Terminale S - Loi uniforme. Loi exponentielle - Parfenoff . org

Exemples :Exemple 1 : La durée de vie d’un ordinateur portable exprimée en années est unevariable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre λ = 0,125La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans est5P( X ≥ 5) = 1 − ∫ 0,125 e −0,125t dt0= e −0,125 ×5 ≈ 0,535La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable soit inférieure à 3 ans3est P( X ≤ 3) = ∫ 0,125 e −0,125t dt0= 1 − e −0,125 ×3 ≈ 0,313Exemple 2 : Le temps d’attente exprimé en minutes au guichet d’une banque estune variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre λ. On sait que laprobabilité qu’un client attende moins de 8 minutes est égale à 0,7.a) Calculer une valeur approchée à 0,0001 de λOn a P(T ≤ 8 ) = 0,7 donc 1 − e −8λ = 0,7De là e −8λ ln (0,3)= 0,3 et donc λ = ≈ 0,1505−8b) Calculer la probabilité qu’un client attende entre 15 et 20 minutes2) PropriétésP( 15 ≤ T ≤ 20) = e −0,1505×15 − e −0,1505×20 ≈ 0,055a) Espérance mathématique d’une loi exponentielleSoit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ( λ > 0 ),alors :E(X) = lim t ×x→+∞ λe−λt dt0x= 1 λDémonstration :La fonction G(t) = ( t + 1 λ )e−λt a pour dérivée G ′ (t) = λte −λt d’oùxE(X) = lim x→+∞ ∫ t × λe −λt dt0= limx→+∞ [G(t)]x 0 = limx→+∞ − x + 1 λ e−λx + 1 λ Comme on sait que lim x→+∞ xe −λx = 0 et que lim x→+∞ e −λx = 0 on a E(X) = 1 λRemarque : E(X) représente la valeur moyenne de la variable aléatoire de XExemple :Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ telle quesa valeur moyenne soit égale à 20, alors on peut écrire que E(X) = 1 λ = 20d’où λ = 1 20

) Probabilité conditionnellePour tout t ≥ 0 et tout a ≥ O on a P X≥a ( X ≥ a + t ) = P(X ≥ t )Démonstration :Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Soit tet a deux réels strictement positifs. On cherche la probabilité que X soitsupérieure ou égale à a + t sachant que X est supérieure à aD’oùP X≥a ( X ≥ a + t ) =P( X ≥ a + t et X ≥ a)P(X ≥ a)P X≥a ( X ≥ a + t ) =P( X ≥ a + t )P(X ≥ a)=e−λ(a+t)e −λa = e −λt = P(X ≥ t )D’où le nom de « loi de durée de vie sans vieillissement » donné quelquefois àla loi exponentielle.Exemple :La durée de vie d’un ordinateur portable exprimée en années est une variablealéatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre λ = 0,125La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans sachantqu’il fonctionne depuis déjà 2 ans est égale àP X≥2 ( X ≥ 5 ) =c) Fonction de répartitionP( X ≥ 5 )P(X ≥ 2) = e−5λe −2λ = e−3λ = P(X ≥ 3 ) = e −0,125×3 ≈ 0,687Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètreλ, on définit la fonction F appelée fonction de répartition de X de la façonsuivante :0 si x ≤ 0Pour tout x ∊ R F(x) = P( X ≤ x ) =1 − e −λx si x ≥ 0