Portfólióelmélet

Mottó: "Ne rakj minden tojást ugyanabba a kosárba!." (angol közmondás)
„Mi a hosszú távú befektetés? Az elrontott rövid távú.” (spekuláns tapasztalat)
4. Fejezet
Portfólió-elmélet
A fejezet célja, bemutatni:
1. Bemutatni a hozamszámítás fajtáit
2. Ismertetni a portfóliókialakítás néhány passzív módszerét
3. Példán keresztül bemutatni, hogyan lehet a portfólióelmélet tanulságait a vállalati
tőkeköltségvetési döntésekben alkalmazni.
Az előző fejezetekben nem foglalkoztunk a kockázattal, feltételeztük, hogy az általunk
becsült pénzáramoknak nincs alternatívája. A gazdasági változók azonban a jövőben
nemcsak egy értéket vehetnek fel, hanem általunk előre nem látható módon változhatnak,
módosulhatnak. Következésképpen a beruházásunk NPV-je is nem egyetlen értéket vehet
fel, hanem különböző események függvényében szélesebb, keskenyebb sávban
mozoghat. Gazdasági döntéseink szempontjából az a tény, hogy az NPV az általunk
legjobb becsléshez képest milyen mértékben térhet el, egyáltalán nem közömbös. Majd
később látni fogjuk, a várható értéktől való eltérés lesz a befektetés kockázatának
mérőszáma. Mielőtt azonban megnéznénk azt, hogyan lehet kezelni a tőkeköltségvetési
döntésekben a kockázatot, meg kell ismerkednünk a kockázatkezelés alapmódszereivel,
amit pénzügyi befektetések esetében fejlesztettek ki – ennek neve a portfólióelmélet -, és
a finanszírozási döntések módszereivel, amit a következő fejezetben tárgyalunk.
Először meg kell határoznunk, hogy mit értünk portfólió alatt, mivel az utóbbi időben
több – nemcsak pénzügyi – értelemben használják ezt a fogalmat. Minden esetben
különböző dolgok összességét értik alatta.
Pénzügyi értelemben portfólió különböző vagyontárgyak összessége. Ebben a
fejezetben különböző, tőzsdén jegyzett értékpapírok összességét értjük alatta.
A portfólióelmélet arra keresi a választ, hogy milyen módon kombináljuk ezeket az
értékpapírokat, hogy az egyes befektető szempontjából az optimális portfóliót kapjuk.
Mit kell optimalizálni? A befektető három jellemvonás alapján alkot ítéletet egy
befektetésről. Ezek a következők:
1. Hozam – A befektetés mekkora többletpénzáramot eredményez a befektetett
összegen felül. A befektetés fajlagos hozamát úgy számoljuk ki, hogy a hozamot a
befektetett tőke százalékában fejezzük ki. Ezt hozamrátának nevezzük. Nagyon
gyakran a hozamráta helyett is hozamot mondunk, és csak a szövegkörnyezetből
derül ki, hogy abszolút összegről, vagy százalékról van-e szó. Mivel a pénzügyi
befektetéseket a hozamráta alapján hasonlítják elsősorban össze, a könyvben is
gyakran fogjuk a hozamot a hozamráta értelmében használni.
2
2. Likviditás – A befektetést milyen gyorsan és mekkora költséggel lehet készpénzre
váltani. Minél gyorsabban és minél kevesebb költséggel jár ez az átváltás, annál
likvidebb a befektetés. A leglikvidebb befektetés ezért a készpénz.
3. Kockázat - A befektetés hozama bizonytalan is lehet. A hozam az előzetes
elvárásainkhoz képest kevesebb és több is lehet. A pénzügyi befektetések
világában akkor beszélünk kockázatos befektetésről, hogyha a befektetés jövőben
várható hozamai egy meghatározott eloszlás szerint szóródnak, vagy más szóval a
befektetésnek a jövőben több kimenete is lehetséges. Minél nagyobb sávban
szóródhatnak a jövőben várható hozamok, annál nagyobb a kockázat.
A racionális befektető ezen három szempont szerint szeretné optimalizálni a portfólióját.
Minél nagyobb a kockázat és minél kisebb a befektetés likviditása, a befektető annál
nagyobb hozamot vár el.
Mivel a továbbiakban olyan befektetésekről lesz szó, melyeket a tőzsdén forgalmaznak,
így a likviditással, mint szemponttal nem fogunk foglalkozni. Feltételezzük, hogy minden
értékpapír nagyon likvid befektetés, azaz a piaci árán azonnal és költségmentesen tudunk
értékesíteni.
Ha a likviditás, mint befektetési szempont kiesik, csak a kockázat és a hozam viszonyával
kell foglalkoznunk. Ahhoz azonban, hogy e két szempont szerint optimalizálni tudjuk a
portfóliónkat, tudnunk kell, hogy hogyan számszerűsítsük a hozamot és a kockázatot.
4.1. Hozam(ráta)számítás
Az értékpapír-matematikával foglalkozó részben (1. fejezet) már foglalkoztunk az
árfolyamszámítással. Akkor adott elvárt hozam mellett kerestük azt a maximálisan
elfogadható árat, amennyit hajlandóak vagyunk megadni az adott papírért. Ebben a
fejezetben a keresendő paraméter a hozam lesz.
Hozamszámítás esetében keressük azt a kamatlábat, amivel ha befektetjük az
értékpapír piaci árát, az értékpapír várható hozamait kapjuk eredményül a
hozamok esedékességének időpontjában.
Matematikailag kifejezve a fenti definíciót:
(4.1)
P : =
n
∑
i=
1 1
E(
CFi
)
i ( + r)
Ahol, P – az értékpapír piaci ára
E(CFi) – az értékpapír i-dik időpontban várható pénzárama
r - éves hozamráta
n – az értékpapír jövőben várható pénzáramainak darabszáma
A fenti képlet ismeretében a hozamráta jelentését más módon is megfogalmazhatjuk. A
hozamráta az a kamatláb, amellyel diszkontálva az értékpapír jövőbeli pénzáramait, a
pénzáramok jelenértékösszege az értékpapír árfolyamával lesz egyenlő.
4. Fejezet – Portólió elmélet

A fenti képlet a hozamszámítás általános képlete. Ha a P-t átvisszük a másik oldalra és
alkalmazzuk a második fejezetben található jelölést, azaz a P helyébe P0-t írunk, a belső
megtérülési ráta képletét kapjuk.
A belső megtérülési rátáról megemlítettük, hogy van négy veszélyes tulajdonsága,
amikor félrevezető döntéshez vezethet.
1. Szabálytalan pénzáramok esetében nem igaz az elfogadás/elutasítás szabálya. Ez
nem probléma pénzügyi befektetések esetén, mivel a pénzügyi befektetések –
értékpapír vásárlás, betételhelyezés – mindig szabályos pénzáramúak.
2. Abban az esetben, amikor kölcsönösen kizáró beruházásokról van szó, helytelen
lehet az IRR szerint rangsorolni. Ez sem gond, mivel a pénzügyi befektetések nem
egymást kölcsönösen kizáró beruházások. Egyszerre vehetek OTP és MATÁV
részvényt, és helyezhetek el euró betétet.
3. A finanszírozási döntéseknél megfordul az elfogadás/elutasítás esetén az előjel. A
portfóliódöntéseknél mindig befektetésekről döntünk.
4. A számításnál feltételezzük, hogy a befektetési periódus alatti hozamokat is
ugyanolyan hozammal tudjuk újra befektetni, mint a belső megtérülési ráta.
A különböző újrabefektetési ráták problémájával a 4.1.2.2 rész foglalkozik.
Az első három ok miatt a pénzügyi befektetéseknél az NPV és az IRR konzisztens
eredményre vezet. Mivel a pénzügyi befektetések esetében gyakorlat, hogy a hozamrátát
adják meg – gondoljunk csak a bankbetétek kamatlábaira – ezért az összehasonlítás
kedvéért a hozamrátát, és nem az NPV-t szokták alkalmazni.
4.1.1. Tőzsdén forgó értékpapírok hozam(ráta)számítása
Tételezzük fel, hogy rövid lejáratra (1 éven belül) fektetjük be pénzünket részvénybe. A
befektetési időszak alatt hozamunk két részből áll, az értékpapír árfolyamnyereségéből
(vagy –veszteségéből), és az osztalékhozamból.
A befektetési időszak alatt elért hozam és a befektetett pénzösszeg hányadosát
időszaki hozam(rátá)nak nevezzük.
Matematikai jelölésekkel kifejezve:
P1
− P0
+ Div1
P1
Div1
(4.2) r = = −1
+ 1
P0
P0
P0
Ahol,
P1 – a részvény eladási ára,
P0 – a részvény vételi ára,
Div1 – egy részvényre fizetett osztalék nagysága,
r - éves hozamráta,
1 Ezen egyszerű képlet csak akkor helyes, ha az értékpapírt közvetlenül az osztalékfizetés után adjuk el.
Egyéb esetben az általános hozamszámítás képletét (4.1) kell alkalmazni a pontos hozam
meghatározásához.
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
3
4
n – az értékpapír jövőben várható pénzáramainak darabszáma.
A képlet első tagja az árfolyamnyereség mértékét, míg a második az osztalékhozamot
mutatja. A tőzsdén forgó részvények egyik csoportosítási szempontja, hogy jellemzően
magas osztalékhozamot, vagy inkább várhatóan magas árfolyamnyereséget kínálnak-e.
4.1 Példa
Matáv részvényt vettem január 20-án 850 Ft-ért. A részvényt június 10-én adtam el
910 Ft-ért. Ekkor kaptam meg a részvényre fizetett 10 Ft osztalékot is. Mekkora volt a
befektetésen elért időszaki hozam?
Helyettesítsünk be a 4.2-es képletbe.
P1
Div1
910 10
(4.3) r = −1+
= −1+
= 7,
06%
+ 1,
18%
= 8,
24%
P P 850 850
4. Fejezet – Portólió elmélet
0
0
A befektetés hozama 8,24% volt, amiből 7,06% az árfolyamnyereségnek, 1,18% az
osztalékhozamnak köszönhető.
Most tételezzük fel, hogy nincs osztalékfizetés. Ekkor az időszaki hozam képlete a
következő kifejezésre egyszerűsödik.
P1
(4.4) r = −1
P0
4.2 Példa
Richter részvényt vettem 25.000 Ft-ért, eladtam 23.000 Ft-ért. Mekkora a befektetés
időszaka alatt elért hozam?
P1
23000
(4.5) r = −1=
−1=
−8%
P 25000
0
A befektetés időtartama alatt a befektetett összeg 8%-át vesztettem el.
Az időszaki hozamnak van egy nagy hiányossága. Nevezetesen, hogy nem veszi
figyelembe azt, hogy milyen hosszú volt a befektetési periódus. Nem mindegy, hogy
például 5% hozamot egy év, vagy egy nap alatt realizáltam. A különböző befektetések
hozamainak összehasonlításához a hozamot éves szinten szokták megadni. (Hasonlóan a
bankok által követett gyakorlathoz, ahol, ha azt olvassuk, hogy a három hónapos betét
kamatlába 7,25%, ez azt jelenti, hogy az évi 7,25% negyedrészét fogják a három hónap
után a betétre kifizetni.)
4.1.1.1. Az időszaki hozamráta évesítése
Az időszaki hozamok évesítésére három módszer kínálkozik. Mindegyik mögött más
feltételezések állnak és eltérő matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek. Az egyes
módszerek nevét, képletét, alkalmazásuk közgazdasági feltételezéseit és alkalmazásuk
körét a 4.1-es táblázat tartalmazza.

4.1. Táblázat
Megnevezés Nominális vagy
lineáris hozam
Képlete
rn ⎛ P ⎞ 1 1
⎜ −1
∗
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
Effektív vagy
exponenciális hozam
Kamatintenzitás
=
1
⎛ P ⎞t
1 r
⎜
⎟
e = −1
⎝ P0
⎠
⎛ P ⎞ 1 1
ri = ln
⎜ ∗
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
Feltételezés Az eredeti összeget A befektetés végén A hozam
(P0) fektetjük be újra. maradt összeget (P1) időarányos részét
fektetjük be újra. folyamatosan
realizáljuk.
Alkalmazási Olyan bankbetét, Minden olyan
Olyan likvid
köre
melynek kamata a befektetés, melynek befektetéseknél,
folyószámlára kerül. hozama meghatározott ahol a hozamot
időszakonként bármikor realizálni
Ahol,
tőkésedik.
lehet.
P1 – a részvény eladási ára,
P0 – a részvény vételi ára,
r - éves hozamráta,
t – a befektetési periódus években.
A nominális hozamszámítás gyakorlatilag egy egyenes arányosság. Ha t időszak alatt a
hozam r, akkor egy év alatt mekkora lenne a hozam. Képlettel kifejezve:
(4.6)
P1
−1
r r r P ⎛ P ⎞
n
n 0
1 1
= ⇒ = ⇒ rn
= 1 ∗
1 t 1 t ⎜ −
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
A nominális hozamszámítás esetében feltételezzük, hogy mindig a kezdeti tőkeösszeget
fektetik be újra, és mindig az időszaki hozamot realizálják. Ha a hozamráta pozitív, a
hozamot elfogyasztják, ha a hozamráta negatív, a befektetendő tőkét újra feltöltik az
eredeti összegre. Ez a feltételezés általában az olyan bankbetétekre jellemző, ahol a
kamat automatikusan a folyószámlára kerül, vagy a befektető szándéka az, hogy a
befektetés hozamát felélje.
Ha az időszaki hozam tőkésedik, akkor alkalmazzuk a második képletet. Az effektív
hozamrátát a kamatos kamatszámítás képletéből kapjuk.
(4.7)
t
t P1
P0
∗ ( 1+
r)
= P1
⇒ ( 1+
r)
=
P0
A 4.7 képlet nem más, mint a jövőérték-számítás képlete. Kihasználva azt, hogy P1/P0
hányados mindig pozitív, a következőket írhatjuk:
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
5
6
4. Fejezet – Portólió elmélet
1
P ⎛
1 P ⎞t
1
(4.8) 1+
r = t ⇒ r =
⎜
⎟ −1
P0
⎝ P0
⎠
A fenti hozamszámítást minden esetben alkalmazhatjuk, ha feltételezzük, hogy a
befektető a befektetés hozamát újra be szándékozik fektetni, és egy év alatt
időszakonként ugyanazt az időszaki hozamot realizálja a befektető.
A kamatintenzitás esetében feltételezzük, hogy a hozam időarányos részét végtelen
gyakorisággal realizálja a befektető, és fekteti be újra. A képlet az effektív kamatszámítás
képletéből lehet levezetni.
Tételezzük fel, hogy egy befektetőnek 100 forintja van, és több bank ajánlata közül kell
választania. A bankbetét kamata mindenhol 10%, de az A banknál évente egyszer, B
banknál félévente, C banknál negyedévente, D banknál havonta írják jóvá a
betétszámláján a kamat időarányos részét. Ha feltételezzük, hogy a befektető 1 évre
hagyja a bankban a pénzét és a kamatláb az év folyamán nem változik. A számítást a 4.2
Táblázat tartalmazza.
4.2 Táblázat
Gyakoriság Szám Bank Képlet Helyettesítés Eredmény Hozam
1
1
Évente 1 A bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,00 10,00%
P 0 ∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗ ⎜1+
⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠
2
2
Félévente 2 B bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,25 10,25%
P 0 ∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗⎜1
+ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
4
4
Negyedévent 4 C bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,38 10,38%
P
e
0 ∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗⎜1
+ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
12
12
Havonta 12 D bank ⎛ r ⎞ ⎛ 0,
1⎞
110,47 10,47%
P0
∗⎜1
+ ⎟ 100 ∗⎜1
+ ⎟
⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠
Végtelen ∞ ? ? ? ?
A 4.2 Táblázatból látható, hogy a gyakoriság növekedésével nő a hozam. Azonban az is
látszik, hogy a hozamnövekedés nem lineáris, hanem erősen degresszív. Ha évről félévre
változik a gyakoriság, a hozam növekedése 25 bázispont2. A következő duplázódásnál (2ról
4-re) a növekedés már csak 13 bázispont (10,25%-ról 10,38%-ra). A havi gyakoriság
háromszorosa a negyedévinek, mégis a hozam növekedése csak 9 bázispont.
Van-e a gyakoriság növekedésével a hozamnak határértéke. A fenti táblázatból már
sejthető a válasz, hogy van.
(4.9)
⎛ r ⎞
lim ⎜1+
⎟
n→∞
⎝ n ⎠
r
= e
Az „e” a természetes szám. Közelítő értéke: 2,72.
2 1 bázispont = 1 század százalék.
n

