LA RESOLUTION DES EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE ...

46 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000De manière générale, nousavons constaté une diversité dans lessolutions proposées par les élèves.L’inventivité dont certains élèves ontfait preuve dans la résolution dessituations est étonnante. Ce travailmontre clairement que les élèvessavent résoudre certaines équationsavant même d’avoir reçu unenseignement en la matière. D’unpoint de vue mathématique, cesconnaissances constituent donc untremplin incontournable pour asseoirde manière solide les nouveauxapprentissages algébriques. Cesderniers peuvent ainsi apparaîtrecomme des clés efficaces là où lessavoirs antérieurs échouent, puisqueles méthodes de résolution intuitivesne peuvent résoudre tous les typesd’équations. Cette perspective esttrès différente de celle, plus habituelle,où la démarche formelle derésolution est posée d’emblée, mêmepour résoudre des cas élémentaires.Les paragraphes suivants donnent unaperçu des démarches utilisées parles élèves dans les deux phases de laséquence.Les démarches des élèves au coursdes activités de la première phaseLes équations issues de cesactivités pouvaient se résoudre soitpar les opérations réciproques, soitpar la substitution, soit par lerecouvrement.L’analyse des productions d’élèvesmontre que les opérations réciproquesreprésentent la procédure laplus employée dans les différentessituations. Même dans des cas oùelle est peu adaptée, les élèvesutilisent ou tentent d’utiliser cetteméthode. Ceux-ci exploitent cettedémarche dans des cas très simplesoù une reconnaissance numérique(méthode par substitution) auraitsuffi, comme, par exemple,« 557 = ? − 10 », mais aussi dansdes situations complexes commecelle de la recherche d’unedimension connaissant l’aire dutrapèze et l’autre dimension.Cette prédominance des opérationsréciproques pourrait en partie sejustifier par l’influence del’enseignement des mathématiques àl’école primaire. En effet, à ceniveau, seul ce mode de résolutionest considéré comme mathématiquementcorrect pour la résolution desproblèmes arithmétiques dont lastructure s’apparente à un calcullacunaire de type a + ? = c.La substitution, moins exploitée queles opérations réciproques, l’estcependant davantage par les élèvesfaibles. On constate également uneaugmentation des procédures desubstitution dans le contexted’évaluation lorsque les élèves seretrouvent seuls devant leur feuille.Cette démarche implique unraisonnement plus spontané et moinsformalisé que les opérationsréciproques. Il paraît donc normald’observer une augmentation decette option chez des élèves faiblesou lorsque les étudiants travaillentindividuellement. Elle représentepour certains un moyen plus sûrd’arriver au résultat.La résolution des équations du premier degré a une inconnue