Première ES - Fonction cube - Parfenoff . org

Fonction cube.I) DéfinitionSoit la fonction définie sur un par :∈ , Exemples :2 2 = 810 10 10 1 000 000 000 000 ! 1,111 1,371 330 631II) Etude de la fonction cube1) Variations de f sur La fonction est strictement croissante sur .On peut reformuler le théorème ainsi :Soit et deux nombres réels tels que alors .Preuve. Soit deux réels et .Tout d’abord montrons que ²) = .En développant ²) on obtient : ²) = = On a donc finalement : ²) = • Lorsque les deux nombres et ont le même signe :- Premier cas : on suppose .Alors 0 et ² > 0 comme somme et produit de nombres positifsDonc ²) < 0On obtient donc 0Donc finalement :0 C’est-à-dire :0

- Second cas: on suppose Alors 0Or est positif comme produit de deux nombres négatifs. et ² sont aussi positifs,donc : ² > 0 comme sommes de nombres positifsDonc ²) < 0On obtient donc 0Donc finalement :C’est-à-dire : 0 0Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserveleur ordre strict.• Lorsque les deux nombres et sont de signes différents :Si deux nombres sont de signes opposés, celui qui est négatif a son image négative,celui qui est positif a une image positive. Dans ce cas encore, la fonction cubepréserve leur ordre strict.2) Tableau de variations ∞ 0 + ∞ 03) Tableau de valeurs -100 -10 -5 -2 -1 0 1 2 5 10 1 00 -1 000 000 -1 000 -125 -8 -1 0 1 8 125 1 000 1 000 000

4) Courbe de la fonction cube.a) Courbe :On observe sur ce dessin que la courbe est symétrique par rapport à l’originedu repère.b) Explications:• La fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère:Soit un nombre réel, son opposé a pour image : doncdoncdoncenfin 1 1 1 1 1 1 1 Conclusion : l’image de l’opposé de est l’opposé de l’image de

Graphiquement cela a pour conséquence que la courbe est symétrique parrapport à l’origine du repère.• Comportement de la fonction lorsque les valeurs de sont grandes1°) Images de nombres entiers naturels. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729A partir de ces résultats, on peut donner quelques conjectures concernant lafonction cube :Quand devient grand, semble devenir très grand aussi2°) Images de puissances de 10. 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 On utilise la règle de calcul : Par exemple, pour 10 10 000 , on obtient:10 10 10 1 000 000 000 000 !Là encore la conjecture semble aussi se confirmer3°) Images des nombres négatifs.Exemple : 2 2 2 2 4 2 8On constate (voir tableau précédent au 1°) que 2 est l’opposé de 2.Ce fait se généralise à tous les nombres négatifs, en vertu de la remarquesuivante :Soit un nombre réel, son opposé a pour image : doncdonc 1 1 1 1 1 1 = ainsi lorsque devient très petit l’est aussi.

IV) Les problèmes que posent la fonction cube.La fonction cube est présente au programme de la classe de première économique etsociale. A l’instar de la fonction racine carrée, elle présente deux difficultésspécifiques :• Un problème lié à la recherche d’antécédents ;• Un problème lié à la notion de nombre dérivé.(Voir les fiches de cours sur la notionde dérivé)La compréhension de ces problèmes est essentielle pour un élève de première. Ils sontles précurseurs de difficultés rencontrées dans le parcours des années suivantes surl’étude de fonctions incontournables en mathématiques financières.Recherche d’antécédents pour la fonction cube.Soit un nombre réel donné.Il relève de la classe de seconde de connaître la définition d’antécédent du nombre .On peut se convaincre de l’existence d’un antécédent du nombre par la fonctioncube à l’aide de la représentation graphique de celle-ci :

On constate ici l’existence d’un antécédent de la valeur représentée.Théorème :Soit un nombre réel et un antécédent de par la fonction cube.Alors, quel que soit un nombre réel, si , alors .En d’autres termes, est l’unique antécédent de .Preuve. Soit un nombre réel. Si , alors ou .Comme la fonction cube est strictement croissante, ou, respectivement, . Donc , donc .Notation. L’unique antécédent de par la fonction cube est noté √.Attention ! Ce nombre est du même signe que .Exemples : comme 3 27, on peut affirmer que 27 admet 3 comme antécédent par. En vertu du théorème précédent, c’est le seul.On pourra donc noter : √273.Comme 2 8, on peut affirmer que 8 admet 2 comme antécédent par lafonction cube. En vertu du théorème précédent, c’est le seul.