La logique - Lirmm

Master Informatique
Master Informatique
Épistémologie de l’Informatique
TRAVAIL d’ÉTUDE & de RECHERCHE
Par
Fabrice De Fondaumière
Sujet proposé par
Richard Terrat
La logique
Décembre 2007
1

Master Informatique
2

RESUME
La logique est une science qui a pris son essor lors du
IV e siècle avant J.C avec Aristote. Il mit en avant des
grands principes de la logique telles que l’inférence, les
propositions et le syllogisme. A cette même période naît
également un autre mouvement de pensée qui s’oppose à
cette logique aristotélicienne : c’est la logique
mégarique. Celle-ci s’inscrit dans la tradition sophistique
et souligne les paradoxes qui semblent remettre en
question certaines notions fondamentales de la logique.
Après ces nombreuses découvertes, la logique va être
considérée comme achevée. De ce fait pendant environ
dix siècles, nous ne parlerons plus de découvertes en ce
qui concerne la logique. C’est au début du XI e siècle que
la logique revient sur le devant de la scène avec la
logique scolastique qui comprend la querelle des
universaux et la logique de « Port Royal ». Vers le
XVIII e siècle, un grand logicien apporte des idées
novatrices afin de faire avancer la logique. C’est Leibniz
qui tente de mettre en place une « langue universelle »
qui serait connue par tous pour exprimer un discours et
un « calcul logique universel » qui aurait pour but de
réduire le raisonnement à un calcul. C’est à ce moment
que la logique va connaître une grande rupture
épistémologique car la logique telle que nous la
connaissons à cette époque va se diviser pour donner
naissance à la logique mathématique. Vers le XX e siècle,
les logiciens cherchent de plus en plus à automatiser le
raisonnement mathématique, de ce fait une nouvelle
rupture épistémologique intervient car elle voit la logique
mathématique donner naissance à la logique
informatique.
1. INTRODUCTION
L’origine de la logique remontrait selon certains récits
fantaisistes à l’époque de Noé et de Prométhée. C’est ce
qu’affirme Pierre de la Ramée, plus connu sous le nom
de Pétrus Ramus (1515-1572) physicien et philosophe
français. D’autres ouvrages attestent que la logique
apparaît au IV e siècle av. J-C avec Xénocrate (396 – 314
av. J-C) et Aristote (384 – 322 av. J-C). Xénocrate est un
philosophe platonicien grec, directeur de l'Académie de -
339 à sa mort. Aristote, quant à lui est un philosophe
grec. En effet, c’est Xénocrate qui donna le nom
« logique », puis Aristote « théorisa » pour la première
fois les règles qui permettent de tirer des conclusions
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LA LOGIQUE
proposé par Richard Terrat
Fabrice De Fondaumière
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valides à partir d’arguments. Depuis l’antiquité grecque,
de nombreuses personnes instruites considéraient que la
logique était achevée et que depuis Aristote rien ne
s’était produit d’important. Kant exprimait une opinion
commune quand il écrivait cette formule célèbre : « la
logique n’avait pu faire un seul pas en avant depuis
Aristote et qu’elle était, selon toute apparence close et
achevée » [1]. Cette croyance a régné presque sans
contexte jusqu’à la fin du XIX e siècle et même quelque
peu au delà. Certes ces personnes ne pouvaient pas le
savoir puisque les bouleversements dont nous allons
parler se sont produits à partir de la fin du XIX e siècle
seulement, puis de manière plus radicale dans les années
1960. Au moment même où la logique se réveillait d’un
long sommeil, Victor Brochard par exemple, n’hésitait
pas à assurer encore « la logique est une science faite.
L’ère des découvertes, on peut l’affirmer sans crainte est
close pour elle » [1]. Afin de mettre en avant ces
bouleversements, nous nous intéresserons à l’histoire de
la discipline, afin d’établir un contraste entre une
conception ancienne de la logique, très malmenée
aujourd’hui et une conception contemporaine où la
logique joue pleinement son rôle de discipline
mathématique apte à modéliser des phénomènes
scientifiques.
2. LA LOGIQUE PRE-MODERNE
La logique vient de l’adjectif grec « logikos »,
« logikê » au féminin, dérivé de logos, qui signifie à la
fois « raison », « langage » et « raisonnement ». La
logique est dans une première approche l'étude des règles
formelles que doit respecter toute déduction correcte.
Elle est depuis l'antiquité l'une des grandes disciplines de
la philosophie.
2.1. La logique aristotélicienne
Aujourd’hui sans aucune hésitation, nous pouvons dire
qu’Aristote est à l’origine de la logique. Le témoignage
d’Aristote lui-même nous pousse dans ce sens. Certes il
aurait pu avoir des enseignements purement oraux ou à
partir de textes qui ont disparu. Lorsqu’il aborde l’étude
d’une question, Aristote à l’habitude en bon professeur
de commencer par rappeler ce que d’autres ont dit avant
lui sur le sujet. Or non seulement il ne le fait pas mais il
explique pourquoi. A la fin de l’ouvrage qui servira de
point de départ à ses études de la logique, il déclare en
effet : « sur cette question, il n’y avait pas une partie déjà
élaborée et une autre non : il n’existait absolument rien »

[1]. Et un peu plus loin : « s’il y avait sur la rhétorique,
beaucoup de travaux anciens, sur le raisonnement au
contraire, nous n’avons rigoureusement rien à citer et
nous avons dû nous livrer, non sans peine, à des
recherches qui nous ont pris beaucoup de temps » [1].
Les écrits d’Aristote sur la logique sont réunis
dans un traité appelé « Organon » (instruments), édité
par Andronicus de Rhodes vers 60 avant J-C. Le choix
du terme « organon » n’est pas d’Aristote mais traduit
bien l'idée du philosophe qu'était Aristote. « Organon »
est mentionné pour la première fois par Diogène Laërce.
C’est le plus ancien traité de logique qui soit parvenu
jusqu'à nous.
« L'Organon » comprend ainsi :
• « Catégories » une analyse des éléments les plus
simples des propositions.
• « De l'interprétation », étude de la proposition.
• « Premiers Analytiques », qui exposent les règles
et les formes de la démonstration en général.
• « Seconds Analytiques », qui exposent la théorie
du syllogisme nécessaire.
• « Les Topiques », qui exposent les lieux de la
dialectique.
• « Les Réfutations Sophistiques », qui exposent
les principaux sophismes et les moyens de les
réfuter.
L’ordre de présentation de « l’Organon » ne
correspond pas à l’ordre dans lequel Aristote les a écrit.
2.1.1. La proposition selon Aristote
L'objet de la logique d'Aristote est l'analyse des
formes de pensée permettant de construire un discours
(logos en grec) philosophique cohérent. Selon lui, la
logique est l'instrument du savoir et non le savoir luimême.
Elle doit donc permettre de distinguer les
raisonnements corrects des raisonnements incorrects. Son
intérêt pour les sciences conduisit Aristote à l'étude des
propositions dites catégoriques. La proposition
catégorique attribue un prédicat à un sujet. Elle est du
type « Quantificateur-Sujet-copule-Prédicat ». « Tout
homme est mortel » est une proposition catégorique. Le
quantificateur permet d’exprimer une notion de quantité
(universelle « tous » ou particulière « quelques ») de la
proposition. La copule exprime la qualité (affirmative
« est » ou négative « n’est pas ») de la proposition. Le
prédicat est attribué au sujet afin de lui donner un état.
Aristote, dans ses recherches n’a étudié que
l’énoncé déclaratif, celui qui décrit un état de fait et qui,
par conséquent, est susceptible de vrai ou de faux. Ils
s’intéressent peu aux énoncés interrogatifs ou impératifs
car nous ne pouvons pas prétendre si ils sont vrais ou
faux. Les propositions catégoriques peuvent donc varier
au niveau de la quantité et de la qualité ; c'est-à-dire
qu’elles peuvent être par exemple à la fois affirmatives et
universelles ou affirmatives et particulières, etc. Donc en
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combinant la qualité et la quantité, Aristote a mis en
avant quatre types de propositions catégoriques :
A Universelle Affirmative : Tous les hommes sont mortels.
E Universelle Négative : Aucun homme n’est pas mortel.
I Particulière affirmative : Quelques hommes sont mortels.
O Particulière Négative : Quelques hommes ne sont pas mortels.
Aristote note ces différentes propositions avec les
lettres A,E,I,O qui sont les premières voyelles de
l’alphabet latin et qui proviendraient des mots AffIrmo et
nEgO qui traduisent « j’affirme, je nie ».
De plus, Aristote avait eu une idée novatrice qui
consiste à symboliser par des lettres les termes des
propositions : c’est de cette manière que nous pouvons
dégager une forme. Ainsi si nous reprenons les quatre
types de propositions catégoriques, nous obtenons :
A Universelle Affirmative : Tout X sont P
E Universelle Négative : Aucun X n’est pas p
I Particulière affirmative : Quelques X sont P
O Particulière Négative : Quelques X ne sont pas P
La lettre X remplace le sujet « Homme » et la
lettre P remplace le prédicat « mortel ». Les lettres sont
d’authentiques « variables » autrement dit des symboles
destinés à être substitués au moyen de n’importe quels
« termes ».
2.1.2. L’inférence selon Aristote
L'action d'inférer consiste à tirer d'une ou de
plusieurs propositions données et connues comme vraies
ou fausses, une ou plusieurs propositions nouvelles
jugées vraies ou fausses : cela en fonction de la relation
logique que nous avons établie entre les nouvelles
propositions et les propositions d’origine. La proposition
d’origine est appelée « prémisse » quant à la nouvelle
proposition, elle est appelée « conclusion ».
Exemple : Inférence
Prémisse :
Tous les chimpanzés ne sont pas des femelles. � Vrai
Conclusion :
Certains chimpanzés sont des femelles. � Vrai
ou
Tous les chimpanzés sont des femelles. � Faux
Les inférences qui partent d’une seule
proposition vraie ou fausse sont des inférences
immédiates. Aristote s’intéresse aux inférences
immédiates valides, c'est-à-dire celles qui, débutent avec
une prémisse supposée vraie et finisssent par une
conclusion nécessairement vraie. Ainsi Aristote établit
une distinction entre la validité formelle d’un
raisonnement et la vérité des propositions qui le
constituent. Pour lui, un raisonnement peut être valide
malgré que certaines de ces propositions soient fausses.
Les termes « valide » et « invalide » sont utilisés pour
indiquer si l'ensemble des arguments se présente sous

une forme correcte. Le terme « vérité » s'applique plus à
une seule proposition.
Exemple : raisonnement valide, conclusion fausse
Tous les animaux sont carnivores
La vache est un animal
Donc la vache est carnivore
Des relations de logique sont établies entre les
différentes propositions A, E, I et O. Le carré logique les
représente toutes.
Figure 1. Le carré logique des relations d’Aristote
D'après ce que nous avons défini précédemment,
nous avons vu que deux propositions qui avaient le
même sujet et le même prédicat pouvaient s’opposer par
la qualité et la quantité. Ainsi les relations qui peuvent
être créées sont les suivantes :
• Deux propositions contradictoires sont des
propositions qui s'opposent par la qualité et la
quantité.
• Deux propositions contraires sont des propositions
universelles qui s'opposent par la qualité.
• Deux propositions subcontraires sont des
propositions particulières qui s'opposent par la qualité
• Deux propositions subalternes sont des propositions
qui s'opposent par la quantité.
2.1.3. La relation de conversion
Le carré logique met en avant des relations entre les
propositions, mais Aristote ne s’arrête pas là. Il exprime
d’autres relations dont la plus importante est la
conversion. La relation de conversion permet de passer
d’une proposition à une autre en permutant le sujet et le
prédicat tout en gardant la même valeur de vérité. La
structure « Quantificateur-Sujet-Copule-Prédicat »
devient « Quantificateur-Prédicat-Copule-Sujet ».
Figure 2. La relation de conversion
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La conversion n’est valide seulement si la quantité
du sujet et la quantité du prédicat restent inchangées.
C'est-à-dire que si un sujet est pris universellement dans
la proposition de départ, il doit être également pris
universellement dans la proposition convertie.
Il existe une relation de conversion pour les
propositions catégoriques de type A, E, I, sauf pour O.
L'inférence est indécidable parce que O est trop libérale
en ce qui concerne les rapports entre les extensions de P
et de S.
Exemple: Conversion de E à E
Aucun homme n'est mortel Aucune (chose) mortelle n'est homme
2.1.4. Obversion et contraposition
Nous avons vu précédemment, qu’Aristote tente de
manipuler les éléments mis en jeu (sujet, copule,
prédicat, négation affirmation, universalité, particularité)
afin de mettre en avant des nouvelles propositions qui
auraient la même valeur de vérité que la proposition de
départ. Seulement ces nouvelles propositions
respecteraient une autre forme.
L’obverse d’une proposition, c’est la modification de
la structure « Quantificateur-Sujet-Copule-Prédicat » qui
devient « Quantificateur-Sujet-Copule(négative)-
Prédicat(négatif )».
Figure 3. L’obversion
Exemple: Obervsion
Tous les hommes sont mortels Aucun homme n’est immortel
La quantité, la qualité et la valeur de vérité des
propositions ne changent pas après la transformation par
obversion.
La contraposée d’une proposition s’obtient en
inversant le sujet et le prédicat pour les nier ensuite tous
les deux. La quantité et la qualité des propositions ne
changent pas après la transformation par contraposée et
la valeur de vérité est la même.
Figure 4. La contraposée
Exemple : Contraposée
Tous les hommes sont mortels Toutes (choses) immortel est un
non homme

