ECOLE POLYTECHNIQUE Programme International (X97 ...

85 9:3152;6571326 ?23@>45>8:;

250Figure 13. La densité d’état intégrale N(q) pour la membrane plate et cyclique.200numériqueexacteapproximative150N(q)1005000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q10 5 Figure 14. La densité d’état différentielle D(q) pour la membrane plate et cyclique.10 4D(q)10 310 2avec dégénérescencesans dégénérescence10 10.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1qR

Figure 15. La densité d’état différentielle D(q)(sans dégénérescence) pour la membrane plate et cyclique.10 4numériqueexacteapproximativeD(q)10 310 20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q11 x 10−3 Figure 16. Les distributions P 0, P 0.9et P 0.99pour la membrane plate et cyclique109P 0, P 0.9, P 0.9987P 0P 0.9P 0.99650 50 100 150 200 250i

Figure 18. La 125−ème ligne des matrices Q,T 0.9et T 0.99pour la membrane plate et cyclique.10 010 −1Q 1 (i)T 1 0.9 (i)T 1 0.99 (i)10 −2Q 1 1(i), T (i) et1 T0.990.9(i)10 −310 −410 −510 −610 −70 50 100 150 200 250iFigure 19. La dépendance des éléments d’une ligne de la matrice Qpar rapport à l’indice i pour la membrane plate et cyclique.10 010 −110 −2théoriquenumérique10 −3Q 1 (i)10 −410 −510 −610 −710 0 10 1 10 2i

Q(i), T 0.2(i), T 0.5(i), T 0.8(i), T 0.99(i)Figure 20a. La première ligne des matrices Q, T , T , T , T 0.2 0.5 0.8 0.99pour la membrane plate et cyclique (en échelle logarithmique).10 010 −110 −210 −310 −4Q(i)T 0.2(i)T 0.5(i)T 0.8(i)T 0.99(i)10 −510 −610 0 10 1 10 2i1Figure 20b. La fonction f e(i) pour la membrane plate et cyclique.0.90.80.70.6Q(i)T 0.2(i)T 0.5(i)T 0.8(i)T 0.99(i)f e(i)0.50.40.30.20.100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100i

250Figure 21a. La densité d’état intégrale N(q) pour la membrane plate et non−cyclique.200numériqueN e(q)150N(q)1005000.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q10 4 Figure 21b. La densité d’état différentielle D(q) pour la membrane plate et non−cyclique.numériqueD e(q)D(q)10 310 20.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q

250Figure 22. La densité d’état intégrale N(q) pour la membrane concave.200concaveN e(q)150N(q)1005000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q10 6 Figure 23. La densité d’état différentielle D(q) pour la membrane concave.10 5concaveD e(q)10 4D(q)10 310 210 110 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q

250Figure 24. La densité d’état intégrale N(q) pour la membrane convexe.200convexeN e(q)150N(q)1005000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q10 6 Figure 25. La densité d’état différentielle D(q) pour la membrane convexe.10 5convexeD e(q)10 4D(q)10 310 210 110 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q

0.0250.02Figure 28. Les distributions P 0, P 0.9et P 0.99pour la membrane concave.P 0P 0.9P 0.99P 0(i), P 0.9(i), P 0.99(i)0.0150.010.00500 50 100 150 200 250i0.030.025Figure 29. Les distributions P 0, P 0.9et P 0.99pour la membrane convexe.P 0P 0.9P 0.99P 0(i), P 0.9(i), P 0.99(i)0.020.0150.010.00500 50 100 150 200 250iTT

Figure 30. Certains vecteurs propres et leurs transformées de Fourier pour la membrane concave.0.115V 250(i)0.080.060.04F 250(k)105V 240(i)0.020 50 100 150 200 250i0.150.10.050−0.05−0.1−0.150 50 100 150 200 250iV 150(i)V 10(i)0.20.10−0.1−0.20 50 100 150 200 250i0.30.20.10−0.1−0.2−0.30 50 100 150 200 250iF 240(k)F 150(k)F 10(k)00 50 100 150 200 250k864200 50 100 150 200 250k65432100 50 100 150 200 250k5432100 50 100 150 200 250kTR

