Denis S. GREBENKOV TRANSPORT LAPLACIEN AUX ...

1.1 Exemples de phénomènes de transport laplacien 5Pour l’homme, cet arbre bronchique possède 23 générations de branchement, parmi lesquellesles 15 premières générations ne servent qu’au transport convectif de l’oxygène etdu dioxyde de carbone [33, 144]. Les dernières 8 générations forment l’unité d’échange diffusif(sa taille est de l’ordre de quelques millimètres) appelée acinus pulmonaire (Fig. 1.2).C’est également une structure arborescente où apparaissent des sacs alvéolaires, sièges del’échange gazeux avec le sang. En raison de l’accroissement de l’aire de la section totale desbronches à chaque génération, la vitesse de l’air diminue progressivement. A l’intérieur del’acinus 2 , cette vitesse devient significativement plus petite que la vitesse caractéristiquede diffusion. Par conséquent, l’échange gazeux peut être raisonnablement décrit par unediffusion stationnaire. La densité de flux des particules φ en un point de volume obéit àla loi de Fick :φ = −D∇C (1.4)où D est le coefficient de diffusion de l’oxygène dans l’air (D ≃ 0,2 cm 2 · s −1 ). La conservationdu flux implique que la concentration des molécules d’oxygène C(x) satisfait àl’équation de Laplace :∆C = 0La membrane alvéolaire possède une perméabilité 3 finie W : le flux des moléculesd’oxygène à travers la membrane est égal à CW. Par ailleurs, ce flux doit être égal auflux φ pris sur la frontière, d’où l’on tire la condition aux limites mixte sur la membrane :La longueur caractéristique Λ est égale à∂C∂n = 1 Λ C (1.5)Λ = D W(1.6)La concentration des molécules d’oxygène à l’entrée de l’acinus (sur la ✭source✮) estconstante au cours d’une cycle de respiration : C = C 0 .Nous retrouvons donc un problème mathématique analogue à celui du transport électrique,c’est-à-dire que la concentration des molécules obéit à l’équation de Laplace aveccondition aux limites de Dirichlet sur la source et condition aux limites mixte sur lamembrane alvéolaire. Evidemment, ce cadre mathématique peut également servir à décrired’autres phénomènes de diffusion stationnaire à travers des membranes semi-perméables.Dans le cas général, on a donc une cellule diffusive entre une source de particules et unemembrane semi-perméable irrégulière (Fig. 1.3). Comme précédemment, la complexité dela membrane joue un rôle important dans le comportement de cette cellule.1.1.3 Catalyse hétérogèneUne troisième classe de phénomènes est fournie par la catalyse hétérogène, processusomniprésent en pétrochimie. Dans la plupart des cas, la transformation chimique demolécules A en d’autres molécules A ∗ s’opère en présence d’un catalyseur adsorbé sur2 Plus précisément, il faut plutôt parler du subacinus, la partie 1/8 de l’acinus (voir [33]).3 C’est la probabilité par unité de temps, de surface et de concentration pour passer à travers unemembrane en négligeant un flux de retour, autrement dit, en supposant que la concentration de l’autrecôté de la membrane est égale à 0. Pour l’acinus pulmonaire de l’homme, W ≃ 8 · 10 −3 cm · s −1 .