2.1.5. Le syllogisme
Nous avons vu comment construire des inférences
immédiates. Aristote, dans son exposé de la syllogistique
examine les inférences plus complexes comme les
inférences « médiates » et plus particulièrement le
syllogisme. Selon Aristote le syllogisme est l’étude d’un
raisonnement logique à deux propositions, également
appelées prémisses. La première est dite la majeure et la
seconde est dite la mineure. Ces prémisses sont des
propositions données et supposées vraies permettant de
vérifier la véracité formelle de la conclusion. Il les
présente comme suit :
« Si a est prédiqué de tout b,
Et b prédiqué de tout c,
Donc a est prédiqué de tout c »
Exemple: Syllogisme
Tous les hommes sont mortels,
Les Grecs sont des hommes,
Donc les Grecs sont mortels
Ces trois propositions contiennent toujours, au total
trois :
• un terme majeur
• un terme mineur
• un terme médian
Le terme médian peut être identifié sachant qu'il
est présent dans les deux prémisses et pas dans la
conclusion (ici, il s'agit du terme « homme »). « Les
mortels » est le terme majeur car présent dans la
prémisse majeure, et « les grecs » est le terme mineur car
présent dans la prémisse mineure.
Selon la place qu'occupe le terme médian dans les
prémisses, Aristote définit quatre figures:
• Terme médian sujet dans la majeure, prédicat dans la
mineure (1 ère figure).
• Terme médian prédicat dans les deux prémisses (2 ème
figure).
• Terme médian sujet des deux prémisses (3 ème figure).
• Terme médian prédicat dans la majeure et sujet de la
mineure (4 ème figure).
Ce qui intéresse Aristote, c'est de distinguer les
formes de syllogismes valides. Pour procéder à une telle
distinction, il est possible de procéder intuitivement, en
remarquant, par exemple, que des séries de type IAA ou
OOA, qui tirent des conclusions universelles de
prémisses particulières, ne peuvent être valides. Une
autre méthode, celle qui fut adoptée par Aristote, est de
réduire la validité des syllogismes à la validité de
quelques formes syllogistiques qu’ils tiennent pour
immédiatement valides grâce à leur évidence. Ce sont les
quatre modes fondamentaux de la première
figure. Aristote les appelait les syllogismes parfaits
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(AAA, EAE, AII, EIO). Cette réduction se fait à l'aide de
transformations.
Le projet de départ d’Aristote est ambitieux puisqu’il
développe une syllogistique (science qui étudie toutes les
formes de syllogismes) à laquelle nous pouvons ajouter
des modificateurs car il avait remarqué que l’affirmation
prédicative pouvait se faire suivant diverses modalités :
• Affirmation assertorique (Tous les hommes sont
mortels).
• Affirmation problématique (Il est probable qu’aucun
homme ne soit mortel).
• Affirmation Catégorique (Nécessairement, tous les
hommes sont mortels).
Cette division en trois parties permet de nouvelles
combinaisons. Cependant par la suite, Aristote s’est
limité à la syllogistique assertorique.
La logique aristotélicienne fait déjà preuve
d’abstraction. Ainsi Aristote fait reposer la validité de
son raisonnement sur un enchaînement de formes. Nous
pouvons donc bien parler à son propos déjà de « logique
formelle ».
A la mort d’Aristote, c’est Théophraste (v.372 av. J.-
C. – v.287 av. J.-C.) qui continuera à diffuser la
connaissance d’Aristote. Théophraste, ainsi surnommé
parce qu’il parlait divinement bien est un élève
d’Aristote et son successeur immédiat à la tête de l’école
«le Lycée». Ses œuvres, dont nous savons qu’elles furent
nombreuses sont aujourd’hui pour la plupart perdues et
c’est notamment le cas de celles qui traitent de la
logique. La fonction qu’il occupait, lui dictait de
propager l’enseignement du maître. Mais en l’exposant,
il s’est permis d’y apporter des nouveautés, comme
l’introduction du syllogisme hypothétique à côté du
syllogisme catégorique qui sont simplement des
additions. Sur d’autres points, en particulier dans son
traitement des modalités, sa manière revenait à substituer
à la théorie d’Aristote, une autre théorie réellement
différente, en conservant le même vocabulaire.
Aristote avait mis en place des syllogismes
parfaits en fonctions des différentes figures,
Théophraste en rajouta cinq.
Exemple : Syllogisme hypothétique
« S’il fait beau, je sors
Je ne sors,
Donc je il ne fait pas ».
2.2. La logique mégarique
La logique mégarique fut développée par l’école de
Mégare qui fut fondé par Euclide de Mégare (450 av.
J-C - 380 av. J.-C.) et qui tire son nom du lieu d'origine
de son fondateur. L’école mégarique est une école de
philosophie grecque fondée entre le V e et IV e siècle av.
J.-C. Elle s'inscrit dans la tradition sophistique,
opposée à l'école aristotélicienne. Un sophisme est un

aisonnement qui apparaît comme rigoureux et logique
mais qui en réalité ne l’est pas.
Les mégariques ont été les premiers à souligner
l'importance de paradoxes logiques qui semblent
remettre en question certaines notions fondamentales
de la logique, telle la notion de vérité. Eubulide de
Milet (-360) a par exemple, énoncé le paradoxe du
menteur qui demande à son interlocuteur de fixer la
valeur de vérité de l'énoncé « Je mens !». Le paradoxe
du menteur est dérivé du paradoxe du Crétois (ou
paradoxe d'Épiménide). Nous pouvons y voir deux
interprétations :
• en tant qu'énoncé, cette phrase dit : « Cette phrase est
fausse. »
• en tant que propos, il faut comprendre : « Je mens
maintenant. »
Un philosophe stoïcien, Chrysippe (281- 205 av. J.-
C.), jouissait, semble-t-il, d'une grande réputation dans
l'antiquité. La tradition a négligé ses découvertes pour
leur préférer la syllogistique. Chrysippe, dans ses
« Définitions dialectiques » définit la proposition comme
« ce qui est vrai ou faux, ou un état de choses complet
qui, pour autant qu'il est lui-même concerné, peut être
asserté » [2]. Une proposition vraie « est ce qui est »[2],
et une proposition fausse « est ce qui n'est pas » [2]:
« Quelqu'un dit « il fait jour » semble proposer qu'il fait
jour. Dès lors, s'il fait jour, la proposition avancée se
révèle vraie, et sinon, elle se révèle fausse».
La distinction la plus générale entre les
propositions est celle qui sépare propositions simples et
propositions non simples. Les propositions simples sont
celles qui ne sont pas composées. Les propositions non
simples sont celles qui sont composées.
Exemple: proposition non simple
• « S'il fait jour, il fait clair ».
• « Ou il fait jour, ou il fait nuit ».
Les Stoïciens distinguent parmi les propositions
simples, trois types de propositions simples : les définies,
les indéfinies, les intermédiaires.
• Les propositions définies s'expriment par une
référence ostensive: « Celui-ci est assis ».
• Les propositions indéfinies ont pour sujet un
particulier: « Quelqu'un est assis ».
• Les propositions intermédiaires : « Socrate marche ».
Les Stoïciens discernent des rapports de
dépendance quant à la vérité entre ces types de
propositions. Si une proposition définie est vraie, la
proposition indéfinie qui peut en être dérivée est
également vraie (« Celui-ci marche » est vraie ; donc
« quelqu'un marche » est vraie).
La logique mégarique est la logique des
propositions, c'est-à-dire une logique qui analyse les
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raisonnements sans entrer dans la structure interne de
leurs propositions.
La logique d'Aristote est quant à elle, une logique
des termes, des classes ou des prédicats. Elle est donc
moins élémentaire qu'une logique des propositions.
L'un de ces «indémontrables» stoïciens est le modus
ponens : Si le premier, alors le second. Or le premier,
Donc le second. Les expressions «le premier» et le «le
second» sont en fait des variables représentant n'importe
quelles propositions. Ils ne se préoccupaient pas de la
structure interne d'aucune d'entre elles, mais ils
décomposaient la prémisse de forme «si...alors...» qui est
une proposition complexe, ou composée, en deux
propositions plus simples.
2.3. La logique indienne
A une époque voisine, une autre logique se développa
également en Inde. Cette logique est comparable à celle
d’Aristote mais qui n’a de forme écrite qu’a partir du II e
siècle après J-C. Cette logique a été traitée
principalement dans les écoles de la pensée indienne
appelées Nyaya-sutra et les Vaisheshika. Elle aussi est
basée au départ sur la méthodologie de la discussion, et
joue donc un rôle important vers le V e et VI e siècle dans
les débats entre les Brahimanistes, Jaïnistes et
Bouddhistes. Dans la forme achevée des Nyayas-sutra,
l’exemple classique de raisonnement est le suivant :
Proposition : Il y a du feu sur la montagne
Raison : parce qu’il y a de la fumée sur la montagne
Exemple : comme dans une cuisine et pas dans un lac
Application : il est ainsi
Conclusion : donc il y a du feu
Le raisonnement apparaît formé de cinq parties,
et non de trois comme cela est le cas chez Aristote : c’est
que le logicien indien intègre toujours exemple et contreexemple
à sa démonstration. Ce qui est abstraction chez
le philosophe grec est exemplification chez le logicien
indien. Plus tard le sage bouddhiste Dignaga (V e siècle)
ramènera le nombre de parties à trois, sans toutefois
obtenir le type de forme abstraite qui fait l’intérêt du
syllogisme.
3. LA LOGIQUE SCOLASTIQUE
La scolastique vient du latin « schola » qui signifie
école. A l’époque de la renaissance, la scolastique
représentait principalement les écoles « ecclésiastiques ».
Ces écoles comme l’indique leur nom montrent une
certaine appartenance à l’église et au clergé. La
scolastique va développer et enseigner en français une
philosophie dans ces écoles afin de réconcilier la
philosophie première d’Aristote et la théologie
chrétienne. Depuis cette période, nous disposons de la
quasi-totalité de la logique d’Aristote. Dans ces écoles,
selon une tradition, les élèves consacraient une année
entière à l’étude de la logique, science réputée d’accès
difficile en raison de son abstraction. L'emprise de la
scolastique se divise en deux grandes périodes, même si