Az e r -t kamaterőnek nevezzük. A kamaterő megmutatja, hogy hányszorosára
növekszik a befektetett tőkénk, hogyha az r éves hozam időarányos része végtelen
gyakorisággal tőkésedik.
A végtelen gyakoriságú kamatszámítást folytonos kamatszámításnak nevezzük.
Behelyettesítve a 4.9-es képletbe megkapjuk a befektető hozamának határértékét.
0 , 1
(4.10) 100 ∗ e = 110,
52
Ha végtelen gyakorisággal számolnánk el a 10%-os éves kamat időarányos részét, akkor
az év végén 110,52 Ft-unk lenne, a hozamunk pedig 10,52%. (110,52/100-1) Látható,
hogy ez a havi kamatelszámoláshoz képest már csak 5 bázispontos emelkedést jelentene.
4.3 Példa
Egy tőzsdei befektető három befektetésének az adatait mutatja az alábbi táblázat. A
vételi és az eladási árfolyamok már tartalmazzák a brókercég által levont tranzakciós
költségeket is. Tételezzük fel, hogy a vonatkozó időszakban osztalékfizetés nem volt.
Mekkora az időszaki hozam és hány év volt az egyes befektetések időtartama? Évesítse
az időszaki hozamot a három módszer szerint!
Megnevezés Matáv OTP Richter
Vétel 2003.05.19 878 2002.10.10 1 828 2003.06.13 16 945
Eladás 2003.07.30 824 2003.07.30 2 201 2003.07.30 18 305
Először számoljuk ki az időszaki hozamokat!
Matáv P1
824
r = −1
= −1
= −6,
15%
P 878
(4.11)
r
r
OTP
Richter
0
2201
= −1
= 20,
40%
1828
18305
= −1
= 8,
03%
16945
Látható, hogy a befektetési periódus alatt a Matáv-os befektetés eredeti tőkéje 6,15%-t
elvesztette, az OTP és a Richter 20,40%-os, illetve 8,03%-os hozamot realizált. Az nem
kérdés, hogy a vonatkozó időszak alatt a Matáv veszteséget hozott, de vajon melyik volt
jobb befektetés, a Richter vagy az OTP? Az OTP-nek nagyobb az időszaki hozama, mint
a Richter-nek, de a befektetési periódus is jóval hosszabb volt. Annak érdekében, hogy
eldönthessük a kérdést, érdemes évesíteni a hozamokat. Először azonban számoljuk ki a
befektetési periódust, angol kamatszámítást használva!
(4.12)
t
t
t
Matáv
OTP
Richter
=
=
( 31−
19 + 30 + 30)
/ 365 =
( 31−
10 + 30 + 31+
31+
28 + 31+
30 + 31+
30 + 30)
/ 365 =
=
( 30 −16
+ 30)
/ 365 =
Most számoljuk ki a nominális hozamokat!
0,
129
0,
197
0,
803
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
7
8
(4.13)
Matáv
n
OTP
n
Richter
n
4. Fejezet – Portólió elmélet
r
r
r
⎛ P ⎞ 1 1 r − 6,
15%
=
⎜ −1
⎟ ∗ = = = −31,
22%
⎝ P0
⎠ t t 0,
197
20,
40%
= = 25,
40%
0,
803
8,
03%
= = 62,
25%
0,
129
Ha a befektetés hozamát
feléljük, (illetve negatív
hozam esetén kipótoljuk a
4.1 Ábra
veszteséget) továbbá
mindig az időszaki hozam
Az időszaki hozam évesítése a nominális módszerrel
mal fektetjük be a Hozam
pénzünket, éves szinten
62,25%-os hozamot érünk
60%
62,25%
el a Richterrel, 25,40%-os 40%
hozamot az OTP-vel és
tőkénk 31,22%-t vesztjük
el a Matávval. A
20%
8,03%
20,4%
25,40%
nominális
gyakorlatilag
kivetítése az
hozam
lineáris
időszaki
-20%
-6,15%
Idő
hozamnak, amit a 4.1.
ábra mutat. A nominális
-40%
-31,22%
hozam alkalmazása a
tőzsdei befektetések
1 Év
esetében nem életszerű,
mivel a tőke hozamát újrabefektetik.
Most számoljuk ki az effektív hozamot!
(4.14)
r
Matáv
e
r
OTP
e
r
=
Richter
e
0,
803
=
0,
129
1
⎞t
1
⎛ P
=
⎜
⎟ −1
=
⎝ P0
⎠
t
0,
197
( 1+
r)
−1
= ( 1−
6,
15%
)
( 1+
20,
40%
) −1
= 26,
01%
( 1+
8,
03%
) −1
= 81,
98%
−1
= −27,
54%
A nominális hozamrátával összehasonlítva látható, hogy az effektív hozamráták
nagyobbak, mint a nominális hozamráták. Ez azért van, mivel az új befektetési
periódusban a hozammal korrigált értéket fektetjük be. Ha a hozam negatív, akkor a
következő periódusban kevesebb tőkét fektetünk be, és kevesebbet vesztünk, mint a
nominális hozamrátaszámítás esetén. Pozitív hozam esetében a következő periódusban

már a hozammal növelt értéket fektetjük be újra, így a következő periódusban nagyobb
lesz a tőkénk növekedése, mint nominális hozamráta-számítás esetében.
Az effektív hozamszámítás
évesítési módszerét a 4.2.
ábra mutatja.
A nominális és az effektív
ho zam közötti különbség
annál nagyobb, minél
nagyobb az időszaki
hozam abszolút értéke, és
minél rövidebb a
befektetési periódus. Az
effektív hozamot a képen
látható viselkedése miatt
exponenciális hozamnak is
nevezik. Látható, hogy az
OTP esetében a különbség
csak 61 bázispont, míg a
Richter esetében már 1973
bázispont.
A tőzsdei befektetések esetében nem célszerű használni az effektív hozamszámítást. A
befektetők ugyanis az időarányos hozamot nemcsak meghatározott időközönként, hanem
gyakorlatilag bármikor realizálhatják.
Végül számoljuk ki a kamatintenzitásokat!
(4.15)
r
OTP
i
⎛ P ⎞ 1 ln
⎜
⎟
⎝ P0
ln
=
⎠
= =
t t 0,
197
ln(
1+
20,
40%
)
=
= 23,
12%
0,
803
ln(
1+
8,
03%
)
=
= 59,
88%
0,
129
Matáv
i
r
Richter
i
80%
60%
40%
20%
-20%
-40%
4.2 Ábra
Hozam
8,03%
Az időszaki hozam évesítése az
effektív hozamszámítás módszerével
-6,15%
( 1+
r)
ln(
1−
6,
15%
)
= −32,
22%
A kamatintenzitások adják a legalacsonyabb évesített hozamokat, aminek az oka az, hogy
a hozamok évesítése logaritmikus függvény szerint történik.
20,4%
81,98%
26,01%
Idő
-27,54%
1 Év
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
9
10
Az évesített hozamok viselkedését a 4.3 ábra mutatja. A kamatintenzitás használatának fő
terepe pontosan a tőzsdei befektetések (illetve minden olyan befektetés, ahol a befektetés
nagyon likvid és a hozam
bármikor realizálható). A
kamatintenzitásnak azonban
van egy nagyon hasznos
tulajdonsága is, ami miatt a
portfólió hozamának
kiszámolásakor csak ez a
hozamkategória
használható.
A kamatintenzitás előnyös
tulajdonságát egy egyszerű
példán keresztül mutatjuk
be.
4.4 Példa
Tételezzük fel, hogy két
éve vásároltunk egy
részvényt 100-ért. 1 év
múlva az ára 200 volt, és
most újra lecsökkent
4. Fejezet – Portólió elmélet
4.3 Ábra
80%
60%
40%
20%
-20%
-40%
Az időszaki hozam évesítése kamatintenzitással
Hozam
8,03%
-6,15%
20,4%
59,88%
23,12%
Idő
-32,22%
100-ra. A befektetés futamideje alatt osztalékfizetés nem történt. Mekkora volt a
befektetés hozama az egyes években, és mekkora az átlagos hozam?
Ha a befektetés időtartama pontosan 1 év, a nominális és az effektív hozam megegyezik.
Az első esetben az időszaki hozamot 1-el kell osztani, az effektív hozamszámítás
esetében pedig 1-re kell emelni. A számítást a 4.3 Táblázat mutatja.
4.3 Táblázat
Megnevezés Nominális vagy Effektív vagy Kamatintenzitás
lineáris hozam exponenciális hozam
Képlete
⎛ P ⎞ 1 1
rn =
⎜ −1
∗
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
1
⎛ P ⎞t
1 r
⎜
⎟
e = −1
⎝ P0
⎠
⎛ P ⎞ 1 1
ri = ln
⎜ ∗
P ⎟
⎝ 0 ⎠ t
1. Év 100% 100% ln(2)=69,3%
2. Év -50% -50% ln(1/2)=-69,3%
Átlag (100%-50)/2=25% (100%-50)/2=25% (69,3%-69,3)/2=0%
A nominális és az effektív hozamszámítás nem adott helyes átlagot, hiszen a valós hozam
0%. 100-t fektettünk be és két és múlva is 100-ért tudjuk eladni a részvényt. Csak a
kamatintenzitásból számolt hozamok számtani átlaga adja meg torzítatlanul az átlagos
hozamot.
1 Év

A valós 0%-os átlagos hozamot megkaphattuk volna az effektív hozamokból is, csak
akkor nem számtani, hanem mértani átlagot kell alkalmazni a következő képlet alapján:
j
(4.16) r g
T ( 1+
rj
) −1
n
= ∏
j = 1
t
Ahol
rj – a befektetés j-dik időszaki hozama,
tj – a j-dik befektetési periódus hossza években,
T– a teljes befektetési időtartam,
n – a befektetési időtartam alatt a befektetési periódusok száma.
Behelyettesítve a 4.16-os képletbe megkapjuk a 0%-t.
n
t 2 1
1
= ∏ 1
j=
1
j
(4.17) r g
T ( + rj
) −1
= ( 1+
100%
) * ( 1−
50%
) −1
= 0%
A 4.16-os képlettel nemcsak az a baj, hogy sokkal nehezebben kezelhető. Később meg
fogjuk látni, hogy a befektetés kockázatát a hozamok szórásával mérjük, a szóráshoz
pedig a számtani átlagra van szükségünk. De láttuk, hogy az effektív hozamokból
számolt számtani átlag nem torzítatlan, így a kockázat mérőszáma is torzított lenne, ha
ezt a hozamszámítást alkalmaznánk.
4.1.2. Kötvények hozamszámítása
Az előzőekben olyan befektetések hozamszámítását néztük meg, melyek rövid lejáratúak,
és csak egy pénzáramuk van a befektetés likvidálásakor. Mi van azonban akkor, ha a
befektetést hosszú ideig szándékozunk tartani (lehet, hogy nem is tudjuk lejárat előtt
értékesíteni), másrészt a futamidő alatt többször kapunk pénzáramot? Erre legjellemzőbb
példa a kötvények, melyek árfolyamszámítását az 1. fejezetben tekintettük át. Azonban a
kötvények mellett még a zárt végű befektetési jegyek, a unit-linked életbiztosítások, a
tőzsdei forgalomba nem kerülő részvények, az ingatlanbefektetések, a hosszú lejáratú
bankbetétek, azaz minden illikvid befektetés esetében megfogalmazható a probléma.
A fenti problémák pontos megoldására a 4.1 képlet szolgál. Azonban manuálisan nagyon
nehéz kiszámítani az összeget, ezért néhány közelítő módszer is használatos.
4.1.2.1. A hozam(ráta)számítás közelítő képletei
A hozamszámítás esetében tételezzük fel, hogy ismerjük a meghatározott, szabályos
időszakonként kapott pénzáramlásokat, továbbá a befektetett összeget egy összegben a
lejáratkor fizetik ki az utolsó esedékes hozammal. A legjellemzőbb példája ennek a fix
kamatozású államkötvény.
4.5 Példa
11
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
12
A 2003/J állampapírt 2000. január 20-án bocsátották ki. Félévente fizetett kamatot.
Április 12-én 4,99%-ot, október 12-én 5,01%-ot. A kamatfizetés mértéke azért volt egy
árnyalattal kisebb az első időszakban, mivel az októbertől áprilisig terjedő időszakban
kevesebb nap van (182 nap), mint az áprilistól októberig tartó időintervallumban (183
nap). A kötvény lejárata 2003. április 12. volt. Tételezzük fel, hogy egy befektető 2000.
április 12-én vásárolta meg a kötvényt 95%-os árfolyamon. Mekkora éves hozamot
realizált a befektetésen, ha azt a lejáratig megtartotta?
Az első közelítő hozamráta az állampapír névleges hozama. A kötvényre az adott
évben fizetett kamatok nagyságát osztjuk a kötvény év elején fennálló névértékével.
Mivel ebben az esetben a kötvényt teljes egészében a lejáratkor törlesztik, a névértéke a
futamidő alatt végig 100%. A névleges kamatszámítás számítása a következő képlet
szerint történik:
n
∑
=
Ii
i
(4.18) rn
=
N
1
Ahol, N – a kötvény névértéke (mindig 100%)
Ii – a kötvény i-dik időpontban fizetett kamata a névérték %-ban
rn – névleges hozam
n – az adott évben fizetett kamatok száma (féléves kamatfizetési gyakoriság esetén
2)
Behelyettesítve a 4.18-as képletbe, kapjuk:
(4.19)
4. Fejezet – Portólió elmélet
r
n
=
n
∑ Ii
i=
1 =
N
4,
99%
+ 5,
01%
=
100%
10%
A névleges hozam akkor tényleges hozama az adott értékpapírnak, ha
1. a kamatfizetés gyakorisága éves,
2. a kötvényt egy évvel a következő kamatfizetés előtt névértéken vásároljuk meg,
3. a kötvény tőkerészét egy összegben lejáratkor kapjuk meg.
Az állampapírokra Magyarországon azonban általában félévente fizetnek kamatot (mint
ebben az esetben is), továbbá a kibocsátás után, mivel igen likvid másodlagos piacok van,
nettó, felhalmozott kamattól tisztított árfolyamuk eltér a névértéktől. Az első fejezetben
láttuk, hogyha a nettó árfolyam a névérték felett van (ázsió), akkor a tényleges hozam
alacsonyabb, mint a névleges, ha a nettó árfolyam a névérték alatt van (diszázsió), a
tényleges hozam a magasabb.
A befektető természetesen a hozamot nem a névértékre, hanem a befektetett összegre
várja el.
Ha a kötvényre éves szinten kifizetett kamatokat a nettó árfolyam %-ban fejezzük
ki, akkor kapjuk az egyszerű hozamot.

Képlettel:
n
∑
=
Ii
i
(4.20) rs
=
P
1
Ahol, P – a kötvény nettó árfolyama a névérték százalékában
Ii – a kötvény i-dik időpontban fizetett kamata a névérték %-ban
rs – egyszerű hozam
n – az adott évben fizetett kamatok száma
A névleges hozam akkor tényleges hozama az adott értékpapírnak, ha
1. a kamatfizetés gyakorisága éves,
2. a kötvényt egy évvel a következő kamatfizetés előtt vásároljuk meg,
3. a kötvény örökjáradékos (nincs lejárata).
Behelyettesítve a 4.20-as képletbe, kapjuk:
n
∑
=
Ii
i 1 4,
99%
+ 5,
01%
(4.21) rs
= =
= 10,
52%
P 95%
Mivel a kamat nagyságát mindig a névérték százalékában határozzák meg, ha névérték
alatti nettó árfolyamon vásárolunk, akkor árfolyamnyereséget is realizálunk (hiszen a
kötvény a névértéket fogja visszafizetni lejáratkor.) Az egyszerű hozam eltekint az
árfolyamnyereségtől (vagy –veszteségtől), ezért csak akkor ad pontos képet a tényleges
hozamról, ha az árfolyamnyereséget sohasem realizáljuk, azaz a kötvény örökjáradékos.
Ha a kötvény nem örökjáradékos, és tekintetbe akarjuk venni az árfolyamváltozást is a
hozamráta-számítás esetén, akkor alkalmazhatjuk a korrigált hozamszámítás képletét.
A korrigált hozamszámítás esetén az egyszerű hozamot korrigáljuk a lejáratkor
realizált árfolyamnyereség (-veszteség) egy évre jutó részével az árfolyam
százalékában.
Nem mindegy ugyanis az éves hozam számítása szempontjából, hogy az
árfolyamnyereség hány év között oszlik meg. Minél rövidebb az értékpapír lejárata, annál
jelentősebb az árfolyamnyereség szerepe.
Képlettel:
N − P
n
(4.22) rc = rs
+
P
Ahol, P – a kötvény nettó árfolyama a névérték százalékában,
N – a kötvény névértéke (mindig 100%),
rs – egyszerű hozam,
rc – korrigált hozam,
13
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
14
n – lejáratig hátralévő idő években.
Behelyettesítve a 4.21-es képletbe, kapjuk:
N − P
100%
− 95%
(4.23) rc = rs
+ n
P
= 10 , 52%
+ 3
95%
= 12,
27%
A korrigált hozam sohasem adhat pontos eredményt, hiszen azt feltételezi, hogy az
árfolyamnyereség (vagy –veszteség) időarányos részét minden évben megkapjuk. Mivel
ezt csak az értékpapír lejáratakor realizáljuk, a korrigált hozam egy kicsit mindig
felülbecsli az árfolyamnyereség hatását. A túlbecslés annál jelentősebb, minél hosszabb
az értékpapír lejárata.
A tényleges hozam kiszámításához a 4.1 képletbe kell behelyettesítenünk. A
következőket írhatjuk:
(4.24)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
5 , 2
2
5 , 1
1
5 , 0
5,
01%
4,
99%
5,
01%
4,
99%
5,
01%
104,
99%
95%
: = + + + + +
1+
r 1+
r 1+
r 1+
r 1+
r 1+
r
A képletet nem tudjuk zárt alakban felírni. Használhatjuk viszont az Excel beépített
függvényét az XIRR függvényt a feladat megoldására. Az XIRR függvény a nem
ütemezett pénzáramok belső megtérülési rátáját is ki tudja számolni. Két bemenő
paramétere van, a pénzáramok tartománya és a pénzáramok esedékességének a
tartománya. Ha a kötvény árfolyamát negatív előjellel vesszük fel, iterációs eljárással az
XIRR függvény kiszámítja a kötvény belső megtérülési rátáját. (Az XIRR függvény
működtetéséhez szintén szükséges az Analysis Toolpack makrobővítmény.)
A számítást a 4.4 Táblázat tartalmazza.
4.4 Táblázat
Pénzáramok Névérték %-ban Dátum
Árfolyam -95% 2000.04.12
5,01% 2000.10.12
4,99% 2001.04.12
Kamatok
5,01% 2001.10.12
4,99% 2002.04.12
5,01% 2002.10.12
Kamat+Tőke 104,99% 2003.04.12
Belső megtérülési ráta 12,40%
A befektetés tényleges hozama 12,4%.
A tényleges hozam azért lett magasabb, mint a korrigált hozam, mivel a kamatokat nem
évente fizetik ki, hanem félévente és a képlet feltételezi, hogy a kapott kamatokat is
12,4%-os hozammal tudjuk újra befektetni.
A tényleges hozamszámításra van egy közelítő képlet is, mely a névleges hozam és az
árfolyamnyereség 1 évre jutó összegét osztja a névérték és az árfolyam egy súlyozott
átlagával.
4. Fejezet – Portólió elmélet