Figure 31. Les vecteurs propres les plus lents pour la membrane concave.V 249(i)0.150.10.050−0.05−0.10 50 100 150 200 250i0.20.1V 248(i)0.150.10.050−0.05−0.1−0.150 50 100 150 200 250i0.10.05V 247(i)0−0.1V 246(i)0−0.05−0.1V 245(i)V 243(i)−0.20 50 100 150 200 250i0.150.10.050−0.05−0.1−0.150 50 100 150 200 250i0.150.10.050−0.05−0.1−0.150 50 100 150 200 250iV 244(i)−0.150 50 100 150 200 250i0.150.10.050−0.05−0.1−0.150 50 100 150 200 250iV 242(i)0.20.10−0.1−0.20 50 100 150 200 250iT

Figure 32. Certains vecteurs propres et leurs transformées de Fourier pour la membrane convexe.V 250(i)V 240(i)0.090.080.070.060.050.040.030 50 100 150 200 250i0.150.10.050−0.05−0.1−0.150 50 100 150 200 250iV 150(i)V 10(i)0.20.10−0.1−0.20 50 100 150 200 250i0.30.20.10−0.1−0.2−0.30 50 100 150 200 250iF 250(k)F 240(k)F 150(k)F 10(k)201510500 50 100 150 200 250k864200 50 100 150 200 250k65432100 50 100 150 200 250k5432100 50 100 150 200 250kT

Figure 33. La dépendance des lignes 1, 50, 100 des matricesQ, T 0.9et T 0.99par rapport à l’indice i pour la membrane concave.10 0 i10 010 −5iQ(i), etc.10 −210 −410 −60 50 100 150 200 250Q(i), etc.0 50 100 150 200 25010 0 iQ(i), etc.10 −210 −4Q(i)T 0.9(i)T 0.99(i)10 −60 50 100 150 200 250Figure 34. Les lignes 50, 125, 200 des matrices T 0.1, T 0.5, T 0.9et T 0.99pour la membrane concave.T 0.1(i)T 0.9(i)10.80.60.40.200 50 100 150 200 250i0.20.150.10.0500 50 100 150 200 250iT 0.99(i)T 0.5(i)0.80.60.40.20.030.0250.020.0150.010.00500 50 100 150 200 250i00 50 100 150 200 250iT

Figure 35. Les fonctions C(q) et log(C 2 (q)) pour les membranes concave et convexe.C(q)0.080.060.040.02concavelog(C 2 (q))−4−6−8−10concave0−12C(q)−0.020 0.2 0.4 0.6 0.8 1q0.080.060.040.020convexe−0.020 0.2 0.4 0.6 0.8 1qlog(C 2 (q))−140 0.2 0.4 0.6 0.8 1q−4−6−8−10−12convexe−140 0.2 0.4 0.6 0.8 1qFigure 36. Les vecteurs propres "bizarres" pour les membranes concave et convexe.10.5concave10.5concaveV 1(i)0V 2(i)0−0.5−0.5−10 50 100 150 200 250i−10 50 100 150 200 250i10.5convexe10.5convexeV 1(i)0V 2(i)0−0.5−0.5−10 50 100 150 200 250i−10 50 100 150 200 250iT

1.41.2Figure 37. La fonction F(lambda) pour les membranes concave et convexe.(a). en échelle linéaire.concaveconvexe1F(lambda)0.80.60.40.200 50 100 150 200 250lambda10 0 (b). en échelle logarithmique.concaveconvexe10 −2F(lambda)10 −410 −610 −810 −100 50 100 150 200 250lambdaT

Figure 38. L’impédance spectroscopique Z s(sigma)pour les membranes concave, convexe et plate−cyclique.10 010 −1concaveconvexeplateZ s(sigma)10 −210 −310 −410 −50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1sigma0.160.14Figure 39. L’erreur relative (Z s(e)−Z sa (e))/Zs (e) pourles membranes concave et convexe.concaveconvexe0.12(Z s(e)−Z sa (e))/Zs (e)0.10.080.060.040.0200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1eT

0.3Figure 40. L’impédance spectroscopique Z s(r) pourles membrane concave, convexe et plate−cyclique.0.250.2Z s(r)0.150.10.05concaveconvexeplate00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100r’Figure 41. La fraction Z s(r)/r’ pour les membranes10 x concave, convexe et plate−cyclique.10−39concaveconvexeplate87Z s(r)/r’654320 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100r’T

