e-spectres

Analyse spectrale
jean-philippe muller
11- La décomposition en série de Fourier
x(t)
période To
Soit x(t) un signal de forme
quelconque mais périodique :
t
oscillogramme
Le mathématicien Fourier a démontré qu’il peut s’écrire sous la forme :
x( t)
= X 0 + X1
sin( ω0t+
ϕ1)
+ X 2sin(2ω0t+
ϕ2)
+ ... + X nsin(
nω0t+
ϕn1)
+ ...
valeur
moyenne
amplitude de
l’harmonique 2
amplitude de
l’harmonique n
Jean-Baptiste Fourier 1768-1830
amplitude du
fondamental
Cette décomposition peut aussi s’écrire de la façon suivante :
x( t)
= X 0 + A1
cos( ω0t)
+ B1
sin( ω0t)
+ A2
cos(2ω0t)
+ B2sin(2ω0t)
+ ... + An
cos( nω0t)
+ Bnsin(
nω0t)
+ ...
avec :
X = 1
o∫x(
t)
dt
A x t n t dt
0
n = ( ).cos( ω )
Bn = x(
t).sin(
nω
t)
dt
T
T
T
T
2 0
0∫
T
2 0
0∫
T
Ces décompositions sont bien sûr équivalentes et on a : 2 2
n n n
Applet : calcul de la décomposition de Fourier d’un signal
X = A + B et n
ϕn=arctg(
B )
An
Les fonctions paires ont un développement qui ne contient que des termes en cosinus, les fonctions impaires ont une décomposition en sinus : cette
remarque utile permet souvent de simplifier le calcul.