PremiÃ¨re ES - Extremums d'une fonction - Parfenoff . org

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$6e - Ecritures fractionnaires - Parfenoff . org$

IV) Problèmes d’optimisationExemple :Une entreprise décide de fabriquer et de commercialiser un produit. Sa capacité deproductions est de 20 tonnes.Le coût en millier d’euros, d’une production de tonnes est donné par : 30 3001a. Etudier les variations de sur [0 ; 20] puis dresser son tableau de variation sur cetintervalle.1b. Tracer la représentation graphique de dans un repère orthogonal (unités 1 cm surl’axe des abscisses pour 1 tonne et 1 cm sur l’axe des ordonnées pour 200 milliersd’euros2. En économie on appelle coût moyen (noté M ) le coût de fabrication d’une tonne deproduit lorsque tonnes sont produites.C’est à dire : 2a. Etudier le sens de variation de la fonction sur l’intervalle [0 ; 20] puis dresser sontableau de variation sur cet intervalle.2b. En déduire le coût moyen minimal.3. Après avoir fait une étude de marché, l’entreprise décide de vendre son produit 84 000euros la tonne3a.Exprimer le bénéfice réalisé par l’entreprise en fonction de 3b.Quelle doit être la production de l’entreprise pour qu’elle réalise un bénéficemaximal ?3c. Est-ce la même valeur qui minimise le coût moyen ?Réponse :1a. 30 300 Sa dérivée est donc :′ 3 60 300 = 3( 20 100) = 3( 10)²Donc 0 pour 10 et 0 sur [0 ; 20]La fonction est donc croissante sur [0 ; 20] 0 10 2001 0002 000
1b.2. Pour tout 0, = = 30 3002a. Pour tout 0, ′ 2 30′ 0 lorsque 2 30 0 c'est-à-dire lorsque 15′ 0 pour 15 et ′ 0 pour 15La fonction est donc décroissante sur [0 ;15] et croissante sur [15 ; 20]On obtient le tableau de variation : 0 15 20300 2 000 752b. La fonction admet un minimum en = 15 qui est 75.Le coût moyen minimal est de 75 milliers d’euros.3a. Il vend 84 milliers d’euros la tonne. La vente en millier d’euros, d’une production de tonnes est donné par : = 84 Son coût total de fabrication est : 30 300
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Page 5: 2) Exemple montrant la nécessité
Page 10 and 11: Son bénéfice est donc : = = 8

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