Denis S. GREBENKOV TRANSPORT LAPLACIEN AUX ...

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$G. M. Zaslavsky, Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport ...$

xivIntroductionl’impédance spectroscopique pour certaines frontières de Von Koch. Il s’agit en l’occurence,à notre connaissance, du premier modèle basé sur un traitement rigoureux fournissantune expression analytique de l’impédance pour n’importe quelle génération de l’interfacefractale. Enfin, nous examinons le cas des frontières de Von Koch aléatoires, qui sontdes représentations plus réalistes d’interfaces physiques irrégulières. De manière générale,l’étude numérique de l’opérateur Dirichlet-Neumann pour des surfaces irrégulières permetde donner un sens physique aux valeurs propres de cet opérateur en les reliant aux échellescaractéristiques de l’interface.Le sixième chapitre est consacré à l’étude des mesures harmoniques associées au transportlaplacien. Nous avons examiné les propriétés d’échelle de la mesure harmonique(induite par le mouvement brownien) et de la mesure harmonique étalée (induite par lemouvement brownien partiellement réfléchi) en utilisant la méthode des marches aléatoiresrapides adaptées à la géométrie particulière de la courbe de Von Koch quadrangulaire etde la surface de Von Koch cubique concave. En particulier, nous avons pu calculer lesdimensions multifractales de la mesure harmonique pour des frontières de Von Koch avecune très bonne précision, en conjecturant un développement logarithmique des exposantsmultifractals locaux, par ailleurs démontré pour les frontières lisses, ce qui a de facto fourniune justification de ce même développement dans le cas des frontières de Von Koch. Dela même manière, nous avons étudié la mesure harmonique étalée et en avons observé latransition continue de la mesure harmonique vers la mesure de Hausdorff lorsque l’on faitvarier le paramètre d’échelle ou la longueur Λ qui apparaît dans la condition aux limitesmixte. Une généralisation conjecturale de cette mesure dans le cas des vraies fractalesmathématiques a été proposée.Au septième chapitre, nous présentons une étude expérimentale portant sur la réponsed’une électrode de Von Koch tridimensionnelle. Quelques électrodes métalliques (ou métallisées)ont été réalisées dont la surface reproduit les premières générations de la surfacede Von Koch cubique. Ces électrodes ont été ensuite placées dans un électrolyte passivantafin de mesurer la dépendance de leur impédance en fonction de la fréquence de la tensionappliquée. On constate que la micro-rugosité de la surface métallique fait apparaître uneréponse anormale même pour une électrode plate. En combinant ces mesures et l’approchethéorique développée au cours des chapitres précédents, on montre que l’on peut rendrecompte du rôle de l’irrégularité géométrique de l’électrode dans la réponse du systèmecomplet.Finalement, la conclusion présente un bilan des résultats obtenus au cours du mémoire.Certaines applications et perspectives possibles sont exposées et discutées.
Liste des notationsxvListe des notationsPour simplifier la lecture, nous emploierons toujours les mêmes notations dans le texte.Notre étude concernant plusieurs domaines à la fois en physique et en mathématiques,nous présentons la liste des notations par l’ordre alphabétique.∂Ω Frontière d’un domaine Ω (continue ou discrète)| · | Norme (euclidienne)( · ) Produit scalaire entre deux vecteurs( · ) L 2 Produit scalaire continu dans l’espace L 2∇ Gradient∆ Opérateur de Laplace (continu ou discret)∂/∂n Dérivée normale (continue ou discrète) orientée vers le volume1, 1(s) Vecteur dont les composantes sont égales à 1 (fonction constante)α Indice des modes propres des opérateurs Q et MβExposant de déphasage constant de l’impédanceβ(Λ) Dérivée logarithmique de l’impédanceγCapacité surfaciqueγ(Λ,δ) Exposant de l’impédance à l’échelle δΓ (δ)kRecouvrement à l’échelle δΓ(z) Fonction d’EulerδParamètre d’échelle, une distanceδ(x − x ′ ), δ x,x ′ Fonction δ de Dirac ou symbole de KroneckerεProbabilité de réflexionɛPermittivité relative (constante diélectrique)ɛ 0 Permittivité absolue du vide (constante électrique)ζImpédance surfaciqueζ(λ) Transformée de Laplace inverse de l’impédance effective Z(Λ)ζ(q,δ) Moments de la mesure harmonique à l’échelle δζ ent (δ) Entropie de la mesure harmonique à l’échelle δζ ent Coefficient dans le développement logarithmique de ζ ent (δ)η d (z) Fonction représentant le rapport entre la densité t Λ (s) etson approximation ˜t Λ (s)λ(ω) Paramètre dépendant de la fréquenceΛ Paramètre central du problèmeµ α Valeurs propres de l’opérateur Mµ (g)kPositions des modes principaux (du modèle analytique)ξParamètre de réglageρRésistivité d’un électrolyteˆρ t (s), ˆρ ω (s) Densité des charges dans la double coucheρ Λ (t) Densité de probabilité de la distribution de temps d’absorptionσProbabilité d’absorption
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