Denis S. GREBENKOV TRANSPORT LAPLACIEN AUX ...

Table des matièresix5 Le transport laplacien aux interfaces irrégulières 1375.1 Approximation par l’opérateur d’auto-transport brownien . . . . . . . . . 1385.2 Irrégularités simples : pore carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3 Courbe de Von Koch de dimension D f = ln 5/ ln 3 . . . . . . . . . . . . . 1455.3.1 Localisation du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.3.2 Approximation à deux modes pour la première génération . . . . . 1475.3.3 Réduction des modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.3.4 Echelles caractéristiques de la frontière . . . . . . . . . . . . . . . 1535.3.5 Réduction de modes pour les générations plus élevées . . . . . . . 1535.3.6 Impédance spectroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.7 Approximation des modes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.3.8 Modèle analytique de l’impédance spectroscopique . . . . . . . . . 1585.3.9 Courbe de Von Koch aléatoire de dimension D f = ln 5/ ln 3 . . . . 1615.4 Courbe de Von Koch de dimension D f = ln 6/ ln 4 . . . . . . . . . . . . . 1635.5 Courbe de Von Koch de dimension D f = ln 8/ ln 4 . . . . . . . . . . . . . 1685.6 Surface de Von Koch de dimension D f = ln 13/ ln 3 . . . . . . . . . . . . 1715.7 Modèle analytique de l’impédance spectroscopique . . . . . . . . . . . . . 1785.7.1 Deux limites asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.7.2 Régime fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.7.3 Impédance des générations élevées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.7.4 Exposant de corrélation de la mesure harmonique . . . . . . . . . 1835.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856 La mesure harmonique et la mesure harmonique étalée 1896.1 Comportement multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.2 Développement logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.3 Méthode des marches aléatoires rapides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.3.1 Mise en œuvre dans le cas des frontières de Von Koch . . . . . . . 1956.4 Propriétés multifractales de la mesure harmonique . . . . . . . . . . . . . 1986.4.1 Courbe de Von Koch quadrangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.4.2 Surface de Von Koch cubique concave . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.4.3 Précision de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.5 Propriétés multifractales de la mesure harmonique étalée . . . . . . . . . 2176.5.1 Arguments qualitatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.5.2 Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.5.3 Généralisation possible à des fractales mathématiques . . . . . . . 2236.5.4 Lien avec le comportement anormal de l’impédance spectroscopique 2256.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297 Etude expérimentale d’une électrode de Von Koch 2337.1 Electrode idéalisée : prédictions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.2 Mesure expérimentale de l’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.2.1 Electrodes étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.2.2 Préparation des échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.2.3 Technique de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.3.1 Impédance des électrodes plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243