfólió két eleme közötti arány az eltérő hozamok hatására az időszakon belül
eltér az induló 60% OTP, 40% Richter aránytól.
2. A 4.1.4. alfejezetben láthattuk, hogy kamatintenzitás esetében a várható
hozamrátához tartozó hozam kisebb, mint a várható hozamok átlaga. Mivel itt is a
hozamráták átlagolásáról van szó (csak a súlyok nem valószínűségek, hanem
értékarányok), az alfejezetben bemutatott eltérés itt is jelentkezik.
Mindazonáltal a 4.10 táblázatból látszik, hogy az eltérés igen kicsi, ezért a gyakorlati
életben nyugodtan alkalmazhatjuk a 4.49-es képletet.
A portfólió relatív szórása 1,07%/0,536%=1,99. Ez az érték ugyan jobb, mint az OTP
relatív szórása, de elmarad a Richterétől. Ha csak az OTP-be, a Richterbe, vagy a fenti
portfólióba fektethetnénk a pénzünket, és feltételezzük, hogy a jövő ugyanolyan lesz,
mint a múlt, a Richter-be fektetnénk.
A gyakorlatban általában nem a portfóliók múltbeli teljesítményének elemzésére
alkalmazzák a 4.49-es képleteket, hanem a portfóliók jövőbeli teljesítményének
modellezésére. A feltalálójáról Markowitz-modellnek is nevezett portfoliómodell
adatigénye meglehetősen magas. Egy n elemű portfólió várható relatív szórásának
becslésére szükségünk van:
4. Fejezet – Portólió elmélet