l'influence de celle-ci s'étend au-delà. Pendant ces
périodes quatre grandes doctrines de pensées
émergeront : le nominalisme, le conceptualisme et le
réalisme. Au cours de la première période une querelle
éclate entre les différents mouvements de pensées. Puis
au cours de la seconde période, la logique de Port-Royal
apparaît.
3.1. Querelle des universaux (début du XI e siècle à
la fin du XVI e siècle)
Durant cette première période, la Querelle des
universaux marquera les esprits. Les universaux sont des
types, des propriétés ou des relations qui caractérisent ce
qui est invariable dans le temps et dans l'espace (comme
humanité, animal, beauté...). Les universaux s'opposent
donc aux particuliers et leur assimilable.
Le débat qui est à l’origine de cette querelle,
c’est de déterminer si les universaux ne sont « que des
mots » ou « que des choses ».
Les nominalistes sont représentés par Roscelin
(1050-1120) qui affirme que les universaux sont avant
tout des abstractions, qui n'ont d'existence que dans
l'esprit de celui qui les forme et au moyen des mots ou
des noms dont on les désigne.
Les réalistes menés par Nicole Oresme (1325-
1382) prétendent que les universaux existent en soi et
que les choses particulières n'existent que par
subordination à cette essence qui leur est commune. Le
principe de cette doctrine est basé sur cette expression
« les choses sont » donc que toutes les choses sont
réelles.
Quant à la troisième position, le conceptualisme
d'Abélard (1079-1142), défend la théorie selon laquelle
les idées générales qui nous servent à organiser notre
connaissance sont des instruments intellectuels forgés par
notre esprit et n'existent pas en dehors de lui. Cette
doctrine était intermédiaire bien qu'assez proche du
nominalisme.
Durant cette période, les œuvres d’Aristote sont
traduites, par des équipes de philosophes chrétiens, juifs
et arabes notamment Averroès de même que les traités
scientifiques grecs et arabo-mulsumans.
De la fin du XIIe siècle jusqu’à la fin du XIIIe siècle,
la scolastique est à son apogée. Elle est appelée pour
cette raison « la grande scolastique ». Les œuvres
d'Aristote sont traduites du grec au latin par Albrecht
Von Bollstädt (1193 - 1280) et par Guillaume de
Moerbeke (vers 1215 - 1286), secrétaire de Thomas
d'Aquin (1225 - 1274), et introduites dans les universités.
Les XIVe siècle et XVe siècle représentent une
phase de repli. Guillaume d'Occam (1280-1347) prend
position pour les nominalistes, et devient « son docteur
invincible ». Il écrit ensuite son fameux principe du
rasoir selon lequel il ne faut pas multiplier les entités audelà
de ce qui est nécessaire. Occam soutient que seules
les choses particulières ont une existence réelle et que les
universaux ne sont que des conventions commodes
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adoptées par le genre humain. Il écrit « Summa totius
logicae » (Somme de toute logique) en 1323. C’est une
œuvre d’une importance capitale dans son combat contre
le réalisme.
Cependant d’un notre coté, certaines personnes
estiment que la logique enseignée dans les écoles ne sert
pas à grand chose car elle néglige l’essentiel pour se
fixer sur l’accessoire. Ils estiment que la logique n’est
pas une affaire de théorie mais de pratique.
3.2. La logique de « Port Royal » (XVII e siècle)
En 1662 la logique de Port-Royal se développe. Elle est
issue d’un traité parut anonymement sous le titre « La
logique ou l’art de penser ». Il est finalement attribué à
Antoine Arnauld (1612 – 1694) et Pierre Nicole (1625 –
1695). Cet ouvrage a connu un essor exceptionnel.
Pendant deux siècles, c’est avec lui que les gens qui
cherchent à s’instruire vont apprendre la logique,
principalement en France. Nous comptons plus d’une
cinquantaine d’éditions en français au cours de ces deux
siècles : plusieurs traductions en anglais et une douzaine
de traductions latines. Ces dernières visaient
principalement les pays germaniques mais aussi
l’enseignement dans les collèges en France. De ce fait,
nous pouvons nous apercevoir de la force et de l’intérêt
pour cet ouvrage car à cet époque ce sont les jésuites qui
avaient la charge de l’enseignement et ils n’étaient pas
forcement prêts à accueillir à bras ouverts un traité
portant la marque de Port-Royal. Car c’est dans cette
banlieue parisienne où a été inventée une forme de
doctrine religieuse : « le Jansénisme ». Jésuites et
Jansénistes s’y sont vivement opposés. Leurs visions sont
diamétralement opposées : les Jésuites insistent sur la
liberté personnelle dans toute décision, alors que les
Jansénistes sont fatalistes et pensent que tout est écrit à
l'avance.
Ce traité fut d’abord écrit par Arnauld afin de
montrer qu’en quelques jours, il pouvait apprendre à
n’importe qui les éléments utiles de la logique. Il
enseigna donc en peu de temps les aspects utiles de la
logique au jeune duc de la Chevreuse. Ce traité fut alors
remanié et complété ensuite avec la collaboration de
Nicole en vue d’une publication.
Dans ce traité, nous retrouvons beaucoup
d’exemples afin de favoriser l’habitude de l’appliquer
dans la vie de tous les jours. Ils se font un devoir de
chercher ces illustrations soit dans des raisonnements qui
ont cours effectivement dans divers domaines de la
pensée, allant de la géométrie à la morale ; ou soit dans
les textes des écrits classiques.
La logique de Port-Royal est donc en totale
opposition avec la logique enseignée dans les écoles
ecclésiastiques de l’époque. Comme nous pouvons nous
apercevoir dans le titre de ce traité, la logique est vue
comme un art pour apprendre à mieux penser et non
comme une science. Il veut donc passer d’une « logique
sèche » [3] que nous oublions après l’école à une
« logique plus divertissante » [3] avec un effet plus
étendu et plus durable.

Cette logique de Port-Royal n’est pas formelle,
elle est dans son projet même hostile au formalisme. En
effet la logique formelle commence avec des variables or
nous avons bien compris que ce traité les écarte
totalement (aucune forme schématique). Cet appel
constant aux idées claires et distinctes est fait dans le but
de ne pas risquer de relâcher la vigilance de la pensée.
Dans les trois premières parties de ce traité qui
développent successivement des idées, des jugements et
du raisonnement sont basées sur les fonds aristotéliciens.
La quatrième partie, il la consacre à la méthode et c’est
ainsi que nous nous apercevons qu’un tel élargissement
du champ de la logique est parfaitement conforme à
l’idée d’un art de diriger la pensée.
La logique de Port-Royal se distingue donc
d’Aristote et de sa méthode, d’abord par la substitution
du mot « Idée » à celui de « concepts ». Ensuite, Arnauld
fait la distinction dans les idées entre leur compréhension
et leur étendue. Il note dans la compréhension de l’idée,
les attributs qu’elle enferme en soi et que nous ne
pouvons pas lui ôter sans la détruire. La compréhension
de l’idée du triangle enferme figure, trois lignes, trois
angles et l’égalité de certains de ses angles. Sous
l’influence de Blaise Pascal (1623 - 1662) une définition
de la « dénomination » s’impose. La dénomination est le
fait d’imposer un nom pour désigner une certaine notion
(Exemple : pair pour désigner l’ensemble des nombres
divisibles par 2).
A la logique d’Aristote, Arnauld rajoute les
propositions composées. Ces propositions sont obtenues
par la composition de plusieurs propositions simples
liées par les connecteurs « et », « ou », « non » et « si...,
alors... ». Il assimile également les singulières à des
universelles et finalement il rajoute quelques règles au
syllogisme d’Aristote :
• Nul terme ne peut être plus général dans la
conclusion que dans les prémisses.
• Le terme médian doit être plus une fois
universellement.
• Dans la 4 éme figure du syllogisme, le médian se
combinera avec le terme majeur et le terme mineur.
Depuis le début de la renaissance et de
l’enseignement, de bons esprits lassés de ce superflu
scolastique sous lequel ils ensevelissaient les élèves,
aspiraient à une rénovation également de l’éducation
intellectuelle. Tous ces esprits ne voyaient dans la
réforme que le rejet total de cet enseignement. Donc avec
l’émergence de la logique de Port-Royal, c’est une
réforme moins brutale qui voit le jour et permet à la
logique de « faire peau neuve ».
Cependant, la scolastique va subir des assauts
qui aboutiront progressivement à sa disparition. Mais
également car l’apparition de la théorie de
l’héliocentrisme, émet des doutes sur les principes
énoncés par Aristote car celui-ci avait écrit dans ses
ouvrages que la Terre est le centre de l’univers. La
9
scolastique qui se basait énormément sur les ouvrages
d’Aristote perdit progressivement toute crédibilité.
De l’antiquité grecque au XVIIe siècle, la
logique se voit contester certains de ses principes : elle
est parfois remaniée mais tout cela dans le but d’un
perfectionnement de cette science ou de cet art de penser.
La distinction habituelle entre l’Antiquité , le moyen Age
et cette période n’a presque aucun sens car nous venons
de montrer une certaine continuité entre la logique prémoderne
d’Aristote et la logique enseignée dans les
écoles ecclésiastiques.
4. LA LOGIQUE CLASSIQUE
Jusqu'à présent, nous avons observé une continuité dans
l’histoire de la logique mais nous verrons qu’avec la
logique classique et les idées novatrices apportées par
Leibniz (1646-1716) une rupture semble s’annoncer.
Leibniz est d’origine allemande, c’est un philosophe,
mathématicien et homme de loi allemand mais de langue
française.
4.1. Les idées novatrices de Leibniz
Les logiciens modernes s’accordent pour voir en lui le
grand pionnier, et pour le mettre à l’origine de leur
lignée. Il est tenu pour « le créateur de la logistique »,
« le premier mathématico-logicien », « le père de la
logique symbolique ». « L’histoire de la logique
symbolique et de la logistique commence, à proprement
parler, avec Leibniz » [4] déclare Lewis (1832-1898).
« Prononcer Leibniz, s’écrie Scholz (1884-1956), c’est
parler d’un lever de soleil » [1]. Avec lui, en effet, un
nouveau jour semble s’être levé pour la logique. Ce
qu’Aristote était pour l’ancienne, Leibniz le serait pour la
nouvelle, marquant la grande coupure dans le
développement historique de cette science. Scholz écrit :
« l’histoire de la logique [….] se divise [….] en deux
sections bien distinctes. La première section : la forme
classique de la logique formelle, qui va de Aristote à
l’époque actuelle et qui comprend tout ce qui n’est pas
inspiré par l’idée leibnizienne de la logistique . La
deuxième section, c’est la forme moderne de la logique
formelle qui commence avec Leibniz et qui comprend
tout ce qui a été inspiré, consciemment ou
inconsciemment, par l’idée leibnizienne de la
logistique » [1].
Seulement une restriction s’impose aussitôt, comme
Scholz et Józef Maria Bocheński (1902 - 1995) ne
pouvaient manquer de le reconnaître : le rapport de la
logique leibnizienne à la logique mathématique
contemporaine doit s’entendre comme un rapport
d’anticipation plutôt que de paternité.
Ses travaux sur la logique se présentent comme
une multitude d’ébauches, plus ou moins poussées. De
plus, ces essais s’enchaînent rarement selon un progrès
linéaire. A chaque fois dans la plupart de ses récits, il
repart à la recherche d’une nouvelle voie. Nous ne

