Denis S. GREBENKOV TRANSPORT LAPLACIEN AUX ...

Introductionxiiimontrons comment cet opérateur peut être exprimé à l’aide de la distribution de probabilitésde premier contact. La méthode des éléments frontières, qui permet de de calculercette distribution de probabilités de premier contact de façon efficace est ensuite présentée.Cette approche basée sur la théorie discrète du potentiel permet de construire l’opérateurd’auto-transport brownien pour toute frontière donnée. On s’intéresse ensuite aux propriétésde l’opérateur d’auto-transport brownien pour une surface plane. Le chapitre seconclut par la description de la structure hiérarchique de la matrice de cet opérateur Qdans le cas de frontières préfractales déterministes.Le troisième chapitre est consacré à l’étude théorique des processus stochastiquesassociés au transport laplacien. La représentation des marches aléatoires simples avecréflexions sur la frontière par le mouvement brownien avec sauts permet d’étudier le passageà la limite continue, lorsque le paramètre de discrétisation tend vers 0, et de montrerque l’on retrouve bien la description du problème continu d’origine. On obtient alors quele processus stochastique continu correspondant est le mouvement brownien partiellementréfléchi, dont l’existence justifie l’utilisation de l’approche discrète de l’opérateur d’autotransportbrownien. De plus, nous trouvons que l’opérateur d’auto-transport brownien,normalisé d’une façon appropriée, tend vers un opérateur pseudodifférentiel, dit opérateurDirichlet-Neumann.Le quatrième chapitre est consacré aux propriétés de l’opérateur Dirichlet-NeumannM. Celui-ci associe à une fonction f définie sur la frontière ∂Ω d’un domaine Ω la dérivéenormale ∂u/∂n sur cette même frontière de la solution u du problème laplacien dansΩ, avec la condition aux limites u = f. Cet opérateur est autoadjoint, et son spectreest discret et borné inférieurement. Après avoir défini cet opérateur, nous proposonsune approche complètement continue qui permet d’exprimer l’impédance d’une celluleélectrolytique ou diffusive grâce à la décomposition spectrale de la densité de la mesureharmonique sur la base des vecteurs propres de l’opérateur Dirichlet-Neumann. D’unepart, cette approche justifie la décomposition analogue déjà proposée avec l’opérateurd’auto-transport brownien. D’autre part, elle permet de s’affranchir du recours à la discrétisationdu problème et au passage à la limite continue, en restant toujours dans le cadre duproblème continu. Par conséquent, l’opérateur d’auto-transport brownien devient une versiondiscrète de l’opérateur Dirichlet-Neumann ainsi qu’un outil efficace pour le déterminernumériquement. Il est aussi, par ailleurs, un moyen de ✭visualisation✮ ou de compréhensiondes résultats obtenus dans le formalisme purement continu.Le cinquième chapitre porte sur l’étude de l’opérateur Dirichlet-Neumann dans le casdes frontières simples permettant de comprendre ses propriétés et de se forger une intuitionavant de passer à l’étude des surfaces irrégulières plus complexes. Tout d’abord, ons’intéresse à des irrégularités simples (pore carré). Pour une frontière donnée, on construitd’abord l’opérateur d’auto-transport brownien (discret), puis l’on étudie la limite où leparamètre de réseau tend vers 0, ce qui permet d’en déduire les propriétés spectrales del’opérateur M. On observe aussi la modification de l’impédance due à l’irrégularité. Ons’intéresse ensuite aux frontières de Von Koch de dimension fractale variée. Certains effetsintéressants sont constatés, en particulier, la localisation du spectre et la réductiondes modes propres (seul un nombre très réduit de modes propres contribuent de faità l’impédance spectroscopique). En d’autres termes, il est possible de formuler une expressionanalytique qui approche la réponse du système avec une très bonne précision.Cette étude théorique et numérique a ainsi permis de développer un modèle analytique de