Gleichungen

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Wiederholung
Rechnen mit Gleichungen

I. Grundgleichungen
Typ 1 Typ 2 Typ 3 Typ 4
x+a = b x-a = b a•x = b x : a = 8
x+6 = 18
x = 18-6
x =12
x-6 = 18
x = 18+6
x = 24
6x = 18
x = 18 : 6
x = 3
x:6 = 18
x = 18• 6
x = 108
Rechne selbst ;
x + 17 = 25 x - 4 = 18 8x = 196 x : 4 = 13
x + 13 = 634 x - 7 = 122 7x = 385 x : 7 = 65
x + 7,2 = 19 x - 3,2 = 26 9x = 19,8 x : 2,5 = 16
x + 6,3 = 4 x - 5,3 = 7,2 6x = 3726 x : 7,5 = -28
x + 5 = - 8 x - 6 = -21 5x = 4,05 x:0,2 = 0,8
x + 1,66 = 3,5 x- 3,44 = 2,04 3x = 0,006 x : 6 = 46,2

II. Erweiterte Grundgleichungen
Typ 1 Typ 2
ax+b = c
5x + 2 = 37 /-2
5x = 37 - 2
5x = 35
x = 35 : 5
x = 7
ax-b = c
6x-2 = 46 /+2
6x = 46 +2
6x = 48 / : 6
x = 48 : 6
x = 8
Rechne selbst ;
8x + 11 = 35 9x - 2 = 70
7x + 6 = 34 11x - 4 = 436
9x + 11 = 33,5 3x - 4 = 33,5
8x + 6 = - 18 9x - 20 = 178
6x + 15 = 285 13x - 35 = 56

III. Gleichungen mit Klammern
Typ 1
+ vor Klammer
Typ 2
- vor Klammer
5x + (3x+4) = 52 6x - (3x + 4) = 29
steht ein + vor der Klammer, kann
man diese einfach weglassen
5x + (3x-4) = 52
5x + 3x - 4 = 52
8x - 4 = 52
8x = 52 + 4
8x = 56
x = 56 : 8
x = 7
Rechne selbst
steht ein - vor der Klammer, kann
man diese weglassen, wenn man
die Rechenzeichen in der Klammer
vertauscht
6x - (3x+4) = 29
6x - 3x - 4 = 29
3x - 4 = 29
3x = 29 + 4
3x = 33
x = 33 : 3
x = 11
8x + (6x + 2) = 30 7x - (2x + 4) = 31
9x + (5x - 4) = 66 8x - (3x - 6) = 36
13 x + (2x + 4) + (3x - 8) = 80 12x - (2x-3) - (3x+8) = 30

IV. Anwendung des Verteilungsgesetzes
Gleichungen der Form :
a•(x+b) =c
a•(x-b) = c
a•(x+b) + d•(x+e) = f ... usw.
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Beispiele :
1) 3•(x+6) = 27
3x + 3•6 = 27
3x + 18 = 27
3x = 27-18
3x = 9
x = 9 : 3
x = 3
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2) 5 • (x-4) = 55
5x- 5•4 = 55
5x - 20 = 55
5x = 55 + 20
5x = 75
x = 75 : 5
x = 15
--------------------------------------------------------------------
3.) 3•(x+2) + 5•(x-3) = 15
3x + 6 + 5x - 15 = 15
8x + 6 -15 = 15
8x = 15 - 6 + 15
8x = 24
x = 24 : 8
x = 3
plus mal plus = plus
plus mal minus = minus
minus mal plus = minus
minus mal minus = plus
(plus mal minus = minus)

Rechne selbst :
a) 3•(x+6) + 4 = 34
g) 8•(x+3) = 88
b) 7• (x-4) + 11 = 46
h) 11•(x-2) + 2 = 90
c) 8•(x+3) - 11 = 45
i) 3•(x+2) + 5•(x+8) = 126
d) 9 • (x-2) - 5 = 76
j) 12 •(x+4) - 3•(x-8) = 117
e) 3•(x+2) + 5 •(x-3) = 31
k) 4•(x+2)+6•(x+3)+3•(x+1) = 42
f) 7 • (x-4) - 3 • (x - 8) = 66

V. Gleichungen mit x auf beiden Seiten
Ziel : Durch Äquivalenzumformungen x auf die linke Seite und reine
Zahlen auf die rechte Seite bringen und dann lösen :
Beispiel 1 :
7x + 4 = 5x + 18 /-5x
2x + 4 = 18 / - 4
2x = 14 / : 2
x = 7
Beispiel 2 :
7x - 4 = 3x + 20 /-3x
4 x - 4 = 20 / + 4
4x = 24 / : 4
x = 6
Beispiel 3 :
7x + 4 = 10x + 19 /-10x
-3x + 4 = 19 / - 4
-3x = 15 / : (-3)
x = - 5
Beispiel 4 :
7x + 4 = 5x /-5x
2x + 4 = 0 / - 4
2x = - 4 / : 2
x = -2

Rechne selbst :
g) 8x + 2 = 6x + 20
a) 3x + 4 = x + 18
b) 5x - 4 = 2x + 23
h) 17x + 23 = 14x + 44
c) 6x - 45 = 3x
i) 9x - 5 = 3x + 13
d) 8x - 6 = 2x + 54
j) 17 x + 8 = 4,5 x + 108
e) 13x + 45 = 2x + 78
k) 13x - 35 = 2x - 2
f) 6x - 13 = 2x + 14

VI. Gleichungen mit x im Nenner
immer auf beiden Seiten mit
dem Nenner multiplizieren
Beispiel 1 :
15 x = 5
/ • x
15 = 5x / : 5
3 = x
Beispiel 2
30
x + 3 = 3
/• (x+3)
30 = 3 • (x+3)
30 = 3x + 9 /-9
21 = 3x / : 3
7 = x

Rechne selbst
24 x = 6
/ • x
40
x + 3 = 5
/• (x+3)
15
x - 7 = 5
45
2x + 3 = 9

VII. Durcheinander
a) 3x + 4 = x
b) 5 • (x+2) = 55
c) 7 • (x-4) + 6 = 83
d) 8x + 3•(x-4) = 21
e) 15•(2x-5) - 3•(x+11) = 27
f) 6•(2x+3) = 5•(3x -3)
g)
63
x + 4 = 7

VIII. Quadratische Gleichungen
x 2 = 25
1. Lösung : x(1) =
25 = 5
2. Lösung : x (2) =
- 25 = - 5
Rechne selbst
x 2 =100 x 2 =144
x 2 = 0, 36 x 2 =10000
x 2 + 3 = 52
5⋅x 2 = 45