Deriválás Kiegészítés Integrálás

Deriválás
f(x) f ′ (x)
c 0
x α α x α−1
e x e x
a x a x lna
lnx
log a x
1
x
1
xlna
sinx cosx
cosx −sinx
tgx
1
cos 2 x
ctgx − 1
sin 2 x
arcsinx
arccosx −
arctgx
1
√ 1 − x 2
1
√ 1 − x 2
1
1+x 2
arcctgx − 1
1+x 2
shx chx
chx shx
thx
1
ch 2 x
cthx − 1
sh 2 x
arshx
archx
arthx
arcthx
1
1 − x 2
1
1 − x 2
1
√ 1+x 2
1
√ x 2 − 1
|x| < 1
|x| > 1
(c · f(x)) ′ = c · f ′ (x)
( f(x) ± g(x)) ′ = f ′ (x) ± g ′ (x)
( f(x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x)+ f(x) · g ′ (x)
′
f (x)
=
g(x)
f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x)
(g(x)) 2
( f (g(x))) ′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
Kiegészítés
sin 2 x+cos 2 x = 1 ch 2 x − sh 2 x = 1
sin2 1 − cos2x
x =
2
cos2 x = 1+cos2x
2
sh2 ch2x − 1
x =
2
ch2 x = ch2x+1
2
2sinx cosx = sin2x 2shx chx = sh2x
sin30◦ = cos60◦ = 1
2
cos30◦ = sin60◦ √
3
=
2
cos45◦ = sin45◦ √
2
=
2
Integrálás
x α dx = xα+1
+C α−1
α+1
e x dx = e x +C
sinx dx = −cosx+C
1
sin2 dx = −ctgx+C
x
1
√ dx = arcsinx+C
1 − x2
shx dx = chx+C
1
sh2 dx = −cthx+C
x
1
√ x 2 + 1 dx = arshx+C
1 1
dx =
1 − x2 2 ln
1+x
1
− x
+C
c · f(x) dx = c ·
( f(x) ± g(x)) dx =
shx = ex − e−x 2
chx = ex + e−x 2
1
dx = ln|x|+C
x
a x dx = ax
lna +C
cosx dx = sinx+C
1
cos2 dx = tgx+C
x
1
dx = arctgx+C
1+x 2
chx dx = shx+C
1
ch2 dx = thx+C
x
1
√ x 2 − 1 dx = archx+C
f(x) dx
f(x) dx ±
u ′
(x) · v(x) dx = u(x) · v(x) −
g(x) dx
u(x) · v ′ (x) dx
f(ax+b) dx = F(ax+b)
+C a0
a
( f(x)) α · f ′ (x) dx =
V = π
b
a
f ′ (x)
f(x)
( f(x))α+1
α+1
dx = ln| f(x)|+C
+C α−1
f (g(x)) · g ′ (x) dx = F (g(x))+C
f 2 (x) dx s =
b
a
1+( f ′ (x)) 2 dx

Laplace-transzformáció
f(t) f(s)
e at
c
sinat
cosat
shat
chat
t n
1
s − a
c
s
a
s2 + a2 s
s2 + a2 a
s2 − a2 s
s2 − a2 n!
s n+1
e at · f(t) f(s − a)
t n · f(t) (−1) n · f (n) (s)
f ′ (t) s · f(s) − f(0)
y ′ s · y − y(0)
f ′′ (t) s 2 · f(s) − s · f(0) − f ′ (0)
y ′′ s 2 · y − s · y(0) − y ′ (0)
f(t − a) e −sa · f(s)
Valószínűségszámítás
Binomiális eloszlás: P(ξ=k) = n k · pk ·(1 − p) n−k k = 0,1,2,...,n
Hipergeometrikus eloszlás: P(ξ=k) =
s
k
N−s · n−k
k = 0,1,2,...,n
Poisson-eloszlás: P(ξ=k) = λk
k! · e−λ k = 0,1,2,...
⎧
⎪⎨
1
Egyenletes eloszlás: f(x) = b − a
⎪⎩
0
ha a < x < b
egyébként
λ · e−λx Exponenciális eloszlás: f(x) =
0
ha 0 < x
egyébként
1
Normális eloszlás: f(x) =
σ · √ − m)2
· e−(x 2σ
2π 2
x ∈R
M(ξ) = ∑xi pi
i
D 2 (ξ) = ∑x i
2 i pi
2 M(ξ) =
− ∑xi pi
i
∞
x · f(x) dx D
−∞
2 (ξ) = ∞
x
−∞
2
∞
2
· f(x) dx − x · f(x) dx
−∞
N
n
Matematikai statisztika
Empirikus várható érték (mintaközép)
ξ = ξ1 + ξ2 +...+ ξn
n
M ξ = m D ξ = σ √
n
Empirikus szórásnégyzet
S 2 n =
n
∑
i=1
ξi − ξ
n
2
M S2 n − 1
n =
n σ2
Korrigált empirikus szórásnégyzet
S ∗ n 2 =
n
∑
i=1
ξi − ξ
n − 1
M S ∗ n 2 = σ 2
Konfidenciaintervallum normális eloszlás várható értékére
((1 − ε) szintű)
σ σ
ξ − uε √ , ξ+uε √ ahol
n n
ξ − m √
P −uε < n < uε = 2Φ(uε) − 1 = 1 − ε
σ
2
u-próba valószínűségi változója
u =
ξ − m
σ
√ n
t-próba valószínűségi változója
t =
ξ − m
S ∗ n
√ n