A súlyok nagyságát nem támasztja alá tudományos indoklás, ezért az alábbi képletet csak
akkor alkalmazzuk, ha nincs lehetőségünk alkalmazni az XIRR függvényt.
A tényleges hozam közelítő képlete a következő:
N − P
rn
+
(4.25) IRR
n
e =
0 , 6*
P + 0,
4*
N
Ahol, P – a kötvény nettó árfolyama a névérték százalékában,
N – a kötvény névértéke (mindig 100%),
rn – névleges hozam,
n – lejáratig hátralévő évek száma,
IRRe – a becsült tényleges hozam.
Helyettesítsünk be a 4.25-ös képletbe!
N − P
100%
− 95%
rn
+
10%
+
(4.26) IRR = n
3
e
=
= 12,
03%
0,
6*
P + 0,
4*
N 0,
6*
95%
+ 0,
4 * 100%
A képlet rosszabb eredményt adott a tényleges hozamra, mint a korrigált hozam.
4.1.2.2. Hozamráta számítás IRR-nél különböző újrabefektetési rátánál
Ha tudjuk, hogy mekkora a kapott kamatok és tőkerészletek újrabefektetési rátája, a
problémát két részletben oldjuk meg:
1. A kötvény pénzáramlásait jövőértékszámítással elemi kötvénnyé transzformáljuk3. 2. Kiszámoljuk az elemi kötvény hozamát.
Nézzük meg a számítást egy konkrét példán keresztül!
4.6 Példa
2003. július 25-én vásároltunk egy 2005/E államkötvényt. A kötvény nettó eladási
árfolyama 96,95% volt, a felhalmozott kamat nagysága 1,87%. A kötvény kamatlába
évi 9,25%, amit két részletben fizetnek ki: május 12-én 4,59%-ot, november 12-én
pedig 4,66%-ot. A kötvény 2005. május 12-én jár le. A következőt tételezzük fel a
kapott kamatok befektetési rátájáról.
Időszak 2003.07.25 – 2003.11.12 – 2004.05.12 – 2004.11.12 –
2003.11.11 2004.05.11 2004.11.11 2005.05.11
Újrabefektetési ráta 7,25% 7,00% 6,00% 5,50%
Mekkora tényleges hozammal fektettük be a pénzünket?
Alakítsuk át a kötvény pénzáramlását elemi kötvénnyé. Ehhez feltételezzük, hogy a
hozamokat valóban befektetjük a példa táblázatában szereplő éves kamatlábon. A feladat
egy jövőérték-számítás, ahol figyelembe kell venni, hogy különböző időszakokban más
és más az elérhető hozam. Mekkora összeg fog a rendelkezésünkre állni 2005. május 12én?
3 Elemi kötvény olyan értékpapír, aminek csak egy kifizetése van
15
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
16
(4.27)
4. Fejezet – Portólió elmélet
⎛ 7,
0%
⎞ ⎛ 6,
0%
⎞ ⎛ 5,
5%
⎞
FV = 4,
66%
* ⎜1+
⎟ * ⎜1+
⎟ * ⎜1+
⎟ +
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 6,
00%
⎞ ⎛ 5,
5%
⎞ ⎛ 5,
5%
⎞
4,
59%
* ⎜1+
⎟ * ⎜1+
⎟ + 4,
66%
* ⎜1+
⎟ + 104,
59%
=
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
5,
10%
+ 4,
86%
+ 4,
79%
+ 104,
59%
= 119,
34%
Az első kamatot 2003. november 12-én kapjuk meg, ez három időszakot kamatozik.
2004. május 12-ig 7%-al, 2004. november 12-ig 6%-al, majd utána 2005. május 12-ig
5,5%-al. A 2004. májusi már csak két, a 2004 novemberi pedig csak egy félévet fog
kamatozni. Lejáratkor a névértéket és a rá eső 4,59%-os kamatot fogjuk megkapni. Ha
becsléseink pontosnak bizonyulnak, és minden fillért azonnal befektetünk, lejáratkor a
névérték 119,34%-a fog a rendelkezésünkre állni. Ez a kötvény pénzáramlásának
megfelelő elemi kötvény értéke.
Elemi kötvény tényleges hozamát ezek után már nem nehéz meghatározni.
P1
(4.28) IRR = T −1
P0
Ahol, P1 – az elemi kötvény lejáratkori értéke,
P0 – a befektetett összeg (a kötvény bruttó árfolyama),
T – a befektetéstől a lejáratig eltelt idő években.
Határozzuk meg a befektetési periódust! Lesz egy teljes évünk 2004. május 12-től 2005.
május 12-ig, és egy tört évünk 2003. július 25-től 2004. május 12-ig.
T=(31-25+31+30+31+30+31+31+28+31+30+12)/365 év + 1 év = 1,80 év.
Behelyettesítve a 4.27-es képletbe, kapjuk:
119,
34%
(4.29) IRR = 1 , 80 −1
= 11,
05%
98,
82%
A kötvény tényleges hozama tehát 11,05% lesz, ha az újrabefektetési kamatlábakra
vonatkozó becsléseink helyesek. Azt, hogy hogyan lehet a jövőbeli hozamrátákat
megbecsülni, majd az 5. fejezetben fogjuk megvizsgálni.
Az elemi kötvények esetében érdemes még egy hozamszámítást megnézni. Ez a diszkont
kincstárjegyek hozamszámítása. A számításnak az érdekessége, hogy lejáratkor mindig
100%-ot kapunk, ezért P1=1-el.
A diszkont kincstárjegy időszaki hozamát a 4.30-as képlettel számolhatjuk ki.
100%
− P
(4.30) r =
P
Ahol, P – a diszkont kincstárjegy árfolyama a névérték %-ban,
r – időszaki hozam,

4.7 Példa
Egy diszkont kincstárjegy árfolyama július 25-én 97,03%. A következő év január 30-án
fog lejárni. Mekkora az időszaki hozam? A három évesítési módszerrel mekkora
hozamokat kapunk? Melyik esetben, melyiket alkalmazzuk?
Behelyettesítve a 4.30-as képletbe, kapjuk:
100%
− P 100%
− 97,
03%
(4.31) r = =
= 3,
06%
P 97,
03%
A diszkont kincstárjegy időszaki hozama 3,06%. A befektetési periódus értéke: (31-
25+31+30+30)/365=0,266 A három évesítési módszerrel kapott hozamot a 4.5 táblázat
tartalmazza.
4.5 Táblázat
Megnevezés Nominális vagy Effektív vagy Kamatintenzitás
lineáris hozam exponenciális hozam
Képlete
r
= ( 1+ ) −1
rn =
r r e r
ln(
1+
r)
ri =
t
t
Eredmény 3,06%/0,266=11,5% 1,0306 0,266 -1=12,0% ln(1,0306)/0,266=11,3%
Feltétel
Hozamot nem
forgatjuk vissza
Hozamot
visszaforgatjuk
17
Folytonosan realizáljuk
az időarányos éves
hozamot.
Az időszaki hozam változatlan marad az év folyamán.
4.1.2.3. Az átlagos hozam kiszámítása
A 4.1.1.1. alfejezetben már láttuk, hogy igazából csak a kamatintenzitás segítségével
tudjuk meghatározni a befektetéseink átlagos hozamát. Most azt a problémát vizsgáljuk
meg, hogyha egy időszak alatt különböző befektetésekben volt a pénzünk, akkor hogyan
tudjuk kiszámolni ezen befektetések átlagos hozamát és azok szóródását.
4.8 Példa
2000. október 3-án vásároltunk 100 millió forintért 92,41%-os árfolyamon D010808
diszkont kincstárjegyet. Ezt a kincstárjegyet a következő év március 13-án eladtuk
95,09%-os árfolyamon, és vettünk D020123 diszkont kincstárjegyet 92,22%-os
árfolyamon. Ezt a kincstárjegyet lejáratig megtartottuk, majd vettünk D021227
kincstárjegyet 93,24%-ért, amit szintén lejáratig tartottunk. Ekkor 92,85%-os áron
vettünk D030611 kincstárjegyet, amit szintén lejáratig tartottuk. Mekkora volt a
befektetésen elért átlagos hozam?
Az egyes tranzakciókat a 4.6-os táblázat mutatja:
4.6 Táblázat
Vétel dátuma Vételi árfolyam Eladás Eladási árfolyam
dátuma
2000.10.03 92,41% 2001.03.13 95,09%
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
18
2001.03.13 92,22% 2002.01.23 100%
2002.01.23 93,24% 2002.12.27 100%
2002.12.27 92,85% 2003.06.11 100%
Először számoljuk ki a példát a 4.6 Példában már ismertetett módszerrel. Kiszámoljuk,
hogy pénzünk mekkora összegre növekedett 2003. június 11-ig, majd behelyettesítünk a
4.28-as képletbe.
95,
09%
100%
100%
100%
(4.32) FV = 100 * * * * = 128,
89
92,
41%
92,
22%
93,
24%
92,
85%
Számoljuk ki most a befektetés időtartamát! t = (31 – 3 + 30 + 31 + 31 + 28 + 31 + 30 +
31 + 11)/365 + 2 = 2,69 év
128,
89
(4.33)
= −1
= 9,
89%
100
t IRR
Ha az effektív kamatszámítás képletét alkalmazzuk, akkor 9,89%-os éves hozam adódik.
Használjuk most a folytonos kamatszámítás képletét! Ekkor a következő éves hozamot
kapjuk.
⎛128,
89 ⎞
ln⎜
⎟
100
(4.34) r
⎝ ⎠
i =
= 9,
44%
2,
69
Ezt a 9,44%-os hozamot az egyes periódusok hozamainak átlagaként is megkaphatjuk.
Jelölje tj a j-dik befektetési periódus időtartamát, rj – a j-dik periódusban elért folytonos
hozamot, T a teljes befektetési időtartam hosszát, Pj 0 – a j-dik periódus kezdeti befektetett
összeget, Pj 1 – a j-dik periódus végi befektetett összeget, n – a befektetési periódusok
teljes számát. Használjuk ki azt, hogy a periódus végi összeg, megegyezik a következő
periódus kezdeti befektetett összeggel.
1
1 1
1
1
1
1
⎛ P ⎞ ⎛ P P P ⎞ ⎛ P ⎞ ⎛ P ⎞ ⎛
n
n
P ⎞
1 2
1
2
n
ln
⎜
+
P ⎟ ln
⎜ * ...... *
+
P P P ⎟ ln
⎜
n P ⎟ ln
⎜
P ⎟ ... ln
⎜
P ⎟
0
0 0
0
0
0
0
n
(4.35) r
⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
i = =
=
T
T
T
Ha átrendezzük a kamatintenzitás képletét, kapjuk:
(4.36)
⎛ P ⎞ 1 ln
⎜
P ⎟
0 ⎛ P ⎞ 1
ri =
⎝ ⎠
⇒ ln = ri
* t
t ⎜
P ⎟
⎝ 0 ⎠
Behelyettesítve a 4.35-ös képletbe a 4.36-os képletet, kapjuk:
r *
t1
+ r2
* t2
+ ... rn
* tn
ri
=
=
T
n t j
rj
* =
T
(4.37) ∑ ∑
4. Fejezet – Portólió elmélet
n
1 w j * rj
J = 1 i=
1

Látható, hogy az időszaki kamatintenzitások súlyozott átlaga megadja nekünk a teljes
befektetés időszakára vonatkozó kamatintenzitást.
Nézzük ezt meg a konkrét példánkon. A számításokat a 4.7-es táblázat mutatja:
4.7 Táblázat
Befektetés Időszaki
hozam
Befektetési
periódus
Kamatintenzitás
Súly Súly *
Intenzitás
I. 2,90% 0,44 6,48% 16,41% 1,06%
II. 8,44% 0,87 9,36% 32,21% 3,01%
III. 7,25% 0,93 7,56% 34,45% 2,60%
IV. 7,70% 0,45 16,31% 16,92% 2,76%
2,69 9,44%
Az egyes számok kalkulációját az I. befektetés példáján mutatom be:
1. Időszaki hozam = 95,09%/92,41%= 2,90%
2. Befektetési periódus = (31-3+30+31+31+28+13)/365=0,44
3. Kamatintenzitás = (1+2,9%)/0,44= 6,48%
4. Súly = 0,44/2,69= 16,41%
5. Súly*Intenzitás = 16,41%*6,48%= 1,06%
4.1.3. Portfólió hozamának kiszámítása
Az előző alfejezetben használt átlaghozam-számítási módszerben csak a lekötési időtől
függött a súly nagysága. Ez azért volt, mert a pénzünk
1. egyszerre csak egyfajta eszközben volt lekötve,
2. a befektetéseink elemi kötvények voltak, azaz a befektetési időszakok alatt nem
realizáltunk hozamot,
3. a befektetett összeg csak a hozamok miatt változott.
Most oldjuk fel ezeket a feltételezéseket! Nézzük meg, hogy egy több eszközt tartalmazó
portfólió esetében hogyan tudjuk kiszámítani a portfólió hozamát, illetve meghatározni
azt, hogy az egyes részbefektetéseink hogyan járultak hozzá a portfólió hozamához.
4.9 Példa
Befektetési portfóliónk alakulását 2002. július 25. és 2003. július 30. között az alábbi
táblázat mutatja. A táblázat első oszlopa a befektetés sorszámát, a második az eszköz
megnevezését, a harmadik a vétel dátumát, a negyedik a befektetett összeget millió
forintban, az ötödik a vételi árfolyamot forintban, ami magában foglalja a felmerülő
tranzakciós költségeket is (brókeri díj, kezelési költség, stb.), a hatodik az eladás
dátumát, a hetedik az eladási árfolyamot levonva belőle a felmerülő tranzakciós
költségeket, míg a hátralévő oszlopok az adott eszközre a befektetési periódus alatt
fizetett kamatok/osztalékok nagyságát és azok esedékességét mutatja.
19
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
20
Befek-tetés Vétel
dátuma
4. Fejezet – Portólió elmélet
Összeg
(MFt)
Vételi
árfolyam
(Ft)
Eladás
dátuma
Eladási
árfolya
m (Ft)
Kamat/
osztalék
1 Richter 2002.07.25 100,00 14 170 2003.05.19 15 820
2 OTP 2002.07.25 50,00 2 040 2003.03.18 2 212
3 2004/I 2002.07.25 75,00 10 327 2003.07.30 10 360 4,51%
4,49%
Kamat/osz
-talék
időpontja
2002.10.12
2003.04.12
4 D030611 2002.07.25 40,00 9 285 2003.06.11 10 000
5 Bankbetét 2002.10.12 3,28 1 2003.03.18 1,03 6%*
6 Matáv 2003.03.18 57,58 772 2003.07.30 824 12% 2003.07.01
7 Richter 2003.04.14 3,26 15 075 2003.05.19 15 820
8 Matáv 2003.05.19 115,07 838 2003.07.30 824 12% 2003.07.01
9 Készpénz 2003.06.11 43,08 1 2003.07.30 1
10 Készpénz 2003.07.01 2,49 1 2003.07.31 1
11 Matáv 2003.07.30 174,60
12 Készpénz 2003.07.30 45,62 295,41
13 2004/I 2003.07.30 75,24
A táblázat a következő történetet meséli el nekünk. 2002. július 25-én 4 eszközbe
fektettük a pénzünket. Vettünk Richter részvényt (1) 100 millió forintért, OTP részvényt
(2) 50 millió forint értékben, 2004/I államkötvényt (3) 75 millió forintért és 2003.
június 11-én lejáró diszkont kincstárjegyet (4) 40 millióért. Összesen befektettünk 265
millió forintot.
Időrendben követve az eseményeket, először október 12-én megkaptuk az
államkötvénynek (3) esedékes kamatát. Ennek összege 75/10327*10000*4,51%=3,28
millió forint volt. (Az állampapírok és a diszkont kincstárjegyek névértéke 10000 Ft.)
Ezt bankbetétbe helyeztük, és lekötöttük 2003. március 18-ig (5). (Mivel kiemelt
ügyfelek vagyunk a bank számára, lehetőségünk van egyedi lejárati terminusokat is
kikötnünk.) A bankbetét kamata évi 6%. Március 18-án a számlán lévő összeg
1*6%*(31-12+30+31+31+28+18)/365=1,03 szorosára emelkedett.
Március 18-án eladtuk OTP részvényeinket és a bankbetétünkkel együtt befektettük
Matáv részvénybe (6). Összesen 3,28*1,03+ 50/2040*2212=57,58 millió forintot
fektettünk be. Április 12-én megkaptuk az állampapír következő
kamatát,75/10327*10000*4,49%=3,26 millió forintot, amiért Richter részvényt
vettünk (7). A Richter részvényeket május 19-én eladtuk, és mivel úgy gondoltuk, hogy
a Matáv lesz a nyerő, a Richter eladásából befolyt összeget (3,26/15075*15820 +
100/14170*15820 =115,07 millió forintot) is ebbe fektettük (8). Közben a diszkont
kincstárjegy június 11-én lejárt, de elfelejtkeztünk róla, és azóta készpénzben áll a
pénzünk. (10) Az összeg nagysága:40/9285*10000=43,08 millió forint, amihez jön a
Matáv osztaléka, amit szintén nem fektettünk be még
(115,07/838*100*12%+57,58/772*12%=2,55) (9-10).

