You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2<br />
création Rennes<br />
>Pour construire une fractale<br />
il faut un élément de base,…<br />
ici un segment<br />
étape 0<br />
…et un générateur, c'est à<br />
dire un procédé qui transforme<br />
l'élément de base en une figure<br />
plus complexe, mais uniquement<br />
composée d'éléments<br />
de même forme que l'élément<br />
de base.<br />
Ici on obtient une figure composée<br />
de quatre<br />
segments.<br />
étape 1<br />
>Puis on applique de nouveau<br />
le générateur à chacun des<br />
quatre segments.<br />
On obtient une figure composée de seize<br />
segments.<br />
étape 2<br />
En réitérant le procédé<br />
à l'infini, on obtient<br />
une fractale.<br />
Courbe de Von Koch, présentée en 1904 comme exemple de courbe continue sans aucune tangente.
création Rennes<br />
4<br />
5<br />
6<br />
création Rennes<br />
création Rennes<br />
Le générateur consiste à<br />
découper le triangle initial<br />
en 4 triangles semblables<br />
et à ôter celui du centre.<br />
On obtient :<br />
étape 0<br />
étape 1<br />
>Autre exemple simple,<br />
l'élément de base est un triangle<br />
équilatéral plein.<br />
➜En réitérant le procédé,<br />
on obtient<br />
Le générateur consiste<br />
à découper le cube<br />
en 27 cubes et à ôter<br />
le cube central ainsi que ceux<br />
au centre de chaque face.<br />
On obtient :<br />
étape 1<br />
étape 0<br />
>On peut faire de même<br />
avec un volume,<br />
en prenant comme<br />
élément de base un cube.<br />
Vers 1960 Mandelbrot<br />
utilise ces notions pour<br />
modéliser des phénomènes<br />
concrets : cours du coton,<br />
transmission de données.<br />
Il les popularise et leur donne<br />
le nom de fractales.<br />
>Les courbes ou surfaces décrites<br />
fin 19 e , début 20 e par Péano,<br />
Cantor, Hilbert, Von Koch<br />
ou Sierpinski font longtemps<br />
figures de “monstres". En 1893<br />
Hermite parle de “cette plaie<br />
lamentable des fonctions qui<br />
n'ont pas de dérivée".<br />
étape 2<br />
À l'infini on obtient le tapis<br />
de Sierpinski (présenté en 1915),<br />
composé d'une infinité de triangles,<br />
et qui est une figure<br />
de surface nulle.<br />
À l'infini on obtient<br />
l'éponge de<br />
Sierpinski,<br />
composée d'une<br />
infinité de cubes,<br />
et qui est une figure<br />
de volume nul.<br />
Une célèbre fractale porte<br />
le nom d'ensemble<br />
de Mandelbrot.<br />
Pour un nombre complexe c,<br />
on construit la suite :<br />
z0 =0, z1 =z0 2 + c,<br />
z2 =z1 2 +c, z3 =z2 2 +c,<br />
On obtient ainsi un objet géométrique<br />
intermédiaire entre une courbe (de<br />
dimension 1) et une surface (de<br />
dimension 2).<br />
Ici la dimension fractale<br />
log 3<br />
est : -~ 1,4427…<br />
log 2<br />
On obtient ainsi un objet<br />
géométrique intermédiaire<br />
entre une surface (de dimension 2)<br />
et un volume (de dimension 3).<br />
Ici la dimension fractale<br />
log 20<br />
est : -~ 2,7268…<br />
log 3<br />
... , zn +1=zn 2 + c,...<br />
Un point du plan est dans l'ensemble<br />
de Mandelbrot si son affixe c est<br />
telle que la suite (zn) soit bornée.<br />
Ici l'ensemble de Mandelbrot<br />
est en noir.<br />
Image Jean-François. Colonna<br />
7<br />
8<br />
9<br />
création Rennes<br />
création Rennes<br />
création Rennes<br />
Voici une projection<br />
en dimension 3<br />
(vue en perspective)<br />
d'un ensemble de Julia<br />
(1893-1978) sur<br />
les quaternions.<br />
>L'ensemble de Mandelbrot (voir<br />
panneau 6) est une figure du plan (calculée<br />
avec les nombres complexes).<br />
On peut faire la même démarche<br />
avec des points d'un espace<br />
à 4 dimensions !<br />
(calcul avec les quaternions).<br />
Le rêve …<br />
… en fractales<br />
>Des applications étonnantes des fractales concernent la<br />
synthèse d'images par ordinateur, aussi bien pour simuler<br />
des paysages que pour créer, grâce aux possibilités<br />
d'itération, des images d'une beauté fascinante !<br />
Alpes imaginaires<br />
>Cette image est composée de deux<br />
calques pour le paysage, plus un calque<br />
pour le ciel et le soleil.<br />
La formule, de type "Mandelbrot" a été<br />
modifiée en la truffant de toutes sortes<br />
Soir sur San Francisco<br />
Le rêve …<br />
… en fractales<br />
de fonctions (puissances, conjugués,<br />
inverses…) qui rendent l'image de départ<br />
méconnaissable mais lui donnent une<br />
grande richesse de formes fascinantes<br />
à explorer.<br />
Pour un ensemble de Julia, k est fixé,<br />
on construit la suite :<br />
z0 z1 =z0 2 + k,<br />
z2 =z1 2 + k, z3 =z2 2 +k,<br />
... , zn +1=zn 2 + k,...<br />
Un point est dans l'ensemble de Julia<br />
si son affixe z0 est telle que la suite (zn)<br />
soit bornée.<br />
Image J-F. Colonna<br />
Image J-F. Colonna<br />
Image © Sylvie Gallet, 1999
création Rennes<br />
10<br />
11<br />
création Rennes<br />
12<br />
création Rennes<br />
Le rêve …<br />
… en fractales<br />
>Bien que très réaliste, cette “photo" n'est que le résultat<br />
de synthèse d'images calculées par ordinateur !<br />
Sol lunaire<br />
La réalité …<br />
… en fractales<br />
>De nombreux objets réels<br />
sont de nature fractale,... ou presque !<br />
Ce chou-fleur romanesco présente<br />
une auto-similarité sur plusieurs itérations.<br />
>Une côte rocheuse possède,<br />
statistiquement parlant,<br />
une auto-similarité.<br />
Côte entre Paimpol<br />
et le Cap Fréhel<br />
La réalité …<br />
… en fractales<br />
Le Palus<br />
à Plouha<br />
Côte entre<br />
le Trégor<br />
et le Cotentin.<br />
création Rennes<br />
Image J-F. Colonna<br />
cliché BBV<br />
clichés COSTEL/UMR 6554 CNRS<br />
13<br />
La réalité …<br />
… en fractales<br />
>De nombreux<br />
végétaux ou<br />
animaux ont<br />
des croissances<br />
arborescentes<br />
modélisables par<br />
des fractales.<br />
Ainsi cet alcyonaire<br />
épineux<br />
(sorte de corail<br />
mou de la Mer<br />
Rouge) qui<br />
déploie un<br />
maximum de<br />
ramifications<br />
pour capter les<br />
nutriments en<br />
suspension dans<br />
l'eau de mer.<br />
cliché Vincent Pouliquen
Change language