e-spectres

25- Exemple d’application de la TFD
Le spectre du signal échantillonné a des caractéristiques particulières :
• le signal étant échantillonné, le spectre obtenu est forcément symétrique par rapport à fe/2,
• seule la première moitié N/2 des points calculés sera donc effectivement utilisée pour tracer le spectre
• si on veut un spectre précis, il suffit d’augmenter le nombre de points du signal et donc la durée de l’échantillonnage T
• le nombre de calculs et donc la durée du traitement mathématique augmente très vite avec le nombre N d’échantillons
Exemple : on dispose de N = 10 échantillons du signal x(t) échantillonné à fe = 1 kHz allant de x0 à x9
1er calcul : k = 0 fréquence f(0) = 0
amplitude :
[ x(0)
+ x(1)
+ x(2)
+ ... + x(9
] Xmoyen
S (0) = ) =
10 1
On retrouve le résultat bien connu que la composante spectrale à la fréquence nulle correspond à la valeur moyenne du signal
2ème calcul : k = 1 fréquence f(1) = fe/N = 100 Hz
amplitude :
…
{ x(0)cos(2.0.
[ π.1/10)
−jsin(2.0.
π.1/10)
] + x(1)cos(2.1.
[ π.1/10)
−jsin(2.1.
π.1/10)
] + ....... + x(9)cos(2.9.
[ π.1/10)
−jsin(2.9.
.1/10)]
}
S( 1) =
10 1
π
10ème calcul : k = 9
fréquence f(9) = 9.fe/N = 900 Hz
amplitude :
{ x(0)cos(2.0.
[ π.9/10)
−jsin(2.0.
π.9/10)
] + x(1)cos(2.1.
[ π.9/10)
−jsin(2.1.
π.9/10)
] + ....... + x(9)cos(2.9.
[ π.9/10)
−jsin(2.9.
.9/10)]
}
S( 9) =
10 1
π
Conclusions :
• à partir des 10 échantillons du signal on peut calculer sans difficultés
particulières 10 point du spectre
• le calcul de chaque point nécessite 10 multiplications et additions
• le calcul de la TFD sur 10 échantillons nécessite donc 100 opérations
• de la même façon, le calcul d’une TFD sur 1024 échantillons nécessite
1048576 opérations de multiplication et d’addition
Analyse spectrale
amplitude
S0
S1
S2
Axe de symétrie à
fe/2
S7
S9
0 100 700 900
f
jean-philippe muller