pouvons parler de « la logique » de Leibniz que comme
d’une reconstruction à partir des éléments épars et guidée
par quelques idées maîtresses. Sa manière est de
reprendre ce qu’ont fait les autres, en l’acceptant pour
seulement l’approfondir. Car elle n’est en réalité ce que
personne n’a encore bien vu ; qu’une première réalisation
d’un très vaste projet. Son but, c’est d’assurer
« l’infaillibilité » du raisonnement, son moyen, de réduire
celui-ci à la forme. Or le syllogisme n’est que l’une de
ces formes, dont l’usage est beaucoup trop restreint de
même pour le calcul algébrique.
Leibniz établit « le catalogue des inventions »
qui retrace les différentes découvertes de la logique.
Partant de la syllogistique d’Aristote, Leibniz, dés l’âge
de 18 ans, introduit dans celle-ci, comme d’autres avaient
fait avant lui, quelques modifications. Il construit
méthodiquement, selon l’art combinatoire, la totalité des
modes possibles pour opérer ensuite des éliminations et
des réductions. Il admet la quatrième figure comme aussi
valable que la première. Il complète la liste des modes
concluants en comptant les modes subalternes : par
exemple Barbabri (AAI) et Celeront (EEO) dans la
première figure, qui se trouvent ainsi compter deux
modes supplémentaires. La deuxième figure s’accroît elle
aussi de deux modes et d’un seul dans la quatrième. Des
lors, au lieu des 14 modes aristotéliciens, ou des 19 si
nous ajoutons les 5 de Théophraste, nous obtenons un
tableau parfaitement régulier de 24 modes, ou chaque
figure compte 6 modes. Leibniz s’enchante de cette
symétrie, qui lui paraît témoigner qu’il a atteint la vérité
définitive et donné à la théorie sa forme achevée.
En démontrant les différents modes de chaque
figures, Leibniz fait apparaître une sorte de hiérarchie
entre les figures, la première étant « la principale », la
deuxième et la troisième les « moins principales » et la
quatrième la « moins principale indirecte ».
4.1.1. Caractéristiques d’une langue universelle
(characteristica universalis)
Leibniz imagine la « caractéristique universelle » ou, en
latin, « characteristica universalis » qui est une langue
universelle. En latin, "caracteristica" signifie "signe". Il
aurait voulu qu’elle permette le développement de tous
les discours rationnels et même esthétiques imaginables :
métaphysique, droit, notes musicales, éthique,
mathématiques, physique etc.
La première étape pour la constitution de la logique
formelle avait été accomplie par Aristote, lorsqu’il s’était
avisé de remplacer les termes concrets par des variables
symboliques. Mais chez lui, comme ensuite chez les
stoïciens et les médiévaux, la logique continuait à
s’énoncer dans la langue naturelle : le grec d’Aristote, le
latin de Boéce (470 - 525) ou d’Occam (v.1285 - 1347),
le français de Ramus et des Messieurs de Port-Royal.
Chaque langue étant différente les unes des autres, il est
difficile d’en extraire une langue universelle. Un
exemple très simple : « Quand nous voyons écrit « A =
B », nous prononçons « A est égal à B » ou encore « A
égale B ». Nous exprimons ainsi au présent ce qui est
10
exprimé intemporellement. De plus, nous transformons
une formule de relation dans le 1 er cas en une formule
d’attribut (phrase nominale) dans le second cas : c’est
une formule marquant une action (phrase verbale).
Prononcer « A égale B », c’est proprement dire « le sujet
A est en train de faire l’action égale à B » » [1]. Nous
nous apercevons que la parole ne retransmet pas
totalement ce que nous écrivons. A cette époque, la
parole est plus importante que l’écrit. L’écrit n’est
qu’une approximation. Actuellement, c’est tout à fait le
contraire, l’écrit est devenu plus important que la parole.
L’oral est une approximation plus ou moins exacte.
Le professeur qui donne son cours de
mathématique écrit f(x) et il dit en même temps à voix
haute « x est f » ou encore « f de x » or la parole trahit les
signes. « x est f » renverse l’idée, sépare la copule du
prédicat et introduit une nuance temporelle ; et « x de f »
n’est pas une proposition.
Selon Leibniz, la création d'une caractéristique
universelle est la première étape vers la création d'un
calcul logique universel. C’est en essayant de rendre
possible la transformation du raisonnement en calcul qui
va faire franchir maintenant un second pas à la logique.
4.1.2. Calcul logique universel (calculus raticinator)
Le calcul logique universel est l’idée de réduire un
raisonnement à un calcul. Il s’inscrit dans une lignée,
dans laquelle les noms qu’il cite sont ceux de Raymond
Lulle (v. 1235 - 1315) et de Thomas Hobbes (1588 –
1679). Leibniz voudrait à cette époque que quand les
philosophes se mettent à discuter ou à faire un discours
cela revienne à faire un calcul.
Malgré ses efforts, il ne réussit pas à élaborer ni
cette langue et ni ce calcul. Il avait conscience que la
logique aristotélicienne était insuffisante pour raisonner
sur les relations, mais il était trop attaché à la
syllogistique aristotélicienne pour lui apporter les
remaniements nécessaires à son projet de calcul logique
universel.
4.2. Les apports des mathématiques
Après Leibniz, et comme il avait commencé d’en donner
l’exemple, la logique va tendre peu à peu à se dédoubler.
La logique dite classique, regardée comme relevant de la
philosophie se contentera le plus souvent de se
prolonger, avec quelques avancées plus au moins
heureuses. Mais dans le même temps, cette logique sera
cultivée par quelques mathématiciens qui introduiront
des idées et des méthodes nouvelles. Auparavant pendant
deux siècles, nous avons assisté à des tentatives variées
pour introduire dans l’étude de la logique, l’esprit et les
méthodes des mathématiques. Ce sont les faits les plus
dignes d’intérêt dans l’histoire de la logique à cette
période. La rupture entre les deux courants ne se
consommera que dans la seconde moitié du XIXe siècle.
Girolamo Sacheri (1667-1733) fut l’un des
premiers mathématiciens qui tentera de démontrer le
postulat des parallèles par une « réduction à l’absurde de

sa négation ». Il ne réussit que partiellement. Il met en
avant le raisonnement par l’absurde pour prouver des
propositions mathématiques, il est dit « que nous faisons
un détour par le faux pour arriver au vrai » [4].
Comme nous avons vu, Leibniz n’a pas réussi à
créer un calcul logique mais d’autres mathématiciens
dont Lambert, De Holland et de Castillon vont tenter de
faire de même. Nous nous intéresserons d’avantage au
travail de Lambert que certains apprécient vraiment à
cette époque et qui nous semble le plus digne d’intérêts.
Johan Henrich Lambert (1728-1777) écrit un ouvrage
sur la logique fort intéressant « Newes Organon » parut
en 1764 et en même temps il publia également un essai
sur le « calcul logique ». Il avait consacré auparavant six
essais à la caractéristique et au calcul logique. Tout au
long de « Newes Organon », nous retrouvons l’idée de la
mathématique universelle. Dans un concours réalisé en
1763 par l’académie de Berlin, Lambert prétend que
toutes les notions métaphysiques et morales se
rapprochent de la rigueur et la certitude des
mathématiques. Ainsi la seul façon d’arriver au
mathématiques universelles, c’est d’universaliser les
procédés mathématiques de symbolisation et de calcul. Il
essaye de remplacer les pensées par des représentations
sensibles et claires des signes. Ensuite, il veut que tout
problème de logique soit réductible à un calcul. Ce calcul
revient à appliquer les procédés de l’algèbre à une
structure conceptuelle (logique traditionnelle). Il fait
donc des analogies entre les opérations algébriques et
opérations logiques. L’addition et la multiplication de
l’algèbre ont des correspondances visibles avec
l’addition et la multiplication logique. Cependant les
correspondances entre la soustraction et la division
semblent moins évidentes, de même que pour les
nombres négatifs. Ensuite Lambert comme presque tous
ceux qui se sont essayés au calcul logique à cette période
vont l’entreprendre à la façon de Leibniz, c'est-à-dire
d’un point de vue de la compréhension des concepts.
Lambert remarque que dans les mathématiques les
concepts et les propositions qui ont le plus de généralité
ont aussi la composition la plus riche. Nous y laissons
indéterminées toutes les circonstances et toutes les
grandeurs mais sans faire abstraction; même plus, nous
en tenant compte dans le calcul. Si nous prenons les
équations du 3éme degré, des cas singuliers se retrouvent
résumés avec une brièveté extraordinaire.
Lambert imagine également une représentation
« diagrammatique » des divers modes du syllogisme.
Nous considérons A comme terme médian, B le terme
majeur et C le terme mineur. Afin de mettre en avant
cette représentation, nous nous intéressons seulement à la
première figure (Voir Table 1). Les pointillés montrent
l’indétermination qui est la caractéristique des
propositions particulières. Grâce à cette schématisation,
il est permit d’obtenir tous les rapports possibles entre
les trois termes. Il suffit de construire les deux prémisses
pour que la conclusion apparaisse sur le dessin même.
11
BARBARA
AAA
CELARENT
EAE
Darii
AII
FERIO
EIO
B B
A A
C C
A A B B
C C
B B
A A
----------C----------
A A B B
-----C-----
Table 1. Schématisation du syllogisme selon Lambert
Quand nous avons le syllogisme suivant («
Quelques A sont B, Et Quelques A sont C »), nous ne
pouvons pas faire de conclusion. Lambert cherche donc à
atténuer l’indétermination des particulières en indiquant
par une fraction le rapport des cas où le prédicat peut
être attribué au sujet (¾ de A sont B, et 2/3 de A sont C).
Nous pouvons déduire alors que Quelques C sont B (2/4
+ 2/3 >1 donc au moins 2/12 des A qui sont à la fois B et
C).
Leonard Euler (1707-1783) fait une
représentation des figures du syllogisme à l’aide des
diagrammes.
Par le moyen des figures tout saute aux yeux.
BARBARA
AAA
CELARENT
EAE
Darii
AII
FERIO
EIO
Table 2. Schématisation du syllogisme selon Euler

4.3. La logique philosophique tente de se prolonger
De manière générale, les grands philosophes de l'époque,
Kant (1724-1804) et Hegel (1770-1831), étaient des
adversaires de la logique formelle où ils estimaient que la
logique était une science qui était sortie achevée de la
plume d'Aristote.
Kant n’a pas totalement négligé la logique mais
ses apports restent minimes. Il ramène la table des
jugements à quatre titres donc chacun contient trois
moments :
• Quantité (universelle, particulière, singulière)
• Qualité (affirmative, négative, indéfinie)
• Relations (catégoriques, hypothétiques, disjonctifs)
• Modalités (assertoriques, apélictiques et
problématiques)
Cela juste pour un besoin de symétrie, mais rien ne
garantit que le tableau soit complet.
La thèse de Kant a laissé des traces durables
dans le vocabulaire logique et la distinction qu’il fait
entre le jugement analytique et le jugement synthétique,
selon qui la notion du prédicat est ou non contenue dans
celle du sujet. Kant développe ainsi une logique originale
qui se présente comme le système formel auquel toute
connaissance qui entend posséder un caractère objectif et
concret sur le plan de son contenu doit se conformer. La
logique transcendantale ou logique kantienne est définie
comme le système des concepts et des principes auxquels
toute pensée doit se soumettre si elle entend avoir un
caractère scientifique et objectif (le concept doit désigner
un objet situé dans l'espace et dans le temps, susceptible
de varier en intensité et en degré; il doit posséder les
qualités d'une substance qui sont la durabilité et la
permanence …).
Selon Hegel (1770-1831), nous ne pouvons
séparer dans la connaissance, sa forme de son contenu. Il
n’est pas d’accord avec Leibniz sur le calcul logique
universel. « Hegel a élaboré une logique objective qui se
veut non pas seulement une théorie des formes
nécessaires de la pensée mais aussi une théorie objective
du développement de tout ce qui est et de tout ce qui
devient (notamment de l'histoire, de l'art…) »[1].
Tandis que les philosophes post-Kantiens
engageaient la logique dans des voies aventureuses, chez
d’autres elle commença à empiéter de plus en plus sur les
domaines de la psychologie et l’épistémologie
J. Stuart Mill (1806-1873) est le grand
promoteur de l'induction (procédé consistant à tirer
d'observations particulières des vérités universelles). A
ses yeux, ce procédé est plus original que la déduction
qui le présuppose toujours. C'est dans son ouvrage « A
system of logic », qu'il présentera sa logique inductive.
Leibniz est le premier mathématicien à essayer de
créer un système universel de raisonnement, cependant il
n’y arrive pas jusqu’au bout. Ses travaux inachevés vont
12
inspirer bien d’autres mathématiciens qui veulent au fur à
mesure arriver à différencier la logique philosophique de
la logique mathématique. Nous allons donc assister
durant cette période à une grande révolution dans
l’histoire de la logique.
5. LA LOGIQUE MODERNE
Avec le concept du calcul logique universel de Leibniz et
le développement des mathématiques lors de la première
moitié du XIXe siècle, les logiciens ont instauré le
concept d’une nouvelle logique. Cette autre forme de
logique, d’inspiration mathématique, allait voir le jour au
milieu du XIXe siècle. C’est au mathématicien Georges
Boole (1815-1864) que nous faisons en général référence
car il est l’initiateur de ce mouvement. Certes, nous
avons vu qu’il y a eu des précurseurs comme Leibniz et
Lambert. Cependant chez eux ce n’était que des
ébauches alors qu’avec Boole nous recevons une
première réalisation.
5.1. Boole et l’algèbre de la logique
Dans ses deux ouvrages, « The Mathematical Analysis of
Logic » en 1847, puis « An Investigation Into the Laws of
Thought, on Which are Founded the Mathematical
Theories of Logic and Probabilities » en 1854, Boole y
développe une nouvelle forme de logique, à la fois
symbolique et mathématique. Ce système peut être
qualifié d’achevé malgré les imperfections qu’il
comporte. Il remarque lui-même la rupture entre cette
nouvelle conception et la logique ancienne. Boole
dit : « Nous ne devons plus associer la logique à la
métaphysique mais au mathématiques… Comme la
géométrie repose sur des vérités axiomatiques et ses
théorèmes sont construits selon la théorie générale du
symbolisme qui constitue le fondement de ce qui est
reconnu comme l’analyse » [1]. La logique
mathématique que nous connaissons actuellement est
différente de la logique de Boole. Ce n’est pas non plus
une extension: le seul point commun, c’est d’avoir élargi
le champ de la logique traditionnelle en reprenant la base
et en la reconstruisant selon l’esprit mathématique. Si
Boole a donné l’impulsion, ce n’est pas lui mais Frege
que les logiciens d’aujourd’hui reconnaissent comme
fondateur de leur science.
Avec le développement des mathématiques, il
apparaissait plus facilement que les lois qui régissaient
l’algèbre dans un sens plus général (ses calculs)
pouvaient s’appliquer à la logique. Boole écrit les « lois
de la pensée » qui vont permettre un traitement de la
pensée telle qu’elle s’exprime dans notre langage. Boole
cherche d’abord en partant du raisonnement algébrique à
classer les signes d’après leurs fonctions. Puis il cherche
une analogie dans les formes du langage ordinaire de
façon à traduire celles-ci en des signes analogues aux
signes algébriques. Il aboutit au résultat suivant :
« Toutes les opérations du langage, considérées comme
instruments de raisonnement peuvent être menées à bien
par un système de signes composés des éléments
suivants :

