Denis S. GREBENKOV TRANSPORT LAPLACIEN AUX ...

1.3 Comportement anormal de l’impédance 23✛.. Λ .. . ..... . ... .. . . .. . . .. .. . . ...... . . . . ......... .. ... ... ..... ... . . .. .. . .. .. . .. .... . .... . . . . ....... ... . .... .... . ........ .... .... ... .... . . .... .... . . ..... . ...... ... ..... .... . . . . . .. . . ..... . .... .... .(a)L✲✛∂V.. Λ . ∂n = V Λ V = 0.... . .. .. . . .... .. . .. ... .. . (b)L✲Fig. 1.14 – Approximation de l’arpenteur : (a) la frontière irrégulière peut être subdiviséeen plusieurs intervalles curvilignes de périmètre Λ ; (b) l’admittance d’accès de chaqueélément est égale à l’admittance du segment linéaire correspondant, ce qui permet deremplacer la frontière d’origine par une nouvelle frontière agraindie.On trouve donc un comportement anormal de l’impédance spectroscopique :Z(Λ) ∼ Λ β avec β = 1 D fL’exposant β est égal à l’inverse de la dimension fractale. On retrouve donc encore une foisla relation (1.13) de Le Méhauté et Crepy. Notons que l’approximation de l’arpenteur,vérifiée numériquement dans diverses circonstances [35, 129], a apporté des nouveauxrésultats intéressants sur le transport diffusif (voir, par exemple, [37, 38]).• 1994, Ruiz-Estrada, Blender, Dieterich : Interpolation entre régimesRuiz-Estrada, Blender et Dieterich ont étudié numériquement l’impédance de l’électrodede Von Koch de dimension D f = ln 8/ ln 4 = 1,5 [117]. Si l’on appelle Z sp (g) (Λ)l’impédance spectroscopique de la génération d’ordre g, on peut représenter ses troisrégimes par :⎧⎪⎨ (Λ/L tot,g ) L tot,g ≪ Λρ −1 Z sp (g) (Λ) ∼ (Λ/L cpa,g )⎪⎩β l ≪ Λ ≪ L tot,g(Λ/L dir,g ) Λ ≪ ll étant la longueur du plus petit segment, et L tot,g le périmètre de la génération d’ordreg : L tot,g = (4 gD f )l. Les longueurs Lcpa,g et L dir,g ont été déterminées numériquement pourles différentes générations. Ainsi :L dir,3 /L dir,2 ≃ 3,87 L dir,4 /L dir,3 ≃ 3,69 L dir,5 /L dir,4 ≃ 3,66On trouve donc que la longueur de la zone active de Dirichlet obéit à une loi d’échelle :L dir,g ≃ (4 gτ(2) )l, avec un exposant τ(2) égal à 0,94. Notons que cet exposant est bienla dimension de corrélation de la mesure harmonique de cette courbe de Von Koch (voirchapitre 6).L’interpolation des régimes fractal et de Neumann jusqu’à leur point de croisement(✭cross-over✮) Λ ≃ L tot,g permet de constater que la longueur L cpa,g est proche de L tot,g .L’interpolation des régimes fractal et de Dirichlet jusqu’à leur point de croisement Λ ≃ ldonne la relation suivante : (l/L dir,g ) ∼ (l/L tot,g ) β , d’où l’on tire la relation de Halsey et