Kombinatorika
Kombinatorika
Kombinatorika
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Kombinatorika</strong><br />
9. előadás<br />
Farkas István<br />
DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 1/
Permutáció<br />
Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét<br />
az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának hívjuk. Az n elem<br />
permutációinak számát Pn-nel jelöljük.<br />
Tétel. Az adott n elem ismétlés nélküli permutációinak száma:<br />
Pn = n!.<br />
Definíció. Adott n elem, amelyek között r (r ≤ n) különböző található, ezek<br />
a1, a2, . . .ar. Az a1 elem k1-szer, az a2 elem k2-ször, . . ., az ar elem kr-szer<br />
fordul elő és k1 + k2 + . . . + kr = n. Az adott n elem egy meghatározott<br />
sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A szóba<br />
jöhető ismétléses permutációk számát P k1,k2,...,kr<br />
n<br />
szimbólummal jelöljük.<br />
Tétel. Rögzített n, r és k1, k2, . . .,kr esetén az ismétléses permutációk<br />
száma:<br />
P k1,k2,...,kr n!<br />
n =<br />
k1! · k2! · . . . · kr! .<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 2/
Kombináció<br />
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet (0 < k ≤ n) úgy választunk<br />
ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n<br />
elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétlés<br />
nélküli kombinációinak számát C k n szimbólummal jelöljük.<br />
Tétel. Az n különböző elem egy k-adosztályú kombinációinak a száma:<br />
C k n =n<br />
k.<br />
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy<br />
elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy<br />
k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses<br />
kombinációinak számát C k,i<br />
n szimbólummal jelöljük.<br />
Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:<br />
C k,i<br />
n =n + k − 1<br />
k .<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 3/
Variáció<br />
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet (0 < k ≤ n) úgy választunk<br />
ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem<br />
egy k-adosztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli<br />
variációinak számát V k n szimbólummal jelöljük.<br />
Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú variációinak száma:<br />
V k n =<br />
n!<br />
(n − k)!<br />
= n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1).<br />
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy<br />
elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy<br />
k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak<br />
számát V k,i<br />
n szimbólummal jelöljük.<br />
Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses variációinak száma:<br />
V k,i<br />
n = nk .<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 4/
A binomiális tétel<br />
Definíció. Tetszőleges kéttagú kifejezés bármely nemnegatív egész kitevőjű hatványa polinommá<br />
alakítható a következő formában:<br />
(a + b) n =<br />
nk =0n<br />
k·a n−k · b k ,<br />
ahol n ∈ N és a, b ∈ R.<br />
k= Tétel. Bármely k, n ∈ N és 0 ≤ k ≤ n esetén fennáll a(z)<br />
1. szimmetria-tulajdonság:<br />
n n<br />
n − k,<br />
2. összegtulajdonság (A Pascal-háromszög képzési szabálya):<br />
3. és teljesül a következő egyenlőség:<br />
n<br />
k+n<br />
k + 1=n + 1<br />
k + 1,<br />
n<br />
0+n<br />
1+n<br />
2+. . . +n<br />
n=2 n<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 5/
A Pascal háromszög<br />
A binomiális együtthatókat (n = 0, 1,2, . . . értékekre) az ún. Pascal-féle háromszögben<br />
helyezhetjük el.<br />
0 0<br />
1<br />
n = 0<br />
1<br />
2<br />
n = 1<br />
2<br />
3<br />
n = 2<br />
3<br />
n = 3<br />
4<br />
n = 4<br />
0 0 1<br />
0 1 2<br />
2<br />
0 1 1 2 3<br />
2 3<br />
3 3<br />
4 4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
A következő dián a kiszámított együtthatók láthatók. Figyeljük meg a binomiális együtthatók<br />
tulajdonságait!<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 6/
A Pascal háromszög<br />
A binomiális együtthatókat (n = 0,1,2, . . . értékekre) az ún. Pascal-féle háromszögben<br />
helyezhetjük el.<br />
n = 0 1<br />
n = 1 1 1<br />
n = 2 1 2 1<br />
n = 3 1 3 3 1<br />
n = 4 1 4 6 4 1<br />
• A háromszög szimmetrikussága a binomiális együtthatók szimmetriatulajdonságából<br />
következik.<br />
• Ha egy sor bármely két szomszédos elemét összeadjuk, akkor az alattuk lévő elemet<br />
kapjuk. Ez a Pascal háromszög képzési szabálya.<br />
• A sorbeli elemeket összeadva mindig 2 megfelelő hatványát kapjuk. Ez volt a harmadik<br />
tulajdonság.<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 7/
Mintavételezési eljárások<br />
Visszatevés nélküli mintavételezés. Legyen adott egy N elemű<br />
termékhalmaz, amelyben S a selejtesek száma. Vegyünk ki ebből a halmazból<br />
egyszerre egy n elemű mintát. Ekkor azon minták száma, amelyben pontosan<br />
k darab selejtes termék szerepel:<br />
<br />
S<br />
k<br />
·<br />
<br />
N − S<br />
.<br />
n − k<br />
Visszatevéses mintavételezés. Legyen adott egy N elemű termékhalmaz,<br />
amelyben S a selejtesek száma. Vegyünk ki ebből a halmazból visszatevéssel<br />
egy n elemű mintát. Ekkor azon minták száma, amelyben pontosan k darab<br />
selejtes termék szerepel:<br />
<br />
n<br />
k<br />
· S k · (N − S) n−k .<br />
<strong>Kombinatorika</strong> – p. 8/