LA RESOLUTION DES EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE ...

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 47On a observé également très peu dedémarches de recouvrement saufpour la résolution des exercices deséquations fractionnaires. La majoritédes élèves a pu résoudre ce typed’équations sur base de leursconnaissances arithmétiques.Exemple :5 (9 + x)=7 21L’expression (9 + x) est considéréecomme l’inconnue.Sur base du principe des fractionséquivalentes, les élèves attribuentla valeur 15 à l’expression 9 + xutilisant ainsi le recouvrement. Si9 + x = 15, alors x = 6.Dans ce cas, le recouvrementreprésente la seule démarche vraimentefficace à la disposition desélèves de ce niveau. Ce qui expliquel’utilisation importante de cetteméthode pour cet exercice.Cette analyse ne doit pas nousfaire perdre de vue que dans certainessituations, ces méthodes sontincluses dans différentes procéduresde résolution, parfois très élaborées.En outre, certains élèves utilisent desméthodes mixtes : ils entament leurrésolution par une procédure, parexemple, les opérations réciproqueset puis terminent par la substitution.Les démarches des élèves au coursdes activités de la deuxième phaseélèves ne connaissaient pas laméthode formelle, ils ont utilisé lasubstitution (essais-erreurs) pourtrouver la valeur de l’inconnue.Cette démarche impliquait un travailde recherche important. Celui-ci apermis aux élèves d’élargir leurconcept d’équation qui n’est plus uncalcul lacunaire mais une égalité quise vérifie pour une valeur del’inconnue. En outre, les élèves ontrapidement affiné leurs stratégies eneffectuant leurs tâtonnements demanière de plus en plus ciblée enfonction de l’écart entre les résultatsde chaque membre.Grâce à la situation des balances,tous les élèves ont pu intégrer lesprincipes des équations équivalentes.En effet, dans la dernière situationoù il s’agissait de résoudre deséquations de manière algébrique,tous ont effectué la même opérationdans les deux membres. Cependant,des difficultés sont apparues chez denombreux élèves lorsque l'équationétait composée de soustractions oude nombres négatifs. Par exemple,dans l’équation 7 − 5x = 8x + 9,certains soustrayaient 5x pourannuler −5x. Il semble donc qu’uneétape doive encore être franchieentre les activités sur la balance etl’étape ultime de formalisation. Ils’agit d’aider les élèves à se détacherdu modèle et de les faire réfléchiraux manipulations algébriques proprementdites.La première activité impliquaitdes équations avec l’inconnuedans les deux membres. Puisque lesLa résolution des équations du premier degré a une inconnue