e-spectres

Analyse spectrale
jean-philippe muller
26- La transformée de Fourier rapide ou FFT
Le calcul d'une TFD, nécessite une grande quantité d'opérations et devient est très long si le nombre d’échantillons est élevé :
• il existe une façon de calculer la même chose autrement, c'est l'algorithme de Transformée de Fourier Rapide
• cet algorithme a été publié en 1965 James Cooley (IBM) et John Tukey (Bell Labs)
• il repose sur une façon particulière de calculer la TFD qui économise certaines opérations et accélère donc le calcul
Cet algorithme nécessite que le nombre N d’échantillons soit un multiple de 2 et son principe est le suivant :
• pour la TFD, un point du spectre se calcule par :
1
N
∑
1
N
∑
N−1
− 2 jnπk/
N N−1
( ) = ( ) = ( )
nk
j / N
S k x n e
x n W avec W = e
−2 π
n=
0
n=
0
• si on sépare les échantillons en échantillons pairs p(n) et impairs i(n), on peut écrire :
N
2
opérations
N −1
N −1
nk
nk jnk
S k 1 2
2
p n W 1 2
−
( ) = ∑ ( ) + i(
n)
W e
n= 0 ∑n=
0
N
N
( N ) 2
opérations
2
( N ) 2
2
opérations
Grâce à cette opération, le nombre de calculs pour
un point du spectre est passé de :
2
N
2
2. ( N N
) 2
à =
2 2
Il a donc été divisé par 2
Le processus est répété sur chacun des deux calculs précédents, et ainsi de suite, jusqu‘au calcul de TFD sur 2 échantillons. Le gain en nombre de
calculs et donc en temps est impressionnant ( facteur supérieur à 100 pour N = 4096 ).
N échantillons
calcul TFD
N 2
opérations
transformée de
Fourier discrète
N échantillons
calcul FFT
N. log( 2 N)
opérations
transformée de
Fourier rapide
Pour fixer les idées, un PC actuel équipé d’un Pentium 4 à 2GHz est capable d’effectuer une FFT sur 2048 points en moins de 0,1 ms.
Applet : calcul de la FFT d’un signal