A befektetési periódus végi pénzösszegeket a 11-13-as sorok tartalmazzák. Van Matáv
részvényünk 174,6 MFt értékben (115,07/838*824+57,58/772*824), készpénzünk (a 9es
és a 10-es sorok összege), továbbá 2004/I kötvényünk 75,24 MFt értékben
(75/10327/10360).
Mekkora volt az elmúlt durva egy évben portfóliónk hozama? Melyik befektetések
teljesítettek jobban és rosszabbul, mint az átlag?
A kamatintenzitással nem tudjuk a portfólió elemeinek hozamaiból összerakni a portfólió
hozamát, ez sikerülhet a nominális hozammal. Igaz a következő összefüggés:
⎛
⎜ ∑⎜
1 0 ⎟ j ⎟
⎜ ⎜ ⎜
⎟ * * t
⎟ j * P
j
0
=
⎟ n
j n
⎛ P − P ⎞
j
(4.38) ⎜
⎝⎝
P ⎠ t j
= ⎜ ⎟ ∗ =
⎠
t j j P
0 1 1 0
* 0
rn
⎟ = ∑rn* = ∑
⎜
⎝
1 j
⎟
rn
*
P0
T
P0
* T
j = 1 P0
* T J = 1
⎠
⎜
⎜
⎝
n
⎛ j j ⎛ P − P ⎞
Ahol, P0 – a portfólió értéke a befektetési periódus kezdetén,
T – a teljes befektetési periódus hossza,
P1 – a portfólió értéke a befektetési periódus végén,
n – a befektetések darabszáma a befektetési periódus alatt,
tj - a j-dik befektetés időtartama
P0 j – a j-dik befektetés összege
P1 j – a j-dik befektetés hozammal növelt összege.
A portfóliónk nominális hozamát megkaphatjuk az egyes befektetések nominális
hozamainak súlyozott átlagaként. Az egyes befektetések súlyai pedig az adott befektetés
időtartamának és induló összegének és a teljes portfólió induló értékének és a teljes
portfólió befektetési periódusának aránya lesznek.
Jelen esetben nem minden befektetésünk elemi kötvény, mivel mind az államkötvény,
mind a Matáv részvény fizet osztalékot, és azokat újra be tudjuk fektetni, a súlyok
összege nagyobb lesz, mint 1.
A befektetésünk nominális hozamát a következőképpen számolhatjuk ki:
1 ⎞
⎛ P ⎞ 1 1 ⎛ 295,
46 ⎞ 365
(4.39) r
⎜ 1
⎟
n = − * = ⎜ −1⎟
* = 11,
34%
⎝ P0
⎠ T ⎝ 265 ⎠ 370
A 4.8-as táblázat az egyes befektetések hozamait mutatja:
⎞
⎟
⎟
⎠
21
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
w
j
22
4.8 Táblázat
Sorszá
m
Befektetés Összeg
(MFt)
4. Fejezet – Portólió elmélet
Időszaki
hozam
Nominális
hozam
Befektetési
periódus
Súly Hozam
1 Richter 100,00 11,64% 14,26% 0,82 30,39% 4,33%
2 OTP 50,00 8,43% 13,04% 0,65 12,03% 1,57%
3 2004/I 75,00 9,03% 8,91% 1,01 28,30% 2,52%
4 D030611 40,00 7,70% 8,76% 0,88 13,10% 1,15%
5 Bankbetét 3,28 2,58% 6,00% 0,43 0,52% 0,03%
6 Matáv 57,58 8,29% 22,58% 0,37 7,87% 1,78%
7 Richter 3,26 4,94% 51,54% 0,10 0,12% 0,06%
8 Matáv 115,07 -0,24% -1,21% 0,20 8,45% -0,10%
9 Készpénz 43,08 0,00% 0,00% 0,13 2,15% 0,00%
10 Készpénz 2,54 0,00% 0,00% 0,08 0,08% 0,00%
Összesen 103,01% 11,34%
Az időszaki hozam kiszámításáról már volt szó az előző táblázat esetében. A nominális
hozamot úgy kapjuk, hogy az időszaki hozamot osztjuk a befektetési periódussal. A
súlyok nagysága úgy jön ki, hogy a befektetett összeg és a befektetési periódus szorzatát
osztjuk a teljes portfólió indulási értékének és befektetési periódusának a szorzatával. Az
első sor esetében ez (100*0,82/265/1,014=30,39%). A nominális hozam és a súlyok
szorzata adja a hozamot, melynek összegei a portfólió teljes hozamát adják.
A súlyok összege azért nem 1, mivel volt kamat és osztalékfizetés is bizonyos
befektetéseken (Matáv, 2004/I).
4.1.4. Várható hozam kiszámítása
Az előzőekben mindig múltban történt befektetések utólagos értékelésével foglalkoztunk.
Arra voltunk kíváncsiak, hogy a múltban tett befektetéseink mekkora évesített hozamot
hoztak számunkra. Most jövőbeli befektetések várható hozamának kiszámolásával
fogunk foglalkozni. Ennek akkor van jelentősége, ha befektetésünknek a jövőben
többféle hozama is lehetséges. Nézzünk először egy egyszerű példát!
4.10 Példa
Egy portfólió esetében a következő félévben várható hozamráták várható eloszlását az
alábbi táblázat mutatja.
Kimenet I. II. III.
Valószínűség 30% 40% 30%
Hozam (évi) 15% 20% 25%
Mekkora a várható hozamráta? Ha 100 millió forintot fektetünk be a portfólióba,
mekkora összeg várható egy év múlva?
Tételezzük fel, hogy a hozamráták nominális hozamráták. A hozamráták
valószínűségekkel súlyozott átlaga adja a várható hozamrátát. Képlettel:

E
=
( ) (4.40) n ∑
i=
r
n
1
p * r
i
i
n
Ahol, rn i – az i-dik kimenet esetén a befektetés várható nominális hozamrátája,
pi – az i-dik kimenet valószínűsége,
n – a kimenetek száma
E(rn) – a nominális hozamráták várható értéke.
Behelyettesítve a 4.40-es képletbe, kapjuk:
(4.41) E ( rn
) = 0 , 3*
15%
+ 0,
4*
20%
+ 0,
3*
25%
= 4,
5%
+ 8,
0%
+ 7,
5%
= 20%
Ha 100 millió forintot fektetünk be, akkor félév múlva 110 millió forintunk lesz
várhatóan. P0*(1+E(rn)*t) = 100*(1+0,2*0,5)=110 millió forint.
Ezt az értéket kapjuk akkor is, ha a befektetés várható hozamainak számoljuk ki a
súlyozott átlagát. 100*(0,3*(1+0,15*0,5)+0,4*(1+0,20*0,5)+0,3*(1+0,25*0,5)) = 110.
Nominális hozamszámítás esetében tehát a hozamok várható értéke (2. eset) megegyezik
a várható hozamrátával számolt hozammal (1. eset).
Fontos tudni, hogy a fenti összefüggés csak a nominális hozamszámítás esetében igaz.
Effektív hozamszámítás esetében a következő két értéket kapjuk:
(4.42)
t
0,
5
P = P * ( 1+
r ) = 100 * ( 1+
20%
) = 109,
54
1
P = P *
1
0
0
n
∑
i=
1
e
p *
i
i t
0,
5
0,
5
0,
5
( 1+
r ) = 100 * [ 0,
3*
( 1+
0,
15)
+ 0,
4 * ( 1+
0,
20)
+ 0,
3*
( 1+
0,
25)
] = 109,
53
e
Látható, hogy a hozamok várható értéke kisebb, mint a várható hozamrátával számolt
hozam. Ugyanezt tapasztalhatjuk fordított előjellel a kamatintenzitással számolt hozamok
esetében is.
(4.43)
P = P * e
1
P = P *
1
0
0
ri
* t
n
∑
i=
1
= 100*
e
p * e
i
i
ri
* ti
0,
2*
0,
5
= 100*
= 110,
52
0,
15*
0,
5
0,
20*
0,
5
0,
25*
0,
5
( 0,
3*
e + 0,
4 * e + 0,
3*
e ) = 110,
54
Az alábbiakban összefoglaljuk a hozamszámítással kapcsolatos tanulságokat:
1. Ha egy portfólió időszaki hozamainak átlagát akarjuk kiszámolni, alkalmazzuk a
folytonos kamatszámítást, azaz a kamatintenzitás képletét, mivel ez adja meg a
hozamok torzítatlan átlagát.
2. Ha egy portfólió adott időszaki hozamának összetevőit akarjuk elemezni,
alkalmazzuk a névleges kamatszámítást, mivel az egyes részbefektetések
hozamainak súlyozott átlaga így adja meg a portfólió adott időszaki hozamát.
23
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
24
3. Ha egy portfólió jövőbeli várható hozamát akarjuk kiszámolni, megint
alkalmazzuk a nominális kamatszámítás módszerét, mivel ez adja meg a jövőben
várható hozamok torzítatlan átlagát.
4.2. Tőzsdei értékpapír hozama és kockázata
Alábbiakban próbáljuk meg számszerűsíteni egy adott tőzsdei értékpapír múltbeli
hozamát és kockázatát. A fenti fogalmakat e fejezet bevezetőjében már meghatároztuk,
most nézzük meg, hogy hogyan tudjuk őket számszerűsíteni.
Az átlagos hozamot a napi kamatintenzitások átlagaként kapjuk. Az értékpapír
kockázatát pedig a kamatintenzitások szórásaként definiáljuk.
4.11 Példa
Tételezzük fel, hogy van Matáv részvényünk. Az adott részvény 2003. január-február
havi záróárfolyamadatait az alábbi táblázat tartalmazza:
Dátum Záróárfolyam
2003.01.02 842
2003.01.03 858
2003.01.06 868
2003.01.07 864
2003.01.08 835
2003.01.09 830
2003.01.10 825
2003.01.13 847
2003.01.14 844
2003.01.15 840
2003.01.16 845
2003.01.17 840
2003.01.20 834
2003.01.21 830
2003.01.22 811
2003.01.23 833
2003.01.24 821
2003.01.27 809
2003.01.28 805
2003.01.29 801
2003.01.30 808
2003.01.31 791
2003.02.03 800
4. Fejezet – Portólió elmélet

Dátum Záróárfolyam
2003.02.04 787
2003.02.05 770
2003.02.06 753
2003.02.07 783
2003.02.10 786
2003.02.11 791
2003.02.12 790
2003.02.13 785
2003.02.14 765
2003.02.17 756
2003.02.18 768
2003.02.19 759
2003.02.20 782
2003.02.21 775
2003.02.24 775
2003.02.25 757
2003.02.26 752
2003.02.27 746
2003.02.28 736
Számoljuk ki a Matáv részvény átlagos hozamát a vonatkozó időszak alatt és
számszerűsítsük a részvény kockázatát!
Mivel egy adott értékpapír időbeli (napi) hozamait kell átlagolni, a kamatintenzitás
módszerét választjuk. Kihasználjuk azt, hogy az ln(P1/P0) felírható a két szám
logaritmusának különbségeként is ln(P1)-ln(P0). A tőzsdei hozamszámításnál a gyakorlat
az, hogy nem veszik figyelembe a bankszünnapokat (nevezetesen azt, hogy akkor az
árfolyamkülönbségből eredő hozam több nap között oszlik meg), hanem 250 napos évvel
számolnak, mivel durván ennyi munkanap van egy évben.
Az átlagos hozamráta kiszámításának menete a következő:
1. Kiszámoljuk a záróárfolyamok természetes logaritmusát.
2. Az előző napi záróárfolyam logaritmusát kivonjuk a tárgynapi záróárfolyam
logaritmusából, így megkapjuk az adott napi kamatintenzitást. (Ha tudni akarjuk,
hogy ez mekkora éves hozamnak felel meg, csak megszorozzuk az értéket 250-el.)
3. A napi kamatintenzitásokból számolt számtani átlag lesz az adott időszakban elért
átlagos hozam.
4. A napi kamatintenzitások szórása lesz a kockázat mérőszáma.
A számítás menetét a 4.9-es táblázat tartalmazza:
25
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
26
4.9 Táblázat
Dátum Záróárfolyam Záróárfolyamok
logaritmusa
4. Fejezet – Portólió elmélet
Logarimusok
különbsége
2003.01.02 842,00 6,7358 n.a.
2003.01.03 858,00 6,7546 1,88%
2003.01.06 868,00 6,7662 1,16%
2003.01.07 864,00 6,7616 -0,46%
2003.01.08 835,00 6,7274 -3,41%
2003.01.09 830,00 6,7214 -0,60%
2003.01.10 825,00 6,7154 -0,60%
2003.01.13 847,00 6,7417 2,63%
2003.01.14 844,00 6,7382 -0,35%
2003.01.15 840,00 6,7334 -0,48%
2003.01.16 845,00 6,7393 0,59%
2003.01.17 840,00 6,7334 -0,59%
2003.01.20 834,00 6,7262 -0,72%
2003.01.21 830,00 6,7214 -0,48%
2003.01.22 811,00 6,6983 -2,32%
2003.01.23 833,00 6,7250 2,68%
2003.01.24 821,00 6,7105 -1,45%
2003.01.27 809,00 6,6958 -1,47%
2003.01.28 805,00 6,6908 -0,50%
2003.01.29 801,00 6,6859 -0,50%
2003.01.30 808,00 6,6946 0,87%
2003.01.31 791,00 6,6733 -2,13%
2003.02.03 800,00 6,6846 1,13%
2003.02.04 787,00 6,6682 -1,64%
2003.02.05 770,00 6,6464 -2,18%
2003.02.06 753,00 6,6241 -2,23%
2003.02.07 783,00 6,6631 3,91%
2003.02.10 786,00 6,6670 0,38%
2003.02.11 791,00 6,6733 0,63%
2003.02.12 790,00 6,6720 -0,13%
2003.02.13 785,00 6,6657 -0,63%
2003.02.14 765,00 6,6399 -2,58%
2003.02.17 756,00 6,6280 -1,18%
2003.02.18 768,00 6,6438 1,57%
2003.02.19 759,00 6,6320 -1,18%

Dátum Záróárfolyam Záróárfolyamok
logaritmusa
Logarimusok
különbsége
2003.02.20 782,00 6,6619 2,99%
2003.02.21 775,00 6,6529 -0,90%
2003.02.24 775,00 6,6529 0,00%
2003.02.25 757,00 6,6294 -2,35%
2003.02.26 752,00 6,6227 -0,66%
2003.02.27 746,00 6,6147 -0,80%
2003.02.28 736,00 6,6012 -1,35%
Átlag -0,33%
Szórás 1,62%
Relatív
szórás
-4,92
A napi kamatintenzitások kiszámítását az első két záróárfolyam-adaton keresztül
mutatjuk be. 842 (2003. január 2.-i adat), ennek természetes alapú logaritmusa 6,7358 =
ln(824). A január 3-i 858-as záróárfolyam természetes alapú logaritmusa 6,7546 =
ln(858). A két adat különbsége 6,7546 – 6,7358 = +1,88% a napi kamatintenzitás. A
többi érték ehhez hasonlóan számítható.
A kamatintenzitások számtani átlaga -0,33%, ami azt jelenti, hogy átlagosan naponta
ekkora hozamot realizálunk (negatív hozam esetében, ekkora a napi veszteségünk).
A számtani átlagot az Excel ÁTLAG() beépített statisztikai függvényével számolhatjuk
ki, amelynek argumentuma az a tartomány, ami az átlagolandó adatokat tartalmazza.
Nézzük meg, hogy ez az átlag helyes-e. A napi kamatintenzitások száma 41. Az átlagos
kamatintenzitás segítségével számoljuk ki a február 28-i záróárfolyamot.
(4.44)
P = P * e
1
0
r*
n
=
842 *
e
−0,
0033*
41
=
735,
4
A tényleges 736-hoz képesti eltérés az átlag kerekítésének következménye.
Most nézzük meg a Matáv részvény január-február havi kockázatát. A szórás képletét
alkalmazva a hozamokra az alábbi képletet kapjuk:
n 1
2
(4.45) sr
= * [ rj
− r]
∑
j = 1
n −1
Ahol, sr– a hozamok tapasztalati szórása,
n – a napi hozamok száma
rj – a j-dik napi hozamráta nagysága
r – a napi hozamok számtani átlaga
41 darab adat esetében a szórás kiszámolása manuálisan meglehetősen időigényes
folyamat. Az Excel beépített SZÓRÁS() függvényével azonban ez könnyen elvégezhető.
27
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
28
A függvény egyetlen argumentuma azon adatok tartománya, aminek a szórására
kíváncsiak vagyunk.
A 4.9-es táblázat alján látható a szórás értéke, ami 1,62%. A szám jelentése az, hogy a
napi hozam átlagosan ennyivel tér el a hozamok átlagától. Mivel a szórás mértéke erősen
függ az alapadatok nagyságrendjétől is, ezért a befektetések összehasonlíthatósága
érdekében a hozamok szórását osztani szokták a hozamok átlagával. Ekkor kapjuk a
relatív szórást, ami a Matáv részvény esetében -4,92 (1,62/(-0,33)).
4.3. Két elemből álló portfólió hozama és szórása
Ha már ismerjük, hogy hogyan tudjuk kiszámolni egy értékpapír hozamát és szórását,
nézzük meg, hogy lehet kiszámolni egy portfólió hozamát és szórását. Először nézzük a
legegyszerűbb esetet; két olyan tőzsdei értékpapírból álló portfólió hozamát és szórását,
amelyre a vonatkozó időszak alatt nem fizetnek kamatot és osztalékot.
4.12 Példa
Tételezzük fel, hogy portfóliónk két értékpapírból áll. 40 millió forintot fektettünk
Richter részvénybe, és 60 milliót fektettünk OTP részvénybe. A részvényeket 2003.
július 25-én vettük, és 30-án adtuk el. A részvények vételi, eladási és a közbeeső
napokon a záróárfolyamait az alábbi táblázat tartalmazza:
Dátum Ár OTP Richter
Befektetett összeg (mFt) 60 40
2003.07.25 Vételi ár 2167 18000
2003.07.28 Záróár 2205 18295
2003.07.29 Záróár 2190 18385
2003.07.30 Eladási ár 2201 18305
Számolja ki a két értékpapírból álló portfólió hozamát és szórását!
Számoljuk ki először a 4.11-es példában már bemutatott módon a két értékpapír hozamát
és szórását külön-külön. A számításokat a 4.10 Táblázat mutatja:
4.10 Táblázat
Dátum OTP Richter
2003.07.28 1,74% 1,63%
2003.07.29 -0,68% 0,49%
2003.07.30 0,50% -0,44%
Átlag 0,52% 0,56%
Szórás 1,21% 1,03%
Rel. szórás 2,33 1,84
A napi kamatintenzitás értékét úgy kapjuk, hogy a tárgyidőszaki árfolyam logaritmusából
kivonom az előző napi árfolyam logaritmusát. Nézzük például az OTP július 30-i
hozamát.
(4.46)
A kamatintenzitások számtani átlaga a következő:
4. Fejezet – Portólió elmélet
r = ln( 2201)
− ln( 2190)
=
0,
0050

