e-spectres
Analyse spectrale Analyse spectrale
22- La transformée de FourierLe spectre S(f) d’un signal x(t) non périodique mais d’expression mathématique connue ( impulsion unique, salve de motifs simples… ) peut êtrecalculé à l’aide de la transformée de Fourier :+∞− jωtjtS( jω) = ∫ x( t).e dt avec e ω = cos( ωt) + jsin( ωt)−∞Cette transformation donne une fonction S(jω) complexe dont on extrait le spectre en prenant le module S(ω) en se limitant aux fréquencespositives qui seules ont une signification physique.x(t)10 VExemple : spectre d’une impulsion unique d’amplitude E = 10V et de largeur to = 1 ms :• l’expression mathématique du signal x(t) est la suivante :t0 tx( t)= 10Vsi − <<+ t 02 2x( t)= 0Ven dehors de l’intervalle1 mst• calcul de la transformée de Fourier :+∞+ to/2−jω tsin( ωt)cos( ωt)sin( πfto)S(jω)= x(t).e dt E[ cos( ωt)jsin(ωt)] dt E⎡j⎤∫ = − = − = E.to−∞ ∫−to/2⎢⎣ ω ω ⎥⎦ πfto+ to/2−to/2amplitude• le spectre est en sin(X)/X0,01multiples de l’inverse de lalargeur de l’impulsion0 1 2 3Analyse spectralef en kHzjean-philippe muller
Analyse spectralejean-philippe muller23- L’effet de fenêtreLorsqu’on travaille avec des signaux de durée limitée, le spectre est déformé : c’est l’effet de fenêtre. Pour observer cet effet, calculons le spectred’un signal z(t) sinusoïdal de fréquence fo et de durée T :x(t)f(t)1-T/2 T/2z(t)= x(t).f(t)ttt• le signal z(t) est le produit d’une fonction sinusoïdale x(t) et d’une fonctionfenêtre f(t)• on dit qu’on observe le signal à travers une fenêtre temporelle rectangulaire delargeur T• la transformée de Fourier de z(t) se calcule aisément :+∞+ T / 2∫−∞∫−T / 2[ ]− jωtS( jω) = z( t). e dt = Esin( ωt) cos( ωt) − jsin( ωt)dtE + T/2= ∫ [ sin( ωo+ ω ) t+ sin( ω0− ω ) t+ j cos( ω0+ ω ) t− j cos( ω0−ω) tdt ]2 −T/2⎡ +− ⎤= jE T sin( ω⎢T 0ω) / 2 sin( ω0ω) T/2− ⎥2⎣( ω+ω0) T/2 ( ω0−ω) T/2 ⎦• si on se limite aux fréquences positives, le spectre S(f) s’écrit :S f E T ⎡sin π (( )f f T0− ) ⎤= ⎢⎥2 ⎣ π ( f0− f ) T ⎦amplitude 2/Tlobe principal• à cause de la durée limitée T, la raie à la fréquence fo est devenue un lobe de largeur2/T, associé à des lobes secondaires• plus la duré d’observation T est longue, plus le lobe principal s’affine et se rapproched’une raie• l’effet de fenêtre se manifeste dans tous les analyseurs numériques car ils calculenttous le spectre à partir d’une portion de signal limitée dans le tempslobes secondairesfof
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22- La transformée de Fourier
Le spectre S(f) d’un signal x(t) non périodique mais d’expression mathématique connue ( impulsion unique, salve de motifs simples… ) peut être
calculé à l’aide de la transformée de Fourier :
+∞
− jωt
jt
S( jω
) = ∫ x( t).
e dt avec e ω = cos( ωt) + jsin( ωt)
−∞
Cette transformation donne une fonction S(jω) complexe dont on extrait le spectre en prenant le module S(ω) en se limitant aux fréquences
positives qui seules ont une signification physique.
x(t)
10 V
Exemple : spectre d’une impulsion unique d’amplitude E = 10V et de largeur to = 1 ms :
• l’expression mathématique du signal x(t) est la suivante :
t0 t
x( t)
= 10V
si − <<+ t 0
2 2
x( t)
= 0V
en dehors de l’intervalle
1 ms
t
• calcul de la transformée de Fourier :
+∞
+ to/2
−jω t
sin( ωt)
cos( ωt)
sin( πfto)
S(
jω)
= x(
t).
e dt E[ cos( ωt)
jsin(
ωt)
] dt E
⎡
j
⎤
∫ = − = − = E.
to
−∞ ∫−
to/2
⎢⎣ ω ω ⎥⎦ πfto
+ to/2
−to/2
amplitude
• le spectre est en sin(X)/X
0,01
multiples de l’inverse de la
largeur de l’impulsion
0 1 2 3
Analyse spectrale
f en kHz
jean-philippe muller
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