1. Des symboles littéraux tels que X, Y etc.
représentant les choses qui font l’objet de nos
conceptions.
2. Des signes d’opérations tels que +, *, et –
représentant les opérations de l’esprit par
lesquelles les conceptions des choses combinées
ou résolues, de façon à former des conceptions
nouvelles en développant les mêmes éléments.
3. Le signe de l’identité « = » »
Le premier groupe comprend les noms, propres
ou communs, les adjectifs, les expressions descriptives.
Dans le deuxième groupe, il fait entrer des mots comme
« et », « ou » et « excepté ». Quant au troisième, nous y
retrouvons tous les verbes. Les symboles du premier
groupe représenteront des classes, ceux du second des
opérations mentales pas lesquelles nous combinant des
parties; et dans le troisième, il représente la copule
(relation simple ou composé entre les classes).
x y = y x
x + y = y + x
z ( x + y) = z x + z y
z (x – y ) = z x – z y
(x = y + z) = (x –z = y)
Table 3. Algèbre de Boole
Moutons blancs
=
Blancs Moutons
Moutons et Bœufs
=
Bœufs et Moutons
Les européens (hommes et femmes)
=
les européens hommes et les
européens femmes
Les européens (hommes et non
femmes)
=
Les européens hommes mais pas les
européens femmes
Les astres sont des soleils et les
planètes
=
les astres exceptées les planètes sont
des soleils.
Il y a un point essentiel où l’analogie entre la
pensée ordinaire et le calcul algébrique se retrouvent en
défaut. Dans la pensée logique ordinaire, la loi (x n = x)
est valable (Exemple : « La classe des français »
combinée à « la classe des français » donne « la classe
des français » alors qu’en algèbre, ce n’est pas le cas.).
L’élévation des puissances ne donne jamais le terme
initial sauf pour la valeur « 0 » ou « 1 ». Dans ces cas
spéciaux, nous retrouvons l’analogie entre le langage
ordinaire et l’algèbre. Il en résulte que la logique peut
être assimilée à une espèce particulière d’algèbre: une
algèbre dans laquelle les symboles numériques (x, y ect.)
ne seraient susceptibles de recevoir d’autres valeurs que
13
« 0 » et « 1 ». Alors les axiomes et les opérations d’une
telle algèbre seront identiques, dans toute leur étendue,
avec les lois, les axiomes et les opérations d’une algèbre
de la logique. Seules les différentes interprétations les
sépareront. Le problème de Boole est donc double :
1. Etablir les lois d’une algèbre spéciale, telle qu’elle
n’admette que les valeurs « 0 » et « 1 ».
2. Trouver pour ces valeurs « 0 » et « 1 » une
interprétation logique acceptable, de manière que
nous puissions regarder cette algèbre spéciale comme
algèbre logique.
Boole reprend son système de signes et le modifie afin
qu’il puisse correspondre aux nouvelles définitions.
1. Classes (« 0 » et « 1 »).
2. Addition (+) → réunion.
Multiplication (*) → intersection.
3. « = » deux classes qui s’incluent mutuellement.
Boole interprète le « 1 » comme classe
universelle et le « 0 » comme classe vide ou nulle. Cette
interprétation introduit une nouveauté importante dans la
logique des classes traditionnelles. La soustraction va
pouvoir assurer la négation.
Exemple : x représente la classe des être vivants.
(1 - x) →
La classe universelle sauf les êtres vivants donc (1-x)
c’est la classe des êtres inanimés.
(1-x) a le même sens que non-x
De même, le principe de la contradiction
s’écrira en utilisant à la fois les deux symboles « 0 » et
« 1 » :
x (1 – x) = 0 → x, la classe des êtres vivant.
x – x = 0 →
La classe des êtres vivants sauf la classe des êtres
vivants donc notre classe est bien vide.
Ce principe est une conséquence de la loi (x n = x).
Quant aux propositions traditionnelles de la
logique classique, il les exprime en les traduisant de
manière à marquer leur rapport à la classe vide.
Exemple : Considérons les deux universelles (A et E) :
x ( 1- y ) = 0 → Il n’y a pas de x non y →
x y = 0 →
Il n’y a pas de x y →
Tout x est y.
Nul x n’est y.
Comme pour les propositions universelles, pour
les particulières, il veut marquer leur rapport par rapport
à la classe vide. Pour cela Boole utilise la notation ≠ et
l’ensemble vide.

Exemple : Considérons les deux particulières (I et O) :
x y ≠ 0 →
x ( 1 – y ) ≠ 0 →
Quelque x est y.
Quelque x ne sont pas y.
William Stanley Jevons (1835-1882) s’inscrit
dans le sillage de Boole mais il apporte à son système
des modifications importantes, qui en changent l’aspect.
Selon lui la logique chez Boole a été trop asservie aux
mathématiques. Il nous fait remarquer dans son ouvrage
« Pure Logic or the Logic of Quality apart from
Quantity » que l’addition numérique de Boole fait
correspondre dans le langage le mot « et» qui marque
ainsi la conjonction logique. Or l’addition numérique ne
peut pas jouer sur des termes mutuellement exclusifs
(Exemple : 7 musiciens et 5 médecins = 12 personnes
que si il n’y a pas de musicien médecin). Cette condition
d’exclusivité est d’ailleurs indispensable pour la
soustraction.
Dans les années qui suivirent, il s'attacha à la
construction d'une machine logique, appelée « Logic
Piano », qu'il présenta à la Royal Society en 1870. Cette
machine permettait d'arriver mécaniquement aux
conclusions induites par un jeu de prémisses. Cette
machine découle de ce qu'il considérait comme le
« grand et universel principe de tout raisonnement » qu'il
exposa en 1869 sous le titre « The Substitution of
Similars ». L'idée est que toute proposition considèrée du
point de vue formel consiste à poser l’identité du sujet et
du prédicat. Il met en avant trois sortes d’identité :
1. Identité simple (A = B)
2. Identité partielle (A= AB)
3. Identité limite (AB = AC)
Il exprimera la négation par la lettre minuscule. Il écrira :
A est B → A = AB
A n’est pas B → A = Ab
Nous allons montrer ces différentes identités à travers un
syllogisme :
Barbara (AAA)
A = AB
B = BC
AB = ABC
Sodium = sodium métal Tout sodium est un
métal
Métal= métal bon conducteur Tout métal est un
bon conducteur
Sodium métal = sodium
métal bon conducteur
Tout sodium est un
bon conducteur
De Morgan (1806-1871) a laissé sa marque sur
notre logique actuelle. Dans son ouvrage « logique
formelle », il s’intéresse au développement du
syllogisme. Les aristotéliciens disent qu'à partir de deux
14
propositions particulières comme « quelques M sont des
A » et « quelques M sont des B » rien de nécessaire n'est
obtenu dans la relation des A et B. Mais ils vont plus loin
et disent que toute relation à propos des A et des B doit
suivre par nécessité le terme médian qui doit être pris
universellement dans l'une des prémisses. De Morgan
signala qu'à partir de « la plupart des M sont des A » et
« la plupart des M sont des B » nous pouvons déduire
que « quelques A sont des B ». Il formula le syllogisme
numérique qui met ce principe dans une forme
quantitative précise. Supposons que le nombre de M est
m, des M qui sont des A est a, et des M qui sont des B
est b; alors il y a au moins (a + b − m) A qui sont des B.
Par exemple avec 1000 personnes sur un bateau dont 500
sont dans le salon et 700 meurent il est obligatoire qu'au
moins 700+500-1000, donc 200 de ceux qui étaient le
salon furent des victimes. Ici De Morgan fit une avancé
en introduisant la quantification des termes. Il a
découvert, ou plus exactement redécouvert, une dualité
intéressante entre la somme et le produit et son nom est
resté attaché à deux lois qui l’expriment. Dans la
formalisation de ces lois, il utilise des termes contraires
qui signifient le « négat », « agrégat » la somme logique,
et « composé » le produit logique. Voici comment, il
l’énonce : « Le contraire d’un agrégat est le composé des
contraires des agrégents ; le contraire d’un composé est
l’agrégat des contraires des composants en écriture
symbolique »[1]. Nous obtenons donc les formules
suivantes :
•
x + y = x × y (1)
• x y = x + y
× (2)
5.2. Frege et son « idéographie »
La grande époque pour la logique mathématique
s’ouvre en 1879 avec l’ouvrage de Frege (1848 - 1925)
« Idéographie ». Il est avant tout un mathématicien. C'està-dire
que ce sont les besoins mathématiques qui vont le
conduire à rénover la logique, cela dans le but d’atteindre
une parfaite rigueur. Le problème de Frege est de
parvenir à une chaîne de raisonnements où ne manque
aucun maillon; une chaîne sans lacune. Or il s’est aperçu
qu’un tel idéal exige l’emploi d’un symbolisme. Les
mathématiques possèdent leur symbolisme, mais pas le
raisonnement mathématique qui s’exprime en partie dans
le langage ordinaire. C’est le fait que le langage ordinaire
souffre de certaines déficiences qui lui donne l’idée de
« l’idéographie ». Son premier objectif est de nous
fournir les critères les plus sûrs pour rendre un
raisonnement mathématique valide à l’aide d’une chaîne
d’inférence. Cette chaîne nous permettrait donc de
pouvoir remonter jusqu'à la source.
5.2.1. Le calcul propositionnel
La proposition est un terme qui a fait l’objet de
nombreux débat au cours de l’histoire de la logique. Les
propositions sont envisagées comme des fonctions de
vérités. Ce sont des énoncés descriptifs d’un état de fait