(4.47)
r
r
OTP
Richter
1,
74%
− 0,
68%
+ 0,
50%
=
= 0,
52%
3
1,
63%
+ 0,
49%
− 0,
44%
=
= 0,
56%
3
A kamatintenzitások szórását pedig a következőképpen számolhatjuk ki:
(4.48)
s
s
OTP
Richter
=
=
1
*
2
2
2
2
[ ( 1,
75%
− 0,
52%
) + ( − 0,
68%
− 0,
52%
) + ( 0,
50%
− 0,
52%
) ]
1
*
2
= 1,
21%
2
2
2
[ ( 1,
63%
− 0,
56%
) + ( 0,
49%
− 0,
56%
) + ( − 0,
44%
− 0,
56%
) ] = 1,
03%
A relatív szórás a szórás és az átlag hányadosa.
1,
21%
σ OTP = = 2,
33
0,
52%
(4.48)
1,
03%
σ Richter = = 1,
84
0,
56%
Egy kockázatkerülő befektető mindig arra törekszik, hogy adott kockázat mellett a
legmagasabb hozamot érje el. Ezért végeredményben portfóliója várható relatív
szórását szeretné csökkenteni.
Majd meglátjuk, ha van a piacon kockázatmentes befektetési lehetőség, a fenti
megfogalmazás úgy alakul át, hogy a racionális befektető az egységnyi kockázatra jutó
kockázati prémiumot szeretné maximalizálni.
Ha a befektetőnk úgy gondolja, hogy ami a múltban igaz volt, az a jövőben is igaz lesz,
és nem alkothat portfóliót, hanem csak arról dönthet, hogy OTP részvényt vagy Richter
részvényt vásárol a pénzéért, akkor az alacsonyabb relatív szórású Richter részvényt
fogja választani, és összes pénzét ebbe fekteti.
Azonban a pénzügyi befektetések csak legritkább esetben egymást kölcsönösen kizáró
befektetések. Lehetséges az is, hogy OTP és Richter részvényt is vegyünk.
A portfólió hozama a benne szereplő értékpapírok hozamának súlyozott számtani
átlaga. A portfólió szórása a benne szereplő értékpapírok páronkénti
kovarianciáinak súlyozott számtani átlagának négyzetgyöke.
Képlettel:
29
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
30
(4.49)
=
=
∑
i=
1
∑∑
i=
1 j = 1
4. Fejezet – Portólió elmélet
r
s
p
p
n
w * r
n
i
n
i
w * w * Cov(
r ; r )
i
j
Ahol, sp– a portfólió szórása,
n – a portfólióban szereplő különböző értékpapírok száma,
rp – a portfólió hozama,
wi, wj – a portfóliósúlyok
Cov(ri;rj) - az i-dik és a j-dik értékpapír közötti kovariancia.
Az i-dik értékpapír portfóliósúlya (wi) az i-dik értékpapírba fektetett összeg és a portfólió
összértékének a hányadosa. Az értékpapírok árfolyamának változásával maga a porfólió
értéke, az egyes értékpapírok értéke is változik, így a portfóliósúlyok is folyamatosan
módosulnak.
A kovariancia egy statisztikai mérőszám, amely két változó lineáris együttmozgását méri.
A két értékpapír hozamára vonatkoztatva a kovarianciát a következő képlet segítségével
lehet kiszámolni:
n 1
l
l
(4.50) Cor(
ri
; rj
) = * ( ri
− ri
) * ( rj
− rj
)
∑
l = 1
n −1
Ahol, Cov(ri; rj) – az i-dik és
a j-dik értékpapírok hozamai
közötti kovariancia,
n – a megfigyelt
hozamok száma,
ri
Értékpapír
1
2
3
..
n
Σ
l – az i-dik értékpapír
hozama az l-dik napon,
rj l 4.4 Ábra
– a j-dik értékpapír
hozama az l-dik napon.
Vegyük észre, hogy egy
változó önmagával vett
kovarianciája a változó
szórásnégyzete.
Egy portfólió szórásnégyzetét
a vektoralgebra segítségével
is könnyen felírhatjuk.
Legyen w – a portfóliósúlyok
vektora, w’ - a
portfóliósúlyok vektorának
Egy n elemű portfólió szórásnégyzete
1
w 2
1 *s1 2
1 *s1 2
w 1 *w 2 *Cov(r 1 ;r 2 )
w 1 *w 3 *Cov(r 1 ;r 2 )
w 1 *w n *Cov(r 1 ;r 2 )
i
j
2
w 1 *w 2 *Cov(r 1 ;r 2 ) w 1 *w 3 *Cov(r 1 ;r 2 )
w 2
2 *s2 2
2 *s2 2
w 2 *w 3 *Cov(r 1 ;r 2 )
3
w 2 *w 3 *Cov(r 1 ;r 2 )
w 2
3 *s3 2
3 *s3 2
w 2 *w n *Cov(r 1 ;r 2 ) w 3 *w n *Cov(r 1 ;r 2 )
s p 2
..
…..
n
w 1 *w n *Cov(r 1 ;r 2 )
w 2 *w n *Cov(r 1 ;r 2 )
w 3 *w n *Cov(r 1 ;r 2 )
w 2
n *sn 2
n *sn 2

transzponáltja, Cov – a páronkénti kovarianciák mátrixa. Ekkor a portfólió szórását az
alábbi képlettel lehet leírni:
(4.51) s p = w'*
Cov * w
A portfólió szórásnégyzetét grafikusan is ábrázolhatjuk, amit a 4.4 ábra mutat. A
kovarianciamátrixnak ugyanannyi oszlopa és sora van. Az egyes cellákban a páronkénti
kovarianciák találhatók megszorozva a két értékpapír portfóliósúlyával. A mátrix
fődiagonálisában az egyes értékpapírok szórásnégyzetei találhatók az adott értékpapír
portfóliósúly-négyzetével szorozva. Az ábrából vastag vonal keríti körbe a kételemű
portfólió szórásnégyzetének az elemeit. Az ábrából látható, hogy a kételemű portfólió
szórásnégyzete a két értékpapír szórásnégyzetének a portfóliósúlyok négyzetével vett
szórása, továbbá kétszer a két papír hozamai közötti kovariancia megszorozva a két
portfóliósúllyal. Képlettel:
2 2 2 2
(4.52) s p = w1
* s1
+ w2
* s2
+ 2 * w1
* w2
* Cov(
r1;
r2
)
A kovariancia helyett gyakrabban használják két változó közötti lineáris kapcsolat
mérésére a korrelációt, mivel ennek értéke -1 és 1 között változik, azaz
összehasonlíthatóvá teszi a különböző változók közötti lineáris kapcsolat szorosságát. A
korreláció nem más, mint a kovariancia és a két változó szórásának a hányadosa. Ha a
korrelációt alkalmazzuk, a 4.52-es képlet a következőképpen módosul.
2 2 2 2
(4.53) s p = w1
* s1
+ w2
* s2
+ 2 * w1
* w2
* s1
* s2
* p12
Ahol, sp– a portfólió szórása,
rp – a portfólió hozama,
w1, w2 – az első, illetve a második értékpapír portfóliósúlya,
p12 – a két értékpapír hozama közötti korreláció,
s1, s2 – az első, illetve a második értékpapír szórása.
A 4.49-es és a 4.52-as képlet segítségével számoljuk ki az OTP és a Richter részvényből
álló portfólió hozamát és szórását. Először a portfóliósúlyokat számoljuk ki. A teljes
portfólió értéke 60 mFt + 40 mFt = 100 mFt. Az OTP portfóliósúlya 60 mFt/100 mFt =
0,6, míg a Richteré 40 mFt/100 mFt = 0,4.
Behelyettesítve a 4.49-es képletbe, kapjuk:
(4.54) r p = 0 , 6 * 0,
52%
+ 0,
4 * 0,
56%
= 0,
536%
Az OTP-ből és a Richterből álló portfólió átlagos napi hozama 0,536% volt.
Most számoljuk ki a két értékpapír hozamai közötti kovarianciát, majd a portfólió
szórását. Először a 4.50-es, majd utána a 4.52-es képletbe helyettesítünk be.
(4.55)
31
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
32
1 ⎡(
1,
74%
− 0,
52%
) * ( 1,
63%
− 0,
56%
) + ( − 0,
68%
− 0,
52%
) * ( 0,
49%
− 0,
56%
) ⎤
( OTP; Richter ) = *
0,
70
2
⎢
=
( 0,
50%
0,
52%
) * ( 0,
44%
0,
56%
)
⎥
⎣+
− − −
⎦
r r Cov
A kovariancia az Excel KOVAR() függvényével is kiszámítható, aminek két paramétere
van, a két változó értékeinek tartománya.
2
2 2
2
(4.56) = 0,
6 * 1,
21%
+ 0,
4 * 1,
03%
+ 2*
0,
6*
0,
4*
0,
70%
= 1,
07%
s p
Nézzük meg, hogy a portfólió hozama és szórása tényleg ekkora-e. A számításokat a
4.11-es táblázat tartalmazza.
4.11 Táblázat
Dátum OTP Richter 100 Tényleges Számított
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2003.07.28 61,05215 40,65556 101,7077 1,69%
2003.07.29 60,63683 40,85556 101,4924 -0,21%
2003.07.30 60,94139 40,67778 101,6192 0,12%
Átlag 0,53540% 0,53539%
Szórás 1,0168% 1,0170%
A táblázat első oszlopa a dátumokat tartalmazza, a második és a harmadik oszlop pedig a
portfólióelemek értékét az egyes napok végén. A negyedik oszlopban pedig a portfólió
teljes értékét láthatják. A portfólió tényleges hozamai az értékek természetes alapú
logaritmusainak különbségei. Ezek számtani átlaga és szórása található az ötödik oszlop
alján. A hatodik oszlopban látható a képletek alapján kiszámított portfólió átlaga és
szórása. Látható, hogy a két érték között igen kicsi a különbség. A különbséget két
tényező magyarázza:
1. A portfólió két eleme közötti arány az eltérő hozamok hatására az időszakon belül
eltér az induló 60% OTP, 40% Richter aránytól.
2. A 4.1.4. alfejezetben láthattuk, hogy kamatintenzitás esetében a várható
hozamrátához tartozó hozam kisebb, mint a várható hozamok átlaga. Mivel itt is a
hozamráták átlagolásáról van szó (csak a súlyok nem valószínűségek, hanem
értékarányok), az alfejezetben bemutatott eltérés itt is jelentkezik.
Mindazonáltal a 4.10 táblázatból látszik, hogy az eltérés igen kicsi, ezért a gyakorlati
életben nyugodtan alkalmazhatjuk a 4.49-es képletet.
A portfólió relatív szórása 1,07%/0,536%=1,99. Ez az érték ugyan jobb, mint az OTP
relatív szórása, de elmarad a Richterétől. Ha csak az OTP-be, a Richterbe, vagy a fenti
portfólióba fektethetnénk a pénzünket, és feltételezzük, hogy a jövő ugyanolyan lesz,
mint a múlt, a Richter-be fektetnénk.
A gyakorlatban általában nem a portfóliók múltbeli teljesítményének elemzésére
alkalmazzák a 4.49-es képleteket, hanem a portfóliók jövőbeli teljesítményének
modellezésére. A feltalálójáról Markowitz-modellnek is nevezett portfoliómodell
adatigénye meglehetősen magas. Egy n elemű portfólió várható relatív szórásának
becslésére szükségünk van:
4. Fejezet – Portólió elmélet

1. n darab várható hozamra,
2. n darab várható szórásra,
3. n*(n-1)/2 páronkénti várható kovarianciára.
Ez mondjuk egy 10 elemből álló portfólió esetében 10 + 10 + 10*9/2 = 65 darab adat
megbecslését jelenti.
Láttuk, hogy az előző esetben a portfólió relatív szórása kisebb volt, mint a Richter-é,
azaz nem volt érdemes a pénzünket a portfólióba fektetni. Azonban egy portfólió
attraktivitása (relatív szórásának minimalizálása) három módszerrel is javítható.
1. Olyan papírok portfólióba válogatásával, amelyek jövőben várható páronkénti
kovariánciái (korrelációi) minél kisebbek,
2. a portfóliósúlyok változtatásával,
3. a portfólióban szereplő értékpapírok számának növelésével.
A fenti módszerek bemutatására nézzünk egy konstruált példát.
4.13 Példa
Egy kételemű portfólió tagjainak várható évi hozamát és szórását különböző
kimenetek esetében az alábbi táblázat tartalmazza:
Kimenet Való-
Hozam
színűség A részvény B részvény
I 0,3 10 23
II 0,4 20 18
III 0,3 30 13
Portfóliósúlyok 60% 40%
Számolja ki a kételemű portfólió várható hozamát, szórását és relatív szórását!
A feladat megoldásához ki kell számolnunk az A és B részvény várható hozamát,
szórását és a két értékpapír közötti kovarianciát, majd be kell helyettesítenünk a 4.49-es
képletekbe.
Az A és B részvény várható hozama a kimenetek hozamának valószínűségekkel súlyozott
számtani átlaga lesz, ahogy a 4.1.4-es alfejezetben már láttuk.
E(
rA
) = 0,
3*
10 + 0,
4 * 20 + 0,
3*
30 = 3 + 8 + 9 = 20
(4.57)
E(
rB
) = 0,
3*
23 + 0,
4 * 18 + 0,
3*
13 = 6,
9 + 7,
2 + 3,
9 = 18
A kimenetek szórása az eltérések valószínűségekkel súlyozott négyzetes átlaga lesz.
Képlettel:
n
∑
i=
1
2
(4.58) s = p * [ r − E()
r ]
Ahol, s – egy értékpapír várható szórása,
pi – az i-dik kimenet valószínűsége,
E(r) – az értékpapír várható hozama,
n – a kimenetek száma.
i
i
33
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
34
Behelyettesítve a 4.58-as képletbe, kapjuk:
(4.59)
0,
3
4. Fejezet – Portólió elmélet
s
A
=
*
2
2
2
( 10 − 20)
+ 0,
4*
( 20 − 20)
+ 0,
3*
( 30 −10)
= 60 =
2
2
2
( 23 −18)
+ 0,
4*
( 18 −18)
+ 0,
3*
( 13*
18)
= 15 = 3,
87
7,
75
sB
= 0,
3*
Mint korábban már említettük, két változó közötti lineáris kapcsolat szorosságának
mérésére inkább a korrelációt használják, mint a kovarianciát, mivel ez a kovariancia
értékét egy -1; és 1 közötti értékre transzformálja, így a mutatók összehasonlíthatók
lesznek egymással.
Számoljuk ki a két értékpapír hozamai közötti korrelációt!
n
A;
∑
B i=
1
A
B
[ r − E(
r ) ] * r − E(
r )
pi
* i A i
Cov(
r r )
(4.60) RAB
= =
sA
* sB
sA
* sB
Ahol, RAB – két értékpapír hozama közötti várható korreláció,
pi – az i-dik kimenet valószínűsége,
E(rA) – az A értékpapír várható hozama,
E(rB) – a B értékpapír várható hozama,
ri A – az A értékpapír hozama az i-dik kimenet esetén,
ri B – a B értékpapír hozama az i-dik kimenet esetén,
sA - az A értékpapír hozamainak szórása,
sB – a B értékpapír hozamainak szórása,
n – a kimenetek száma.
Helyettesítsünk be a 4.60-as képletbe!
(4.61)
[ ]
( 10 − 20)
* ( 23 −18)
+ 0,
4 * ( 20 − 20)
* ( 18 −18)
+ 0,
3*
( 30 − 20)
* ( 13 −18)
0,
3*
− 30
RAB
=
= = −1
60 * 15
900
A két értékpapír hozama tehát pontosan ellentétesen mozog. Most helyettesítsünk be a
4.49-es képletekbe!
(4.62) E ( rp
) = 0 , 6 * 20 + 0,
4 * 18 = 19,
2
A portfólió várható hozama tehát 19,2%.
2
2
(4.63) s = 0,
6 * 60 + 0,
4 * 15 + 2 * 0,
6 * 0,
4 * ( − 30)
= 9,
6 = 3,
10
p
A portfólió várható szórása 3,10%, ami alacsonyabb az A és B részvény szórásánál is.
Ennek oka az, hogy a portfólió szórásának harmadik összetevője a korreláció negatív
értéke miatt csökkenti a két szórás súlyozott átlagát.
Nem véletlen, hogy a portfólió relatív szórása is messze kedvezőbb, mint akár az A, akár
a B részvény relatív szórása. A három befektetés jellemző adatait a 4.12 táblázat mutatja.
B

4.12 Táblázat
Kimenet Hozam Portfólió
A részvény B részvény
Átlag 20 18 19,2
Szórás 7,75 3,87 3,10
Relatív
szórás
0,39 0,22 0,16
Látható, hogy az A és B részvény kizárólagos birtoklása helyett érdemes a két
részvényből álló portfólióba fektetni a pénzünket, mivel egységnyi várható hozamra
ekkor esik a legkisebb kockázat.
Tudjuk-e tovább csökkenteni a kockázatot a portfóliósúlyok változtatásával? A válasz az,
hogy igen. Ehhez nem kell mást tennünk, mint az egyik portfóliósúly szerint deriválni a
portfólió szórásának képletét, és a derivatívot egyenlővé téve zérussal, átrendezni a
képletet a portfóliósúlyra. A képlet levezetésénél kihasználjuk azt, hogy wB = 1- wA,
továbbá ahol a szórásnak minimuma van, ott a szórásnégyzetnek is minimuma van.
Képlettel:
(4.64)
ds
dw
2*
w
w
A
2
p
A
w
*
Min
A
=
2 2
2 2
( w * s + ( 1−
w ) * s + 2*
w * ( 1−
w ) * Cov(
r ; r ) ) '
A
A
A
B
2 2
2
A * s A − 2*
sB
+ 2*
wA
* sB
+ 2*
Cov(
rA;
rB
) − 4*
wA
* Cov(
rA;
rB
)
2 2
2
2 2
( s A + sB
− 2*
Cov(
rA;
rB
) ) = sB
− Cov(
rA
; rB
)
2
sB
− Cov(
rA;
rB
)
= 2 2
s + s − 2*
Cov(
r ; r )
A
B
A
B
Számoljuk ki, milyen súlyarányok mellett lesz az adott portfóliónk minimális szórású.
Helyettesítsünk be a 4.64 képletbe:
Min 15 + 30
(4.65) w A =
= 0,
333
60 + 15 + 2 * 30
Ha az A részvény súlya 1/3, a B részvény súlya 2/3, a portfólió szórása minimális.
Nézzük meg, hogy mekkora a minimális szórás értéke.
2
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 1 2
60 60 60
(4.66) s p = ⎜ ⎟ * 60 + ⎜ ⎟ * 15 + 2*
* * ( − 30)
= + − 2*
= 0
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3
9 9 9
Látható, hogy amennyiben optimális súlyarányban kombináljuk a két részvényt,
portfóliónk szórása zérus lesz, azaz egy kockázatmentes befektetést kapunk. Azonban
hozamot kapni fogunk, mégpedig várhatóan 1/3*20+2/3*18=18,67%-ot.
Kételemű portfólióból csak akkor tudunk kockázatmentes portfóliót létrehozni, ha a
köztük lévő korrelációs együttható minimális, azaz éppen -1-el egyenlő. A 4.5 ábra az A
és B részvényekből álló portfóliókat tartalmaz, csak a két részvény közötti korrelációs
együttható különbözik. Az egyes vonalak az azonos korrelációs együtthatójú
részvényekből képzett portfóliókat kötik össze. Az indulópont minden esetben a B
A
A
A
B
= 0
35
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
=
36
értékpapír hozama és szórása (18%; 3,87%), a végpont pedig az A értékpapír hozama és
szórása (20%; 7,75%). 10%-onként növelve az A súlyát kapjuk a különböző korrelációs
együtthatók melletti görbéket. Látható, hogy 1 korrelációs együttható mellett, a
portfóliógörbe egy egyenes. Ekkor a portfólió létrehozásával nem tudjuk csökkenteni a
kockázatot. Minél kisebb azonban a korrelációs együttható nagysága, annál hasasabb a
görbe. Azaz kezdetben emelkedik a hozam, miközben a szórás is csökken. A minimális
szórás után már a hozam is, és a kockázat is növekszik. -1-es korrelációs együttható
esetén a szórás zérusra csökken. Sajnos ez az ábrán nem látszik pontosan, mivel az 1/3-os
arány a 30% és a 40% közé esik.
Hozam
4.5 Ábra
Ha a korrelációs együttható értéke -1, akkor a 4.64-es képlet leegyszerűsödik.
(4.67)
20
19,8
19,6
19,4
19,2
19
18,8
18,6
18,4
18,2
s
4. Fejezet – Portólió elmélet
2
Min sB
− Cov(
rA;
rB
)
A = 2 2
sA
+ sB
− 2 * Cov(
rA;
rB
)
B * ( sB
+ sA
) sB
= 2 ( s + s ) sA
+ sB
w
Kételemű portfólió hozama és szórása különböző
korrelációs együtthatók és portfóliósúlyok mellett
18
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
A
B
Szórás
-1 -0,5 0 0,5 1
s − sA
* sB
*
=
s + − 2*
s *
2
A
2
B
2
sB
A
( −1)
s * ( −1)
Behelyettesítve a 4.67-es képletbe, ugyanazt az eredményt kapjuk, mint korábban.
B
=