250Figure 42. La densité d’état intégrale N(q) pour la membrane fractale.200fractaleN e(q)150N(q)1005000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q10 6 Figure 43. La densité d’état différentielle D(q) pour la membrane fractale.10 5fractaleD e(q)10 4D(q)10 310 210 110 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1qRS

0.050.0450.04Figure 44. Les distributions P 0, P 0.9et P 0.99pour la membrane fractale.P 0P 0.9P 0.99P 0, P 0.9, P 0.990.0350.030.0250.020.0150.010.00500 50 100 150 200 250iFigure 45. Les fonction C(q) et log(C 2 (q)) pour la membrane fractale.0.100.080.06−5C(q)0.040.02log(C 2 (q))0−10−0.02−0.040 0.2 0.4 0.6 0.8 1q−150 0.2 0.4 0.6 0.8 1qRT

Figure 46. Certains vecteurs propres et leurs transformées de Fourier pour la membrane fractale.0.115V 250(i)0.080.060.04F 250(k)1050.020 50 100 150 200 250i0.200 50 100 150 200 250k80.16V 240(i)0F 240(k)4−0.12−0.20 50 100 150 200 250i0.500 50 100 150 200 250k43V 150(i)0F 150(k)21−0.50 50 100 150 200 250i0.500 50 100 150 200 250k32.52V 20(i)0F 20(k)1.510.5−0.50 50 100 150 200 250i00 50 100 150 200 250kRR

Figure 47. La dépendance des lignes 1, 50, 100 des matricesQ, T 0.9et T 0.99par rapport à l’indice i pour la membrane fractale.10 0Q(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −410 −60 50 100 150 200 250i10 0 iQ(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −410 −60 50 100 150 200 25010 0 iQ(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −410 −60 50 100 150 200 250R

2.5Figure 48. La fonction F(lambda) pour les membranes fractale et convexe.(a). en échelle linéaire.fractaleconvexe2F(lambda)1.510.500 50 100 150 200 250lambda10 0 (b). en échelle logarithmique.fractaleconvexe10 −2F(lambda)10 −410 −610 −810 −100 50 100 150 200 250lambdaR

0.35Figure 49. L’impédance spectroscopique Z s(sigma) pour les membranes fractale, concave et plate−cyclique0.3(a). en échelle linéaire.fractaleconcaveplate0.25Z s(sigma)0.20.150.10.0500 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1sigma10 0 (b). en échelle logarithmique.10 −1fractaleconcaveplateZ s(sigma)10 −210 −310 −410 −50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1sigmaR

0.350.3Figure 50a. L’impédance spectroscopique Z s(r) pour les membranes fractale, concave et plate−cyclique.fractaleconcaveplate0.250.2Z s(r)0.150.10.0500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100r’14 x 10−3 Figure 50b. La fraction Z s(r)/r’ pour les membranes fractale, concave et plate−cyclique.12fractaleconcaveplate10Z s(r)/r’86420 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100r’R

200Figure 51. La densité d’état intégrale N(q) pour la membrane pointe.180160pointeN e(q)140120N(q)1008060402000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q10 6 Figure 52. La densité d’état différentielle D(q) pour la membrane pointe.pointeD e(q)10 510 4D(q)10 310 210 110 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1qR

P 0, P 0.9, P 0.990.050.0450.040.0350.030.0250.020.015Figure 53. Les distributions P 0, P 0.9, P 0.99pour la membrane pointe.P 0P 0.9P 0.990.010.00500 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200i0.016Figure 54. La dépendance de P e(100) par rapport à sigma pour la membrane pointe.0.0140.012P e(100)0.010.0080.0060.00410 −2 10 −1sigmaR

Figure 55. Certains vecteurs propres et leurs transformées de Fourier pour la membrane pointe.0.08150.075V 200(i)0.070.0650.06F 200(k)1050.055V 190(i)V 100(i)V 10(i)0.050 50 100 150 200i0.30.20.10−0.1−0.20 50 100 150 200i0.20.10−0.1−0.20 50 100 150 200i0.30.20.10−0.1−0.2−0.30 50 100 150 200iF 190(k)F 100(k)F 10(k)00 50 100 150 200k65432100 50 100 150 200k65432100 50 100 150 200k5432100 50 100 150 200kR

10 0 Figure 56. Les lignes 1, 50, 100 des matrices Q, T 0.9et T 0.99pour la membrane pointe.Q(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −410 −60 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200i10 0 iQ(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −4Q(i)T 0.9(i)T 0.99(i)10 −60 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20010 0 i10 −1Q(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −310 −410 −50 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S