et susceptibles d’être vrais ou faux. En logique
mathématique, le calcul des propositions est la première
étape dans la définition de la logique et du raisonnement.
Il définit des règles de déductions qui relient les
propositions entre elles, sans examiner leur contenu.
C'est-à-dire que la logique propositionnelle s’intéresse
aux relations entre propositions et aux opérations sur ces
dernières sans analyser la composition des propositions.
Pour réaliser la formalisation des énoncés du langage
naturel, le calcul propositionnel fournit trois outils : les
variables propositionnelles (p, q, r,...), les constantes ou
opérateurs logiques ( , , , et ) et les signes de
ponctuation (principalement les parenthèses).
Nom Symbole Utilisation
Négation p
Conjonction (p q)
Disjonction (p q)
Implication (p q)
Bi-implication (p q)
Table 4. Les opérateurs logiques
La négation est un opérateur qui ne porte que sur
une proposition, il est unaire ou monadique. « Il ne pleut
pas » s'écrit p. Cet énoncé est vrai si et seulement si p
est faux. L'usage classique de la négation est caractérisé
par la loi de double négation : p est équivalent à p.
La conjonction « et » somme logique est un opérateur
binaire. Elle met en relation deux propositions : « Tout
homme est mortel » et « Socrate est mortel » s'écrit (p
q). (p q) est vrai si et seulement si p est vrai et q est
vrai.
La disjonction « ou » produit logique est, elle aussi,
un opérateur binaire : (p q) est vrai si et seulement si p
est vrai ou q est vrai. Nous pouvons comprendre ce ou de
deux façons : soit de manière inclusive, soit de manière
exclusive. Dans le premier cas (p q) est vrai si p est
vrai, si q est vrai ou si p et q sont tous deux vrais. Dans
le second cas, (p q) est vrai si p est vrai ou si q est vrai
mais pas si les deux le sont. La disjonction du calcul
propositionnel est le ou inclusif et nous donnons au ou
exclusif le nom d'alternative.
L'implication est également un opérateur binaire. Elle
correspond, au schéma linguistique Si...alors... . « Si j'ai
le temps, j'irai au cinéma » s'écrit (p q). (p q) est
faux si p est vrai et q est faux. Si le conséquent (ici q) est
vrai, l'implication (p q) est vraie. Lorsque l'antécédent
(ici p) est faux, l'implication est toujours vraie. Cette
dernière remarque peut être comprise si nous nous
référons à des énoncés de type : « Si nous pouvons
mettre Paris en bouteille, nous utiliserons la tour Eiffel
comme bouchon ». En résumé, une implication est fausse
si et seulement si son antécédent est vrai et son
conséquent est faux.
15
La bi-implication est, également, binaire : elle
symbolise les expressions ... si et seulement si... et ... est
équivalent à... L'équivalence entre deux propositions est
vraie si celles-ci ont la même valeur de vérité. La biimplication
exprime donc aussi une forme d'identité et
c'est pourquoi elle est souvent utilisée dans les
définitions.
Il est possible d'établir des équivalences entre
ces opérateurs. Nous avons voyons comment maintenant
former d'autres équivalences.
(p q) (p q)
(p q) ( p q)
(p q) ( p q)
(p q) (p q)
Sont à noter également les deux lois de De Morgan :
(p q) ( p q)
(p q) ( p q)
Une expression qui est toujours vraie quel que soit le
contenu linguistique des variables qui la compose est
appelée « tautologie ». Nous pouvons définir de deux
manières qu’une proposition est une loi de la logique
(expression valide).
La première emploie les procédures non
axiomatiques: elle a été mise en place par Ludwig
Wittgenstein (1889-1951). C’est une méthode basée sur
les tables de vérités. Il est dit que la valeur de vérité
d’une expression complexe est fonction de la valeur de
vérité des énoncés simples qui la composent.
p q (p q) ((p q) p) (((p q) p) q)
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Table 5. Table de vérités (tautologie)
La deuxième manière mise en place par Jan
Łukasiewicz (1878-1956) en 1930, c’est de recourir à
des procédures axiomatiques et démonstratives. C'est-àdire
que nous partirons d’un ensemble d’axiomes
permettant en un nombre fini d’étapes, selon des
procédures mécanisables et des règles, de déterminer si
la proposition est vraie. Un tel procédé s’appelle une
« démonstration ». Les principales règles de déduction
sont :
• la substitution, c'est-à-dire qu’à partir des axiomes
que nous avons nous essayons de substituer certaines
variables propositionnelles.

Exemple : Nous avons a = b.c et c = a.e
alors par substitution c = (b.c).c
• le modus ponens selon lequel si nous obtenons p et
(p q), alors nous pouvons obtenir q.
5.2.2. Le calcul des prédicats
Le calcul des propositions comporte quelques lacunes. Si
nous considérons les propositions suivantes :
• Tous les hommes sont mortels
• Quelque homme est mortel
• Leibniz est mortel
Pour le calcul propositionnel, ce sont là trois
propositions simples symbolisables par les variables p, q,
r. Or, cette non différenciation pose problème car les
différences existant entre ces trois propositions sont
pertinentes du point de vue logique. La théorie de
l'inférence immédiate et la syllogistique reposent en
partie sur l'exploitation de ces différences. La logique
des prédicats se présente comme un élargissement du
calcul propositionnel. Toutes les tautologies de la
logique propositionnelle restent valides au plan de la
logique des prédicats et peuvent être traduites dans le
formalisme de cette dernière. Le calcul des propositions
traduit toute proposition par une lettre minuscule, par
exemple p. La logique des prédicats recourt, elle aussi, à
ce formalisme, mais elle y ajoute la notion de
quantification à l'aide de fonctions propositionnelles ou
formules du type f(x). Une fonction propositionnelle
simple ou atomique est composée d'une variable d'objet x
et d'une variable de prédicat f. f marque la place d'un
prédicat quelconque et x celle d'un nom satisfaisant ou
non le prédicat. Ainsi nous pouvons traduire l'expression
« x est mortel » à l'aide de f(x). Les formules complexes
s'obtiennent en combinant des formules atomiques avec
des connecteurs propositionnels et des quantificateurs :
( x), ( x). f(x) est une fonction propositionnelle qui
n'est en elle même ni vraie ni fausse. Elle acquerra une
valeur de vérité lorsqu'elle deviendra une expression
propositionnelle.
A l'aide du nouvel outil qu'est le calcul des prédicats,
nous pouvons maintenant formaliser les quatre types
d'énoncés catégoriques utilisés par Aristote, comme cidessous
:
A = Homme
B = Mortel
Tout homme est mortel ( x) (ax bx)
Aucun homme n'est mortel ( x) (ax bx)
Quelques hommes sont mortels ( x) (ax bx)
Quelques hommes ne sont pas mortels ( x) (ax bx)
Table 6. Symbolisme du calcul des prédicats
16
5.3. De peano, Hilbert, Russel à Godël la logique
continue à avancer
Giuseppe Peano (1858-1932) est un mathématicien mais
l’essentiel de ses travaux sont effectués sur la logique
mathématique et la théorie des ensembles. Nous lui
devons la création d'un système de notations susceptibles
d'énoncer et de démontrer les propositions
mathématiques en utilisant un minimum de signes
compatibles avec le raisonnement déductif reposant sur
des notions premières acceptées (axiomes). Parmi de
nombreuses autres notations, nous lui devons les
symboles ensemblistes actuels , , , qu'il
appliqua à la logique. Pour Peano, les signes et
signifiaient le « ET » et le « OU » logique. Le signe
de Peano signifie encore, l'implication logique. Au sens
ensembliste, A B exprime que tout élément de A est
aussi un élément de B. Ces travaux sur les notations du
langage de la logique mathématique évoluèrent jusqu'en
1908, année du volume 5 de ses formulaires, où Peano
étudie et compare ses notations à celles de ses
contemporains.
La logique propositionnelle de l'algèbre de Boole ne
suffit pas au raisonnement mathématique: il lui manquait
les indispensables (et désormais célèbres)
quantificateurs:
• existentiel (E renversé) , "il existe au moins
un...", dû à Peano dans son « Formulario ».
• universel : (A renversé) , de l'allemand
Allsatz, "quel que soit...", sans doute dû à
Hilbert, absent des formulaires de Peano mais
dans la continuité des notations de ce dernier
qui utilisa un V pour signifier "tout".
L'ensemble de ces symboles permit la construction
d'un véritable langage symbolique, espéré par Leibniz,
où la "pensée" mathématique intervient dans la
conditionnalité (valeur de vérité) des propositions.
Hilbert (1862-1943), à l'occasion d'un congrès
international de mathématiciens tenu en 1900 à Paris,
propose sa fameuse liste des 23 problèmes. Ces
problèmes de Hilbert sont aussi une sorte de manifeste
qui permet l'éclosion de l'école formaliste, l'une des trois
écoles majeures du XX e siècle en mathématiques. Selon
cette école, les mathématiques existent en dehors de
toute intention et de toute pensée. Elles sont des
symboles qui demandent à être manipulés selon des
règles formelles. Cependant, il n'est pas certain
qu'Hilbert ait une vue aussi simple et mécanique des
mathématiques. En 1920, il propose explicitement un
programme de recherche en métamathématique qui sera
éventuellement le programme de Hilbert. Il souhaite que
les mathématiques soient solidement et complètement
formulées en s'appuyant sur la logique. Hilbert croit que
c'est possible, car :

1. Toutes les mathématiques découlent d'un
ensemble fini d'axiomes correctement choisis.
2. Il peut être démontré que cet ensemble est
cohérent.
Il semble que Hilbert s'appuie sur des arguments à la
fois techniques et philosophiques pour proposer un tel
programme. Les systèmes à la Hilbert servent à définir
les déductions formelles en suivant un grand nombre
d'axiomes logiques exprimant les principales propriétés
de la logique que nous combinons au moyen de quelques
règles (notamment la règle de modus ponens) pour
dériver de nouveaux théorèmes. Les systèmes à la Hilbert
héritent du système défini par Gottlob Frege et
constituent les premiers systèmes déductifs. Le théorème
de complétude de Gödel (que nous développerons par la
suite) indique sommairement que nous ne pourrons pas
trouver de nouveaux principes de raisonnement purement
logiques autres que ceux déjà connus. Cela semble aller
dans le sens de Hilbert. D'autres résultats qu'Hilbert
obtient avec Wilhelm Ackermann (1896 - 1962) dans les
mêmes années semblent aller également dans ce sens.
Cependant le second théorème d'incomplétude montre
que nous ne pouvons pas prouver dans cette théorie sa
propre cohérence, et donc certainement pas celle de
théories plus fortes qui assureraient la fondation des
mathématiques. C'est donc l'échec du programme de
Hilbert. Il est d'ailleurs probable que Gödel, motivé par
le programme de Hilbert, avait tout d'abord voulu
prouver la cohérence de l'arithmétique.
Russell (1872-1970) comme d’autres logiciens
dans l’antiquité avait constaté la présence de nombreux
paradoxes. En fait, nous pouvons dire que malgré leur
nombre, ces paradoxes ne sont que les illustrations d'un
petit nombre de structures paradoxales. Nous nous
intéresserons ici à une structure présente dans les
paradoxes mégariques, du type «le menteur». Pour lui, il
existe deux types de classes : celles qui se contiennent
elles-mêmes (ou classes réflexives ) et celles qui ne se
contiennent pas elles-mêmes (ou classes irréflexives). La
question posée est la suivante : la classe des classes
irréflexives est-elle, elle même réflexive ou irréflexive?
Si elle est réflexive, elle se contient et se trouve rangée
dans la classe des classes irréflexives qu'elle constitue: ce
qui est contradictoire. Si elle est irréflexive, elle doit
figurer dans la classe des classes irréflexives qu'elle
constitue et devient ipso facto réflexive: nous sommes
face à une nouvelle contradiction. Pour illustrer ce
paradoxe, il donna le très célèbre exemple des
catalogues : « Dans une bibliothèque, il existe deux types
de catalogues. Ceux qui se mentionnent eux-mêmes et
ceux qui ne se mentionnent pas. Un bibliothécaire doit
dresser le catalogue de tous les catalogues qui ne se
mentionnent pas eux-mêmes. Arrivé au terme de son
travail, notre bibliothécaire se demande s'il convient ou
non de mentionner le catalogue qu'il est précisément en
train de rédiger. A ce moment, il est frappé de
perplexité. S’il ne le mentionne pas, ce catalogue sera
un catalogue qui ne se mentionne pas et qui devra dès
lors figurer dans la liste des catalogues ne se
17
mentionnant pas eux-mêmes. D'un autre côté, s'il le
mentionne, ce catalogue deviendra un catalogue qui se
mentionne et qui ne doit donc pas figurer dans ce
catalogue, puisque celui-ci est le catalogue des
catalogues qui ne se mentionnent pas. »
Si nous considérons une variante du paradoxe du
menteur connu avec les mégariques, Russel définit
provisoirement le mensonge comme l'action de formuler
une proposition fausse. Alors nous avons « Le poète
crétois Epiménide affirme : «Tous les Crétois sont des
menteurs» », la proposition p. Comment décider de la
valeur de vérité de p ? Si p est vraie, comme Epiménide
est Crétois, p doit être fausse. Il faut donc que p soit
fausse pour pouvoir être vraie, ce qui est contradictoire.
p est donc fausse. Remarquons que nous ne pouvons pas
en déduire, comme dans le véritable paradoxe du
menteur, que p doit aussi être vraie. Le paradoxe du
menteur, par exemple, aboutit à une contradiction du fait
que l'énoncé "je mens" ou "les crétois mentent" figure
lui-même parmi les énoncés qu'il décrit comme
mensongers. Pour sortir de la contradiction, il convient,
pour Russel, de distinguer des niveaux de langage (ou
"types"), de manière à interdire un usage autoréférentiel
du discours. Ainsi, nous dirons que l'énoncé "je mens"
est un énoncé de niveau 1 qui décrit des énoncés de
niveau 0 pour lesquels l’énoncé de niveau 1 constitue un
méta énoncé. Les énoncés de niveau 1 ne faisant pas
partie des énoncés décrits par les énoncés de niveau 1,
l'énoncé "je mens" ne pourra pas se prendre lui-même
pour objet, à moins de procéder à une erreur de
détermination de type d'énoncé.
Gerhard Gentzen (1909 - 1945) a inventé deux
systèmes de déduction pour la logique du premier ordre:
la déduction naturelle et le calcul des séquents. Pour ce
dernier, il a démontré son Hauptsatz (théorème
principal), publié en 1934 dans ses « Recherches sur la
déduction logique ». Le théorème fondamental affirme
que toute démonstration purement logique peut se
ramener à une forme normale déterminée, qui n'est
d'ailleurs nullement univoque. Nous pouvons formuler
les propriétés essentielles d'une telle démonstration
normale à peu près de la façon suivante : elle ne
comporte pas de détours. Nous n'y introduisons aucun
concept qui ne soit pas contenu dans son résultat final et
qui, par conséquent, ne doive pas nécessairement être
utilisé pour obtenir ce résultats. »
La déduction naturelle est un formalisme pour décrire
les preuves du calcul des prédicats, dont l'idée était de
coller au plus près de la manière dont les mathématiciens
raisonnent. C’est Dag Prawitz (né en 1936) qui démontra
en 1965 un théorème analogue pour la déduction
naturelle. La déduction naturelle redonne à la logique le
caractère d’un cheminement naturel. La principale idée
de départ de Gentzen était simple : pas d’axiomes
logiques, que des règles de déduction et autant qu’il en
faut pour reproduire toutes les formes élémentaires et
naturelles de raisonnement. Pour réaliser cette idée,
Gentzen a développé un formalisme où les déductions ne