(4.68)
Min
w A
=
7,
75
3,
87
+
3,
87
=
0,
333
Most nézzük a portfólió javításának harmadik lehetőségét, a portfólióban lévő
értékpapírok elemszámának növelését.
A portfólióban lévő befektetések fajtáinak növelését diverzifikációnak nevezzük.
Tételezzük fel, hogy a portfólióban szereplő értékpapírok szórásnégyzete ugyanakkora
σ 2 . A páronkénti kovarianciák is legyenek ugyanakkorák, értéküket jelölje Cov. Az n
darab értékpapírból álló portfólióban szereplő elemek súlya legyen ugyanakkora, azaz
1/n. A portfólió szórásnégyzetét ekkor a súlyozott kovarianciamátrix elemeinek összege
adja. Ebbe a kovariancimátrixban n darab szórásnégyzet szerepel, és n*(n-1) páronkénti
kovariancia. Minden elem súlya n 2 . Képlettel kifejezve:
2 n n * ( n −1)
(4.69) σ p = * σ + * Cov
2
2
n n
Most tartson n értéke a végtelenbe. Nézzük meg, hogy hogyan alakul a 4.69-es
egyenlőség értéke:
2 n 2 n * ( n −1)
1 2 1
(4.70) σ p = lim * σ + * Cov = * + Cov + * Cov = Cov
2
2
n→∞
n n lim σ
n→∞
n
n
Azaz, a portfólióban növelve az elemek számát, a portfólió szórásnégyzete a páronkénti
kovarianciákhoz tart. Ha az értékpapírok hozamai egymástól függetlenül alakulnának, a
diverzifikációval tökéletesen kockázatmentes befektetéshez juthatnánk. A valóságban
azonban az értékpapírok hozamai nem korrelálatlanok. Vannak olyan makroökonómiai
tényezők, melyek az értékpapírok árfolyamát és következésképpen hozamát, azonos
irányba mozgatják. Néhány ilyen tényező hatását a 4.13-as táblázat mutatja:
4.13 Táblázat
Tényező Hatás az Magyarázat
árfolyamra
Pénzpiaci
kamatlábak
növekedése
Költségvetési
deficit
növekedése
Fizetési mérleg
deficit
növekedés
Gazdasági
növekedés
Csökkentő Ha a kamatlábak növekednek, minden jövőbeli
pénzáram jelenértéke is csökken, és mivel az árfolyam
is pénzáramok jelenértéke, ez is csökken.
Csökkentő A költségvetési költekezés magánberuházásokat szorít
ki, vagy adóbevétel növelés, vagy kamatlábnövekedés
várható.
Csökkentő A fizetési mérleg egyensúly automatikusan
Növelő
leértékelődéssel állhat helyre, ami leértékeli a hazai
valutában nyilvántartott befektetéseket, ha a monetáris
hatóság el akarja kerülni a leértékelődést, a kamatok
emelkedése várható.
A konjunktúra hatására a cégek által megtermelt
pénzáram várhatóan növekszik.
37
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
38
Tényező Hatás az
árfolyamra
gyorsulása
4. Fejezet – Portólió elmélet
Magyarázat
A portfóliónak tehát vannak olyan kockázatai, amelyek diverzifikációval
csökkenthetők, mivel az
4.6
egyes
Ábra
értékpapírok kibocsátóinak gazdálkodási
körülményeitől függenek – ezeket egyedi kockázatoknak nevezzük. Vannak olyan
kockázatok, melyek – eltérő mértékben A diverzifikáció – minden értékpapír hatása árfolyamát
befolyásolják – ezeket piaci kockázatoknak hívjuk.
A 4.6 ábra grafikusan a portfólió kockázatára
jeleníti meg a diverzifikáció
hatását.
Koc-
Ha azonban a
diverzifikációval jelentősen
csökkenthető a kockázat,
akkor érdemes minél több
kázat
Egyedi
kockázat
értékpapírba befektetni. Az
Piaci
elemszám
azonban
növekedésével
a Markowitz-
kockázat
modell adatigénye
exponenciálisan emelkedik.
Részvények darabszáma
Ezért a tudományos kutatás és a gyakorlat igénye új portfólióalkotási modellek
kialakulásához vezetett.
4.4. Tőkejavak ármodellje (CAPM)
A tőkejavak ármodelljét Markowitz tanítványa Sharpe alkotta meg a 60-as évek elején.
Induló adatigénye jóval kisebb, mint a Markowitz-modellé, azonban több olyan
feltételezéssel él, amelyek a valóságban nem, vagy csak többé-kevésbé valósulnak meg.
A tőkejavak ármodelljének kiindulópontja a hatékony portfóliók görbéje.
A hatékony portfóliók görbéje azon portfóliókat összekötő folyamatos vonal,
amelyek adott kockázat mellett a maximális várható hozamot hozzák.
A 4.5 ábrán láthattuk, hogy két értékpapír különböző portfóliói egy, a minimális szórású
pontnál megtörő görbe mentén helyezkednek el. Ez igaz a több elemből álló portfóliókra
is.
A hatékony portfóliók görbéje
A 4.7 ábrán a kockázat és hozam koordináta-rendszerben szerepeltessük az összes
lehetséges befektetést. A lehetséges befektetések burkológörbéit vonal jelzi, ezen belül a
hatékony portfóliók görbéjét Várható vastagított 4.7 Ábra
vonal. A hatékony portfoliók görbéje az A
portfólióban kezdődő, felfelé és hozam jobbra tartó vonal. Az A, B, C, D D portfóliók Hatékony mind portfóló rajta
vannak a hatékony portfóliók görbéjén. Látható az is, hogy Caz
I portfólió G szintén görbéje rajta van
a portfóliók burkológörbéjén, de nem hatékony portfólió, B mivel mind az E, mind a B
F
portfólió jobb nála. Ezért nem igaz az a megállapítás, hogy hatékony portfólió az is, ami
E
H
A
I
Szórás

adott hozam mellett minimális szórású. Az F, G és H portfóliók a görbe és a vízszintes
tengely között helyezkednek el.
CAPM 1. feltétele – A pénzügyi piacok legyenek hatékonyak. Hatékony a piac
akkor, ha az értékpapírok ára azonnal és helyesen tükrözi vissza az értékpapírokra
vonatkozó információkat. Ebben az esetben az értékpapír ára megfelel az
értékpapírból származó pénzáramok jelenértékösszegének.
Hatékony piacon az összes befektetési döntés NPV-je zérus. Hiszen minden értékpapírért
annyi pénzt kell adni, amekkora a bruttó jelenértéke. Képlettel:
n
−r
* ti
(4.71) P : = GPV = ∑ CFi
* e
i=
1
Ahol, GPV – az értékpapír belső értéke, avagy az értékpapírból származó várható
pénzáramok jelenértéke,
n – az értékpapírból származó pénzáramok száma,
CFi – az értékpapír i-dik pénzárama,
r – az értékpapír hozama (folytonos kamatszámítással),
ti – a jelen időponttól az i-dik pénzáram esedékességéig eltelő idő években,
P – az értékpapír árfolyama.
A 4.71-es képletből látszik az is, hogy az értékpapír árfolyama és az értékpapír hozama
egymással fordítottan arányos. Ha az árfolyam csökken, a várható hozam nő és fordítva,
ha a többi tényező változatlan marad.
A piac hatékonysága három dolgot jelent.
1. Informális hatékonyság – az értékpapírra vonatkozó információk azonnal,
mindenki számára ingyenesen hozzáférhetők.
2. Tranzakciós hatékonyság – az értékpapírok vétele és eladása járulékos költségek
nélkül véghezvihető, nincsenek értékpapírtranzakciókat terhelő adók, és akár
töredékrészvényeket is lehet vásárolni, illetve eladni.
3. Allokációs hatékonyság – a befektetők racionálisak (azaz adott hozam mellett a
maximális hozamú befektetést választják), és árelfogadók (azaz egyedi vásárlási és
eladási szándékaikkal nem képesek befolyásolni az értékpapír árát).
Első állítás - Ha a pénzügyi piacok hatékonyak, akkor a piacon létező összes lehetséges
portfólió ráilleszkedik a hatékony portfólió görbéjére.
Tegyük fel, hogy van egy olyan portfólió (például az E), ami a hatékony portfóliók
görbéje alatt található. Az információk nyilvánosak, tehát a befektetők tudomást
szereznek arról, hogy van olyan portfólió (a B jelű), ami ugyanolyan kockázat mellett
magasabb hozamot biztosít, mint az E portfólió. A befektetők racionálisak, ezért eladják
az E portfóliót – miáltal az E portfólió árfolyama esik, várható hozama növekszik – és
megvásárolják B portfóliót – miáltal B portfólió árfolyama nő, várható hozama csökken.
A tranzakciós hatékonyság biztosítja, hogy a kiegyenlítés addig folyik, míg a két azonos
kockázatú portfólió hozama azonos nem lesz.
39
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
40
A CAPM 2. feltétele – Létezzen a gazdaságban kockázatmentes befektetés.
Kockázatmentes a befektetés, ha várható hozamának szórása zérus. Szintén zérus a
kockázatmentes befektetés kovarianciája a többi befektetéssel.
Kockázatmentes akkor a befektetés, ha csak egyetlen jövőben várható hozama lehet. Ha a
lejáratig megtartjuk, akkor a fix kamatozású állampapír ilyen befektetés, mivel az
államok szinte biztos, hogy teljesítik fizetési kötelezettségeiket. Azonban az
állampapíroknak is van kamatkockázatuk, azaz a futamidejük során árfolyamuk a
mindenkori pénzpiaci hozamoknak megfelelően ingadozhat. Mégis a gyakorlatban a
megfelelő lejáratú állampapír hozamát tekintik kockázatmentes hozamnak.
Ábrázoljuk a kockázatmentes hozamot a koordináta rendszerben. Ez a pont az y
tengelyen fog elhelyezkedni - mivel a szórása zérus - a kockázatmentes hozam pontjában.
Most húzzunk érintő egyenest a kockázatmentes befektetésből a hatékony portfólió
görbéjéhez!
A kockázatmentes befektetésből a hatékony portfóliók görbéjéhez húzott érintő
egyenes neve tőkepiaci egyenes (CML).
A CAPM 3. feltétele – Minden befektető vehessen fel kockázatmentes kamatlábon
hitelt a befektetéséhez.
Második állítás – A kockázatmentes befektetésből és a hatékony portfóliók görbéjén lévő
érintési pontban található portfólióból képezhető portfóliókkal a tőkepiaci egyenes
minden pontja lefedhető. Következésképpen minden egyes értékpapír (portfólió) rá fog
illeszkedni a tőkepiaci egyenesre.
Az egyenes képét a 4.8 Ábra mutatja. Látható, hogy a tőkepiaci egyenes a C portfólió
pontjában érinti a hatékony portfólió görbéjét. A második állítás első része azt mondja ki,
hogy ezen portfólióból és a
kockázatmentes portfólióból
képzett portfóliókból a CML
egyenes minden pontja
lefedhető.
Hogyan képzelhető ez el? A
portfóliósúlyok
változtatásával. Ha minden
pénzünket kockázatmentes
eszközbe tesszük, akkor az y
tengelyen vagyunk. Ha
minden pénzünket a C
portfólióba fektetjük, akkor
a CML egyenes C érintési
pontjában. A tőkepiaci
egyenes kockázatmentes
befektetése és a C pont közé
úgy kerülhetünk, hogy
4. Fejezet – Portólió elmélet
4.8 Ábra
Várható
hozam
r f
A tőkepiaci egyenes
A
B
C
D
CML
Hatékony portfólió
görbéje
Szórás

efektetésünket megosztjuk a kockázatmentes befektetés és a C pont között. Nézzük
meg, hogy ez igaz-e.
4.14 Példa
Az alábbi táblázat a tőkepiaci egyenes két pontjának paramétereit tartalmazza.
Megnevezés Kockázat Érintő
mentes portfólió
Hozam 5% 15%
Szórás 0% 20%
Számolja ki annak a portfóliónak a várható hozamát és szórását, amely felerészben
kockázatmentes befektetésből, felerészben az érintő portfólióból áll!
Jelölje w a kockázatos eszköz súlyát, rf a kockázatmentes befektetés hozamát, rc az érintő
portfólió várható hozamát, sf a kockázatmentes befektetés szórását és sc az érintő
portfólió szórását. Helyettesítsünk be a 4.49-es egyenletekbe. Használjuk ki, hogy sf=0,
és Cov(rf; rc)=0.
(4.72)
( 1−
w)
* rf
+ w * rc
= rf
+ w * ( rc
− rf
) = 5%
+ 0,
5*
( 15%
− 5%
) = 10%
2 2 2 2
( 1−
w)
* s + w * s + 2 * ( 1−
w)
* w * Cov(
r ; r ) =
2 2
w * s = w * s = 10%
rp
=
.
s p =
f
c
f c
c
c
Vajon a portfólió (10%; 10%) rajta van-e a tőkepiaci egyenesen. Ismernünk kellene a
tőkepiaci egyenes egyenletét, hogy válaszolhassunk a kérdésre. Egy a+b*X egyenes
egyenletének megadásához két paraméterre van szükség, arra a pontra, ahol metszi az y
tengelyt (a) és az egyenes meredekségére (b). Az a paraméter éppen a kockázatmentes
hozam. A b paraméter értéke pedig (rc – rf)/sc. Behelyettesítve az egyenes egyenletébe,
kapjuk:
rc
− rf
15%
− 5%
rp
= rf
+ * X = 5%
+ * 10%
= 10%
sc
20%
(4.73)
rc
− r
.
f
rf
+ w*
( rc
− rf
) = rf
+ * w*
sc
s
c
Látható, hogy megkaptuk a portfólió hozamát. A képlet második sora pedig annak
illusztrálása, hogy mindez nem a véletlen műve. A w értékének függvényében az egyenes
bármelyik pontjára eljuthatunk.
Vegyük észre azt is, hogy a w értéke nemcsak 0 és 1 közé eshet, hanem bármilyen pozitív
értéket felvehet. Hogyan lehetséges ez? Úgy, hogy több pénzt fektetünk be a piaci
portfólióba, mint a saját pénzünk, és a különbözetet kockázatmentes kamatlábon felvett
hitelből finanszírozzuk. Tételezzük fel, hogy 10 millió forint saját pénzeszköz mellett
még 3 millió forintot szeretnénk befektetni a C portfólióba. A 3 millió forintot
kockázatmentes kamatlábra hitelből finanszírozzuk. A portfólió szempontjából ezt úgy
41
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
42
fogalmazzuk meg, hogy a C portfólió súlya 130% lesz, a kockázatmentes befektetésé –
30%. A portfólió hozama és szórása a következőképpen fog alakulni.
r = −0,
3*
5%
+ 1,
3*
15%
= 18%
(4.74)
= 1,
3*
20%
=
4. Fejezet – Portólió elmélet
s
p
p
26%
A fentiekből viszont az következik, hogy mindenki számára előnyösebb, ha a kockázatos
eszközök kombinációja helyett csak kétfajta eszközbe helyezi a pénzét, kockázatmentes
eszközbe és a C portfólióba. A C portfólió az optimális kockázatos eszközöket tartalmazó
portfólió mindenki számára, függetlenül kockázatviselő képességétől, hiszen az érintési
pont kivételével minden esetben nagyobb hasznosságra juthat, mintha a hatékony
portfóliók görbéjén fektetne be. A kockázatos eszközzel pedig aztán mindenki a
kockázatviselő hajlama szerint keverheti ezt az egyetlen optimális portfóliót.
Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie ennek az optimális portfóliónak?
1. Ha a piacok hatékonyak, akkor az optimális portfóliónak az összes kockázatos
befektetési lehetőséget tartalmaznia kell. Ha nem tennénk ezt, akkor a
diverzifikációval nem szüntetnénk meg az összes lehetséges egyedi kockázatot.
2. Az optimális portfóliónak olyan arányban kell tartalmaznia a kockázatos
befektetési lehetőségeket, ahogy azok értéke aránylik az összes befektetési
lehetőség értékéhez. Hiszen a befektetési arányokat az allokációs hatékonyság
szerint alakulnak, ha ettől eltérne az optimális portfólió, akkor a piacok nem
volnának hatékonyak.
Azt a portfóliót, ami az összes kockázatos befektetési lehetőséget értékarányosan
tartalmazza, piaci portfóliónak nevezzük. Hatékony piacon minden befektető
számára a piaci portfólió az optimális kockázatos eszközöket tartalmazó portfólió.
A CAPM 4. feltétele – Létezzen piaci portfólió és a befektetők szabadon
fektethessenek be a piaci portfólióba.
A piaci portfólió közelítésére általában a tőzsdeindexeket szokták alkalmazni,
Magyarországon a Budapesti Értéktőzsdén a BUX indexet.
A gyakorlatban természetesen a piacok nem hatékonyak, ezért az optimális portfólió nem
feltétlenül egyezik meg az indexszel. A cél a gyakorlatban az, hogy minél meredekebb
tőkeallokációs egyenest tudjunk létrehozni a kockázatmentes befektetés és az általunk
kiválasztott portfólió kombinálásával.
A tőkepiaci egyenes meredeksége egy alapvető mérőszáma a portfólió
attraktivitásának és Sharpe-mutatónak nevezik. Képlete: (rp –rf)/sp. A képlet
számlálója megmutatja, hogy a portfólió hozama hány %-al múlta felül a
kockázatmentes hozamot, míg a nevezője a portfólió kockázatát méri.
A portfólió hozama és a kockázatmentes hozam közötti különbséget kockázati
prémiumnak nevezik, ami azért illeti meg a befektetőt, mert kockázatos eszközt választ
kockázatmentes eszközzel szemben. A portfóliókezelők célja, hogy adott kockázat
mellett maximalizálják a kockázati prémium nagyságát.
.