0.08Figure 57. La fonction C(q) pour la membrane pointe.0.060.040.02C(q)0−0.02−0.04−0.06−0.080 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q−2Figure 58. La fonction log(C 2 (q)) pour la membrane pointe.−3−4−5log(C 2 (q))−6−7−8−9−10−11−120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1qT

1.4Figure 59. La fonction F(lambda) pour la membrane pointe.(a). en échelle linéaire.1.21F(lambda)0.80.60.40.200 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200lambda10 0 (b). en échelle logarithmique.10 −2F(lambda)10 −410 −610 −810 −100 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200lambdaR

10 0 Figure 60. L’impédance spectroscopique Z s(sigma) pour les membranes pointe, concave et plate−cyclique.10 −1pointeconcaveplateZ s(sigma)10 −210 −310 −410 −50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1sigma0.40.35Figure 61. L’impédance spectroscopique Z s(r) pour les membranes pointe, concave et plate−cyclique.pointeconcaveplate0.30.25Z s(r)0.20.150.10.0500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100r’

250Figure 62. La densité d’état intégrale N(q) pour le pore profond.200poreN e(q)150N(q)1005000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q10 5 Figure 63. La densité d’état différentielle D(q) pour le pore profond.poreD e(q)10 4D(q)10 310 210 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q

0.0350.03Figure 64. Les distributions P 0, P 0.9et P 0.99pour le pore profond.(a). en échelle linéaire.P 0P 0.9P 0.990.025P 0, P 0.9, P 0.990.020.0150.010.00500 50 100 150 200 250i10 −1 (b). en échelle logarithmique.10 −2P 0P 0.9P 0.99P 0, P 0.9, P 0.9910 −310 −410 −510 −60 50 100 150 200 250i

Figure 65. Certains vecteurs propres et leurs transformées de Fourier pour le pore profond.0.08200.0715V 250(i)0.06F 250(k)100.055V 240(i)V 150(i)0.040 50 100 150 200 250i0.150.10.050−0.05−0.1−0.150 50 100 150 200 250i−0.150 50 100 150 200 250iV 10(i)0.150.10.050−0.05−0.10.30.20.10−0.1−0.2−0.30 50 100 150 200 250iF 240(k)F 150(k)F 10(k)00 50 100 150 200 250k864200 50 100 150 200 250k864200 50 100 150 200 250k65432100 50 100 150 200 250k

10 0 Figure 66. Les lignes 1, 50, 100 des matrices Q, T 0.9et T 0.99pour le pore profond.Q(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −410 −60 50 100 150 200 250i10 0 iQ(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −410 −60 50 100 150 200 25010 0 iQ(i)T 0.9(i)T 0.99(i)Q(i), T 0.9(i), T 0.99(i)10 −210 −410 −60 50 100 150 200 250

0.1Figure 67. La fonction C(q) pour le pore profond.0.080.060.04C(q)0.020−0.02−0.04−0.060 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q−2Figure 68. La fonction log(C 2 (q)) pour le pore profond.−3−4−5log(C 2 (q))−6−7−8−9−10−11−120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1q

1Figure 69. La fonction F(lambda) pour le pore profond.(a). en échelle linéaire.F(lambda)0.90.80.70.60.50.40.30.20.100 50 100 150 200 250lambda10 0 (b). en échelle logarithmique.10 −110 −210 −3F(lambda)10 −410 −510 −610 −710 −80 50 100 150 200 250lambda

0.60.5Figure 70. L’impédance spectroscopique Z s(sigma) pourle pore profond et les membranes concave et plate−cyclique.(a). en échelle linéaire.poreconcaveplate0.4Z s(sigma)0.30.20.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1sigma10 0 (b). en échelle logarithmique.10 −1poreconcaveplateZ s(sigma)10 −210 −310 −410 −50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1sigmaS

0.60.5poreconcaveplateFigure 71a. L’impédance spectroscopique Z s(r) pourle pore profond et les membranes concave et plate−cyclique.0.4Z s(r)0.30.20.100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100r’0.030.025Figure 71b. La fraction Z s(r)/r’ pour le pore profondet les membranes concave et plate−cyclique.poreconcaveplate0.02Z s(r)/r’0.0150.010.00500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100r’T