sont pas des suites de phrases mais des arbres, faits de
colonnes de phrases qui se rejoignent jusqu’à la
conclusion. Cette méthode est très suggestive pour
l’intuition et elle a conduit Gentzen à faire de belles
découvertes mais elle nuit à l’idée originale qui était de
reproduire les formes naturelles de raisonnement.
Gödel (1906-1978) se consacra à la logique
dans le cadre du fondement des mathématiques et
formula des théorèmes fondamentaux portant sur les
relations indécidables et la consistance des théories
mathématiques. Au sein d'une théorie, nous qualifions
d'indécidable une relation dont nous ne pouvons pas dire,
au moyen des axiomes de la théorie, qu'elle est vraie ou
fausse. Une théorie est dite contradictoire, ou non
consistante, si le système d'axiomes qui la définit aboutit
à une contradiction, c'est à dire s’il y a existence d'un
théorème qui serait, dans la théorie elle-même, à la fois
vrai et faux.
En 1929, dans sa thèse de doctorat, sur la
complétude du calcul logique. Il affirme que le calcul des
prédicats est complet au sens où on connaît des listes
finies et complètes de tous ces principes. Autrement dit
toute démonstration mathématique peut en principe se
formaliser en calcul des prédicats.
Il prouve en 1930 la complétude de la logique
classique du premier ordre, c'est-à-dire que toute formule
valide est démontrable. Ce résultat fut publié par
l'Académie des Sciences de Vienne. En 1931, il publie
son célèbre théorème d'incomplétude dans « Über formal
unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme ». Il prouve dans cet article que pour
tout système axiomatique assez puissant pour décrire les
nombres naturels, on peut affirmer que :
1. Il ne peut être à la fois cohérent et complet.
2. Si le système est cohérent, alors la cohérence des
axiomes ne peut pas être prouvée au sein même du
système.
Ces théorèmes mirent fin à des siècles de
tentatives de proposer un jeu d'axiomes définitif pour
situer l'ensemble des mathématiques sur une base
axiomatique à la manière des « Principia Mathematica »
et du formalisme de Hilbert. Il implique aussi qu'il y a
des questions mathématiques qui sont valides, mais qui
ne sont pas démontrables.
Le principe du théorème d'incomplétude est
simple. Gödel a essentiellement bâti une formule qui
énonce qu'elle n'est pas démontrable dans un système
formel donné. Si cette formule est démontrable, alors elle
n'est pas démontrable, d'où la contradiction. Donc cette
formule n'est pas démontrable, donc valide. Il existe
donc une formule valide, non démontrable.
Beaucoup de logiciens à son époque n’ont pas
compris son résultat. Le désir de mieux comprendre le
théorème de Gödel a permis le développement de la
théorie de la récursion et la clarification de la logique.
Cette dernière est devenue une discipline à part
entière dans les décennies de 1930 et de 1940. Elle forme
le point de départ de ce qui est aujourd'hui appelée
18
l'informatique théorique, développée par Alonzo Church
(1903 – 1995) et Alan Mathison Turing (1912 - 1954).
6. LA LOGIQUE INFORMATIQUE
La fin du XIX e siècle et le début du XX e siècle sont
marqués par les difficultés qu'ont les mathématiciens à
établir leur discipline sur des fondations solides. C'est ce
que nous appelons la crise des fondements. David
Hilbert comme nous l’avons vu précédemment présenta,
lors d'un congrès international, 23 problèmes ouverts, et
qui selon lui, demandaient une attention toute particulière
car leur résolution permettrait des avancées majeures en
mathématiques. Hilbert posait notamment la question de
savoir s'il existait un procédé mécanisable à caractère fini
qui permettrait de résoudre toutes les questions
mathématiques récalcitrantes. Au milieu du XXe siècle,
la logique mathématique vie une véritable révolution. En
effet, le fait de vouloir s’attaquer à l'automatisation des
calculs et des démonstrations, aux fondements théoriques
de la conception des systèmes, à la programmation et à
l'intelligence artificielle a permis d’entre voir de belles
perspectives à cette nouvelle conception, qui est la
logique informatique. C’est dans le fait de vouloir
mécaniser les raisonnements, voire de les automatiser,
que la logique mathématique crée cette nouvelle branche
dans le domaine de la logique.
Une machine de Turing est un modèle abstrait du
fonctionnement des appareils mécaniques de calcul, tel
un ordinateur et sa mémoire, créé par Alan Turing en
vue de donner une définition précise au concept
d'algorithme ou « procédure mécanique ». Ce modèle est
toujours largement utilisé en informatique théorique, en
particulier pour résoudre les problèmes de complexité
algorithmique et de calculabilité. La thèse Church-Turing
postule que tout problème de calcul basé sur une
procédure algorithmique peut être résolu par une
machine de Turing. Cette thèse n'est pas un énoncé
mathématique, puisqu'elle ne suppose pas une définition
précise de procédure algorithmique. En revanche, il est
possible de définir une notion de « système acceptable de
programmation » et de démontrer que le pouvoir de tels
systèmes est équivalent à celui des machines de Turing
(Turing-complet). À l'origine, le concept de machine de
Turing, inventé avant l'ordinateur, était censé représenter
une personne virtuelle exécutant une procédure bien
définie, en changeant le contenu des cases d'un tableau
infini, en choisissant ce contenu parmi un ensemble fini
de symboles. D'autre part, la personne doit mémoriser un
état particulier parmi un ensemble fini d'états. La
procédure est formulée en termes d'étapes très simples,
du type : « si vous êtes dans l'état 42 et que le symbole
contenu sur la case que vous regardez est '0', alors
remplacer ce symbole par un '1', passer dans l'état 17, et
regarder une case adjacente (droite ou gauche) ».
Dans les années 1930, Jacques Herbrand (1908 -
1931) avait posé les conditions de validité d'une
démonstration automatique. Il veut donc démontrer la
validité d’une formule de la logique du 1er ordre. Il met
en place un algorithme qui trouve les interprétations qui
falsifient une formule (s’il y en a) ou qui s’arrête au bout

d’un nombre fini d’étapes (s’il n’y en a pas). Herbrand
met donc en place un système et un univers. Avant de
rentrer dans cet univers la formule doit subir quelques
transformations.
La mise sous forme prénexe d’une formule est la
première étape à lui faire subir dans le traitement
nécessaire à la présenter à un algorithme de résolution
(démonstrations automatisées de théorèmes). Une
formule est dite sous forme prénexe lorsque tous les
quantificateurs sont en tête de cette formule. Par
exemple, la formule C ∨ ∀xA(x)
devient
∀ x( C ∨ A(
x))
.
Ensuite la formule qui est maintenant sous forme
prénexe doit subir une autre transformation. Cette
transformation a été rendue possible par Thoralf Albert
Skolem (1887 -1963) qui a écrit un théorème qui permet
de mettre sous forme de Skolem cette formule prénexe.
Nous appelons forme de Skolem, la formule obtenue en
éliminant tous les quantificateurs de symbole ( ∃ ) . Dans
la forme de Skolem d’une formule ne subsistent donc que
des quantificateurs universels. Par exemple, la formule
∀ x∃yp(
x,
y)
devient ∀ xp(
x,
f ( x))
; f est définie
grâce au théorème. Dans la forme de Skolem d’une
formule ne subsistent donc que des quantificateurs
universels.
Ensuite cette formule doit subir une dernière
opération qui est la mise sous clause (disjonction entre
deux littéraux). Une formule est dite sous forme de
clause lorsque son expression n’utilise plus de
quantificateurs, et que les seuls connecteurs qui y
subsistent sont les connecteurs ¬ et ∨ . Une clause
(avec ou sans variables) est donc de la forme:
A ∨ B ∨ ¬ C ∨ ..... . Un littéral est une formule
atomique ou la négation d’une formule littérale. A, B, C
sont les littéraux de la clause, ils apparaissent sous forme
positive (A) ou négative ( ¬ C ). Il s’agit du premier
algorithme de « démonstration automatique ». D’un point
de vue théorique, il ne fait rien de plus que celui qui
consisterait à produire toutes les conséquences possibles
(à l’aide des règles d’inférence) des formules de
l’ensemble de départ, pour essayer de trouver la formule
finale comme conséquence de cet ensemble. Il est
cependant plus facile à mettre en oeuvre, et donne
souvent le résultat plus rapidement que la méthode des
tables de vérité. Cependant, il doit être clair qu’il s’agit
d’un algorithme qui s’arrête au bout d’un temps fini
(éventuellement long) si l’ensemble de clauses est
insatisfiable, mais qui ne s’arrête pas dans le cas
contraire (conséquence désagréable de l’indécidabilité du
calcul des prédicats...). La méthode de Herbrand est
longue est fastidieuse si le nombre de formules est
importantes.
En 1965, Robinson donnait sa « Méthode de
Résolution » : il basait une démonstration automatique
sur les conditions d'Herbrand, avec un raisonnement par
l'absurde utilisant des énoncés logiques mis sous forme
clausale, et une Règle de Résolution, extension à l'ordre
19
« 1 » de la règle de Quine. Les premiers essais
montrèrent que l'idée y était, mais qu'il restait à en
trouver une expression efficace : ce sera Prolog
(programmation Logique). Robinson n’utilise pas le
même procédé pour mettre les formules sous forme de
clauses. Il utilise les clauses de Horn qui ont été mise en
place par Alfred Horn (1918 - 2001). Il est le premier
qui mit en évidence l’intérêt de telles clauses en 1951,
dans l’article « On sentences which are true of direct
unions of algebras » publié dans le Journal of Symbolic
Logic, numéro 16. Une clause de HORN est une des
expressions suivantes :
1 1
p p
• P t ,......, t ) → Q ( t ,...... t ),... Q ( t ,...... t ) (3)
( 1 n 1 1 n1
p 1 np
• t ,......, t ) →
P (4)
( 1 n
1 1
p p
• → Q t ,...... t ),... Q ( t ,...... t ) (5)
1( 1 n1 p 1 n p
où R,Q1, . . . ,Qp sont des symboles de relation et t1, tn, tj k
sont des termes. L’exécution d’un programme prolog
revient à appliquer la méthode de résolution jusqu’à
trouver la clause vide.
La logique de Hoare, parfois appelée logique de
Floyd-Hoare, est une méthode formelle définie par le
chercheur en informatique britannique Charles Antony
Richard Hoare (1934) dans un article de 1969 intitulé
« An axiomatic basis for computer programming ». La
méthode de Hoare met en place un formalisme logique
permettant de raisonner sur la correction des programmes
informatiques. Hoare s'est inspiré du travail sur les
méthodes formelles dans les organigrammes de Robert
W. Floyd (1936 - 2001) . La logique de Hoare décrit les
évolutions possibles de l'état d'un programme
informatique. Les évolutions sont modélisées par des
règles et l'état d'un programme est symbolisé par un
triplet { P } C { Q}
où P et Q sont des prédicats et C
est une commande (une action sur le programme). La
condition P est appelée la précondition, et Q la
postcondition. La logique de Hoare a des axiomes et des
règles d'inférence pour toutes les instructions de base
d'un langage de programmation impératif. Hoare rajoute
dans son papier originel des règles pour les procédures,
les sauts, les pointeurs et la concurrence.
Le lambda-calcul (ou λ-calcul) est un langage de
programmation théorique inventé par Alonzo Church
dans les années 1930. Il permet aux mathématiciens de
travailler notamment sur les notions de fonction et
d'application. Il trouve également de nombreuses
applications dans le domaine de la preuve. Ce langage a
été le premier utilisé pour définir et caractériser les
fonctions récursives. Il a une grande importance dans la
théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de
Turing et du modèle de Herbrand-Gödel. Il s'agit d'un
modèle de calcul, c’est-à-dire une formalisation de la
notion de calcul. On peut simuler la normalisation des λtermes
à l'aide d'une machine de Turing, et simuler une
machine de Turing par des λ-termes. Ces deux modèles
sont donc équivalents (ou Turing-équivalents). La thèse
de Church-Turing affirme que tout algorithme peut être
calculé par le lambda-calcul, donc par l'équivalence que
tout algorithme peut être calculé par une machine de