4.15 Példa
Az alábbi táblázat néhány portfólió várható éves hozamát és a hozamok szórását
mutatja.
Portfólió A B C D
Hozam 10% 20% 30% 40%
Szórás 15% 18% 20% 30%
A kockázatmentes kamatláb 5%. Mekkora az egyes portfóliók Sharpe-mutatója?
Melyik portfólióba fektetné a pénzét
1. egy kockázatkedvelő,
2. egy kockázatkerülő
befektető?
Számoljuk ki az egyes portfóliók Sharpe-mutatóját!
(4.75)
S
S
S
S
A
B
C
D
E
=
( r )
A
s
− r
A
20%
− 5%
= =
18%
30%
− 5%
= =
20%
40%
− 5%
= =
30%
f
10%
− 5%
= =
15%
0,
83
1,
25
1,
17
0,
33
A második kérdésre pedig az a helyes válasz, hogy mind a kockázatkedvelő, mind a
kockázatkerülő befektető C portfólióba fogja fektetni a pénzét, mivel ezzel kerül a
legmeredekebb tőkepiaci egyenesre. (Ennek a legnagyobb a Sharpe-mutatója.) A
különbség csak abban lesz közöttük, hogy a kockázatkerülő befektető több állampapírt
fog a C portfólió mellé vásárolni, míg a kockázatkedvelő kevesebbet, vagy inkább
kockázatmentes kamatlábon még hitelt is felvesz.
Megjegyzés: Tehát, ha van kockázatmentes hozam, akkor nem a portfóliók relatív
szórása alapján történik a
portfóliók közötti választás,
hanem a Sharpe-mutató
szerint.
A 4.8 ábra mutatja az egyes
portfóliók által képzett
tőkeallokációs egyeneseket.
Ezek közül a
legmeredekebb a C által
képzett egyenes, ezért
minden racionális befektető
arra fog törekedni, hogy
4.8 Ábra
.
A különböző portfóliók tőkeallokációs egyenese
Várható
hozam
40%
30%
20%
10%
A
B
C
43
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
10% 20% 30%
D
Szórás
44
ennek és a kockázatmentes befektetésnek a kombinációjával képezzen portfóliókat, hogy
egységnyi kockázatra a legnagyobb várható kockázati prémiumhoz juthasson.
Bebizonyítottuk, hogy a kockázatmentes eszköz és a piaci portfólió kombinációival le
tudjuk fedni a teljes tőkepiaci egyenest. Ha ez igaz, akkor a piaci portfólió kivételével a
többi, a hatékony portfólió görbéjén lévő portfólió már nem hatékony többé. Hiszen
magasabb hozamot tudunk elérni a kockázatmentes eszköz és a piaci portfólió
kombinálásával, ugyanolyan kockázat vállalása mellett. Ennek hatására ezen portfóliók
értéke esik, várható hozamuk pedig emelkedik, egészen addig, míg rá nem illeszkednek a
tőkepiaci egyenesre.
Harmadik állítás – Ha az egyedi kockázatokat a diverzifikációval meg lehet szüntetni,
akkor hozam ezek után nem jár. A várható hozam csak az után a kockázat után jár,
amivel az adott papír járul hozzá a piaci portfólió kockázatához.
A piaci portfólió kockázatához való hozzájárulás mérőszáma a béta. Képlete:
(4.76)
Cov
4. Fejezet – Portólió elmélet
( r ; r )
i m
β i = 2 . σ m
Ahol, Cov(ri;rm) – az i-dik értékpapír és a piaci portfólió hozama közötti kovariancia,
σm 2 – a piaci portfólió varianciája,
βi – i-dik értékpapír bétája.
A béta megmutatja, ha a piac kockázati prémiuma 1%-al változik, várhatóan hány
%-al változik az adott papír kockázati prémiuma.
Tehát, ha
1. β>1, akkor ha egy százalékkal nő a piac kockázati prémiuma, akkor az adott
papíré várhatóan 1%-nál nagyobb mértékben nő.
2. β=1, akkor ha egy százalékkal nő a piac kockázati prémiuma, akkor az adott
papíré is várhatóan 1%-al nő.
3. 0

ealizálja a piaci kockázattal arányos hozamot, hogy nemcsak a piaci kockázatot, hanem
az egyes értékpapírok egyedi kockázatát is felvállalja. Hatékony piacon csak a piaci
portfólióba érdemes befektetni, amit csak a nagybefektetők tudnak alacsony tranzakciós
költségek mellett megtenni.
Helyettesítsük be a bétát a vízszintes tengelyen a szórás helyébe a várható hozam-szórás
koordináta tengelybe! A kockázatmentes befektetés bétája zérus lesz, mivel a
kockázatmentes befektetés kovarianciája minden kockázatos befektetéssel is zérus.
Vegyük észre, hogy a piaci portfólió bétája éppen egységnyi!
2
Cov(
rm;
rm
) σ m
(4.77) β m = = = 1
2
2
σ m σ m
Ha az értékpapírok egyedi kockázata nem számít, mivel diverzifikálható, az egyes
befeketetések tőkeallokációs egyenesen való elhelyezkedése a piaci portfólió
kockázatához való hozzájárulásuktól – azaz bétájuktól – függ.
Az értékpapírpiaci egyenes megmutatja, hogy adott bétájú értékpapírnak mekkora
a várható hozama, ha ismert a kockázatmentes hozam és a piaci portfólió várható
hozama.
Az értékpapírpiaci egyenes képét a 4.9 ábra mutatja. Az értékpapírpiaci egyenes nagyon
hasonlít a tőkepiaci egyeneshez, csak a koordináta rendszer vízszintes tengelyén nem az
értékpapír szórása, hanem a bétája szerepel. Ahhoz, hogy megtudjuk az egyes
értékpapíroknak mekkora a várható hozamuk, csak a bétájukat, illetve az értékpapír-piaci
egyenes egyenletét kell ismernünk.
A CAPM 5. feltétele –
Minden befektető
egységesen egy évre fekteti
be a pénzét.
Az ötödik feltétellel
elkerüljük az évesítésből
adódó problémákat, továbbá
a kockázatmentes hozamot
biztosan realizálni fogjuk.
Az egyenes egyenletéhez
ismernünk kell azt a pontot,
ahol metszi az y tengelyt, és
a meredekségét. Az
értékpapír-piaci egyenes
ugyanott metszi az y
tengelyt, ahol a
tőkeallokációs egyenes,
mégpedig a kockázatmentes
4.9 Ábra
Várható
hozam
E(r m)
Az értékpapír-piaci egyenes
r f
0
1
Béta
hozamnál. Az egyenes meredeksége az az érték, amekkorával az y növekszik, ha az x egy
M
SML
45
Hatékony portfóliók
görbéje
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
46
egységgel nő. Ez pontosan a kockázati prémium értéke, hiszen az egységnyi pontban
éppen a piaci portfólió van. Az egyenes egyenlete tehát:
E r = r + E r − r * β
(4.78) ( ) ( )
4. Fejezet – Portólió elmélet
i
f
[ m f ] i
Ahol, E(ri) – az i-dik értékpapír várható hozama,
E(rm) – a piaci portfólió várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
βi – i-dik értékpapír bétája.
A 4.78-as képlet a CAPM modell lényege. E szerint egy értékpapír várható hozama csak
egy egyedi tényezőtől függ, nevezetesen attól, hogy milyen a piaci kockázatra vonatkozó
érzékenysége, azaz a bétája. Az egyenlet másik két tényezője makroszintű, ez a
kockázatmentes hozam és a piac várható kockázati prémiuma.
A béták fontos tulajdonsága, hogy egy portfólió bétája a béták súlyozott átlaga. Ebből
következik, hogy a CAPM modell alkalmazása esetében a becsülendő paraméterek száma
a Markowitz-modellhez képest drasztikusan csökken. Egy tökéletesen diverzifikált, n
elemű portfólió relatív szórásának kiszámításához meg kell becsülni:
1. 1 darab várható piaci hozamot,
2. n darab bétát.
4.16 Példa
Néhány értékpapír bétáját az alábbi táblázat mutatja:
Értékpapír A B C D E
Béta -0,5 0 0,5 1 1,5
Az egy év múlva lejáró diszkont kincstárjegy hozama 5%. A piaci index várható
hozamát 25%-ra becsültük. Mekkora lesz az egyes értékpapírok várható hozama, ha
feltételezzük, hogy a CAPM modell feltételezései igazak?
Helyettesítsünk be a 4.78-as képletbe!
β = 5%
+ 25%
− 5%
* − 0,
5 = −5%
(4.79)
β =
β =
β
A
B
C
D
=
β =
E
5%
5%
5%
5%
+
+
+
+
( ) ( )
( 25%
− 5%
) * 0 = 5%
( 25%
− 5%
) * 0,
5 = 15%
( 25%
− 5%
) * 1 = 25%
( 25%
− 5%
) * 1,
5 = 35%
Látható, hogy a béta minden fél egységnyi emelkedése a várható hozamot 10%-al növeli
meg. Ez azért van, mivel a kockázati prémium 20%, annak fele 10%. Érdekesség, hogy a
negatív bétájú értékpapír várható hozama is negatív. Felmerülhet a kérdés, hogy miért
tartsunk negatív várható hozamú papírt. Az A papír értékét az adja, hogy hozama
várhatóan ellentétesen fog mozogni a többi papír hozamával. Azaz, ha a piac
várakozásainkkal ellentétben nem növekedni, hanem esni fog, az A papír tartásával
ellensúlyozni tudjuk legalább részben portfóliónk értékvesztését.

4.5. Indexmodell
A CAPM-modellt a portfólióbefektetők közvetlenül viszonylag ritkán használják, annak
ellenére, hogy adatigénye viszonylag kevés. Ennek okai a következők:
1. A CAPM feltételezései a valóságban nem teljesülnek. Különösen a hatékony
piacok feltételezése irreális. Az információk nem azonnal jutnak el minden
befektetőhöz, az információkat a befektetők eltérően értékelik, és a piachoz való
hozzáférésük is különböző lehet. Ezért az egyes értékpapíroknak piaci
kockázatukhoz képest eltérő várható hozamuk is lehet.
2. A tőzsdeindexek nem képezik le a piacon eszközölhető összes befektetést, sőt a
portfóliókezelők az alul- és túlértékelt részvényekre vadászva tudatosan is eltérnek
a tőzsdeindexben levő portfólióarányoktól. Ebből következik, hogy nem tudják
tökéletesen megtisztítani portfóliójukat az egyedi kockázattól, amit figyelembe kell
venni.
3. A béták becslése a béták számításának eredeti képletével (4.78) statisztikai
problémákat is felvet. A piaci index és az egyes értékpapírok hozamai ugyanis
idősorok, a kovariancia számítás azonban egymástól független mintavételek
eredményeinek összehasonlítására dolgozták ki. Ha a piacok hatékonyak, az egyes
napok hozamai valóban egymástól függetlenül alakulnak, ha azonban nem azok,
akkor például tendenciaszerűen alakulhatnak a pozitív és negatív hozamok, ahogy
a jó, illetve a rossz hírek elterjednek a befektetők között. Ha nem tételezünk fel
hatékony piacokat, akkor a béták becslésére más módszert alkalmazhatunk, aminek
statisztikai szignifikanciája is jobban ellenőrizhető.
A fenti problémák orvoslására fejlesztette ki Sharpe az indexmodellt, mint a CAPM
gyakorlati alkalmazását. Az indexmodell fő statisztikai eszköze az egytényezős
regressziószámítás, amit az adott értékpapír kockázati prémiuma, mint függő változó, és a
piaci index kockázati prémiuma, mint független változó között végeznek el.
Az indexmodellben egy adott értékpapír várható hozamát az alábbi egyenlettel lehet
kifejezni:
(4.80) ( r ) r = + E(
r )
i
f
i
[ m − rf
] i ei
E − α * β +
Ahol, E(ri) – az i-dik értékpapír várható hozama,
E(rm) – a piaci portfólió várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
βi – az i-dik értékpapír bétája,
αi – az i-dik értékpapír CAPM által nem magyarázott, abnormális hozama,
ei – az i-dik értékpapír hozamának az a része, amit véletlen tényezők magyaráznak.
A CAPM-hez képest az alfa és az e paraméter az új. Ha egy olyan információ van a
birtokunkban, amiről úgy gondoljuk, hogy a piac még nem vette figyelembe, a papír
hozama eltérhet a CAPM által előrejelzettől. Ez az abnormális hozam, hiszen hatékony
47
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
48
piac esetén nem létzezne. Az e paraméter pedig arra utal, hogy a jövőben a hozamot
különböző, előre nem látható tényezők hatása is módosíthatja.
A 4.3. fejezetben már láttuk, hogy egy értékpapír kockázata egyedi és piaci kockázatra
bomlik. Az egyedi kockázat a diverzifikációval megszüntethető, míg a piaci kockázat
nem. Az egyedi kockázat a vállalat egyedi teljesítményétől függ, míg a piaci kockázat a
vállalat teljesítményének és a piac teljesítményének hosszú távú kapcsolatától függ, amit
a bétával mérünk. Tételezzük fel, hogy az egyedi kockázat és a piaci kockázat egymástól
független, azaz statisztikai terminológiával élve, legyen a kovarianciájuk zérus. Egy papír
szórása ekkor a következőképpen írható fel:
(4.81)
s = β s + s
4. Fejezet – Portólió elmélet
i
2 2 2
i * m e
Ahol, E(ri) – az i-dik értékpapír várható hozama,
E(rm) – a piaci portfólió várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
si – az i-dik értékpapír szórása,
βi – az i-dik értékpapír bétája,
sm – a piaci portfólió szórása.
Most nézzük ugyanezen egyenleteket egy portfólió esetében! Ha feltételezzük, hogy a
portfólióban lévő értékpapírok egyedi kockázatai közötti kovariancia is zérus, továbbá a
papírok egyedi és piaci kockázatai között sincs kapcsolat, akkor két értékpapír hozamai
közötti kovariancia felírható bétáik és a piaci portfólió varianciájának szorzataként.
Képlettel:
Cov ri
; rj
= βi
* β j * sm
(4.82) ( ) 2
Egy portfólió hozama és szórása az alábbiakban határozható meg:
E
n
n
n
( rp
) − rf
= ∑wi* αi
+ [ E(
rm
− rf
) ] * ∑wi* βi
+ ∑
i=
1 i=
1 i=
1
w * e
(4.83)
n
2
n
2 ⎛ ⎞
2 2
s p = sm
* ⎜∑
βi
⎟ + ∑ wi
* s(
ei
)
⎝ i=
1 ⎠ i=
1
A 4.83-as táblázatból látszik, hogy az indexmodell alkalmazása esetében hány paramétert
kell megbecsülni egy n-elemből álló portfólió esetén:
1. 1 darab piaci portfólió várható hozamot,
2. 1 darab piaci portfólió szórást,
3. n darab alfát,
4. n darab bétát,
5. n darab egyedi szórást.
i
i

Ez egy 10 elemből álló portfólió esetén összesen 32 darab adat megbecslését jelenti, nem
pedig 65-t, mint a Markowitz-modell esetében. Az esetek többségében az egyedi szórást,
és a bétákat pedig nem becsülik, hanem múltbeli adatokból számolják ki. A módszer
leírása a következő:
1. Az elmúlt évi árfolyamadatokból meghatározzuk az adott értékpapír és a piaci
index napi hozamait, majd évesítik őket.
2. Az időszak elején kibocsátott éves lejáratú diszkont kincstárjegy hozamát kivonjuk
mind az index, mind az adott értékpapír hozamaiból, így meghatározzuk az index
és az adott értékpapír napi kockázati prémiumait.
3. A kapott értékeket koordináta rendszerben ábrázoljuk, amelynek vízszintes
tengelye az index kockázati prémiuma, a függőleges tengelye az adott értékpapír
kockázati prémiuma.
4. A legkisebb négyzetek elve alapján regressziós egyenest illesztünk a pontokhoz és
meghatározzuk annak jellemzőit.
Azt a regressziós egyenest, amit úgy állítunk elő, hogy a piaci index kockázati
prémiumának függvényében ábrázoljuk egy értékpapír kockázati prémiumát, az
adott értékpapír karakterisztikus egyenesének nevezzük.
A regressziós kapcsolat kimenetét, annak statisztikai és közgazdasági értelmezését a
4.13-as táblázat mutatja.
4.13 Táblázat
Kimenet Jelölése Statisztikai értelmezése Közgazdasági értelmezése
Alfa α Az a pont, ahol a regressziós
egyenes metszi a függőleges
tengelyt
Tapasztalati
béta
Paraméterek
standard hibája
β A regressziós egyenes
meredeksége.
s(α),
s(β)
Regressziós egyenes
paramétereinek standard
hibája a t statisztika szerint
segít meghatározni, hogy
adott szignifikancia-szinten
milyen sávban alakulhat a
tényleges paraméterérték.
49
Abnormális hozam, ami, ha
szignifikánsan pozitív, akkor
az értékpapír alulértékelt, ha
szignifikánsan negatív, akkor
az értékpapír felülértékelt.
Megmutatja, hogy várhatóan
az index kockázati
prémiumának egységnyi
növekedése esetén az adott
értékpapír kockázati
prémiuma hány egységgel nő
(csökken).
A paraméterek értéke 95%-os
szignifikancia-szinten a kapott
paraméterérték ± a standard
hiba kétszeresén belül van.
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
50
Kimenet Jelölése Statisztikai értelmezése Közgazdasági értelmezése
Determinációs
együttható
Reziduumok
varianciája
R 2
se 2
4. Fejezet – Portólió elmélet
Függő változó varianciájának
mekkora részét magyarázza a
független változó varianciája.
A korreláció négyzetre
emelve.
A függő változó
varianciájának az a része,
amit nem a független változó
magyaráz.
Mennyiben magyarázza az
adott értékpapír kockázati
prémiumát a piaci kockázat.
A vállalatspecifikus, egyedi
kockázat által magyarázott
variancia.
Ahhoz, hogy a regressziós görbe jól illeszkedjen, a reziduumok várható értékének
zérusnak kell lennie, eloszlásuknak normálisnak, és az egymást követő reziduumoknak
véletlenszerűen kell elhelyezkedniük.
Mivel az R 2 a piaci tényezők által magyarázott részt mutatja az értékpapír hozamának
varianciájában, ezért értéke a kulcs a hozam varianciájának kiszámításához. Képlettel:
2 2
2 * sm
R = ; 2
s
(4.84) 2
2 s()
e
1−
R = 2
s
β
Vessünk egy pillantást a Matáv 2002-es karakterisztikus egyenesére. 2002 január elsején
az éves lejáratú állampapírok hozama 9% volt. Számoljuk ki a napi kockázatmentes
hozamot!
ln(
1,
09)
250
(4.85) 1,
09 − 1 ≈ = 0,
034%
250
Feltételezem, hogy az éves kockázatmentes hozam nem változott az év folyamán. Ha a
fenti igen alacsony %-ot kivonom a BUX és a Matáv napi hozamaiból, megkapom a
BUX és a Matáv
kockázati prémiumait. A A Matáv 2002-es karakterisztikus egyenese
regressziós egyenest és a
pontok halmazát a 4.10
6,760%
ábra mutatja. A
4,800%
karakterisztikus egyenes
statisztikájának jellemző
2,800%
adatai:
0,800%
Alfa = -0,08%
-8,000% -6,000% -4,000% -2,000% -1,200% 0,000% 2,000% 4,000% 6,000%
St(alfa) = 0,09%
-3,200%
Béta = 1,14
St(béta) = 0,06
-5,200%
Matáv kockázati prémiuma
-7,200%
-9,200%
Piac kockázati prémiuma