Turing. Un programme étant un algorithme permettant de
résoudre un problème donné, nous avons là le premier
langage de programmation. Les lambda calculs typés
sont à l'origine des langages de programmation
fonctionnels comme Lisp, Caml ou Haskell : la théorie
des types leur apporte une sémantique forte et sûre. Le
lambda-calcul est apparenté à la logique combinatoire
due à Haskell Brooks Curry (1900 - 1982).
7. LES LOGIQUES NON CLASSIQUES
Les logiques non classiques ont commencé de se
développer à partir des années 1920. Le développement
des logiques modales répond au souci de résoudre les
paradoxes de l'implication ( → ), notamment le fameux
« E falso sequitur quodlibet » (du faux, on peut déduire
n'importe quoi) où ( p ∧ ¬ p)
→ q . Les logiques
modales devaient également permettre le traitement
d'énoncés qui ne sont pas vérifonctionnels (soit vrais, soit
faux), notamment les énoncés normatifs (« Il faut
partir »).
Les logiques multivalentes répondent au souci
d'attribuer une valeur autre que le vrai ou le faux
(l'indéterminé, le probable,...) à certains types d'énoncés,
notamment les énoncés relatifs au futur.
En résumé, les logiques non classiques se
répartissent en deux grandes catégories : les logiques
modales caractérisées par l'emploi de certains nouveaux
opérateurs, tels que la « Nécessité » et la « Possibilité »,
et les logiques multivalentes caractérisées par l'admission
de valeurs autres que le vrai ou le faux.
7.1. Les logiques multivalentes
7.1.1. La logique trivalente de Lukasiewicz
Cette logique est née de considérations proprement
philosophiques qui portaient sur un certain
«impérialisme» supposé de la logique contemporaine
classique (bivalente). Selon Lukasiewicz, c'est la liberté
humaine qui est ici en jeu. Si l'on pense qu'a priori tout
ce qui est sensé être vrai ou faux et jamais simplement
possible, indéterminé, ou sous déterminé, alors il faut
penser que, entre autres, les énoncés concernant le futur
sont de tous temps déjà vrais ou faux. Dans son projet de
syllogistique modale et dans l'attention portée aux
propositions concernant le futur, Aristote avait déjà pris
conscience de la contingence de certains événements et
de leur dépendance vis-à-vis de la liberté d'action.
La logique trivalente permet la prise en compte et
la formalisation d'énoncés du type « Pierre viendra peutêtre
» en introduisant une tierce valeur : le neutre, le
possible,...
Autour des années 20, Lukasiewicz propose une
axiomatique trivalente dont les théorèmes reprennent
ceux de la logique bivalente et en introduisent d'autres.
Cette logique trivalente ne reconnaît pas le principe du
tiers exclu (p p).
20
7.1.2. La logique affaiblie ou intuitionniste
Pour comprendre le sens de la démarche de Lukasiewicz,
il faut aborder la question des fondements et de la
formalisation logique des mathématiques. Durant la
première moitié du XXe siècle, une polémique a opposé
ceux qui croyaient en l'irréductibilité des mathématiques
(Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)) et ceux qui
pensaient pouvoir en rendre compte à l'aide de la logique
formelle (il s'agit du logicisme de Russell et de Frege et
du formalisme de Hilbert). Brouwer et les
mathématiciens intuitionnistes estiment qu'il n'est pas
légitime d'inférer la vérité d'une proposition de la
fausseté de sa négation ( p p). Il faut, selon eux,
admettre que, dans certains cas, un énoncé p demeure
indécidé, et ce même si la fausseté de p est établie,
aussi longtemps que p n'a pas été démontré positivement.
Cette dernière affirmation met en question la validité des
preuves par l'absurde qui, pour affirmer une thèse,
prouvent que sa négation est fausse.
Cette querelle sur l'irréductibilité des mathématiques
trouve son origine dans les travaux de Hilbert (1862-
1943) qui jugeait essentiel d'exprimer les mathématiques
dans le langage formel et axiomatisé de la logique. Il lui
fallait, pour cela, commencer par prouver la consistance
(la non-contradiction) des mathématiques en montrant
qu'il est impossible de démontrer comme théorème à la
fois une proposition et sa négation. Selon Hilbert, c'était
la seule façon de démontrer que les mathématiques sont
fondées. Les travaux de ce type forment ce que nous
appelons la théorie de la démonstration ou
métamathématique.
Hilbert a échoué dans sa tentative de démonstration
de la non contradiction formelle des mathématiques. Ce
sont les travaux de Kurt Gödel (et son fameux théorème
d'incomplétude) sur les limites internes de la
formalisation qui clarifièrent ce qui peut et ce qui ne peut
pas être réalisé dans un système formel axiomatisé.
7.2. Les logiques modales
Les logiques modales ont permis de résoudre certains des
paradoxes consécutifs à l'utilisation de l'implication ( ).
La logique propositionnelle produit des théorèmes dont
l'interprétation pose problème. Ainsi p (q p) est un
théorème de la logique propositionnelle que l'on peut
traduire comme suit : « S'il existe des barbus alors si le
vinaigre est acide, il existe des barbus ». Et nous
identifions ici le signe logique ( ) avec la tournure
linguistique Si...alors.... Or dans cet exemple, le premier
signe ( ) indique le «passage de la barre» dans un
schéma d'inférence, tandis que l'autre symbolise une
relation conditionnelle entre deux propositions. Ce sont
deux choses différentes que nous ne pouvons pas
interpréter à l'aide de la même tournure linguistique Si...
alors...
Vers 1930, Lewis a tenté de construire un système
permettant d'éviter cette ambiguïté. Pour ce faire, il a
introduit la notion d'implication stricte que l'on peut
représenter à l'aide d'un opérateur modal ajouté au

conditionnel matériel : N (p q). « Nécessairement, si p
alors q ».
Il existe de nombreuses logiques qui s'inspirent de la
logique modale. La plus connue est la logique
déontique. Cette discipline tente de traiter formellement
le discours normatif qui exprime des obligations, des
permissions,.... . Elle se distingue de l'éthique et de la
théorie du droit, auxquelles elle s'applique, dans la
mesure où elle ne fournit aucun contenu aux énoncés
normatifs dont elle traite.
7.3. La logique floue
À l'inverse de la logique booléenne, la logique floue
permet à une condition d'être en un autre état que vrai ou
faux. Il y a des degrés dans la vérification d'une
condition.
Considérons par exemple la vitesse d'un véhicule sur
une route nationale. La vitesse normale est de 90 km/h.
Une vitesse peut être considérée comme élevée au-dessus
de 100 km/h, et comme plus du tout élevée en dessous de
80 km/h.
La logique booléenne envisagerait les choses de
la manière suivante (voir figure 4) :
• La vitesse est considérée à 100 % comme
élevée à partir de 100 km/h, et à 0 % en
dessous.
Figure 5. Interprétation avec la logique booléenne
La logique floue, à l'inverse, permet des degrés
de vérification de la condition « La vitesse est-elle
élevée ? » (Voir figure 5) :
• La vitesse est considérée comme pas du tout
élevée en dessous de 80 km/h. On peut donc
dire qu'en dessous de 80 km/h, la vitesse est
élevée à 0 %.
• La vitesse est considérée comme élevée audessus
de 100 km/h. La vitesse est donc élevée
à 100 % au-dessus de 100 km/h.
• La vitesse est donc élevée à 50 % à 90 km/h, et
à 25 % à 85 km/h.
Figure 6. Interprétation avec la logique floue
21
La logique floue est une technique utilisée en
intelligence artificielle. Elle a été formalisée par Lotfi
Askar Zadeh (1921) en 1965 et utilisée dans des
domaines aussi variés que l'automatisme (freins ABS), la
robotique (reconnaissance de formes), la gestion de la
circulation routière (feux rouges), le contrôle aérien,
l'environnement (météorologie, climatologie,
sismologie), la médecine (aide au diagnostic), l'assurance
(sélection et prévention des risques) et bien d'autres. En
fait, le simple fait de noter, déjà sous Jules Francois
Camille Ferry (1832 - 1893), un élève dans différentes
disciplines et de lui calculer un rang par application de
coefficients à ses notes était déjà faire de la logique floue
sans le savoir.
Nous avons vu à travers cet exposé que la logique est
une science qui a pris son essor avec Aristote et qu’elle
est aujourd’hui présente dans différents grands domaines
comme la philosophie, les mathématiques et
l’informatique. Cette logique a longtemps stagné après
Aristote, puis par la suite elle a pris son envol et a subit
quelques ruptures épistémologiques et certaines
continuités. Les grandes ruptures importantes que nous
devons garder en mémoire sont la division de la logique
en deux branches: la logique philosophique et la logique
mathématique au cours du XIXe siècle. Cette logique
mathématique a vu le jour car ils voulaient à l’époque
que les mathématiques s’appuient sur des bases solide de
raisonnement que personne ne pourrait ébranler. Puis la
rupture qui a lieu au XXe siècle avec la logique
mathématique donne naissance à la logique informatique
afin de rendre automatique le raisonnement
mathématique. Aristote, Euclide, Leibniz, Boole et Frege
me semblent être les personnes qui ont le plus contribué
à l’avancée de cette science.
8. REFERENCES
[1] Blanché, R. La logique et son histoire d’Aristote
à Russell. Editorial Amand Colin, Paris, 1970.
[2] Couillaud, B. Raisonner en vérité - Analytique,
dialectique, rhétorique, sophistique. Editorial F.-X. de
Guibert, Paris, 2007
[3] Fouillée, A. La logique de Port Royal. Editorial
Nouvelle, 1878.
[4] Lewis, C. Logique sans peine. Editorial Hermann,
Paris, 1972.