R 2 =0,61
A karakterisztikus egyenesből az alábbi következtetések állapíthatók meg a Matáv
részvény esetében. A Matáv tapasztalati bétája 1,14, azaz, ha a piac kockázati prémiuma
1%-al nő, akkor a Matáv részvény kockázati prémiuma 1,14%-al változik. Ha
feltételezzük, hogy a reziduumok eloszlása normális, 0 várható értékkel, akkor 95%-os
szignifikancia szinten állíthatjuk, hogy a valós béta 1,02 és 1,26 között van. Az alfa
értéke -0,08, ami a 0,09%-os standard hibához képest igen kicsi, ezért nem utasíthatjuk el
a feltételezést, hogy az alfa 0 (azaz a részvény a CAPM szerint helyesen árazott). A piac
által magyarázott variancia 61%, azaz a piaci tényezők 61%-át magyarázzák a Matáv
részvény teljes varianciájának, 39%-ot a vállalatspecifikus variancia magyaráz.
A karakterisztikus egyenes általánosabban használt béta-meghatározási technika, mint a
közvetlen képletbehelyettesítéses módszer, mivel grafikusan szemléltethető, és a
regressziószámítás miatt statisztikailag is könnyebben tesztelhető.
Az Egyesült Államokban az egyes értékpapírok karakterisztikus egyenesének
statisztikáját a Wall Street Journal folyóirat naponta közli. Ott számolnak úgynevezett
korrigált bétát is, aminek a következő a képlete:
korr 2 1
(4.86) β i = * βi
+ * 1
3 3
Ahol, βi – az i-dik értékpapír bétája,
βi korr – az i-dik értékpapír korrigált bétája.
A korrekció magyarázata, hogy tapasztalatok szerint a karakterisztikus egyenes bétája
távolabb van az 1-től, mint az igazi béta, ezért a fenti képlettel az 1 felé térítjük. A fenti
képlet 1-nél kisebb tapasztalati béta esetében növeli, 1-nél nagyobb béta esetében
csökkenti a korrigált béta értékét. A Matáv esetében a korrigált béta értéke a következő:
korr 2 1
(4.87) β i = * 1,
14 + * 1 = 1,
09
3 3
Ha a standard hibákat a korrigált bétával vetjük össze, már nem vethetjük el 95%-os
valószínűséggel, hogy a béta nem 1, azaz a Matáv nem átlagos kockázatú.
Nézzünk egy példát az indexmodell alkalmazására!
4.17 Példa
Tételezzük fel, hogy az indexmodell az A és B részvényekre a következő becsléseket
adja:
Részvény Alfa Tapasztalati Determinációs
béta együttható
A 3 0,70 0,20
B 4 1,20 0,30
A piaci index szórása 25%, várható hozama 30%. Az éves kincstárjegy hozama 8%.
a) Konzisztens-e a két regresszió tengelymetszete a CAPM-mel?
51
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
52
b) Mekkora az egyes részvények teljes szórása és várható hozamuk? Mekkora a
papírok relatív szórása? Mekkora a Sharpe-mutatójuk?
c) Bontsa fel az egyes részvények varianciáját szisztematikus és vállalatspecifikus
részekre!
d) Mekkora a két részvény kovarianciája és korrelációs együtthatója?
e) Mekkora a kovariancia az egyes részvények és a piaci index között!
f) Készítsen maximális Sharpe-mutatójú portfóliót az A és B részvényből, ha a
piaci indexbe való befektetés nem megengedett!
A CAPM szerint nem lehetne abnormális hozama egy értékpapírnak. Itt mindkét
értékpapírnak pozitív alfája, ami azt jelzi, hogy mindkét papír alulértékelt.
Nézzük mekkora az egyes részvények szórása! Rendezzük át a 4.84-es képletet a teljes
szórásra, és helyettesítsünk be!
(4.85)
2
β A * s
2
R
2
1,
20 * 0,
25
0,
30
4. Fejezet – Portólió elmélet
s
s
A
B
=
=
2
m
=
2
0,
70 * 0,
25
0,
20
2
=
0,
55
2
=
0,
39
A B értékpapír kockázata magasabb, mint az A értékpapír kockázata. A várható hozamot
a 4.80-as képletbe történő behelyettesítéssel kapjuk.
(4.86)
E
[ ] + ( 30%
−8%
)
( rA
) = α A + rf
+ E(
rm
) − rf
* A = 3%
+ 8%
( r ) = 4%
+ 8%
+ ( 30%
−8%
) * 1,
2 = 38,
4%
E β
B
* 0,
7
=
26,
4%
A B értékpapír várható hozama nagyobb, mint az A részvényé, aminek oka a magasabb
bétája és kisebb részben az, hogy az alfája is 1%-al magasabb. Az A részvény relatív
szórása 0,39/0,264=1,48; a B részvény relatív szórása 0,55/0,384=1,43. Ha csak A vagy
csak B részvénybe fektethetjük a pénzünket, akkor B-be érdemes, mivel ennek kisebb a
relatív szórása.
Ha azonban van kockázatmentes befektetés (kincstárjegy), akkor az értékpapír
szórásához annak kockázati prémiumát kell vetíteni, amit a Sharpe-mutató ad meg
nekünk. Az A részvény Sharpe-mutatója (26,4%-8%)/39%=0,47; a B részvény Sharpemutatója
(38,4%-8%)/55%=0,55. A B részvény Sharpe mutatója a nagyobb, ezért a B
részvényt fogjuk a kockázatmentes befektetéssel kombinálni.
A szórások felbontása a 4.81-es képlet alapján történik. A piac által magyarázott szórás
az egyes részvények esetén:
(4.87)
m
sA = β A * s
m
s =
B
m
=
1,
20 * 0,
25
0,
70 * 0,
25
=
0,
30
=
0,
18
A vállalatspecifikus szórás kiszámítása a 4.81-es képlet átrendezésével történik:

(4.88)
s
( eA
) =
2
sA
−
2 2
A * sm
= 0,
39
( e ) =
2 2
0,
55 − 0,
30 = 0,
46
s β
B
2
− 0,
18
2
= 0,
35
A vállalatspecifikus és a piaci szórás összevetéséből látható, hogy az A papír
kockázatának varianciáját jobban magyarázzák vállalatspecifikus, egyedi tényezők, mint
a B értékpapírét.
A kovariancia kiszámításához behelyettesítünk a 4.82-es képletbe. A korreláció
kiszámításához a kovarianciát osztjuk a két részvény teljes szórásával.
(4.89)
( rA;
rB
) = β A *
Cov(
r ; r )
Cov β * s
R
AB
=
A
A
s * s
B
B
B
2
m
2
= 0,
70*
1,
20*
0,
25 = 5,
25%
0,
0525
= =
0,
39*
0,
55
0,
24
A két értékpapír közötti alacsony korreláció már azt jelzi, hogy érdemes a két papírból
portfóliót képezni.
Most az optimális Sharpe-mutatójú portfóliót keressük. Az A értékpapír súlyát a 4.64-es
képlet átalakításával nyerjük.
(4.90)
w
Max
A
=
2
[ E(
rA
) − rf
] * sB
− [ E(
rB
) − rf
] * Cov(
rA;
rB
)
2
2
[ E(
r ) − r ] * s + [ E(
r ) − r ] * s − [ E(
r ) + E(
r ) − 2*
r ] * Cov(
r ; r )
A
f
B
Ahol, E(rA) – az A értékpapír várható hozama,
E(rB) – a B értékpapír várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
sA – az A értékpapír szórása,
sB – a B értékpapír szórása,
Cov(rA;rB) – az A és a B értékpapír közötti kovariancia,
wA Max – a maximális Sharpe mutatójú portfólióban A értékpapír súlya.
Mivel minden adat rendelkezésünkre áll, helyettesítsünk be a 4.90-es képletbe!
(4.91)
Max
wA
=
2
( 26,
4%
− 8%
) * 55%
− ( 38,
4%
− 8%
) * 5,
25%
2
2
( 26,
4%
− 8%
) * 55%
+ ( 38,
4%
− 8%
) * 39%
− ( 26,
4%
+ 38,
4%
− 2*
8%
)
B
f
A
A
B
53
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
f
* 5,
25
A
B
= 51,
54%
Ha az A részvény súlya 51,54%, akkor B részvény súlya 1-51,54%=48,46%
Helyettesítsünk be a 4.49-es képletekbe, hogy megkapjuk a portfólió várható hozamát és
szórását!
54
(4.92)
E
s
( r )
p
p
=
= 0,
5154 * 26,
4%
+
2 2
0,
5154 * 39%
+
4. Fejezet – Portólió elmélet
0,
4846 * 38,
4%
= 32,
22%
2
0,
4846 * 55%
+
2 * 0,
5154 * 0,
4846 * 5,
25%
= 37,
06%
A portfólió Sharpe mutatója (32,22%-8%)/37,06%=0,65, ami tényleg jobb, mint akár az
A, akár a B részvény Sharpe mutatója. De vajon jobb-e, mint a piaci indexé. A piaci
index Sharpe mutatója (30%-8%)/25%=0,88, ami jobb, mint az A és B részvényből
képzett legjobb portfólióé. Piaci portfólióba tehát annak ellenére érdemesebb fektetni a
pénzt, hogy mind az A, mind a B részvény alulértékelt.
4.5.1. Treynor-Black modell
Az előző feladatból azt láttuk, hogy a piaci index jobb, mint a két részvényből képzett
maximális Sharpe-mutatójú portfólió. De mi lenne, ha a két indexből képzett
portfóliónkat kombinálnánk a piaci indexével. Nem kerülhetnénk-e jobb helyzetbe? Erre
a választ a Treynor-Black modell adja meg, ami az indexmodell egy alkalmazása. A
modell lényege a következő:
1. Néhány értékpapírról feltételezem, hogy nem helyesen árazottak. Ezekről a
papírokról igyekszem a legtöbb információt beszerezni és meghatározni
karakterisztikus egyenesük jövőbeni képét. A vizsgálaton kívüli papírokról
felteszem, hogy helyesen árazottak.
2. Becslést adok a piaci indexportfólió várható hozamára és szórására, továbbá
megtudom az éves lejáratú állampapír hozamát.
3. Az általam elemzett értékpapírokból létrehozok egy úgynevezett aktív portfóliót.
Az aktív portfóliónak előnyei és hátrányai is vannak az úgynevezett piaci
portfólióval szemben. Egyrészt a papírok tartásával realizálni tudom a papírok
abnormális hozamát, azaz az alfáját. Azonban, mivel piaci indexbeli súlyuknál
nagyobb mértékben tartom ezeket a papírokat, a vállalatspecifikus kockázatukat
nem szüntetem meg teljesen, az terhelni fogja a portfóliómat. Akkor járok el
helyesen, ha egy egységnyi vállalatspecifikus varianciára a legnagyobb abnormális
hozamot érem el. Ezért az aktív portfólión belül a súlyokat az α/s 2 (e) hányados
szerint fogom képezni.
4. Ha megfelelő súlyok szerint képeztem az aktív portfóliót, akkor meghatározom az
aktív portfólió alfáját, tapasztalati bétáját és az aktív portfólió vállalatspecifikus
varianciáját. A Treynor-Black modell is fenntartja az indexmodell feltételezéseit a
vállalatspecifikus szórások, továbbá a piaci szórás korrelálatlanságáról.
5. Egy képletpár segítségével meghatározom az aktív portfólió súlyát.

(4.93)
w
A
=
1+
w0
=
E
0
( 1−
β )
α
2
s () e
( r ) − r
m
w
f
A
s
* w
2
m
0
Ahol, α - az aktív portfólió abnormális hozama,
E(rm) – a piaci index várható hozama,
rf – a kockázatmentes befektetés hozama,
s 2 (e) – az aktív portfólió vállalatspecifikus varianciája,
s 2 m – a piaci index varianciája
wA – az aktív portfólió súlya a teljes kockázatos portfólión belül.
Az aktív portfólió súlyaránya annál nagyobb lesz, minél nagyobb abnormális hozamot
tudunk elérni, minél kisebb vállalatspecifikus variancia felvállalásával. A w0 súly
nevezője a piaci index Sharpe-mutatója. Az aktív portfólió súlya attól függ, mennyivel
tud attraktívabb lenni az aktív portfólió a piaci indexhez képest. A Treynor-Black modell
működését a 4.17-es példa adataival a 4.10 ábra szemlélteti.
Az ábrán bejelöltük az A és B értékpapírokat, valamint a tőkepiaci egyenest. A tőkepiaci
egyenesen M-el jelöltük a piaci indexet. Az ábrán az A és B portfóliót összekötő görbe a
két papírból képzett lehetséges portfóliókat jelenti. A P portfólió az az A és B papírból
képzett portfólió, amelynek maximális a Sharpe-mutatója. Látható, hogy a P portfólió
sem hatékony portfólió, mivel bőven a tőkepiaci egyenes alatt található. Ha azonban a P
portfóliót kombináljuk a
piaci portfólióval, az M és a
P portfólió közötti vonalra
kerülhetünk, amelynek egy
kis része már a tőkepiaci
egyenes felett van. Keressük
azt a pontot ezen görbén,
aminek maximális a Sharpemutatója
(ezt P’-vel
jelöltuk).
Először kiszámoljuk az
aktív portfólión belüli
súlyokat, majd ezen súlyok
alapján meghatározzuk az
aktív portfólió alfáját,
bétáját és vállalatspecifikus
varianciáját. Az aktív
portfólió alfája és bétája az
4.10 ábra
Várható
hozam
40%
30%
20%
10%
r f
A Treynor-Black modell
P'
M
P
55
10% 20% 30% 40% 50% 60%
Szórás
A
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások
B
56
alkotóelemek alfáinak, illetve bétáinak súlyozott átlaga lesz. A portfólió
vállalatspecifikus varianciájának kiszámításakor azzal a feltételezéssel élünk, hogy az
egyes elemek vállalatspecifikus elemei egymással és a piaci kockázattal szemben is
korrelálatlanok. A portfólió vállalatspecifikus szórását akkor az alábbi képlettel lehet
kiszámítani:
n
∑
i=
1
2
2 2
(4.94) s ( ep
) = wi
* s ( ei
)
Ahol, wi – az i-dik értékpapír portfóliósúlya,
s 2 (ep) – a portfólió vállalatspecifikus varianciája,
s 2 (ei) – az i-dik értékpapír vállalatspecifikus varianciája,
n – a portfólióban lévő papírok száma.
A számításokat a 4.14-es táblázat tartalmazza.
4.14 Táblázat
Részvény Alfa Tapasztalati
béta
4. Fejezet – Portólió elmélet
Vállalatspec
. szórás
alfa/válspec
szórásnégyzet
Súly Alfa Béta Vállspec.
szórásnégyzet
A 3% 0,7 35% 0,245 56,3% 1,7% 0,39 3,9%
B 4% 1,2 46% 0,190 43,7% 1,8% 0,53 4,0%
0,435 100% 3,4% 0,92 7,9%
A vállalatspecifikus szórást az előző fejezetben már kiszámoltuk. Az ötödik oszlopban az
alfát osztottuk a vállalatspecifikus szórásnégyzettel. Ez az A részvény esetében
0,03/0,35^2=0,245; a B részvény esetben 0,04/0,46^2=0,190. A két szám arányában
képezzük az aktív portfólió súlyait. A két hányadost először összeadjuk –
0,245+0,190=0,435, majd képezzük az A részvény súlyát, ami 0,245/0,435=56,3% és a B
részvény súlyát, ami 0,190/0,435=43,7% lesz.
Ezután kiszámoljuk az aktív portfólió alfáját, bétáját és vállalatspecifikus szórását!
(4.95)
α =
p
β =
s
2
p
n
∑
i=
1
n
∑
i=
1
w * α = 0,
563*
3%
+ 0,
437 * 4%
= 3,
4%
i
i
n
2 2
( ep
) = ∑ wi
* s ( ei
)
i=
1
i
w * β = 0,
563*
0,
70 + 0,
437 * 1,
20
i
2 2
2
= 0,
563 * 0,
35 + 0,
437 * 0,
46
=
0,
92
2
= 7,
9%
Most helyettesítsünk be a 4.93-as képletekbe, hogy megkapjuk az aktív portfólió súlyát a
maximális Sharpe mutatójú piaci indexszel kombinált portfólióban.

(4.96)
w
0
=
w*
=
1+
0,
034
( 0,
30 − 0,
08)
12%
( 1−
0,
92)
0,
079
2
0,
25
* 12%
= 12%
= 12%
Mivel az aktív portfólió bétája közel van az 1-hez, a módosító képlet igen közel esik a w0
súlyhoz. Ha az aktív portfólió súlya 12%, akkor a piaci index súlya 88% lesz.
Miután a súlyok megvannak, csak ki kell számolnunk ezen kombinált portfólió várható
hozamát és szórását. Ehhez tudnunk kell a két alkotóelem várható hozamát és szórását,
valamint a két portfólió közötti kovarianciát. A piaci index várható hozama (30%) és
szórása (25%) a példában már adott volt. Az aktív portfólió várható hozama és szórása a
következő:
E(
rA
) = α A + rf
+ [ E(
rm
) − rf
] * β A = 3,
4%
+ 8%
+ ( 30%
− 8%
) * 0,
92 = 31,
6%
(4.97)
2 2 2
2 2
s = β * s + s e = 0,
92 * 0,
25 + 0,
079 = 36,
3
A
A
m
( ) %
A
A kovariancia kiszámolásához behelyettesítünk a 4.82-es képletbe. Kihasználjuk, hogy a
piaci portfólió bétája definíciószerűen mindig 1.
2
2
(4.98) Cov( r ; r ) β * β * s = 0,
92*
0,
25 = 0,
0575
A
m
= A m m
Most számoljuk ki a két elemű portfólió várható hozamát és szórását!
E(
rP
')
= 0,
12*
31,
6%
+ 0,
88*
30%
= 30,
2%
(4.99)
2
2 2 2
s = 0,
12 * 0,
363 + 0,
88 * 0,
25 + 2*
0,
12*
0,
88*
0,
0575 = 24,
99%
P'
Látható, hogy a kombinált portfólió várható hozama 20 bázisponttal magasabb a piaci
indexénél, míg szórása 1 bázisponttal alacsonyabb. A kombinált portfólió Sharpe
mutatója (30,2%-8%)/24,99%=0,89, ami egy árnyalatnyit kedvezőbb, mint a piaci
indexé.
57
dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások